Математические основы фигур Лиссажу

XVII КОНКУРСНАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ
СТУДЕНТОВ ВЫСШИХ И СРЕДНИХ СПЕЦИАЛЬНЫХ
УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ
«НАУЧНЫЙ ОЛИМП»
Направление конкурса: «Естественные науки»
научно-исследовательская работа
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИГУР ЛИССАЖУ»

Исполнитель:
Коковин Алексей Александрович
студент I курса
специальность: «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования», Сухоложского многопрофильного техникума
Научный руководитель: Вдовина Ольга Борисовна
Преподаватель математики СМТ
I квалификационная категория

Сухой Лог 2015г
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение3
ГлаваI История развития математической мысли.
1.1. История развития тригонометрии.6
1.2. Современное математическое видение………………………………..12
Глава2. Мир через тригонометрическую «призму».
2.1.Прикладная тригонометрия в физике.14
2.2.Тригонометрия в планиметрии.22
2.3.Применение тригонометрия в искусстве и архитектуре.252.4.Тригонометрия и современная медицина и биология. PAGEREF _Toc380350041 \h 26Глава3. Фигуры Лиссажу. 3.1. Электронный осциллограф…………………………………………….28
3.2. Синусоидальная развертка……………………………………………..38
3.3. Получение и математические расчеты фигур Лиссажу……………....39
3.4. Лабораторная работа……………………………………………………49
Заключение…………………………………………………………………...…52
Список литературы…………………………………………………………….53
Приложения…………………………………………………………………..…54

ВВЕДЕНИЕ.
«Книга природы написана на языке математики».
Галилео Галилей
Время вносит свои коррективы в современную жизнь, предъявляет новые требования к выпускнику. Современный человек имеет в своем распоряжении огромные информационные ресурсы, но в них нужно уметь ориентироваться, принимать и отвергать прочитанное, необходимо применять навыки отбора и анализа каких-либо фактов. Я считаю, что необходимо не просто пользователями в работе с источниками информации, а быть пытливым, сомневающимся, недоверчивым исследователем. Думаю, что необходимо уже сейчас учиться самостоятельно добывать знания, уметь выделять главное и второстепенное из первоисточника, работать с различными источниками информации, анализировать, синтезировать, размышлять, выискивать оптимальный вариант, абстрагировать — всему этому я учился, работая над данным проектом. Считаю, что свой проект я вправе назвать исследовательским, поскольку изученный теоретический материал, я применяю в самостоятельно выполненной лабораторной работе. Кроме того, приборы и материалы, которые я использовал изучаются по программе следующего курса по предмету «Вычислительная техника».
Выбор данной темы был обусловлен: актуальностью в образовательном пространстве, значимостью в профессиональном становлении, повышением уровня самообразования в сфере математических и естественных наук, информационных технологий.
Цель проекта - развитие интереса к изучению темы «Тригонометрия» курса алгебры и начал математического анализа через призму прикладного значения изучаемого материала; расширение графических представлений, содержащих тригонометрические функции; применение тригонометрии в таких науках, как физика, биология. Не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.
Объект исследования – тригонометрия.
Предмет исследования - прикладная направленность тригонометрии; графики некоторых функций, с использованием тригонометрических формул.
Задачи исследования:
1.Рассмотреть историю возникновения и развития тригонометрии.
2.Расширить математическое представления изучаемой темы.
3.Показать на конкретных примерах практические приложения тригонометрии в различных науках.
4.Провести лабораторную работу по построению и исследованию фигур Лиссажу.
5.Лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышение интереса к изучению данной темы.
Гипотеза: имеется ли возможность у студента группы Э-13, обучающегося по профессии «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования» «материализовать» знания, полученные на уроках математики и в следствии самостоятельной работы.
Методы исследования - анализ математической литературы по данной теме; отбор конкретных задач прикладного характера по данной теме; компьютерное моделирование на основе компьютерной программы.
Планируемый результат: проект с описанием пути от одной науке к другой, от мысли к практической деятельности.
Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Значительную роль в развитии навыков применения на практике теоретических знаний, полученных при изучении математики, играют задачи с практическим содержанием. Каждого изучающего математику, интересует как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа.

ГлаваI История развития математической мысли.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ
Слово тригонометрия составилось из двух греческих слов: τρίγονον (тригонон - треугольник) и и μετρειν ( метрейн - измерять ) в буквальном переводе означает измерение треугольников.
Именно эта задача - измерение треугольников или, как принято теперь говорить, решение треугольников, т. е. определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам (стороне и двум углам, двум сторонам и углу или трем сторонам) - с древнейших времен составляла основу практических приложений тригонометрии.
Как и всякая другая наука, тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач. Первые этапы развития тригонометрии тесно связаны с развитием астрономии. Большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрии оказали потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил. Значительную роль в развитии тригонометрии сыграла потребность в составлении географических карт и тесно связанная с этим необходимость правильного определения больших расстояний на земной поверхности.
Основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого астронома Гиппарха (середина II века до н. э.). Тригонометрия как наука, в современном смысле этого слова не было не только у Гиппарха, но и у других ученых древности, так как они еще не имели понятия о функциях углов и даже не ставили в общем виде вопроса о зависимости между углами и сторонами треугольника. Но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. При этом основным средством получения нужных результатов было умение вычислять длины круговых хорд на основании известных соотношений между сторонами правильных трех-, четырех-, пяти - и десятиугольника и радиусом описанного круга. Гиппарх составил первые таблицы хорд, т. е. таблицы, выражающие длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса. Это были, по существу, таблицы двойных синусов половины центрального угла. Впрочем, оригинальные таблицы Гиппарха (как и почти все им написанное) до нас не дошли, и мы можем составить себе о них представление главным образом по сочинению « Великое построение» или (в арабском переводе) «Альмагест» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н. э.
Птолемей делил окружность на 360 градусов, а диаметр - на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям (60¢¢). Каждую из частей он делил на 60¢, каждую минуту на 60¢¢, секунду на 60 терций (60¢¢¢) и т. д., применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60° в виде 60 частей радиуса(60ч), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90° приравнивал числу 84ч 51¢ 10². Хорду в 120° - сторону вписанного равностороннего треугольника - он выражал числом 103ч 55¢ 23² и т. д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора: (хорда a)2 + (хорда|180-a|)2 = (диаметру)2, что соответствует современной формуле sin2a+cos2a=1.
«Альмагест» содержит таблицу хорд через полградуса от 0° до 180°, которая с нашей современной точки зрения представляет таблицу синусов для углов от 0° до 90° через каждые четверть градуса.
В основе всех тригонометрических вычислений у греков лежала известная еще Гиппарху теорема Птолемея: «прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противолежащих сторонах» ( т. е. произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон). Пользуясь этой теоремой, греки умели ( с помощью теоремы Пифагора) по хордам двух углов вычислить хорду суммы ( или хорду разности) этих углов или хорду половины данного угла, т. е. умели получать результаты, которые мы получаем теперь по формулам синуса суммы (или разности) двух углов или половины угла. Новые шаги в развитии тригонометрии связаны с развитием математической культуры народов Индии, Средней Азии и Европы (V-XII).
Важный шаг вперед в период с V по XII век был сделан индусами, которые в отличие от греков стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ¢ (см. чертеж) соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. то, что мы теперь называем линией синуса a - половины центрального угла.left0Наряду с синусом индусы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. (Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в. из так называемого «синуса дополнения», т. е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus).
Им были известны также соотношения cosa=sin(90°-a) и sin2a+cos2a=r2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.
Следующий этап в развитии тригонометрии связан со странами
Средней Азии, Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.) Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии, причем тригонометрия сформировалась в особую математическую дисциплину в значительной мере именно в трудах среднеазиатских ученых. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индусам. left0Решая задачу об определении высоты Солнца S по тени b вертикально стоящего шеста a (см чертеж), сирийский астроном ал-Баттани  (Хв.) пришел к выводу, что острый угол j в прямоугольном треугольнике определяется отношением одного катета к другому, и вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1°. Точнее говоря, он вычислил длину тени шеста определенной длины (а=12) для j=1°,2°,3°……left0Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке ( 940-998) , составил аналогичную «таблицу тангенсов», т. е. вычислил длину тени , отбрасываемой горизонтальным шестом определенной длины ( а=60) на вертикальную стену (см. чертеж).
Следует отметить, что сами термины « тангенс» ( в буквальном переводе - «касающийся») и «котангенс» произошли из латинского языка и появились в Европе значительно позднее ( XVI-XVIIвв.). Среднеазиатские же ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс - «первой тенью», тангенс - «второй тенью».
Абу-ль-Вафа дал совершенно точное геометрическое определение линии тангенса в тригонометрическом круге и присоединил к линиям тангенса и котангенса линии секанса и косеканса. Он же выразил (словесно) алгебраические зависимости между всеми тригонометрическими функциями и, в частности, для случая, когда радиус круга равен единице. Этот очень важный случай был рассмотрен европейскими учеными на 300 лет позднее. Наконец, Абу-ль-Вафа составил таблицу синусов через каждые 10¢.
В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.
Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274).
Впервые в европейской науке стройное изложение тригонометрии дано в книге « О треугольниках разных родов» , написанной Иоганном Мюллером, более известным в математике под именем Региомонтана(1436-1476). Он обобщает в ней методы решения прямоугольных треугольников и дает таблицы синусов с точностью до 0,0000001. При этом замечательно то, что он полагал радиус круга равным 10 000 000 или 10 000, т. е. выразил значения тригонометрических функций в десятичных дробях, перейдя фактически от шестидесятиричной системы счисления к десятичной.
Английский ученый XIV века Брадвардин (1290-1349) первый в Европе ввел в тригонометрические вычисления котангенс под названием «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени».
На пороге XVII в. в развитии тригонометрии намечается новое направление - аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа.
О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии.
Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций.
В первой половине XIX в. французский ученый Ж. Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний.
Огромное значение в истории тригонометрии имело творчество знаменитого петербургского академика Леонарда Эйлера (1707-1783), он придал всей тригонометрии современный вид.
В своем труде «Введение в анализ» (1748 г.) Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных формул.
Эйлеру принадлежит окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций во всех четвертях круга, вывод формул приведения для общих случаев.
Введя в математику новые функции - тригонометрические, стало целесообразным поставить вопрос о разложении этих функций в бесконечный ряд. Оказывается, такие разложения возможны:
Sinx=x-
Cosx=1-
Эти ряды позволяют значительно облегчить составление таблиц тригонометрических величин и для нахождения их с любой степени точности. Аналитическое построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, было завершено в работах Н. И.Лобачевского, Гаусса, Коши, Фурье и других. «Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».
В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть - учение о тригонометрических функциях - является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть - решение треугольников - рассматривается как глава геометрии.СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВИДЕНИЕ.
Проходит время, и тригонометрия широко рассматривается в современном образовании. Но эта тригонометрия не похожа на ту, что изучали ранее. Её соотношения определяются теперь с помощью окружности (её обычно называют производящей окружностью), а не прямоугольного треугольника. Хотя они по-прежнему определяются как функции углов, но эти углы уже произвольно велики, их меры выражаются в радианах. Иначе выглядит и тригонометрические тождества, и постановка задач, и трактовка их решений. Вводится графики тригонометрических функций. Наконец, появляются тригонометрические уравнения. И весь этот материал представлен перед обучающимися и студентами уже как часть алгебры, в не геометрии, как прежде.
Третье обличие принимает тригонометрия, когда она появляется в системе начал математического анализа. Здесь речь идет о классе аналитических функций, называемых тригонометрическими, об их структуре, свойствах и приложениях. Их специфические свойства (периодичность, четность или нечетность и др.) позволяют с помощью формул приведения и иных формул тригонометрии и существенно упрощать аналитический аппарат выражений, связанных с этими функциями, и значительно облегчают операцию с ними.
К настоящему времени структура тригонометрических частей математики сделалась весьма разветвленной, а связи их с другими частями математики – многообразными и взаимопроникающими. Поэтому все чаще отходят от первоначального смысла термина «тригонометрия» (который происходит от греческого triywvov – треугольник и uetpew – измеряю, что вместе означает измерение треугольников) и называют эту часть математики гониометрией или даже перестают использовать эти, очевидным образом, устаревшие, но сохраняющиеся в силу исторических традиций термины. Легко заметить, что материал, относящийся к тригонометрии, изучается не единым блоком, разделы для изучения распределены на несколько лет. Количество задач по тригонометрии в ЕГЭ, олимпиадах разного уровня увеличивается год от года.
Редко используемые тригонометрические функции — функции угла, которые в настоящее время используются редко по сравнению с шестью основными тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом,секансом и косекансом).
К ним относятся:
versin (версинус)
vercos (коверсинус)
haversin (гаверсинус)
exsec (эксеканс)
excsc (экскосеканс)

Глава2. Мир через тригонометрическую «призму».
2.1. ПРИКЛАДНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ В ФИЗИКЕ.Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.
Следует отметить применение тригонометрии в следующих областях: техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ), компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография, геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.2.1.1. Гармонические колебания.
Когда какая-либо точка движется по прямой линии попеременно то в одну, то в другую сторону, то говорят, что точка совершает колебания.
Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. Закон этих колебаний имеет вид:
x=Rcos(t+a), (1),
где R-радиус окружности, Т-время одного оборота точки М, а число a показывает начальное положение точки на окружности. Такие колебания называют гармоническими или синусоидальными.
Из равенства видно, что амплитуда гармонических колебаний равна радиусу окружности, по которой движется точка М, а частота этих колебаний равна . Обычно вместо этой частоты рассматривают циклическую частоту w=, показывающую угловую скорость вращения, выраженную в радианах в секунду. В этих обозначениях имеем:
x= R cos(wt+a).
Число a называют начальной фазой колебания.
Изучение колебаний всякого рода важно уже по одному тому, что с колебательными движениями или волнами мы сталкиваемся весьма часто в окружающем нас мире и с большим успехом используем их (звуковые волны, электромагнитные волны).
2.1.2.Разложения на гармоники.
Чистый звуковой тон представляет собой колебания, с некоторой постоянной частотой. Музыка, которую мы слышим, представляет собой наложение чистых тонов, т.е. получается сложение колебаний с различными частотами. Преобладание звука, той или иной частоты (скажем, низких звуков или высоких) связанно с амплитудой соответствующих колебаний. Это знакомое нам разложение звуков на чистые тона часто встречается при изучений различных колебательных процессов.


Можно сказать так: простейшие гармонические колебания являются теми кирпичиками, из которых складывается любое колебание. На языке математики это означает, что любую периодическую функцию нужно представить с наперёд заданной точностью как сумму синусов.
Данный факт обнаружил ещё в XVIII веке Д. Бернулли при решении задачи о колебании струны.
На рисунке изображено приближение к периодической функции в виде суммы нескольких гармоник. Разложение произвольного периодического сигнала на гармонике является главным математическим аппаратом радиотехники.
2.1.3. Механические колебания.
Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени.
Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или маятник. Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине (см. рис.) и толкнем ее вниз. Гиря начнет колебаться вниз и вверх. Как показывают расчеты, отклонение гири от положения равновесия выражается
left238760 формулой: s= sinwt.
Здесь v0-скорость, с которой мы толкнули гирю, а
w=,
где m-масса гири, k - жесткость пружины( сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).
Если мы сначала оттянем гирю на s0 см, а потом толкнем ее со скоростью v0, то она будет совершать колебания по более сложному закону: s=Asin(wt+a).
Расчеты показывают, что амплитуда А этого колебания равна
,
а число таково, что tga=.
Из-за слагаемого a это колебание отличается от колебания s=Asinwt.
292989063507677156350
График колебания (2) получается из графика колебания(1) сдвигом влево
на . Число a называют начальной фазой.
2.1.4. Колебания маятника.
-60960104775 Колебания маятника тоже приближенно происходят
по синусоидальному закону. Графическое
изображение этой функции, дающее наглядное
представление о протекании колебательного
процесса во времени удобно рассмотреть с помощью
модели маятника программы « Функции и графики».
Если эти колебания малы, то угол отклонения маятника приближенно выражается формулой:
j=j0sin(t),
где l-длина маятника, а j0-начальный угол отклонения.
Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается. Измеряя период колебания маятника известной длины, можно вычислять ускорение земного тяготения g в различных точках земной поверхности.
2.1.5. Разряд конденсатора.
Не только многие механические колебания происходят по синусоидальному закону. И в электрических цепях возникают синусоидальные колебания. Так в цепи, изображенной в правом верхнем углу модели, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону
q = CU + (q0 – CU) cos ωt,
где С- емкость конденсатора, U –напряжение на источнике тока, L –индуктивность катушки,
  - угловая частота колебаний в цепи.
681990103505
Благодаря модели конденсатора, имеющейся в программе « Функции и графики» можно устанавливать параметры колебательного контура и строить, соответствующие графики g(t)и I(t). На графиках хорошо видно как влияет напряжение на изменение силы тока и заряда конденсатора, при этом видно, что при положительном напряжении заряд также принимает положительные значения. При изменении емкости конденсатора( при изменении индуктивности катушки) и сохранении неизменными остальных параметров меняется период колебаний, т. е. меняется частота колебаний силы тока в цепи и меняется частота заряда конденсатора.
2.1.6. Как соединить две трубы.
Приведенные примеры могут создать впечатление, что синусоиды встречаются только в связи с колебаниями. Однако это не так. Например, синусоиды используются при соединении двух цилиндрических труб под углом друг к другу. Чтобы соединить две трубы таким образом, надо срезать их наискосок.
Если развернуть срезанную наискосок трубу, то она окажется ограниченной сверху синусоидой. В этом можно убедиться, обернув свечку бумагой, срезав ее наискосок и развернув бумагу. Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы, можно сначала обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу.
2.1.7. Теория радуги.
Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.
Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:,
где n1=1, n2≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.
2.1.8. Северное сияние
Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.
Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется, силой Лоренца. 
.
Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.
2.1.9. Задачи по тригонометрии с практическим содержанием.
А) Винтовая линия.
Представим себе, что на боковую поверхность цилиндра с диаметром d наматывается прямоугольный треугольник АВС (см. рис.) с основанием
АС =pd так, что основание это совпадает с окружностью основания цилиндра.
1881505126365
Так как АС =pd, то точка С после того, как весь треугольник будет навернут на боковую поверхность цилиндра, совпадает с точкой А1, точка В займет положение В1 на образующей А1В1 цилиндра, а гипотенуза АВ займет некоторое положение на боковой поверхности цилиндра и примет форму винтовой линии.
Мы получили один виток винтовой линии. Длина катета ВС (h) называется шагом винтовой линии. Угол ВАС (α) называется углом подъема винтовой линии. Найдем зависимость между h, d, и a. Из треугольника АВС имеем h=pdtga ; полученная формула позволяет также определить угол подъема по данным h и d:
tga=.
Б) Определение коэффициента трения.
Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом наклона a. Тело под действием своего собственного веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k.
1805940187325

Решение.
Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcosα.
Сила, которая тянет тело вниз равна:
F=Psina-kPcosa=P(sinα-kcosα).(1)
Если тело движется по наклонной плоскости, то ускорение а=.
С другой стороны, ускорение а===gF ;следовательно, .(2)
Из равенств (1) и (2) следует, что g(sinα-kcosα)=.
Отсюда: k==gtga-.
2.2. ТРИГОНОМЕТРИЯ В ПЛАНИМЕТРИИ.
Основные формулы при решении задач по геометрии с применением тригонометрии:
sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α);
cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);
sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ;
cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.
Для смежных углов:

α
β

sin β = sin α;
cos β = - cos α;
A
tg β = sinβcosβ=-tg α


c
b
aB
C


asinA=bsinB=csinC – теорема синусов;
a2= b2 + c2 – 2bc cos A – теорема косинусов;
Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике:
1)  Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на тангенс противолежащего угла.
2)  Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус прилежащего угла.
3)  Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.
4)  Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на котангенс прилежащего угла.
Задача1: 
На боковых сторонах АВ и СD равнобокой трапеции ABCD взяты точки М и N таким образом, что прямая MN параллельна основаниям трапеции. Известно, что в каждую из образовавшихся малых трапеций MBCN и AMND можно вписать окружность, причем радиусы этих окружностей равны r и R соответственно. Найти основания AD и BC.
Дано: ABCD-трапеция, AB=CD, MєAB, NєCD, MN||AD, в трапеции MBCN и AMND можно вписать окружность с радиусом r и R соответственно.
Найти: AD и BC.
Решение:
Пусть O1 и O2 – центры вписанных в малые трапеции окружностей. Прямая О1К||CD.
В ∆ O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).
Т. к. ∆O2FD прямоугольный, то O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Т. к. AD=2DF=2R*ctg(α/2),
аналогично BC = 2r* tg(α/2).
cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α/2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√(r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), тогда AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), находим ответ.
Ответ: AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).
Задача2: 
В треугольнике ABC известны стороны b, c и угол между медианой и высотой, исходящими из вершины A. Вычислить площадь треугольника ABC.
Дано: ∆ ABC, AD-высота, AE-медиана, DAE=α, AB=c, AC=b.
Найти: S∆ABC.
Решение:
Пусть CE=EB=x, AE=y, AED=γ. По теореме косинусов в ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); а в ∆ACE по теореме косинусов c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Вычитая из 1 равенства 2 получим c²-b²=4xy*cosγ(3).
Т. К. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), тогда разделив 3 равенство на 4 получим: (c²-b²)/S=4*ctgγ, но ctgγ=tgαб, следовательно S∆ABC= (с²-b²)/4*tgα.
Ответ: (с²-b²)/4*tgα.
2.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В ИСКУСТВЕ И АРХИТЕКТУРЕ
Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат.
Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства. Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз.
Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения.
Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 a+ sin 2 a = 1.
Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.
С
А А
С
Н
Н
2.4. ТРИГОНОМЕТРИЯ В МЕДИЦИНЕ И БИОЛОГИИ.
2.4.1. Модель биоритмов.
Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).
2.4.2. Движение рыб в воде.
 Происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
2.4.3. Формула сердца.
В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.  Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах. Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.
2.4.4. Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.
Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории
вновь позабыли.
Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.
Глава 3. Фигуры Лиссажу.3.1. ЭЛЕКТРОННЫЙ ОСЦИЛЛОГРАФ
3.1.1. Обобщенная характеристика электронных осциллографов
Одним из приборов, позволяющих наблюдать тригонометрические зависимости в виде колебаний, является электронный осциллограф.
Электронно-лучевой осциллограф (ЭО) – универсальный измерительный прибор, применяемый для визуального наблюдения на экране формы электрических сигналов и измерения их параметров.
Термин «осциллограф» образован от слов «осциллум» - колебания и «графо» - пишу. С помощью осциллографа можно наблюдать периодические непрерывные и импульсные сигналы, непериодические и случайные сигналы, одиночные импульсы.
Изображение электрического сигнала на экране воспроизводит зависимость напряжения от времени u(t), то есть «форму» сигнала. Основными измеряемыми параметрами являются напряжение, длительность интервалов времени, частота колебаний и их производные.
На базе осциллографа созданы приборы для исследования переходных, частотных и амплитудных характеристик различных электро- и радиотехнических устройств. Широкое распространение электронно-лучевых осциллографов обусловлено возможностью их использования в полосе частот от нуля до десятков гигагерц, при напряжениях сигнала от десятков микровольт до сотен вольт.
Отличаясь техническими характеристиками, схемными и конструктивными решениями осциллографы используют общий принцип получения осциллограмм.
Наибольшее распространение получили универсальные осциллографы. Они позволяют исследовать разнообразные электрические сигналы с длительностью от единиц наносекунд до нескольких секунд в диапазоне от долей милливольт до сотен вольт. Полоса пропускания лучших универсальных осциллографов составляет 300÷400 МГц. Изображение сигнала на экране получают практически одновременно с появлением сигнала на входе, поэтому приборы называют ЭО реального времени. Погрешность измерения параметров является приемлемой для практики 5÷10%.
По числу одновременно наблюдаемых на экране сигналов различают осциллографы
одноканальные,    
многоканальные.
Совмещение на экране изображений нескольких входных сигналов реализуют или использованием специальной многолучевой трубки, или путем периодического переключения осциллографа на разные входы с помощью электронного коммутатора.3.1.2. Особенности конструкции осциллографических ЭЛТ.
Основным узлом осциллографа, выполняющим функцию индикатора, является электронно-лучевая трубка (ЭЛТ). Рассмотрим устройство современной электронно-лучевой осциллографической трубки с электростатическим отклонением луча (рисунок 3.1.1).
\s

Рис. 3.1.1 ЭЛТ с электростатическим отклонением
ЭЛТ представляет стеклянную вакуумированную колбу. Экран трубки изнутри покрыт люминофором - веществом, способным светиться под ударами потока электронов. Чем интенсивней поток электронов, тем ярче свечение той части экрана, куда он попадает.
Электронный луч создается электронной пушкой, размещенной на противоположном от экрана конце трубки. Она состоит из подогревателя (нити накала), катода, модулятора и системы анодов.
При подогреве катода под действием теплового движения с его поверхности вылетают свободные электроны, это явление называется термоэлектронной эмиссией. Электронное облако попадает под воздействие ускоряющего поля, созданного анодами, и устремляется к экрану.
Между катодом и анодами размещается модулятор. Изменяя напряжение на модуляторе можно регулировать плотность потока электронов, летящих к экрану, тем самым регулируется кинетическая энергия электронов, что приводит к изменению яркости свечения люминофора и изображения в целом. Напряжение на модуляторе должно быть отрицательным по отношению к катоду. При некотором напряжении запирания ток электронного луча падает до нуля и пятно на экране трубки исчезает (трубка оказывается запертой).
Распределение потенциала электрические поля, созданного анодами, образует электронные линзы. Благодаря этому пучок электронов довольно большого диаметра (несколько миллиметров), пройдя электронные линзы, фокусируется и принимает форму конуса с острием у экрана трубки. В результате, размеры изображения точки на экране удается довести до долей миллиметра.
Для получения на экране изображения формы сигнала в декартовой системе координат, необходимо обеспечить линейную зависимость между величиной смещающего напряжения и смещением луча по осям «Y» и «Х»:
895350152400 
 где hy и Lx – размер отрезка смещения луча вдоль осей «Y» и «Х» при воздействии соответственно напряжений u(y) и u(x),
Кво – коэффициент вертикального отклонения луча,
Кр – коэффициент развертки.
Кво и Кр должны быть Const.
 
\sИз данных выражений видно, что задав первоначальное напряжение на пластинах «Y» и «X», можно установить необходимое первоначальное положение луча на экране. Данные напряжения Uy и Ux называются напряжения смещения, на лицевой панели ЭЛТ им соответствуют регуляторы  ↔  и  ↕  .

Рис. 3.1.2 Схема управления лучом ЭЛТ
 
В соответствии с ранее сказанным на рисунке 3.1.2 представлена схема управления лучом ЭЛТ. На нить накала обычно подают переменное напряжение, на управляющий электрод (модулятор), постоянное, отрицательной полярности по отношению к катоду. Изменяя напряжение на управляющем электроде (регулятор «Яркость»), можно изменять интенсивность электронного луча от максимальной или рабочей до нулевой.
На аноды подается положительное напряжение, причем на первом аноде (фокусирующем) напряжение значительно меньше, чем на втором (ускоряющем). На отклоняющие пластины подается как постоянное напряжение, позволяющее смещать пучок электронов в любую сторону относительно центра экрана, так и переменное, создающее линию развертки той или иной длины, а также «рисующее» на экране форму исследуемых колебаний.3.1.3 Принцип получения изображения в режиме линейной развертки.
Для наблюдения формы электрического сигнала, то есть построения зависимости u(t) необходимо обеспечить перемещения луча по вертикали пропорционально исследуемому напряжению, движение луча по горизонтали должно быть пропорционально времени.
Соответственно, на пластины «Y» подается напряжение исследуемого сигнала. Ось «Y» градуируется в масштабе напряжения.
На пластины «Х» подается линейно изменяющееся напряжение, под воздействием которого луч будет перемещаться по горизонтали с постоянной скоростью. Поскольку данное напряжение позволяет «развернуть» график во времени, оно называется напряжением развертки. Ось «Х» может быть отградуирована в единицах времени.
Положение луча на экране по вертикали и горизонтали пропорционально величине напряжений в данный момент времени. Графически положение луча в каждый момент можно определить как точку пересечения проекций на плоскость экрана. На рисунке 3.1.3 выделено положение луча в момент «1».

 
 
 
 
 
 
Рис. 3.1.3 Принцип получения изображения на экране ЭЛТ3.1.4. Измерение параметров электрических сигналов электронным осциллографом в режиме линейной развертки. 
Подготовка ЭО к работе.
Для измерения параметров электрических сигналов важен не только процесс измерения, но и правильная подготовка ЭО к работе. Для подготовки ЭО обязательно необходимо выполнить следующее:
заземлить корпус ЭО;
установить переключатели прибора в исходное положение в соответствии с инструкцией, включить питание, прогреть ЭО;
установить автоматический режим работы генератора развертки, выбрать внутреннюю синхронизацию, исходный предел измерения напряжения должен соответствовать Umax;
настроить яркость и толщину луча, добиваясь наилучшей фокусировки;
выполнить калибровку ЭО в соответствии с инструкцией, в универсальных осциллографах для калибровки используется образцовое напряжение с fобр=1кГц и заданной амплитудой;
отключить калибратор, установить исходный предел измерений напряжения и предполагаемый период развертки.
Процесс измерения основных параметров периодических сигналов.
исследуемый сигнал подать на вход «Y», выбрав открытый или закрытый вход, выбрать оптимальный размер изображения по вертикали, ориентировочно 2/3 размера экрана
выбрать оптимальный масштаб времени, измеряемый отрезок времени должен ориентировочно занимать 2/3 размера экрана по горизонтали;
при необходимости отрегулировать уровень синхронизации;
определить размер отрезка, соответствующего измеряемому параметру по вертикали hy, определить размер отрезка, соответствующего измеряемому параметру по горизонтали Lx;
произвести расчет измеряемых параметров;
произвести расчет погрешности измерения и сформул-ть результат.При исследовании импульсных сигналов влияние переходных процессов приводит к искажению фронтов и выброс луча по вертикали. Например, при исследовании импульса идеальной прямоугольной формы на экране будет получено изображение, представленное на рисунке 3.1.4.
 
Рис. 3.1.4
3.1.5. Измерение параметров синусоидальных сигналов в режиме синусоидальной развертки
Метод Лиссажу, основанный на применении внешней синусоидальной развертки, является наиболее распространенным вариантом использования внешней развертки. Метод Лиссажу используется для измерения частоты синусоидальных сигналов.
Рассмотрим принцип получения изображения. Внутренний генератор развертки отключается (включается вход «Х»), на входы «Y» и «Х» подаются синусоидальные сигналы.
Изображение на экране зависит от соотношения частот и фазы поданных синусоидальных сигналов. Данные изображения получили название фигуры Лиссажу.

Рис. 3.1.5. Принцип получения фигуры Лиссажу при Fy=2FxНа графиках показан принцип получения фигуры Лиссажу при соотношении частот 1/2. Аналогично можно построить фигуры для разных соотношений частот и фаз.
При Fy=Fx и разных соотношениях фаз получаются следующие изображения:
0о 45о 90о 135о 180о
Фигура Лиссажу При разных соотношениях частот изображения имеют вид:
Fy=2Fx 2Fy=FxFy=3Fx 3Fy=Fx3Fy=2Fx 2Fy=3Fx
Фигура Лиссажу Соотношение частот можно определить по правилу Лиссажу:
FyNy = FxNx , где
Fy и Fx - значения частот, сигналов на соответствующих входах,
Ny и Nx - количество пересечений фигуры с соответствующими осями.
Для данной фигуры Ny=4, и Nx=2, то есть соотношение частот - 2Fy=Fx.
Порядок измерения.
Внутренний генератор развертки отключается (включается вход «Х»), на входы «Y» и «Х» подаются синусоидальные сигналы. Один из них является измеряемым, второй – сигналом образцовой частоты.
Рисунок 3.1.9 Схема измерения частоты сигнала методом ЛиссажуНа экране первоначально получается изображение прямоугольника. Регулируя величину напряжения, подаваемого на пластины «Y» и «Х», устанавливают оптимальный размер изображения.
Подбирая частоту образцового напряжения, получают простейшие фигуры Лиссажу. Зная соотношение частот и значение образцовой частоты, рассчитывают Fизм.
Если Fy = Fизм; Fx = Fобр. По фигуре Лиссажу определяем Ny и Nx .
FизмNy = FобрNx86677577470
 
1710690313690Так как необходимая частота определяется путем расчета, измерение является косвенным.
Погрешность измерения частоты определяется по методике косвенных измерений:
При выводе формулы частной производной учитываем, что «У» и «Х» в данном случае являются Const.
94424558420
Из формулы видно, что погрешность определения Fизм зависит от погрешности Fобр. Погрешность δFобр% определяется стабильностью и точностью установки частоты на образцовом генераторе, возможностью точно считывать значение установленной частоты. Эти данные указываются в паспорте образцового генератора. В качестве образцового можно использовать генератор, точность установки частоты которого как минимум в 3 раза выше необходимой точности измерения.
3.2. СИНУСОИДАЛЬНАЯ РАЗВЕРТКА.
Синусоидальная развертка применяется для измерения фазового сдвига, частоты, параметров модулированных колебаний и пр. Для ее реализации напряжение, подаваемое на вход Х осциллографа изменяется по синусоидальному закону Ux(t)=Umsinωt. Положительная полуволна напряжения развертки перемещает луч от центра экрана к его правой части и обратно, отрицательная - к левой части и обратно к центру. Скорость перемещения луча изменяется по синусоидальному закону, поэтому, хотя линия развертки и представляет собой горизонтальную линию, эта развертка является нелинейной.
При подаче на пластины Y аналогичного синусоидального напряжения с фазовым сдвигом φ, т.е. Ux(t)=Umsin(ωt+φ), на экране ЭЛТ будет наблюдаться фигура Лиссажу (в данном случае эллипс).
На основе синусоидальной развертки при равенстве амплитуд напряжений, подаваемых на входы Х и Y и фазовом сдвиге φ=90°, будет реализована круговая развертка. Для этой цели используется фазосдвигающая RC-цепочка.
Круговая развертка применяется для измерения фазового сдвига, для сравнения частот (например, при поверке частотомеров) и др. Исследуемый сигнал при этом подается через канал Z на модулятор трубки и воздействует на яркость луча.
Круговая развертка легко может превратиться в спиральную. В круговой развертке радиус окружности осциллограммы зависит от амплитуд UmX, UmY синусоидального напряжения, подаваемых на входы Х и Y осциллографа. Если эти амплитуды будут постепенно уменьшаться по линейному закону, то на экране ЭЛТ появится изображение спирали.

Такие колебания могут быть получены с помощью амплитудного модулятора. Период спиральной развертки Тс определяется периодом пилообразного модулирующего напряжения. Число витков спирали определяется отношением периода Тс к периоду синусоидального напряжения , т.е. .
Следует отметить, что не смотря на изменение радиуса окружности, каждый оборот спирали проходит за одинаковое время, что создает определенные удобства при проведении измерений.
3.3. ПОЛУЧЕНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ ФИГУР ЛИССАЖУ.
3.3.1. Маятник Фуко.
Обычный, хорошо нам знакомый математический маятник не меняет плоскости своих колебаний.
На этом свойстве маятника основана известная демонстрация вращения Земли – опыт Фуко. На длинном тросе подвешен тяжелый шар. Он качается над круглой площадкой с делениями. И когда проходит некоторое время, зрители видят, что маятник качается уже над другими делениями круга. Создается впечатление, что маятник повернулся, стал качаться в другой плоскости. На самом же деле это впечатление ошибочное. Маятник качается в прежней плоскости, никуда он не повернулся, он строго сохраняет плоскость своего качания, ведь никакие посторонние силы не пытаются сдвинуть его в сторону от своей дороги. Почему же все-таки он очутился над другими делениями круга? Потому что повернулся сам круг, повернулся вместе с Землей. Благодаря тому, что плоскость колебаний маятника относительно неподвижных звезд не меняется, а Земля вращается вокруг своей оси, с течением времени маятник проходит последовательно над всеми отметками круга. На полюсе за сутки круг под маятником совершит полный оборот. Впервые такой опыт был проведен французским физиком Л. Фуко в 1851 году под куполом Пантеона в Париже с маятником длиною 67 м.
Проделаем такой опыт. Привяжем к карандашу нитку с грузиком- например, с гайкой. Положим на стол линейку и, держа карандаш горизонтально, подтолкнем маятник, чтобы он качался вдоль линейки. Начнем постепенно поворачивать карандаш в горизонтальной плоскости. Мы убедимся, что поворот карандаша не повлиял на маятник, он будет по- прежнему качаться вдоль линейки. Во время этого опыта не должно быть ветра, сквозняка, которые могли бы оказать влияние на маятник.
3.3.2. Сложение колебаний.
Что произойдет, если на маятник оказать влияние? Колебания можно складывать. Если они направлены в одну сторону, то получаются колебания, размах которых равняется сумме размахов слагаемых колебаний. Если же направления колебаний одинакового размаха противоположны, то колебания вычитаются друг из друга и прекращаются. На специальном приборе ставится опыт со звуком. В результате вычитания одного звукового колебания из другого, точно такого же, звук исчезает и ничего не слышно. А если складывать два взаимно перпендикулярные колебания, сообщив их одному маятнику? Ведь нить подвеса позволяет ему колебаться в любой вертикальной плоскости. Посмотрим, что получится в результате этого сложения. Подвесим маятник в таком месте, чтобы его колебаниям ничто не мешало (например, дверной проем). Отклоним его вправо и, перед тем как опустить, толкнем вперед. Маятник получил сразу два направления движения: ему надо качаться справа налево и одновременно вперед и назад, поскольку мы его так толкнули. Направления колебаний перпендикулярны друг другу, они складываются, и маятник теперь описывает эллипсы и даже окружности.
3.3.3. Странный маятник.
Сделаем другой маятник. Возьмем нитку, сложим ее пополам и к середине привяжем еще одну нитку. К другому концу этой второй нитки прикрепим какой-нибудь груз- и маятник готов. (Вертикальная нить подвеса должна быть достаточно длинной. По крайней мере, не меньше, чем нить наклонного подвеса.) Подвесим маятник за оба конца сложенной пополам нитки на кнопках или гвоздиках (например, в дверной проем). Если теперь отклонить маятник от положения равновесия и затем отпустить, то увидим любопытную картину. Маятник будет двигаться по эллипсу, причем этот эллипс будет постоянно меняться, вытягиваться то в одну, то в другую сторону. Почему это происходит? У маятника с одной точкой подвеса плоскость колебаний ничем не выделена. Каким бы ни было первоначальное отклонение маятника, все силы, действующие на него, лежат в одной плоскости. Нужно только, отпуская маятник, не толкнуть его вбок. Другое дело наш маятник. Здесь точками закрепления и линией отвеса строго фиксирована первоначальная плоскость. Поэтому с самого начала маятник отклонен так, что он не лежит в этой плоскости. Конечно, если отклонить маятник строго перпендикулярно плоскости подвеса, он будет совершать колебания в одной плоскости, перпендикулярной плоскости подвеса. Но практически всегда существуют отклонения от перпендикуляра. Сила натяжения имеет составляющую, перпендикулярную первоначальной плоскости. Благодаря этой составляющей движение маятника выходит из первоначальной плоскости. При этом, поскольку сила натяжения не постоянна, меняется и ее перпендикулярная составляющая.
Далее, отклоняясь в противоположную сторону, маятник натягивает другую из закрепленных нитей. Это приводит к появлению силы, действующей в другом направлении. При этом, как показывает опыт, и возникает движение по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
3.3.4. Наблюдение фигур Лиссажу.
-990603560445Кривые, которые описывает наш маятник, называются фигурами Лиссажу, по имени французского физика Ж. Лиссажу, который в 1863 году впервые описал их. Фигуры Лиссажу получаются при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний. Они могут быть довольно сложными, особенно при близких частотах продольных и поперечных колебаний. Если частоты одинаковы, траекторией движения будет эллипс. Соотношение частот можно варьировать, меняя отношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса. При этом вычислить частоты колебаний маятника довольно сложно, а вот увидеть фигуры, вычерчиваемые им, значительно проще. Вот как это, например, делается. Склеим из картона конус с маленьким (один – два миллиметра) отверстием в его вершине. Подвесим конус за две нитки в дверном проеме вершиной вниз. Зажмем обе нитки зажимом «крокодил» в каком – нибудь месте, скажем, в пяти сантиметрах от конуса. На пол положим кусок бумаги черного цвета. Затем надо отвести маятник немного на себя и вправо и насыпать в воронку конуса просеянного, промытого, просушенного песка. Отпустив маятник, сможем наблюдать получающиеся в результате его колебаний фигуры Лиссажу. Меняя положение зажима ниток, т.е. соотношение длин вертикальной и наклонной нитей подвеса, можно получать разные фигуры.  В опытах с маятником следует учитывать, что более или менее правильная траектория получается только в том случае, когда нет сильных затуханий. Колебания маятника с малой массой груза и достаточно большим объемом будут быстро затухать. Такой маятник качнется несколько раз, быстро уменьшая амплитуду. Естественно, при движении с сильным затуханием увидеть и сфотографировать изменение направления колебаний маятника не удается. 
3.3.5. Математическая модель фигур Лиссажу.
Самые простые колебания тела – это колебания, при которых отклонение x тела от положения равновесия изменяется по закону x=А sin (ω t + φ),
где А- амплитуда, ω - частота, φ - начальная фаза колебаний.
Такие колебания называются гармоническими.
Кривую, которая является графиком функции вида x =А sin(ω t + φ) называют синусоидой.
График этой функции получается из синусоиды x=sin t сдвигом по оси Оt на – φ, растяжением (сжатием) в ω раз по оси Оt и растяжением (сжатием) в А раз по оси Ох. 
Гармонические колебания совершают математический маятник, груз на пружинке, напряжение в электрическом контуре. Еще один пример синусоидальных колебаний- звук (гармонические колебания воздуха).
Однако редко удается услышать чистый звук- звук, соответствующий колебанию x=А sinωt. В большинстве случаев мы слышим ряд других звуков (обертоны), соответствующих колебаниям с меньшей амплитудой. Эти звуки музыкальных инструментов дают основному тону специфическую окраску- тембр.
Сумма двух любых гармонических колебаний с одной и той же частотой (периодом) снова является гармоническим колебанием с той же частотой (периодом): х= А1 sin (ω1 t + φ1)+ А2 sin (ω2 t + φ2)= А3 sin (ω3 t + φ3).
Результатом сложения гармонических колебаний с различными частотами служит более сложное колебание, вообще говоря, отличное от гармонического колебания. 
При сложении колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях получается более сложная траектория, которая описывается системой уравнений:
X x = А1 sin (ω1 t + φ1 ),
X y= А2 sin (ω2 t + φ2 ),
где x и y – проекции смещения тела на осях X и Y.
В этой работе я рассмотрел случай, когда тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Фигуры Лиссажу - замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Фигуры Лиссажу можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая одновременно на вход X и вход Y (горизонтальные и вертикальные отклоняющие пластины) переменные напряжения кратных частот.
Рассмотрим фигуру:
X Х = А1 sin ω1 t ,
Y= А2 cos (ω t + φ).
где φ - угол сдвига фаз колебаний, ω = 2πν- круговая частота колебаний.
Введем новые переменные
,
получаем

Исключая время t, получаем кривую в координатах (x;y).
Из первого уравнения найдем  и подставим во второе: .Возведем обе его части в квадрат, тогда окончательно получаем: , - уравнение эллипса.
В зависимости от значения φ получаем различно ориентированные эллипсы. В частности:
Если φ= φ(t), то фигуры будут двигаться на экране осциллографа.
В случае кратных частот колебаний получаем соответствующие фигуры Лиссажу: , б) при кратности частот  получаем фигуру Лиссажу типа короны с тремя пиками: в) при кратности частот  получаем кардиоиду: 
3.3.6. Геометрия фигур Лиссажу .При плоском движении материальной точки под действием двух взаимно-перпендикулярных квазиупругих сил F1 и F2 траектории точки являются результатом наложения двух взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний. В случае рационального отношения частот этих колебаний траектории замкнуты и называются фигурами Лиссажу .В прямоугольной декартовой системе координат ХOУ, начало которой совпадает с положением равновесия материальной точки, а оси OХ и OУ направлены вдоль линий действия силы F1 и F2 соответственно, уравнения движения точки имеют вид:
m(d2x/dt2) + b1x = 0;
m(d2y/dt2) + b2 y = 0,
где b1 и b2 - коэффициенты квазиупругих сил.
Зависимость координат х и у от времени имеет вид:
x = A1cos(w1t + j1),
y = A2cos(w2t + j2);
где w1=(b1/m)1/2 и w2=(b2/m)1/2 - собственные циклические частоты.
Таким образом, траектория точки заключена внутри прямоугольника, стороны которого параллельны осям ОХ и ОУ соответственно равны2А1 и 2А2, а центр совпадает с точкой О.
Вид фигур Лиссажу зависит от w2/w1, А2/А1 и j2 -j1, причем отношение частот равно отношению числа касаний фигур Лиссажу с горизонтальной и вертикальной сторонами прямоугольника, в который она вписывается(рис.1).
Фигуры Лиссажу для случая A1=A2, w2/w1=2/3 при различных значениях разности начальных фаз

 
Рис. 1
Если w2/w1 = 1 (частоты одинаковы), то фигуры Лисажу имеют форму эллипса - эллиптически поляризованные колебания, частные случаи которых показаны на рис. 2.
Фигуры Лиссажу для частных случаев эллиптически поляризованных колебаний
 

 
Рис. 2
 
Так, при j2-j1=(2k+1)p/2, k = 0, ±1,…, эллипс приведен к осям ОХ, ОУ. Если, кроме того, равны и амплитуды, то ФЛ имеет вид окружности (циркулярно поляризованные колебания).
В случае, когда j2-j1=kp, эллипс вырождается в отрезок прямой. Такие колебания называются линейно поляризованными.
Другие варианты фигур Лиссажу можно посмотреть в приложении.
3.4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.
На виртуальном осциллографе в программе Scope я получил различные фигуры Лиссажу.
Я провел три опыта: 1. «Х» - 2k, амплитуда 0.2
«Y» - 6k, амплитуда 0.6
2. «Х» - 4k, амплитуда 0.5
«Y» - 9k, амплитуда 0.1
3. «Х» - 6k, амплитуда 0.7
«Y» - 2k, амплитуда 0.3
Для получения данных фигур я изменял частоту и амплитуду.
-20320198755
72390156210
7239078740
Фигуры Лиссажу можно наблюдать, например, на экране электронно-лучевого осциллографа, если к двум парам отклоняющих пластин подведены переменные напряжения с равными или кратными периодами. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между периодами и фазами обоих колебаний. Если колебания, которые совершает точка, происходят не по гармоническому, а по более сложному закону, но с одинаковым периодом, то получаются замкнутые траектории, аналогичные фигурам Лиссажу, но искажённой формы. По виду этих фигур можно судить о форме колебаний. Таким образом, наблюдение фигур Лиссажу- удобный метод исследования соотношений между периодами и фазами колебаний, а также и формы колебаний.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Работать над проектом мне было очень интересно и полезно. Я многому научился. А именно: ответственно подходить к порученному делу, планировать свое время, анализировать потоки информации различного уровня сложности и многому другому.
Я выяснил, что математика, являясь фундаментальной наукой, тем не менее, имеет широкое применение, в том числе и в моей будущей профессии. В ходе данного проекта узнал, что фигуры Лиссажу это первая любовь программиста, а так же то, что с помощью метода Лиссажу на производстве можно настроить соотношения выработанных частот и фаз генератора.
Подводя итоги проделанной работы могу с полной уверенностью сказать, что цель, которая была поставлена в начале работы, реализована, по крайней мере, в рамках данного проекта, задачи решены. В начале написания проекта я выдвинул предположение, гипотезу, которую в будущем доказал.
Не смотря на то, что я доволен проделанной работой, не собираюсь останавливаться на достигнутом. В процессе получения образования планирую и в дальнейшем заниматься исследовательской деятельностью в области математического анализа. В частности, применением интеграла при вычислении значения петли гистерезиса, расчета трехфазных токов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
Андронов И.К., ОкуневА.К. Курс тригонометрии. М.: «Просвещение» 2005. – 180с.
Башмаков М.И. Математика:учебник для 11 класса. – М.: Академия, 2012, - 320с.
Винокуров В.И., Каплин С.И., Петелин Н.Г. Электрорадиоизмерения. М.: «Наука» 1986. – 380с.
Ильин В.А., Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия. М.: "Наука", 1988. – 335с.
Кожеуров П.Я. Курс тригонометрии для техникумов. Государственное Издательство Технико-Tеоретической литературы. 2009. – 210с.
Сивухин Д.Р. Общий курс физики. Т.3. М.: Наука, 1983.
Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. М.: Наука, 1998.
Смайт В. Электростатика и электродинамика. «Академия» 2000
Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2-х томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978
Справочник по физике. Яворский Б. М., Детлаф А. А. — М.: Наука, 1981
Шишмарев В.Ю. Измерительная техника – М.: Академия, 2012. – 288 с.
Ультразвук / Под ред. И.П. Голяминой.- М.: Советская Энциклопедия, 1979.- С.400.
Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике.- М.: Наука, 1979.
ПРИЛОЖЕНИЯ.

XVIII КОНКУРС
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ
СТУДЕНТОВ ВЫСШИХ И СРЕДНИХ СПЕЦИАЛЬНЫХ
УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ
«НАУЧНЫЙ ОЛИМП»

Направление конкурса: «Естественные науки»




научно-исследовательская работа


«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ И ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ»









Исполнитель:
Рычкова Анастасия Владимировна
студентка II курса
специальность: «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования», Сухоложского многопрофильного техникума
Научный руководитель: Вдовина Ольга Борисовна
Преподаватель математики СМТ
I квалификационная категория





Сухой Лог 2016г
ВИЗИТНАЯ КАРТОЧКА ПРОЕКТА


Регистрационный номер



Название проекта
«Комплексные числа в математике и электротехнике»

Образовательное учреждение
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Свердловской области
«Сухоложский многопрофильный техникум»

Город/район/село/поселок
г. Сухой Лог, Свердловской обл.

Группа-заявитель
группа № Э-20,
Специальность: «Техническая эксплуатация
и обслуживание электрического и
электромеханического оборудования»

Ф. И. О. руководителя проекта
Вдовина Ольга Борисовна

Домашний /мобильный телефон руководителя проекта
8(963)0354979,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][email protected]@[email protected]@mail.ru

Краткое описание проекта:
Главная идея проекта «Комплексные числа в математике и электротехнике» заключается в установлении интегрированных связей общеобразовательных и специальных дисциплин. Лабораторная работа, представленная в проекте, требует не только теоретической, но и практической подготовки, помогает понять математическую природу электротехнических дисциплин.
Реализация проекта будет способствовать повышению информационной культуры студента, даст возможность понять значимость математики в современном научном пространстве.



Контактная информация об образовательном учреждении

Адрес ОУ
г. Сухой Лог, Свердловская область

телефоны
4-32-10
Факс (+ код города)
8(34373)42791

Электронная почта
[email protected]
Интернет-страница
http:/www.smt.hut/ru


Ф.И.О. директора
Возненко Александр Иванович


РАЗДЕЛ 1 Информация о заявителе.
Рычкова Анастасия Владимировна, 28.08.1996 год рождения, м.ж: Свердловская обл. , Камышловский р-н, д. Куваева.
Тел. 8(912)2260927.

РАЗДЕЛ 2 Визитная карточка группы.
Группа №140448 обучается по специальности «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования». Не смотря на то, что ребята учатся вместе 1,5 года, они ужу стали дружным и крепким коллективом. Студенты вводят свои традиции, проводят совместный досуг вне стен образовательного учреждения. Одной их положительных черт взаимоотношений ребят остается взаимопомощь предметного и психологического характера.
Они интеллектуальны и разносторонне талантливы. Это подтверждает их активное участие в творческих делах техникума. Большинство студентов были задействованы в фестивальном движении, которое проходит ежегодно по всем научным направлениям: техническом, естественнонаучном, гуманитарном.
Несколько человек получили призовые места и похвальные грамоты, что дает им возможность собрать хорошее портфолио к окончанию обучения и окажет положительное влияние при дальнейшем трудоустройстве.

РАЗДЕЛ 3 Описание проекта.
3.1. Номинация конкурса:
лучший проект по математике.
3.2. Актуальность проекта.
Посещая уроки в техникуме, мы, студенты II курса, не перестаем убеждаться, что за годы своего существования наше образовательное учреждение накопило значительный багаж учебного и внеурочного материала, в котором прослеживается интеграция смежных дисциплин из одной в другую. Очень интересно осознавать, насколько близки такие науки как математика, физика, электротехника. Поневоле еще разубеждаешься, что математика поистине царица всех наук. Это удивительно, насколько гармонична и целостна одна из самых «труднодоступных» наук. Чем глубже ты ее изучаешь, тем больше замечаешь красоту ее доказательств.
Для меня значимо не только то, что выбранная тема «Комплексные числа в математике и профессии» поможет мне в получении образования, но и сам факт написания проекта. Ведь все сопутствующие этому событию действия продвинут меня на шаг вперед во всех отношениях: в профессиональном, расширит кругозор, сформирует мою мировоззренческую позицию, психологически поможет самоутвердиться.
Важно также и то, что в работе. Мне помогали одногруппники, консультировали педагоги. Совместная работа способствовала укреплению «студенческого братства».
Думаю, что в последующем я смогу выступать со своим проектом перед младшекурсниками, своим примером показывая насколько актуально в наше время образование и развитие творчества.
Я уверена: если я и дальше буду заниматься творческой деятельностью, то обязательно буду успешна на профессиональном и личностном поприще.
3.3. Цель проекта и основные задачи.
Цель проекта: формирование информационной культуры в профессиональном становлении студента.
Задачи:
изучить различные источники информации и систематизировать материал;
научиться применять информационно- коммуникационные технологий в проектной деятельности;
научиться применять математические знания при расчетах электротехнических величин;
формировать навыки монологовой речи;
повысить самооценку.
3.4. Для кого осуществляется проект.

Группа, для которой осуществляется проект
Количество человек

Студенты II курса очного и заочного отделений по профессии ««Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования»
Около 45 человек



3.5.Какие результаты проекта для студентов-участников проекта и целевой группы вы считаете главными? Как будут оцениваться достижение результатов?

Ожидаемые результаты
Механизмы измерения результатов

Привлечение студентов к проектной деятельности. Установление преемственности между старшими и младшими курсами. Накопление портфолио. Улучшение результатов по предметам.
Выступление на НПК в и на уроках математики перед младшим курсом.
Оценочные показатели по предметам.




3.6. Дальнейшее развитие проекта.
Надеюсь, что мой пример вдохновит студентов нашего техникума на написание своих прикладных проектах по дисциплинам, которые им ближе и интереснее. Думаю, что материалы моей работы могут быть использованы в качестве наглядного примера того, что математика, как никакая другая наука является необходимой при изучении технических дисциплин.

РАЗДЕЛ 4 Календарный план реализации проекта.

Месяц
Что будет сделано?
Для кого?

Кто примет участие в выполнении

Февраль
Выступление перед студентами I курса.

Группа140448 «Тех. эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования»
Автор проекта, преподаватель математики и электротехники.


РАЗДЕЛ 6. Команда проекта.


Ф. И. О.
Класс / Должность
Школа / название организации

Руководитель проекта
Вдовина О.Б.
Преподаватель математики
СМТ

Другие взрослые из ОУ
Шурован Н.А.

Преподаватель электротехники и физики
СМТ

Студенты заявителя

II курс
СМТ


РАЗДЕЛ 7. Гипотеза проекта
Насколько эффективно использование средств и методов математического анализа при проведении расчетов электротехнических величин?

РАЗДЕЛ 8. Объект исследования
Объектом исследования данного проекта является раздел математического анализа – «Комплексные числа».

РАЗДЕЛ 9. Предмет исследования
Применение комплексных чисел в технических дисциплинах, необходимы для получения образования по специальности : «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования».




Содержание
Введение..9

Глава I.Математическая природа комплексного числа
1.1.Из истории комплексного числа...11
1.2.Представление комплексных чисел в алгебраической форме,
действия с комплексными числами....................14
1.3.Геометрическая интерпретация комплексного числа....16
1.4.Представление комплексных чисел в тригонометрической
и показательной форме........18

Глава II.Интеграция комплексных чисел в электротехнические
дисциплины.
2.1.Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов
комплексными числами....22
2.2.Сложение синусоидальных токов....26
2.3.Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях
переменного тока....29

Глава III.Лабораторная работа.
3.1.Расчет трехфазных цепей переменного тока.....32

Заключение..36

Список литературы37

Приложения.....38




Введение.

«Мнимые числа – это прекрасное и
чудесное убежище божественного духа,
почти что амфибия бытия с небытием».
Г. Лейбниц
Когда закончив техникум, мы вступим во взрослую жизнь, нам придется самим решать многие вопросы связанные и с профессиональной деятельностью и жизненные проблемы. Учиться этому необходимо уже сейчас. Самостоятельно добывать знания, уметь выделять главное и второстепенное из первоисточника, работать с различными источниками информации, анализировать, синтезировать, размышлять, выискивать оптимальный вариант, абстрагировать всему этому я училась, работая над данным проектом.
Выбор данной темы был обусловлен: актуальностью в социальнообразовательном пространстве, значимостью в профессиональном становлении, повышением уровня самообразования в сфере информационных технологий.
Мой проект представлен в 3-х главах. В главе первой мы узнаем об интересной истории появления комплексных чисел. Оказывается, математики разных областей видели необходимость введение новых «мнимых» чисел. Постепенно была разработана теория комплексных чисел со своими законами и правилами. Появляются различные записи нововведенных чисел, а также их положение на комплексной плоскости.
Интересно, что не только математики, но и физики поняли важность такого открытия. Например, в программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл. В этом можно убедиться прочитав II главу. Появление мнимых чисел во много раз сократило и упростило работу с электротехническими величинами. В первом параграфе показано представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами. Во втором параграфе говорится о сложение синусоидальных токов аналитическим и геометрическим способом. Далее представлен расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока.
В третьей главе показана лабораторная работа, проведение которой стало возможным благодаря изученному теоретическому материалу.
























Глава I.Математическая природа комплексного числа.
1.1.Из истории комплексного числа.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до громадных чисел. Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне.
Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “ элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин.
Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа.
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Получалось, что путь к корням таких уравнений ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени.
Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом. Итальянский алгебраист Дж.
Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения. Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.
Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” был им введен в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней из любых комплексных чисел, основанная на формуле английского математика А. Муавра (1707). С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу, которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень.
Любопытно, например, что можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.
Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. «Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств» Л. Карно.
1.2.Представление комплексных чисел в алгебраической форме, действия с комплексными числами.

Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X2+1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i. Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i2= –1.
Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел «а» и «в» выражение а+вi можно считать записью комплексного числа в общем виде.
Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду выражения а+вi.

Опр1. Комплексными числами называют выражения вида а+вi, где а и в –
действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i2= –1, и
обозначают буквой Z.
Число а называется действительной частью комплексного числа а+вi, а число в – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа Z=4-7·i равна 4,
а мнимая равна -7. Для комплексного числа Z=-i действительная часть будет равна нулю, а мнимая -1.
Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства.

Опр2. Два комплексных числа а+вi и с+di называются равными тогда и только
тогда, когда a=c и b=d, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.
Опр3. Суммой двух комплексных чисел а + bi и с + di будем называть комплексное число (а + c) + (b + d)i.
Опр4. Произведением двух комплексных чисел а + bi и с + di будем называть комплексное число (ас + bd) + (ad + bc)i.
Пример1:
Найти сумму и произведение комплексных чисел z 1=2-5i , z2= -7+i.
Решение: z 1 + z 2=(2 – 7) + (-5 + 1)i=-5-4i;
z *z 2=(-14 +5) +(2 + 35)i=-9 + 37i.
Опр5. Разностью двух комплексных чисел а + bi и с + di будем называть комплексное число (а - c) + (b - d)i.
Пример2:
Найти разность и комплексных чисел z 1=5+4i , z2= -3+2i.
Решение: z 1 + z 2=(5+3)+(4-2)i =8+2i.
Опр6 Модулем комплексного числа z =а + bi называется число 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Пример3:
Найти модуль комплексных чисел: а) 2-5i, б) -7+i.
Решение: а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел z1 и z2
·0 существует, и притом только одно, число z,такое, что zz2=z1,т.е. уравнение имеет только один корень. Это число z называется частным чисел z1 и z2 и обозначается z1: z2, или 13 EMBED Equation.3 1415,т.е z=z1 и z2 =13 EMBED Equation.3 1415.
Пример4:
Найти частное двух комплексных чисел:
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
1.3.Геометрическая интерпретация комплексного числа

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число а+bi можно рассматривать как пару действительных чисел (а; в). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z=а+bi изображается точкой плоскости с координатами (а; в), и эта точка обозначается той же буквой z.

У ОХ - действительная ось,
bi z =а + bi ОУ – мнимая ось.


0 Х

Пример:
3i у 3+3i
-2+2i 2i
i 1+i
-3 -2 -1 0 1 2 3 х
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа.
Пусть z=а+bi. Тогда, по определению модуля 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Это означает, что 13 EMBED Equation.3 1415 это расстояние от точки О до точки Z, равное R. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415=R называют уравнением окружности с центром в точке О радиуса R.

у z =а + bi
z 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 расстояние от точки О до точки Z.
0 х



























1.4. .Представление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Рассмотрим на комплексной плоскости точку z=a+bi, отличную от нуля. Пусть луч Оz получается в результате поворота положительного луча Оx оси абсцисс на угол в
· радиан. Тогда a=|z| cos
·, b=|z| sin
·.

Тригонометрическая форма комплексного числа
У
z = r(cos
· + i sin
·), где r = 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
bi Z

· Х r =13 EMBED Equation.3 1415
а 13 EMBED Equation.3 1415

Сформулируем правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической.
1. Находят модуль комплексного числа r, для чего используют формулу 13 EMBED Equation.3 1415
2. Для нахождения
· сначала определяют геометрически, в какой четверти находится точка z.
3. Составляют уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и по решению одного из них находят угол
·.
4. Записывают комплексное число z в тригонометрической форме.

Пример1:
Записать в тригонометрической форме комплексное число z = 1 + i.
Решение:
1) Так как a = 1, b = 1, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2) Изобразим число z геометрически (рис. 1). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая в I четверти, и вектор z.
3) Составим соотношения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 т. е.





Рис. 1 Рис. 2

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Этим соотношениям соответствует в I четверти угол 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. (Рис.2)
4) Так как 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, то тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

Пример2:
Записать в тригонометрической форме комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: r=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Точка 13 EMBED Equation.3 1415I расположена в третьей четверти, поэтому угол
· также лежит в третьей четверти. Учитывая это, из равенства tg
·=1 находим:
·=13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.


Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой
13 EMBED Equation.3 1415, (1)


которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория изложена в курсе математического анализа.
Пусть комплексное число Z в тригонометрической форме имеет вид
z = r(cos
·+ i sin
·).
На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим
13 EMBED Equation.3 1415
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример3:
Пусть z=-1+i. Напишите показательную форму числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Решение. Находим модуль и аргумент числа:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Следовательно, показательная форма комплексного числа такова: 13 EMBED Equation.3 1415
        
Пример4:
Комплексное число записано в показательной форме : 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите его алгебраическую форму.
Решение. По формуле Эйлера
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Итак, алгебраическая форма числа: 13 EMBED Equation.3 1415
С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть z=x+iy. Тогда
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Например:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Заменим в формуле Эйлера [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
С учетом свойств тригонометрических функций имеем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сложив последнюю формулу с формулой Эйлера, получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Откуда
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Аналогично, с помощью вычитания, можно получить формулу:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


С помощью формулы для косинуса вычислим, например, cos(5i):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, в комплексной области модуль косинуса может быть и больше 1.
Глава II.Интеграция комплексных чисел в электротехнические дисциплины.
2.1. Представление синусоидальных ЭДС, напряженийи токов комплексными числами.

Переменный ток долгое время не находил практического применения.  Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками.
В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе.

Опр1. Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток
(напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени.

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии.
Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Геометрические операции с векторами можно
заменить алгебраическими операциями с
комплексными числами, что существенно
повышает точность получаемых результатов.
Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:
-показательной    [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
-тригонометрической   [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]   или
-алгебраической     [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - формах.

Например, ЭДС [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], изображенной на рис. 3 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Фазовый угол [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],


Комплексное число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],


Опр2. Параметр 13 EMBED Equation.3 1415, соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а параметр [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - комплексом мгновенного значения.
Опр3. Параметр [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.
Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±a.
Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и оператора поворота [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],


Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], т.е. угол, который образует вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] с положительной полуосью +1:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Тогда мгновенное значение напряжения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Если задано мгновенное значение тока в виде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.
Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами.




































2.2. Сложение синусоидальных токов.

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.      Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
         где с - модуль комплексного числа;               
·- аргумент;                a - вещественная часть комплексного числа;                b - мнимая часть;                j - мнимая единица, j =
·-1.
  







 
Рис.4
С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]             [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
      От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ,      [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
      Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной |c|, расположен в начальный момент времени под углом
· относительно вещественной оси (см. рис.4).
Умножим комплексное число на множитель [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на угол
·.      Множитель [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется поворотным.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
      Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то вектор, умноженный на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] превратится во вращающийся со скоростью
· радиус - вектор.
Опр. Выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется комплексной функцией времени.     Применительно к напряжению, получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- комплексную функцию времени для напряжения.        [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

    Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.
Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.     Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью
·. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.

Пример.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]          [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
    Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]               [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
  Амплитуда результирующего тока [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], начальная фаза - [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
  Мгновенное значение результирующего тока
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- закон Ома;                             [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - первый закон Кирхгофа;                                     [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - второй закон Кирхгофа.  
2.3.Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока.

В любой момент времени сумма мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения (Рис. 5):

Рис. 5

u = uR +uL +ис. (1)

Во всех последовательно включенных элементах цепи изменения силы тока происходят практически одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Поэтому можно считать, что колебания силы тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону:
13 EMBED Equation.3 1415
Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока
13 EMBED Equation.3 1415,

а колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на 13 EMBED Equation.3 1415/2.
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на 13 EMBED Equation.3 1415/2 от колебаний силы тока
13 EMBED Equation.3 1415,
где
13 EMBED Equation.3 1415,

Поэтому уравнение (1) можно записать так:
13 EMBED Equation.3 1415,

где URm, UCm и ULm амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке, а согласно закона Ома:

13 EMBED Equation.3 1415 - комплексное сопротивление.

Таким образом мы видим, что действительное число это активное сопротивление, а мнимое число – реактивное. Общее комплексное сопротивление можно найти сложением комплексных чисел, что значительно проще метода векторных диаграмм особенно для разветвленных цепей. Покажем это на примерах.

Пример1.
Получить формулу, описывающую комплексное сопротивление Z двухполюсника с двумя резисторами и двумя конденсаторами.
(Схему цепи к примеру №1 см. в приложении 1)

Решение:
Искомая величина Z является суммой сопротивлений Z1 и Z2 двух более простых цепей, одна из которых образована последовательным, а другая параллельным включением элементов:
13 EMBED Equation.3 1415
Приводя к общему знаменателя, получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Пример2.
Определить комплексное сопротивление двухполюсника (см. рис.), если известны R1; R2; L; C.
(Схему цепи к примеру №2 см. в приложении 2)

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

Векторным методом задача решается намного сложнее, что показывает векторная диаграмма, приведенная в приложении 3.




Глава III.Лабораторная работа.

3.1.Расчет трехфазных цепей переменного тока.

Инструкция по выполнению работы.

1.Собрать 3-х фазную цепь по предложенной схеме:

(Последовательность сборки смотри в приложении 4)

2.Произвести измерения напряжения, активного и реактивного сопротивлений.

3.Вычислить:
Напряжение и сопротивление в комплексном виде в алгебраической и показательной формах записи.
Проводимость фаз.
Напряжения Смещения нейтрали при наличии нулевого провода.
Напряжение на фазах потребителя.
Токи фазные(равные линейным токам при соед. потреб. звездой)
Мощность фаз.
Мощность всей цепи.

Ход работы.

U=380(B) напряжение,
R1=2(Oм) активное сопротивление,
Х=3(Oм) реактивное сопротивление.

1. Представим напряжение и сопротивление в комплексном виде в алгебраической и показательной формах записи

Ua= 380ej0 = 380 +j 0 (B)
Ub= 380ej-120 = -189 +j -328 (B)
Uc= 380ej120 = -189 +j 329 (B)

Za= 2+j 3 = 3,6 ej 56,3 (Om)
Zb= 2+j 3 = 3,6 ej 56,3 (Om)
Zc= 2+j 3 = 3,6 ej 56,3 (Om)

2. Проводимость фаз:

Ya=1/Za= 1/3,6 ej 56,3 = 0,277 ej -56,309 = 0,154+j -0,1 (Sm)
Yb=1/Zb= 1/3,6 ej 56,3 = 0,277 ej -56,309 = 0,154+j -0,1 (Sm)
Yc=1/Zc= 1/3,6 ej 56,3 = 0,277 ej -56,309 = 0,154+j -0,1 (Sm)

3. Напряжение Смещения нейтрали при отсутствии нулевого провода:

U0=(Ua*Ya+Ub*Yb+Uc*Yc)/(Ya+Yb+Yc)= 0 ej 0 = 0+j 0 (V)

4. Напряжение на фазах потребителя:

Ua` =Ua-U0= 380+j 0 = 380 ej 0 (V)
Ub` =Ub-U0= -189+j -328 = 380 ej -119 (V)
Uc` =Uc-U0= -189+j 329 = 380 ej 120 (V)

5. Токи фазные(равные линейным токам при соед. потреб. звездой):

Ia=Ua*Ya= 105,4 ej -56,2 = 58,5+j -87,6 (A)
Ib=Ub*Yb= 105,4 ej -176,2 = -105,1+j -6,7 (A)
Ic=Uc*Yc= 105,4 ej 63,7 = 46,7+j 94,5 (A)

6. Мощность фаз:

Sa=Ua`*Ia= 40049 ej 56,3 = 22215+j 33323 (V*A)
Sa= 40049 (V*A) Pa= 22215 (Vt) Qa= 33323 (Var)

Sb=Ub`*Ib= 40049 ej 56,3 = 22215+j 33323 (V*A)
Sb= 40049 (V*A) Pb= 22215 (Vt) Qb= 33323 (Var)

Sc=Uc`*Ic= 40049 ej 56,3 = 22215+j 33323 (V*A)
Sc= 40049 (V*A) Pc= 22215 (Vt) Qc= 33323 (Var)

7. Мощность всей цепи:

S=Sa+Sb+Sc= 66646+j 99969 (V*A)
P= 66646 (Vt) Q= 99969 (Var)

Эти же мощности определяем по другим формулам:

P=Pa+Pb+Pc=Ia2*Ra+Ib2*Rb+Ic2*Rc=66646 (Vt)
Q=Qa+Qb+Qc=Ia2*Xa+Ib2*Xb+Ic2*Xc=99969 (Var)

Баланс мощностей сходится, значит, задача решена, верно!






























Заключение.

Почетно и ответственно представлять свой проект. И я надеюсь, что моя работа будет интересна и полезна другим людям. Работа над этим проектом многому научила меня. А именно: преодолевать страх и трудности, ответственно подходить к порученному делу, планировать свое время и многому другому.
Подводя итоги проделанной работе, ответим на вопрос: а все ли удалось? Не попусту ли было потрачено 4 месяца кропотливого труда?
Думаю, что ответ очевиден. Цель, которая была поставлена в начале работы, реализована, по крайней мере, в рамках данного проекта, задачи решены. В начале написания проекта я выдвинула предположение, гипотезу: насколько эффективно использование средств и методов математического анализа при проведении расчетов электротехнических величин? Тот факт, что комплексные числа упростили многие электротехнические расчеты, касающиеся переменного тока, неоспорим. В этом мы смогли убедиться в теоретических выкладках и при проведении лабораторной работы.
Хотелось бы сказать слова благодарности всем тем людям, которые помогали мне в написании данного проекта: своему руководителю, преподавателю математики Ольге Борисовне, преподавателям, которые оказывали параллельное содействие. Не смотря на то, что я довольна проделанной работой, думаю, что мне еще есть к чему стремиться. И, конечно, я не собираюсь останавливаться на достигнутом. Хочу пожелать тем, кто еще только задумывается о проекте, и себе в том числе: трудитесь, творите, создавайте и все у Вас получиться!





Список литературы.

1.Алгебра и начала анализа 9-10 класс. Издание второе, переработанное,1985 /Алимов. Ш.А. Колягин. Ю.М.Сидоров, Ю.В.Шабунин. М.И.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с
3.Выгодский М.Я./Справочник по высшей математике – М.: Наука, 1966.
4.Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
5.Справочник по элементарной математике, механике и физике – Минск: Наука и техника, 1971
6.Физика: Учебное пособие для 11 классов школ и классов с углубленным изучением физики/ А.Т. Глазунов, О.Ф. Кабардин, А.Н. Малинин и др.; Под редакцией А.А. Пинского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.
7.Шебес М.Р./ Задачник по теории линейных электрических цепей: Учебное пособие. 3-е изд., переработанное и дополненное – М.: Высшая школа, 1982.
8.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
9.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
10[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
11.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
12.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].












Приложения.

Приложение 1.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Приложение 2.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Приложение 3.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415


Приложение 4.
















13PAGE 15


13PAGE 143215



Рис.3

Рис.2

L

Z

Схема цепи к примеру №2


C


R2

Z

Схема цепи к примеру №1


C2


C1


R2

R1

R1

+

I2 R2


U

I2

I1R1

X1I1

I1

I2

I

+j

Векторная диаграмма к задаче № 2