Мунициапальное бюджетное общеобразовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа №9
Функция:сложно, просто,интересно.
Выполнили ученики 9а класса Смолин Андрей, Халамцева Анна, Кардаш Мария, Першина Полина.
Руководитель: Зинина Евгения Викторовна.
Ковров 2014-2015 г.г.
Работа представляет исследование свойств функции, возможностей построения графика функции по её свойствам, рассмотрение некоторых задач на построение графиков функций при подготовке к итоговой аттестации.
Содержание:
Введение._____________________________________________________________2
Основная часть.________________________________________________________2-6
Определение;____________________________________________________2
Историко-генетический подход к понятию “функция”;_________________2-3
Свойства функции;_______________________________________________4
Исследование функций элементарными способами;____________________4-5
Функционально - графический метод решения уравнений._______________5
Решение некоторых экзаменационных задач, связанных с построением графиков функций.________________________________________________5
Функция и пословицы._____________________________________________5-6
Заключение.____________________________________________________________6
Список литературы.______________________________________________________6
Приложение.___________________________________________________________7-10Введение.
Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и иногда является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.
Мы проанализировали материал, который изучают в школе по теме функция:
В 6-ом классе вводится понятие координатной плоскости и учат отмечать точки в системе координат. В 7-ом классе изучают линейную функцию и учатся строить её график, функции у= х2 и у= х3 и их графики. В 8-ом классе свойства и график функции у=kx, y= х ,уравнение х2=а: все виды решений и график. В девятом классе мы много работали с квадратичной функцией, изучали ее график и свойства.
Но материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков не редко вызывают затруднение. Основываясь на этом факте, данная тема является необходимой для подробного рассмотрения.
Мы поставили перед собой цель: расширить свои знания о функциях.
Для этого необходимо было решить следующие задачи:
изучить когда возникло понятие функция и с именами каких учёных оно связано;
2) изучить свойства функции для построения графиков;
3) определить, что значит «исследовать функцию»;
4) рассмотреть как с помощью графиков функций можно решать уравнения;
5) рассмотреть и научиться выполнять задания из второй части экзаменационных работ связанных с построением графиков функций;
6)отобразить свойства функции в пословицах.
Основная часть.
Определение.
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Ключевое слово в понятии функции - зависимость. Или - взаимосвязь.
Всяких величин в мире - колоссальное количество. И взаимосвязи между ними могут быть самые разнообразные. Но математика должна уметь работать со всеми... По одинаковым правилам.
2. Историко-генетический подход к понятию “функция”;
Когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам), армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов.
Чтобы решить такие задачи, надо было знать, как зависят объемы геометрических фигур от их размеров, уметь учитывать наклон насыпи. Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций y = 1/x, y = х2, y =х3, y = х2+х3 . Сам термин «функция» впервые появляется в 1692 году у Лейбница, и притом не совсем в современном его понимании. Лейбниц вначале называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). Позже, однако, в переписке с другим ученым содержание термина расширяется и в конце концов становится синонимом «аналитически заданной зависимости». Так и появилось понятие «функция».
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат.
В своей “Геометрии” в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в “флюентой”).
В “Геометрии” Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п. Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во “Введении в анализ бесконечного”): “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века.
Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим. Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
3 Свойства функции.
1)Существует три способа задания функции: формулой, графиком, таблицей.
2)Функции бывают чётными и нечётными. Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. (Приложение 1)
3)Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.(Приложение 2)
4)Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения. Обратная функция может существовать только для обратимой функции.
Например, функция у=х2+2, у≥2 является обратной для функции у=х-2. Графики обратных функций симметричны относительно прямой у=х. (Приложение 3)
5)Функция у = f ( х ) называется ограниченной, если существует такое положительное А , что при всех х
| f ( x )| ≤ А .График ограниченной функции лежит целиком в полосе между прямыми, параллельными
оси ОХ , проведенными на расстояниях А от нее. Пример: у=sinх , у=cosх .Функции ограниченные, так как
-1< у ≤ 1 при всех х .Если не существует такого положительного числа А , что при всех значениях х | f ( х )| ≤ А , то функция f ( х ) называется неограниченной. Пример. Функция у = х ³ неограниченная. ( Приложение 4)
4.Исследование функций элементарными способами.
Исследовать функцию
Найти область определения функции : х2+1≠0 при∀ х, значит х ∈ R
Выяснить четность (нечетность) функции. f(-x)= 1(-x)2+1 = 1x2+1 →f(x)=f(-x),функция чётная, график симметричен относительно оси Оу.
Найти множество значений функции: 0< у≤ 1, значит, функция ограничена снизу прямой у=0
и ограничена сверху прямой у=1
Найти нули функции . 1/(𝑥^2+1) = 0, корней нет, значит, график не пересекается с осью Ох.
Найти промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения
у> 0 при х ∈-∞; +∞.
Найти промежутки возрастания и убывания функции.
Х -2 -1 0 1 2
у 0,2 0,5 1 О,5 0,2
-2< -1; 0,2< 0,5,значит при х<0 функция возрастает;
1< 2; 0,5> 0,2, значит при х≥ 0 функция убывает.
5.Функционально- графический метод решения уравнений.
Чтобы решить уравнение этим методом, надо построить графики функций и найти точки пересечения графиков. Абсциссы точек пересечения-это корни уравнения. ( Приложение 5). Этот метод решения уравнений не точный, так как при построении графиков функций допускаются погрешности, но в некоторых случаях решить уравнение бывает возможно именно таким методом.
6.Решение некоторых экзаменационных задач, связанных с построением графиков функций.
(Приложение 6)
7.Функции и пословицы.
Чтобы наглядно проиллюстрировать характерные свойства функций, можно обратиться к пословицам. Ведь пословицы - это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.
Пословицы: 1) «Чем дальше в лес, тем больше дров»
(Функция монотонно возрастает.)
«Дальше кумы – меньше греха»
(Функция монотонно убывающая.)
«Выше меры конь не скачет.» (Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».)
( Приложение 7.)
Заключение.
В процессе работы с графиками мы:
1. изучили историю возникновения понятия «функция»;
познакомились с неизвестными нам ранее свойствами функции;
научились исследовать функцию;
научились строить графики сложных функций и функций ,содержащих модуль.
Надеемся, что эти знания и умения позволят нам успешно сдать экзамен по математике в 9-ом классе и продолжить учёбу в старших классах.
Список литературы:
1. Баранова, Т., Кочетков, К., Семенов А. Школьный интеллектуальный марафон. Математика // Прил. К газете “Первое сентября”, № 5, 33, 1995., № 35, 1999., № 34, 2004.
2. Виленкин, Н. Я. Функции в природе и технике. Книга для внеклассного чтения IX–X кл. – М.: Просвещение, 1978. – 192 с.: ил.
3. Галицкий, М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов. Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, М. И. Звавич. – М.: Просвещение, 1992. – 271 с.: ил. ISBN 5-09-003875-9.
4.Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с.: ил. ISBN 5-09-00700-х.
5. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7–9 кл. сред. шк. / Сост. И. Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991. – 383 с.: ил. – ISBN 5-09-001287-3.
Приложения.
Приложение 1.
G(x)=|x+3|-|x-3|,функция нечётная График чётной функции.
Приложение 2. Приложение 3.
График линейной функции, График квадратичной функции,
которая является обратимой. которая не является обратимой.
Функция монотонно убывает при х =1, у=1. При х=1, у=1 и хϵ-∞;-2, постоянная при х=-1, у=1.
при х∈-2;2, монотонно
возрастает при х ∈2;+∞.
Приложение 4.
функция у =х2+2, у≥2 является Ограниченные ф-ии.
обратной для функции у=х-2. , -3≤ ≤ 2 Неограниченная функция:
Приложение 5.
Ответ: х = -1 Ответ: х≈ 1,5
3
2)
1)
Приложение 6.
6
5
4
Приложение 7.
«Чем дальше в лес, тем больше дров.» «Дальше кумы – меньше греха».
«Выше меры конь не скачет.»
Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
ФУНКЦИЯ : СЛОЖНО,ПРОСТО,ИНТЕРЕСНО. 6-ой класс. В 7-ом классе изучают линейную функцию и учатся строить её график. Функции у= х2 и у= х3 и их графики. x0123−1−2−3y0149149 x | y=x3 0 | 0³=0 Точка О(0; 0) 1 | 1³=1 Точка А(1; 1) -1 | (-1)³=-1 Точка С(-1; -1) 2 | 2³=8 Точка В(2; 8 ) -2 | (-2)³=-8 Точка D(-2; -8) В 8-ом классе свойства и графикфункции у=𝑘𝑥 Уравнение = a: все виды решений и график.х2 Функцию y= х : график и свойства В девятом классе мы много работали с квадратичной функцией, изучали ее график и свойства. Задачи на построение графиков не редко вызывают затруднение. Основываясь на этом факте, эта тема является необходимой для подробного рассмотрения. Цель: расширить свои знания о функциях.Задачи:изучить когда возникло понятие функция и с именами каких учёных оно связано;2) изучить свойства функции для построения графиков;3) определить, что значит «исследовать функцию»;4) рассмотреть как с помощью графиков функций можно решать уравнения;5) рассмотреть и научиться выполнять задания из второй части экзаменационных работ, связанных с построением графиков функций.6) отобразить свойства функции в пословицах.
Историко-генетический подход к понятию «функция».Возникновение понятия «функция».Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Ключевое слово в понятии функции - зависимость. Или - взаимосвязь. Древняя Греция.Древний ЕгипетДревняя Индия.Возникли первые цивилизации.Понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов. Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. ФункцияЛейбницДекартВиетНьютонФермаЭйлерДирихле1234567 Сам термин «функция» впервые появляется в 1692 году у Лейбница, и притом не совсем в современном его понимании. Лейбниц вначале называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). Готфрид Вильгельм Лейбниц(1646-1716) — немецкий философ, математик,физик, языковед. Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене ДекартРене ДекартФрансуа Виет В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в “флюентой”). Исаак Ньютон Пьер Ферма (1601-1665). Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной. Великий французский математик. Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во “Введении в анализ бесконечного”):1)Историко-генетический подход к понятию «функция».Леона́рд Э́йлер швейцарский, немецкий и российский математик и механик. Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим.Ио́ганн Пе́тер Гу́став Лежён Дирихле́ немецкий математик. Существует три способа задания функции:формулойграфикомТаблицей Y=2x+3S(t)=60tC=2пRY(x)=ln XY=(x+5)/xНАЗАД Способ задания функции графиком1. Зависимость температуры воздуха t от времени суток ТА (16;4) Способ задания функции таблицей. Зависимость атмосферного давления p от высоты h над уровнем моря:h,км00,5123451020p,ммрт.ст 760,0716,0674,0596,1525,7462,2404,8198,140,9 1)G(x)=|x+3|-|x-3|=> Эта функция нечётнаяНечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента.1) х<−𝟑 𝑮𝒙=−𝟔2) -3≤x≤3 G(x) = 2*x3) х > 3 G(x) = 6 График чётной функции. Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции. Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.График линейной функции, которая является обратимой.График квадратичной функции, которая не является обратимой. Обратная функция может существовать только для обратимой функции.Функция y=√x-2 О.Д.З.: х≥ 21) Возведем уравнение в квадрат: y²=x-22) Выразим x через y: x=y²+23) Поменяем x и y местами : у = х2+ 2Построим график функции y=√x-2 и обратной ей у = х2+ 2при у ≥2
Функция у = f ( х ) называется ограниченной, если существует такое положительное А , что при всех х | f ( x )| ≤ А .Пример: у=sinх , у=cosх Функции ограниченные, так как -1< у ≤ 1 при всех х . Ограниченные и неограниченные функции.Ограниченные ф-ии. Если не существует такого положительного числа А , что при всех значениях х | f ( х )| ≤ А , то функция f ( х ) называется неограниченной.Пример. Функция у = х ³ неограниченная. у= -2*х , при х< -4;у=8, при -4≤х≤ 4;у= 2*х, при х> 4Функция ограничена снизу прямой у=8 Функция ограничена снизу прямой у=-3 и ограничена сверху прямой у=2-3≤ ≤ 2 Задание: Исследовать функцию 1) Найти область определения функции. х2+1≠0 при∀ х, значит х ͼ R 2) Выяснить четность (нечетность) функции. f(-x)= 1(−𝑥)2+1 = 1𝑥2+1 →f(x)=f(-x),функция чётная, график симметричен относительно оси оУ. 3) Найти множество значений функции. 0< у≤ 1, значит функция ограничена снизу прямой у=0 и ограничена сверху прямой у=1 4) Найти нули функции .1𝑥2+1 = 0, корней нет, значит график не пересекается с осью оХ 5) Найти промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения. у> 0 при х ͼ−∞; +∞ 6) Найти промежутки возрастания и убывания функции.{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Х-2-1012у0,20,51О,50,2-2< -1; 0,2< 0,5,значит при х<0 функция возрастает;1< 2; 0,5> 0,2, значит при х≥ 0 функция убывает. Функционально- графический метод решения уравнений.1) Решить уравнение . Ответ: х= -1 С помощью графика функции можно отобразить смысл пословицы.Например:«Чем дальше в лес, тем больше дров»Функция монотонно возрастает.Количество дров.Продвижение в лес. «Дальше кумы – меньше греха». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.Мера грехаРасстояние до кумы.КУМА - название крестной матери по отношению к родителям крестника и к крестному отцу. «Выше меры конь не скачет» Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».МераРасстояние В процессе работы с графиками мы изучили историю возникновения понятия «функция»;познакомились с неизвестными нам ранее свойствами функции;3)научились исследовать функцию;4)научились строить графики сложных функций и функций ,содержащих модуль.Надеемся, что эти знания и умения позволят нам успешно сдать экзамен по математике в 9-ом классе и продолжить учёбу в старших классах.
