XX окружная научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
Муниципальный этап
Российская Федерация
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4»
город Мегион
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
(исследовательская работа)
Выполнили:
Васильева Татьяна Алексеевна,
Ученица 11б класса МБОУ «СОШ №4»,
Дагиров Алим Рашидханович,
Ученик 11а класса МБОУ «СОШ №4»,
Кармышаков Муса Булатович,
Ученик 11а класса МБОУ «СОШ №4»,
Руководитель:
Магомедов Иосиф Маграмович,
учитель математики МБОУ «СОШ №4»
Мегион - 2015
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
Васильева Татьяна Алексеевна ,Дагиров Алим Рашидханович, Кармышаков Муса Булатович,
XX окружная научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
город Мегион
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4», 11 класс
Аннотация
Исследовательская работа посвящена одному из наиболее трудных разделов элементарной математики: задачам с параметрами. В настоящее время эта тема стала как никогда актуальной, так как задачи с параметром стали неотъемлемым атрибутом ОГЭ и ЕГЭ.
Цель работы:
исследовать и систематизировать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена, изучить применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Самостоятельно доказать одну из теорем.
Задачи исследовательской работы:
научиться формулировать и обосновывать теоремы о корнях квадратного трехчлена и применять полученные теоремы для решения задач с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен; составить общую схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c.
Методы исследования, используемые в работе:
Изучение и анализ учебной и научной литературы и ресурсов Интернета по данной теме;
Сравнение, обобщение и оптимизация математических фактов;
Анализ и сопоставление полученных в ходе исследования результатов.
Полученные данные, выводы:
В результате исследовательской работы мы изучили и систематизировали теоремы о расположении корней квадратного трехчлена. Самостоятельно доказали первую теорему. Исследовали применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Нами составлена оптимальная и наиболее эффективная схема исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c. Приведены подробные решения квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями. В 2014 году с данной темой исследовательской работы мы участвовали во Всероссийском конкурсе проектов учащихся «СОЗИДАНИЕ и ТВОРЧЕСТВО», организованном МАН «Интеллект будущего» в рамках НАЦИОНАЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ», г. Обнинск и стали лауреатами III степени (ДИПЛОМ 3 степени).
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
Васильева Татьяна Алексеевна, Дагиров Алим Рашидханович, Кармышаков Муса Булатович,
XX окружная научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
город Мегион
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4», 11 класс
План исследований
Объект исследования: квадратные уравнения с параметрами.
Предмет исследования: основные теоремы о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданных точек, применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами.
Гипотеза исследования: изучение теорем о расположении корней квадратного трехчлена развивает математические способности и позволит в дальнейшем овладеть приемами и способами решения более сложных задач с параметрами, тем самым обеспечит качественную подготовку к ОГЭ и ЕГЭ.
Первый этап исследований:
1.Исследование расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек;
2.Изучение и систематизация необходимых и достаточных условий расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек;
Второй этап исследований:
1.Исследование применения теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами.
Третий этап исследований:
1.Составление оптимальной и наиболее эффективной схемы исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c.
Четвертый этап исследований:
1.Анализ решений квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями.
Пятый этап исследований:
1. Выводы и заключение.
Шестой этап:
1.Написание научной статьи.
Седьмой этап:
1.Составление презентации в PowerPoint
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
Васильева Татьяна Алексеевна ,Дагиров Алим Рашидханович, Кармышаков Муса Булатович,
XX окружная научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
город Мегион
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4» 11 класс
Оглавление
Введение
13 QUOTE 14151.Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена
§2.Применение теоремы Виета
13 QUOTE 14153.Примеры решения задач для подготовки к ГИА и ЕГЭ по математике
Выводы и заключение
Список использованной и рекомендованной литературы
Введение
Исследовательская работа посвящена одному из наиболее трудных разделов элементарной математики: задачам с параметрами. В настоящее время эта тема стала как никогда актуальной, так как задачи с параметром стали неотъемлемым атрибутом ОГЭ и ЕГЭ. Решение задач с параметрами носит учебно-исследовательский характер, они играют важную роль в формировании логического мышления, развитии творческих способностей учащихся, в формировании научно-исследовательских умений. Задачи с параметрами представляют собой как бы небольшую модель будущей научной работы учащегося. В задачах с параметрами содержится множество приёмов, необходимых не только для математического развития личности, но и и в любом другом научном исследовании. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой научно-исследовательской работы. На ЕГЭ (часто задания С5) и ОГЭ (задания части 2) по математике и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.
Анализ вариантов ЕГЭ и ОГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении задач с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен рекомендуется работать с тремя типами моделей:
вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается привести примеры решения квадратных уравнений с параметрами с подробными методическими рекомендациями.
13 QUOTE 14151. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена
Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена не входят непосредственно ни в школьную программу по математике, ни в программу для поступающих в вузы, поэтому выпускник или абитуриент, пользуясь ими, вообще говоря, должен уметь их доказывать. В то же время, обоснование теорем о расположении корней квадратного трехчлена строится на элементарных фактах школьной математики. В данном пособии приведены доказательства нескольких теорем.
Введем следующие обозначения: х1, х2 – корни квадратного трехчлена f(x), х1
· х2, D – дискриминант f(x), xb – абсцисса вершины параболы, являющейся графиком f(x). Решение большинства задач с параметром, в которых необходимо провести исследование квадратного трехчлена, сводится к определению необходимых и достаточных условий реализации одного или нескольких из следующих случаев:
Теорема 1.Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c (a
· 0) были больше некоторого числа n, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
13 EMBED Equation.3 1415
Геометрическая интерпретация. Для того чтобы парабола (см. рис. 1, 2) – график функции f(x) = ax2 + bx + c – пересекала ось ОХ в точках (х1; 0) и (х2; 0), лежащих правее точки (n; 0), необходимо и достаточно выполнения трех условий:
вершина параболы – либо лежит в нижней полуплоскости, либо в верхней полуплоскости, либо на оси ОХ ( условие D
·0);
ось симметрии параболы – прямая хb = - 13 QUOTE 1415 - лежит правее прямой х = n ( условие xb>n );
парабола пересекается с прямой х = n в точке, лежащей в верхней полуплоскости при a>0 и в точке, лежащей в нижней полуплоскости при а<0 ( условие a
·f(n) >0).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 113 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2
Доказательство теоремы 1.
Достаточность. Так как D
· 0,то по теореме о дискриминанте, получим, что квадратный трехчлен имеет два корня х1 и х2; пусть х1
·х2. Так как вершина параболы расположена между корнями трехчлена, т.е.х1
·хв
·х2, и, по условию, n < хв, то n < хв
·х1. Воспользуемся теоремой о разложении квадратного трехчлена на множители и запишем значение трехчлена в точке n , учтем при этом условие f(n) > 0 и уже доказанное неравенство х2 > n:
f(n) = a
·(n – x1)
·(n – x2).
Сравнение знаков левой и правой частей этого неравенства приводит нас к выводу, что выполнено неравенство n – х1<0, т.е. х1>n.
Необходимость. Так как трехчлен имеет два корня, то по теореме о дискриминанте, D
·0. Так как х1> n и х2> n, то х1+х2 > 2n, поэтому
хв = 13 QUOTE 1415 > 13 QUOTE 1415 = n.
По теореме о разложении на линейные множители, с учетом известных по условию знаков, получим запись f(n) = a
·(n – x1)
·(n – x2), из которой следует, что f(n) > 0. Тем самым теорема доказана полностью.
Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(х) были меньше некоторого числа m, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 Рис. 3 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 413 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 3.Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) принадлежали заданному промежутку (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 613 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 4. Только меньший корень квадратного трехчлена f(x) принадлежит заданному промежутку (n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 713 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 5. Только больший корень квадратного трехчлена f(x) принадлежит заданному промежутку (n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 813 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 6. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) лежат вне заданного промежутка (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 9 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 7.Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена f(x) был больше заданного числа n, а другой меньше, необходимо и достаточно выполнение условия (или для того чтобы некоторое число n лежало между корнями квадратного трехчлена, необходимо и достаточно выполнение условия):
13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 1013 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 8. Квадратный трехчлен f(x) имеет один корень внутри интервала (n;m), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда выполняется условие f(n)
·f(m)<0.
Теорема 9. Квадратный трехчлен f(x) имеет два корня, расположенные по одному на каждом из двух непересекающихся интервалов (d1; d2) и (d3; d4) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: 13 QUOTE 1415
Теорема 10.Квадратные уравнения х2 + p1x + q1 = 0 и x2 + p2x + q2 = 0,
дискриминанты которых неотрицательны, имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).
Доказательство.
Пусть f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2 и числа х1, х2 являются корнями уравнения f1(x) = 0. Для того чтобы уравнения f1(x) = 0 и f2(x) = 0 имели по крайней мере один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы f1(x)
·f2(x) = 0, т. е. чтобы (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0. Представим последнее равенство в виде
(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.
Поскольку х12 + p1x1 + q1 = 0 и x22 + p1x2 + q1 = 0, отсюда получаем
((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, т. е.
(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.
По теореме Виета x1 +x2 = -p1 и x1x2 =q1; следовательно,
(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, или
(q2 – q1)2 = (p2 - p1)( (q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =
(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), что и требовалось доказать.
13 QUOTE 14152. Применение теоремы Виета
Некоторые задачи на исследование квадратного трехчлена решаются с помощью теоремы Виета: если х1, х2 – корни квадратного уравнения
aх2 + bх + c = 0, a
·0, то 13 QUOTE 1415
Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0
имеет два действительных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415;
имеет два действительных отрицательных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415;
имеет два действительных корня разных знаков тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415;
4) имеет два действительных корня одного знака, если
13 EMBED Equation.3 1415
Замечание 1. Если коэффициент при х2 содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.
Замечание 2. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то вначале удобней найти явные выражения для его корней.
Замечание 3. Если уравнение, содержащее несколько неизвестных, является квадратным относительно одной из них, то часто ключом к решению задачи служит исследование его дискриминанта.
Приведем схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c:
1.Исследование случая а = о (если первый коэффициент зависит от параметров).
2.Нахождение дискриминанта D в случае а
·0.
3.Если D - полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение условиям задачи.
4.Если 13 QUOTE 1415 не извлекается, то графический анализ задачи (геометрическая модель).
5.Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы, для чего учитываются: знак коэффициента при х, значение и знак дискриминанта, значения и знаки квадратичной функции в изучаемых точках, расположение вершины параболы относительно изучаемых точек (аналитическая модель).
6.Объединение получаемых неравенств и составление системы или систем неравенств,
7.Решение полученных систем.
13 QUOTE 14153. Примеры решения задач для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике
Пример 1.Решите уравнение (a - 2)x2 – 2ax + 2a – 3 = 0.
Решение. Рассмотрим два случая: а = 2 и а
· 2. в первом случае исходное уравнение принимает вид - 4х + 1 = 0. Это линейное уравнение с единственным корнем 13 EMBED Equation.3 1415. Во втором случае (а – 2
· 0) получим квадратное уравнение с дискриминантом D = (2a)2 – 4(a - 2)
·(2a - 3) = - 4(a – 1)
·(a - 6). Найдем промежутки знакопостоянства дискриминанта (рис.11):
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 11
При а = 1 или а = 6 дискриминант равен нулю и квадратное уравнение имеет один корень: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. при а = 1 получаем корень 13 EMBED Equation.3 1415, а при а = 6 – корень 13 EMBED Equation.3 1415.
При 1 < a < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: 13 EMBED Equation.3 1415.
При а < 1 или а > 6 дискриминант оказывается отрицательным, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415уравнение не имеет корней; при а = 1 уравнение имеет один корень х = -1; при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет два корня 13 EMBED Equation.3 1415; при а = 2 уравнение имеет единственный корень 13 EMBED Equation.3 1415; при а = 6 уравнение имеет единственный корень 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2.При каком значении параметра а уравнение (а - 2)х2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственный корень?
Решение. Если а = 2, то уравнение превращается в линейное (4 - 4)
·х + 3 = 0; которое не имеет корней.
Если а
· 2, то уравнение – квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте D.
13 EMBED Equation.3 1415.
D = 0 при а1 = 2 и a2 = 5. Значение а = 2 исключается, так как противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.
Ответ: а = 5.
4.При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а - 1)х2 + (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет корни одного знака?
Решение. Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит, а
· 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицателность дискриминанта
D = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х1
·х2 > 0, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.Решением последнего неравенства является 13 EMBED Equation.3 1415.С учетом условий D
· 0 и а
· 1 получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня.
Решение. Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1
·х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе
И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе
Решением которой , а следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка [4; +
·).
Пример 4.При каких значениях параметра а уравнение (а - 2)х2 - 2(а + 3)х + 4а = 0
имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?
Решение. По теореме 6, для того чтобы оба корня данного квадратного трехчлена лежали вне заданного промежутка, необходимо и достаточно выполнение условий 13 QUOTE 1415 Получим систему неравенств:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 5.При каких значениях а уравнение (а - 1)
·х2 = (а + 1)
·х – а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 < x < 3?
Решение. Первый способ. Введем следующие обозначения:
f(x) = (a - 1)x2 – (a + 1)x + a;
D = (a + 1)2 – 4a(a + 1) = -3a2 + 6a + 1;
f(0) = 0, f(3) = 9(a - 1) – 3(a + 1) + a = 7a – 12.
Рассмотрим все возможные геометрические и соответствующие им аналитические модели, удовлетворяющие задаче. Получится шесть случаев:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.12) 2. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.13) 3. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.14)
4. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.15) 5. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.16) 6. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.17)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.12 Рис.13 Рис.14
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.15 Рис.16 Рис.17
Если первый случай объединить со вторым, то получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Третий случай, объединяя с четвертым, получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Решим систему (1):
13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично решив систему (2), получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Если а = 1, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим пятый случай:
13 EMBED Equation.3 1415.
Результат решения системы для шестого случая:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Второй способ. Если второй случай объединить с четвертым, т.е. рассмотреть случай, когда только меньший корень принадлежит заданному промежутку (0; 3), то получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Аналогично, если только больший корень f(x) принадлежит заданному промежутку (0; 3), то получим:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Имеем
13 EMBED Equation.3 1415.
Решим систему (4):
13 EMBED Equation.3 1415.
Пятый и шестой случаи, а также особый случай а = 1 рассматриваем как при первом способе решения.
Пример 6. При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а – 1)х2 – 2ах + 3а – 1 = 0 имеет два корня, расположенные по одному на каждом из интервалов (0; 1) и (2; 4)?
Решение. Согласно теореме 9, квадратный трехчлен f(x) = (a-1)x2 – 2ax + 3a – 1 имеет два корня, расположенные по одному на каждом из промежутков (0; 1) и (2; 4), если выполняются условия
13 QUOTE 1415 то есть 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 < а < 1;
Ответ: а13 QUOTE 1415; 1).
Пример 7.Найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения х2 – (2а + 1)х +а2 + а – 2 = 0 находится между числами 0 и 2, а второй находится между числами 3 и 5.
Решение. В данном примере случай, когда дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, поэтому вначале удобнее найти явные выражения для его корней. Имеем х1 = а – 1, х2 = а + 2. Очевидно, что х2>х1. Искомые значения параметра а удобнее найти, решив систему неравенств:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 у
Рис.18 0 х1 2 3 х2 5 х
Ответ: (1;3)
Пример 8.При каких значениях параметра а один корень уравнения ах4 – (а - 3)х2 + 3а = 0 меньше –2, три остальных больше –1?
Решение. Пусть х2 = t. Исходя из требований, предъявляемых к корням исходного уравнения, достаточно решить следующую задачу: при каких значениях а один корень уравнения at2 – (a - 3)t + 3a = 0 больше 4, другой меньше 1, но не меньше 0? Очевидно а ( 0, D > 0. Представим уравнение в виде:
13 EMBED Equation.3 1415.
Его корни будут удовлетворять указанным выше условиям, если f(1) < 0, f(4) < 0 и f(0) > 0. Поскольку f(0) = 3, то достаточно решить систему
13 EMBED Equation.3 1415
Решением уравнения является 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 9.Найдите все значения параметра а, при которых все корни уравнения
(2 - а)х2 – 3ах + 2а = 0 больше 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Введем обозначения f(x) = (2 - a)x2 – 3ax + 2a, 13 EMBED Equation.3 1415;
D = 9a2 - 4(2a(2 - a) = a((17a - 16).
Если а = 2, то 13 EMBED Equation.3 1415. для случая а
· 2, чтобы сформулировать нужные условия, представим себе график трехчлена f(x), оба корня которого больше 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.19 Рис.20
13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.19) 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.20)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.21 Рис.22
13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.21) 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.22)
Объединяя эти условия, получим систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 10.При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения
x2 + x + (k - 1)(k + 7) = 0?
Решение. Введем обозначение f(x) = x2 + x + (k - 1)(k + 7). Учитывая, что старший коэффициент квадратного трехчлена f(x) положителен, можно сделать вывод, что число 3 находится между корнями уравнения f(x) = 0 тогда и только тогда, когда f(3) < 0. Решим неравенство f(3) < 0.
32 + 3 + (k - 1)(k + 7) < 0,
k2 + 6k + 5 < 0,
(k + 1)(k + 5) < 0,
-5 < k < -1.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 11.Найдите значения параметров k и а, при которых прямая y = k(x - a) касается параболы y = ax2 и ордината точки касания равна 4.
Решение. Касание прямой и параболы означает, что они имеют лишь одну общую точку (для графиков других функций, отличных от квадратичной, это может быть и не так). Т.е. нужно определить, при каких значениях параметров k и а уравнение ax2 = k(x - a) имеет единственный корень.
ах2 – kx + ka = 0, D = k2 – 4ka2, квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда D = 0, т.е. k(k – 4a2) = 0. В случае k = 0 прямой, данной в условии, является прямая у = 0, ордината точки касания никак не может быть равна 4, т.е. k
· 0. Тогда из уравнения k(k – 4a2) = 0, получаем, что k = 4a2. Пусть (х0; у0) – точка касания. Абсцисса х0 точки касания является корнем уравнения ax2 – kx + ka = 0, и так как D = 0, то 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляя х0 в уравнение прямой, получаем ординату точки касания, y0 = k(x0 - a) = 4a2(2a - a) = 4a3. По условию у0 = 4, 4а3 = 4, а = 1, k = 4а2 = 4.
Ответ: k = 4, a = 1.
Пример 12.Найти все значения параметра а, для которых квадратные уравнения
(1 – 2а)х2 – 6ах – 1 = 0 и ах2 – х + 1 = 0 имеют по крайней мере один общий корень.
Решение. Воспользуемся теоремой 10, в котором указаны необходимое и достаточное условие существования по крайней мере одного общего корня двух уравнений. При а
·0 и 1 – 2а
· 0должно быть выполнено соотношение
13 QUOTE 14152 = 13 QUOTE 1415,
Которое после преобразования принимает вид (1- а)2 = - (6а2 + 2а – 1)( 6а + 1). Следовательно, а должно являться решением уравнения а( 36а2 + 19а – 6) = 0.
По условию а
·0. Поэтому из равенства 36а2+ 19а – 6 = 0 находим а: а1 = 13 QUOTE 1415 и а2 = 13 QUOTE 1415. Поскольку при а = 13 QUOTE 1415 дискриминант уравнения 13 QUOTE 1415х2 – х + 1 = 0 отрицательный, а при а = 13 QUOTE 1415 дискриминанты исходных уравнений положительные, то ответом является только а = 13 QUOTE 1415.
Пример 13.При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения
(а – 1)х2 + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0 принадлежат промежутку ( - 5; 3)?
Решение. По условию задачи а
·1.Обозначим f(x) = (а – 1)х2 + 2(2а + 1) + 4а+3, f(-5) = 9а – 32, f(3) = 25а, D = 20а + 16, хb = 13 QUOTE 1415 = - 13 QUOTE 1415; согласно теореме 3 оба корня данного квадратного уравнения принадлежат промежутку ( - 5; 3), если одновременно выполняются условия:
- 5 < х1
·х2 <313 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Решим систему13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: а[ - 13 QUOTE 1415; 0) ( 313 QUOTE 1415; +
·).
Выводы и заключение
В результате исследовательской работы по выбранной теме мы решили поставленные задачи: изучили и систематизировали теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек). Исследовали применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Нами составлена оптимальная и наиболее эффективная схема исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c. Приведены подробные решения квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями.
Анализ вариантов ЕГЭ и ОГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. Мы пришли к выводу, что при решении задач с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен. рекомендуется работать с тремя типами моделей:
вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, составленная на основе теорем о расположении корней квадратного трехчлена и теоремы Виета, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Решение поставленных задач убедило нас о правильности выдвинутой в начале работы гипотезы, что изучение теорем о расположении корней квадратного трехчлена развивает математические способности и позволит в дальнейшем овладеть приемами и способами решения более сложных задач с параметрами, тем самым обеспечит качественную подготовку к ОГЭ и ЕГЭ. Решение квадратных уравнений с параметрами открывает перед нами значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
Мы убедились в том, что огромную роль играют задачи с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен в формировании логического мышления, математической культуры, развития исследовательских навыков. В процессе работы над данным проектом у нас повысился интерес к предмету, ориентация на подготовку продолжения образования по избранному предмету. Поэтому, владея методами решения задач с параметрами можно успешно справиться и с другими задачами. Наша творческая и исследовательская работа по данной теме помогла нам в подготовке к ОГЭ, мы научились решать задания с параметрами, входящие в КИМы ОГЭ (задание №23) и ЕГЭ (задание С5). В 2014 году мы участвовали во Всероссийском конкурсе проектов учащихся «СОЗИДАНИЕ и ТВОРЧЕСТВО», организованном МАН «Интеллект будущего» в рамках НАЦИОНАЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ», г. Обнинск, и стали лауреатами III степени (ДИПЛОМ 3 степени). Президиум Малой академии наук «Интеллект будущего» наградил научного руководителя и коллектив МБОУ «СОШ №4» за достигнутые результаты во Всероссийском конкурсе проектных работ «СОЗИДАНИЕ и ТВОРЧЕСТВО» в 2014 году БЛАГОДАРСТВЕННЫМИ ПИСЬМАМИ.
Список использованной и рекомендуемой литературы
1.Вавилов, В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра/В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. – 432 с.
2.Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства./ В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. – 240 с.
3.Горштейн П.И., Полонский В.Б.,Якир М.С. Задачи с параметрами/П.И. Горштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир// М.:«Илекса», Харьков.:«Гимназия», 2002. – 336 с.
4.Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы./ Г.В.Дорофеев., М.К.Потапов., Н.Х.Розов//Москва. «Наука», 1976.
5.Жаржевский А.Я., Фельдман Я.С. Решение задач с параметрами/ А.Я. Жаржевский, Я.С. Фельдман// Санкт-Петербург. «Агентство ИГРЕК», 1996.
6.Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа 8-11. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики/ Л.И. Звавич , Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина//«Дрофа», Москва, 2001.
7.Козко А.И., Чирский В.Г.. Задачи с параметрами и другие сложные задачи/ А.И. Козко, В.Г. Чирский// М.: МЦНОМО, 2007, - 296 стр.
8.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике 7-9 классы/ И.Л. Никольская// Москва, «Просвещение»,1991. – 383с.
9.Прокофьев А.А. Задачи с параметрами/ А.А. Прокофьев// М.:МИЭТ,2004, - 258С.
10.Рязановский А.Р. 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы/ А.Р. Рязановский//Москва, «Дрофа», 2001. – 480 с.
11.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы/ О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев// Москва, .«АСТ – Пресс. Школа» 2002.
12.Шабунин М.И. Математика для поступающих в ВУЗы/ М.И. Шабунин// Москва, .«Аквариум», 1997. – 272 с.
13.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. 10 класс/ И.Ф. Шарыгин// Москва. «Просвещение»,1989. – 252с.
14.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.. Факультативный курс по математике. 11 класс/ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев// Москва. «Просвещение», 1991. – 384с.
15.Шарыгин И.Ф. Сборник задач по математике с решениями/ И.Ф. Шарыгин//Москва, «Астрель», 2001. – 400 с.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 142115
xb
0
f(n)
n
x2
x1
n
x1
x2
xb
f(n)
0
n
f(n)
x1 = x2
0
x1 = x2
n
f(n)
xb
0
f(m)
m
x2
x1
m
x1
x2
xb
f(m)
0
m
f(m)
x1 = x2
0
x1 = x2
m
f(m)
m
xb
f(m)
0
f(n)
n
xb
0
f(m)
m
x2
x1
n
f(n)
0
x1 = x2
m
f(m)
n
f(n)
0
m
f(m)
x1 = x2
n
f(n)
0
f(m)
m
x2
x1
n
f(n)
m
f(m)
0
f(n)
n
x2
x1
0
n
f(n)
x1
x2
m
f(m)
n
f(n)
0
f(m)
m
x2
x1
0
n
f(n)
x1
x2
m
f(m)
n
f(n)
0
f(m)
m
x2
x1
0
x2
x1
n
f(n)
n
f(n)
0
x2
x1
1
6
а
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
0
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Муниципальный этап
Российская Федерация
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4»
город Мегион
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
(исследовательская работа)
Выполнили:
Васильева Татьяна Алексеевна,
Ученица 11б класса МБОУ «СОШ №4»,
Дагиров Алим Рашидханович,
Ученик 11а класса МБОУ «СОШ №4»,
Кармышаков Муса Булатович,
Ученик 11а класса МБОУ «СОШ №4»,
Руководитель:
Магомедов Иосиф Маграмович,
учитель математики МБОУ «СОШ №4»
Мегион - 2015
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
Васильева Татьяна Алексеевна ,Дагиров Алим Рашидханович, Кармышаков Муса Булатович,
XX окружная научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
город Мегион
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4», 11 класс
Аннотация
Исследовательская работа посвящена одному из наиболее трудных разделов элементарной математики: задачам с параметрами. В настоящее время эта тема стала как никогда актуальной, так как задачи с параметром стали неотъемлемым атрибутом ОГЭ и ЕГЭ.
Цель работы:
исследовать и систематизировать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена, изучить применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Самостоятельно доказать одну из теорем.
Задачи исследовательской работы:
научиться формулировать и обосновывать теоремы о корнях квадратного трехчлена и применять полученные теоремы для решения задач с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен; составить общую схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c.
Методы исследования, используемые в работе:
Изучение и анализ учебной и научной литературы и ресурсов Интернета по данной теме;
Сравнение, обобщение и оптимизация математических фактов;
Анализ и сопоставление полученных в ходе исследования результатов.
Полученные данные, выводы:
В результате исследовательской работы мы изучили и систематизировали теоремы о расположении корней квадратного трехчлена. Самостоятельно доказали первую теорему. Исследовали применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Нами составлена оптимальная и наиболее эффективная схема исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c. Приведены подробные решения квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями. В 2014 году с данной темой исследовательской работы мы участвовали во Всероссийском конкурсе проектов учащихся «СОЗИДАНИЕ и ТВОРЧЕСТВО», организованном МАН «Интеллект будущего» в рамках НАЦИОНАЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ», г. Обнинск и стали лауреатами III степени (ДИПЛОМ 3 степени).
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
Васильева Татьяна Алексеевна, Дагиров Алим Рашидханович, Кармышаков Муса Булатович,
XX окружная научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
город Мегион
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4», 11 класс
План исследований
Объект исследования: квадратные уравнения с параметрами.
Предмет исследования: основные теоремы о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданных точек, применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами.
Гипотеза исследования: изучение теорем о расположении корней квадратного трехчлена развивает математические способности и позволит в дальнейшем овладеть приемами и способами решения более сложных задач с параметрами, тем самым обеспечит качественную подготовку к ОГЭ и ЕГЭ.
Первый этап исследований:
1.Исследование расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек;
2.Изучение и систематизация необходимых и достаточных условий расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек;
Второй этап исследований:
1.Исследование применения теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами.
Третий этап исследований:
1.Составление оптимальной и наиболее эффективной схемы исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c.
Четвертый этап исследований:
1.Анализ решений квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями.
Пятый этап исследований:
1. Выводы и заключение.
Шестой этап:
1.Написание научной статьи.
Седьмой этап:
1.Составление презентации в PowerPoint
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
Васильева Татьяна Алексеевна ,Дагиров Алим Рашидханович, Кармышаков Муса Булатович,
XX окружная научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
Ханты-Мансийский автономный округ – Югра
город Мегион
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4» 11 класс
Оглавление
Введение
13 QUOTE 14151.Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена
§2.Применение теоремы Виета
13 QUOTE 14153.Примеры решения задач для подготовки к ГИА и ЕГЭ по математике
Выводы и заключение
Список использованной и рекомендованной литературы
Введение
Исследовательская работа посвящена одному из наиболее трудных разделов элементарной математики: задачам с параметрами. В настоящее время эта тема стала как никогда актуальной, так как задачи с параметром стали неотъемлемым атрибутом ОГЭ и ЕГЭ. Решение задач с параметрами носит учебно-исследовательский характер, они играют важную роль в формировании логического мышления, развитии творческих способностей учащихся, в формировании научно-исследовательских умений. Задачи с параметрами представляют собой как бы небольшую модель будущей научной работы учащегося. В задачах с параметрами содержится множество приёмов, необходимых не только для математического развития личности, но и и в любом другом научном исследовании. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой научно-исследовательской работы. На ЕГЭ (часто задания С5) и ОГЭ (задания части 2) по математике и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.
Анализ вариантов ЕГЭ и ОГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении задач с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен рекомендуется работать с тремя типами моделей:
вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается привести примеры решения квадратных уравнений с параметрами с подробными методическими рекомендациями.
13 QUOTE 14151. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена
Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена не входят непосредственно ни в школьную программу по математике, ни в программу для поступающих в вузы, поэтому выпускник или абитуриент, пользуясь ими, вообще говоря, должен уметь их доказывать. В то же время, обоснование теорем о расположении корней квадратного трехчлена строится на элементарных фактах школьной математики. В данном пособии приведены доказательства нескольких теорем.
Введем следующие обозначения: х1, х2 – корни квадратного трехчлена f(x), х1
· х2, D – дискриминант f(x), xb – абсцисса вершины параболы, являющейся графиком f(x). Решение большинства задач с параметром, в которых необходимо провести исследование квадратного трехчлена, сводится к определению необходимых и достаточных условий реализации одного или нескольких из следующих случаев:
Теорема 1.Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c (a
· 0) были больше некоторого числа n, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
13 EMBED Equation.3 1415
Геометрическая интерпретация. Для того чтобы парабола (см. рис. 1, 2) – график функции f(x) = ax2 + bx + c – пересекала ось ОХ в точках (х1; 0) и (х2; 0), лежащих правее точки (n; 0), необходимо и достаточно выполнения трех условий:
вершина параболы – либо лежит в нижней полуплоскости, либо в верхней полуплоскости, либо на оси ОХ ( условие D
·0);
ось симметрии параболы – прямая хb = - 13 QUOTE 1415 - лежит правее прямой х = n ( условие xb>n );
парабола пересекается с прямой х = n в точке, лежащей в верхней полуплоскости при a>0 и в точке, лежащей в нижней полуплоскости при а<0 ( условие a
·f(n) >0).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 113 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2
Доказательство теоремы 1.
Достаточность. Так как D
· 0,то по теореме о дискриминанте, получим, что квадратный трехчлен имеет два корня х1 и х2; пусть х1
·х2. Так как вершина параболы расположена между корнями трехчлена, т.е.х1
·хв
·х2, и, по условию, n < хв, то n < хв
·х1. Воспользуемся теоремой о разложении квадратного трехчлена на множители и запишем значение трехчлена в точке n , учтем при этом условие f(n) > 0 и уже доказанное неравенство х2 > n:
f(n) = a
·(n – x1)
·(n – x2).
Сравнение знаков левой и правой частей этого неравенства приводит нас к выводу, что выполнено неравенство n – х1<0, т.е. х1>n.
Необходимость. Так как трехчлен имеет два корня, то по теореме о дискриминанте, D
·0. Так как х1> n и х2> n, то х1+х2 > 2n, поэтому
хв = 13 QUOTE 1415 > 13 QUOTE 1415 = n.
По теореме о разложении на линейные множители, с учетом известных по условию знаков, получим запись f(n) = a
·(n – x1)
·(n – x2), из которой следует, что f(n) > 0. Тем самым теорема доказана полностью.
Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(х) были меньше некоторого числа m, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 Рис. 3 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 413 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 3.Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) принадлежали заданному промежутку (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 613 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 4. Только меньший корень квадратного трехчлена f(x) принадлежит заданному промежутку (n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 713 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 5. Только больший корень квадратного трехчлена f(x) принадлежит заданному промежутку (n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 813 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 6. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) лежат вне заданного промежутка (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 9 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 7.Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена f(x) был больше заданного числа n, а другой меньше, необходимо и достаточно выполнение условия (или для того чтобы некоторое число n лежало между корнями квадратного трехчлена, необходимо и достаточно выполнение условия):
13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Рис. 1013 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема 8. Квадратный трехчлен f(x) имеет один корень внутри интервала (n;m), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда выполняется условие f(n)
·f(m)<0.
Теорема 9. Квадратный трехчлен f(x) имеет два корня, расположенные по одному на каждом из двух непересекающихся интервалов (d1; d2) и (d3; d4) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: 13 QUOTE 1415
Теорема 10.Квадратные уравнения х2 + p1x + q1 = 0 и x2 + p2x + q2 = 0,
дискриминанты которых неотрицательны, имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).
Доказательство.
Пусть f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2 и числа х1, х2 являются корнями уравнения f1(x) = 0. Для того чтобы уравнения f1(x) = 0 и f2(x) = 0 имели по крайней мере один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы f1(x)
·f2(x) = 0, т. е. чтобы (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0. Представим последнее равенство в виде
(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.
Поскольку х12 + p1x1 + q1 = 0 и x22 + p1x2 + q1 = 0, отсюда получаем
((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, т. е.
(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.
По теореме Виета x1 +x2 = -p1 и x1x2 =q1; следовательно,
(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, или
(q2 – q1)2 = (p2 - p1)( (q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =
(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), что и требовалось доказать.
13 QUOTE 14152. Применение теоремы Виета
Некоторые задачи на исследование квадратного трехчлена решаются с помощью теоремы Виета: если х1, х2 – корни квадратного уравнения
aх2 + bх + c = 0, a
·0, то 13 QUOTE 1415
Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0
имеет два действительных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415;
имеет два действительных отрицательных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415;
имеет два действительных корня разных знаков тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
13 EMBED Equation.3 1415;
4) имеет два действительных корня одного знака, если
13 EMBED Equation.3 1415
Замечание 1. Если коэффициент при х2 содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.
Замечание 2. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то вначале удобней найти явные выражения для его корней.
Замечание 3. Если уравнение, содержащее несколько неизвестных, является квадратным относительно одной из них, то часто ключом к решению задачи служит исследование его дискриминанта.
Приведем схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c:
1.Исследование случая а = о (если первый коэффициент зависит от параметров).
2.Нахождение дискриминанта D в случае а
·0.
3.Если D - полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение условиям задачи.
4.Если 13 QUOTE 1415 не извлекается, то графический анализ задачи (геометрическая модель).
5.Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы, для чего учитываются: знак коэффициента при х, значение и знак дискриминанта, значения и знаки квадратичной функции в изучаемых точках, расположение вершины параболы относительно изучаемых точек (аналитическая модель).
6.Объединение получаемых неравенств и составление системы или систем неравенств,
7.Решение полученных систем.
13 QUOTE 14153. Примеры решения задач для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике
Пример 1.Решите уравнение (a - 2)x2 – 2ax + 2a – 3 = 0.
Решение. Рассмотрим два случая: а = 2 и а
· 2. в первом случае исходное уравнение принимает вид - 4х + 1 = 0. Это линейное уравнение с единственным корнем 13 EMBED Equation.3 1415. Во втором случае (а – 2
· 0) получим квадратное уравнение с дискриминантом D = (2a)2 – 4(a - 2)
·(2a - 3) = - 4(a – 1)
·(a - 6). Найдем промежутки знакопостоянства дискриминанта (рис.11):
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 11
При а = 1 или а = 6 дискриминант равен нулю и квадратное уравнение имеет один корень: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. при а = 1 получаем корень 13 EMBED Equation.3 1415, а при а = 6 – корень 13 EMBED Equation.3 1415.
При 1 < a < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: 13 EMBED Equation.3 1415.
При а < 1 или а > 6 дискриминант оказывается отрицательным, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415уравнение не имеет корней; при а = 1 уравнение имеет один корень х = -1; при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет два корня 13 EMBED Equation.3 1415; при а = 2 уравнение имеет единственный корень 13 EMBED Equation.3 1415; при а = 6 уравнение имеет единственный корень 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2.При каком значении параметра а уравнение (а - 2)х2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственный корень?
Решение. Если а = 2, то уравнение превращается в линейное (4 - 4)
·х + 3 = 0; которое не имеет корней.
Если а
· 2, то уравнение – квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте D.
13 EMBED Equation.3 1415.
D = 0 при а1 = 2 и a2 = 5. Значение а = 2 исключается, так как противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.
Ответ: а = 5.
4.При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а - 1)х2 + (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет корни одного знака?
Решение. Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит, а
· 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицателность дискриминанта
D = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х1
·х2 > 0, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.Решением последнего неравенства является 13 EMBED Equation.3 1415.С учетом условий D
· 0 и а
· 1 получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня.
Решение. Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1
·х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе
И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе
Решением которой , а следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка [4; +
·).
Пример 4.При каких значениях параметра а уравнение (а - 2)х2 - 2(а + 3)х + 4а = 0
имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?
Решение. По теореме 6, для того чтобы оба корня данного квадратного трехчлена лежали вне заданного промежутка, необходимо и достаточно выполнение условий 13 QUOTE 1415 Получим систему неравенств:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 5.При каких значениях а уравнение (а - 1)
·х2 = (а + 1)
·х – а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 < x < 3?
Решение. Первый способ. Введем следующие обозначения:
f(x) = (a - 1)x2 – (a + 1)x + a;
D = (a + 1)2 – 4a(a + 1) = -3a2 + 6a + 1;
f(0) = 0, f(3) = 9(a - 1) – 3(a + 1) + a = 7a – 12.
Рассмотрим все возможные геометрические и соответствующие им аналитические модели, удовлетворяющие задаче. Получится шесть случаев:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.12) 2. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.13) 3. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.14)
4. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.15) 5. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.16) 6. 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.17)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.12 Рис.13 Рис.14
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.15 Рис.16 Рис.17
Если первый случай объединить со вторым, то получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Третий случай, объединяя с четвертым, получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Решим систему (1):
13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично решив систему (2), получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Если а = 1, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим пятый случай:
13 EMBED Equation.3 1415.
Результат решения системы для шестого случая:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Второй способ. Если второй случай объединить с четвертым, т.е. рассмотреть случай, когда только меньший корень принадлежит заданному промежутку (0; 3), то получим систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Аналогично, если только больший корень f(x) принадлежит заданному промежутку (0; 3), то получим:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Имеем
13 EMBED Equation.3 1415.
Решим систему (4):
13 EMBED Equation.3 1415.
Пятый и шестой случаи, а также особый случай а = 1 рассматриваем как при первом способе решения.
Пример 6. При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а – 1)х2 – 2ах + 3а – 1 = 0 имеет два корня, расположенные по одному на каждом из интервалов (0; 1) и (2; 4)?
Решение. Согласно теореме 9, квадратный трехчлен f(x) = (a-1)x2 – 2ax + 3a – 1 имеет два корня, расположенные по одному на каждом из промежутков (0; 1) и (2; 4), если выполняются условия
13 QUOTE 1415 то есть 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 < а < 1;
Ответ: а13 QUOTE 1415; 1).
Пример 7.Найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения х2 – (2а + 1)х +а2 + а – 2 = 0 находится между числами 0 и 2, а второй находится между числами 3 и 5.
Решение. В данном примере случай, когда дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, поэтому вначале удобнее найти явные выражения для его корней. Имеем х1 = а – 1, х2 = а + 2. Очевидно, что х2>х1. Искомые значения параметра а удобнее найти, решив систему неравенств:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 у
Рис.18 0 х1 2 3 х2 5 х
Ответ: (1;3)
Пример 8.При каких значениях параметра а один корень уравнения ах4 – (а - 3)х2 + 3а = 0 меньше –2, три остальных больше –1?
Решение. Пусть х2 = t. Исходя из требований, предъявляемых к корням исходного уравнения, достаточно решить следующую задачу: при каких значениях а один корень уравнения at2 – (a - 3)t + 3a = 0 больше 4, другой меньше 1, но не меньше 0? Очевидно а ( 0, D > 0. Представим уравнение в виде:
13 EMBED Equation.3 1415.
Его корни будут удовлетворять указанным выше условиям, если f(1) < 0, f(4) < 0 и f(0) > 0. Поскольку f(0) = 3, то достаточно решить систему
13 EMBED Equation.3 1415
Решением уравнения является 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 9.Найдите все значения параметра а, при которых все корни уравнения
(2 - а)х2 – 3ах + 2а = 0 больше 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Введем обозначения f(x) = (2 - a)x2 – 3ax + 2a, 13 EMBED Equation.3 1415;
D = 9a2 - 4(2a(2 - a) = a((17a - 16).
Если а = 2, то 13 EMBED Equation.3 1415. для случая а
· 2, чтобы сформулировать нужные условия, представим себе график трехчлена f(x), оба корня которого больше 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.19 Рис.20
13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.19) 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.20)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.21 Рис.22
13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.21) 13 EMBED Equation.3 1415 (к рис.22)
Объединяя эти условия, получим систему:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 10.При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения
x2 + x + (k - 1)(k + 7) = 0?
Решение. Введем обозначение f(x) = x2 + x + (k - 1)(k + 7). Учитывая, что старший коэффициент квадратного трехчлена f(x) положителен, можно сделать вывод, что число 3 находится между корнями уравнения f(x) = 0 тогда и только тогда, когда f(3) < 0. Решим неравенство f(3) < 0.
32 + 3 + (k - 1)(k + 7) < 0,
k2 + 6k + 5 < 0,
(k + 1)(k + 5) < 0,
-5 < k < -1.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 11.Найдите значения параметров k и а, при которых прямая y = k(x - a) касается параболы y = ax2 и ордината точки касания равна 4.
Решение. Касание прямой и параболы означает, что они имеют лишь одну общую точку (для графиков других функций, отличных от квадратичной, это может быть и не так). Т.е. нужно определить, при каких значениях параметров k и а уравнение ax2 = k(x - a) имеет единственный корень.
ах2 – kx + ka = 0, D = k2 – 4ka2, квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда D = 0, т.е. k(k – 4a2) = 0. В случае k = 0 прямой, данной в условии, является прямая у = 0, ордината точки касания никак не может быть равна 4, т.е. k
· 0. Тогда из уравнения k(k – 4a2) = 0, получаем, что k = 4a2. Пусть (х0; у0) – точка касания. Абсцисса х0 точки касания является корнем уравнения ax2 – kx + ka = 0, и так как D = 0, то 13 EMBED Equation.3 1415. Подставляя х0 в уравнение прямой, получаем ординату точки касания, y0 = k(x0 - a) = 4a2(2a - a) = 4a3. По условию у0 = 4, 4а3 = 4, а = 1, k = 4а2 = 4.
Ответ: k = 4, a = 1.
Пример 12.Найти все значения параметра а, для которых квадратные уравнения
(1 – 2а)х2 – 6ах – 1 = 0 и ах2 – х + 1 = 0 имеют по крайней мере один общий корень.
Решение. Воспользуемся теоремой 10, в котором указаны необходимое и достаточное условие существования по крайней мере одного общего корня двух уравнений. При а
·0 и 1 – 2а
· 0должно быть выполнено соотношение
13 QUOTE 14152 = 13 QUOTE 1415,
Которое после преобразования принимает вид (1- а)2 = - (6а2 + 2а – 1)( 6а + 1). Следовательно, а должно являться решением уравнения а( 36а2 + 19а – 6) = 0.
По условию а
·0. Поэтому из равенства 36а2+ 19а – 6 = 0 находим а: а1 = 13 QUOTE 1415 и а2 = 13 QUOTE 1415. Поскольку при а = 13 QUOTE 1415 дискриминант уравнения 13 QUOTE 1415х2 – х + 1 = 0 отрицательный, а при а = 13 QUOTE 1415 дискриминанты исходных уравнений положительные, то ответом является только а = 13 QUOTE 1415.
Пример 13.При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения
(а – 1)х2 + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0 принадлежат промежутку ( - 5; 3)?
Решение. По условию задачи а
·1.Обозначим f(x) = (а – 1)х2 + 2(2а + 1) + 4а+3, f(-5) = 9а – 32, f(3) = 25а, D = 20а + 16, хb = 13 QUOTE 1415 = - 13 QUOTE 1415; согласно теореме 3 оба корня данного квадратного уравнения принадлежат промежутку ( - 5; 3), если одновременно выполняются условия:
- 5 < х1
·х2 <313 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Решим систему13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: а[ - 13 QUOTE 1415; 0) ( 313 QUOTE 1415; +
·).
Выводы и заключение
В результате исследовательской работы по выбранной теме мы решили поставленные задачи: изучили и систематизировали теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек). Исследовали применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Нами составлена оптимальная и наиболее эффективная схема исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c. Приведены подробные решения квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями.
Анализ вариантов ЕГЭ и ОГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. Мы пришли к выводу, что при решении задач с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен. рекомендуется работать с тремя типами моделей:
вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, составленная на основе теорем о расположении корней квадратного трехчлена и теоремы Виета, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Решение поставленных задач убедило нас о правильности выдвинутой в начале работы гипотезы, что изучение теорем о расположении корней квадратного трехчлена развивает математические способности и позволит в дальнейшем овладеть приемами и способами решения более сложных задач с параметрами, тем самым обеспечит качественную подготовку к ОГЭ и ЕГЭ. Решение квадратных уравнений с параметрами открывает перед нами значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
Мы убедились в том, что огромную роль играют задачи с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен в формировании логического мышления, математической культуры, развития исследовательских навыков. В процессе работы над данным проектом у нас повысился интерес к предмету, ориентация на подготовку продолжения образования по избранному предмету. Поэтому, владея методами решения задач с параметрами можно успешно справиться и с другими задачами. Наша творческая и исследовательская работа по данной теме помогла нам в подготовке к ОГЭ, мы научились решать задания с параметрами, входящие в КИМы ОГЭ (задание №23) и ЕГЭ (задание С5). В 2014 году мы участвовали во Всероссийском конкурсе проектов учащихся «СОЗИДАНИЕ и ТВОРЧЕСТВО», организованном МАН «Интеллект будущего» в рамках НАЦИОНАЛЬНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ», г. Обнинск, и стали лауреатами III степени (ДИПЛОМ 3 степени). Президиум Малой академии наук «Интеллект будущего» наградил научного руководителя и коллектив МБОУ «СОШ №4» за достигнутые результаты во Всероссийском конкурсе проектных работ «СОЗИДАНИЕ и ТВОРЧЕСТВО» в 2014 году БЛАГОДАРСТВЕННЫМИ ПИСЬМАМИ.
Список использованной и рекомендуемой литературы
1.Вавилов, В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра/В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. – 432 с.
2.Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства./ В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. – 240 с.
3.Горштейн П.И., Полонский В.Б.,Якир М.С. Задачи с параметрами/П.И. Горштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир// М.:«Илекса», Харьков.:«Гимназия», 2002. – 336 с.
4.Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы./ Г.В.Дорофеев., М.К.Потапов., Н.Х.Розов//Москва. «Наука», 1976.
5.Жаржевский А.Я., Фельдман Я.С. Решение задач с параметрами/ А.Я. Жаржевский, Я.С. Фельдман// Санкт-Петербург. «Агентство ИГРЕК», 1996.
6.Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа 8-11. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики/ Л.И. Звавич , Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина//«Дрофа», Москва, 2001.
7.Козко А.И., Чирский В.Г.. Задачи с параметрами и другие сложные задачи/ А.И. Козко, В.Г. Чирский// М.: МЦНОМО, 2007, - 296 стр.
8.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике 7-9 классы/ И.Л. Никольская// Москва, «Просвещение»,1991. – 383с.
9.Прокофьев А.А. Задачи с параметрами/ А.А. Прокофьев// М.:МИЭТ,2004, - 258С.
10.Рязановский А.Р. 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы/ А.Р. Рязановский//Москва, «Дрофа», 2001. – 480 с.
11.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы/ О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев// Москва, .«АСТ – Пресс. Школа» 2002.
12.Шабунин М.И. Математика для поступающих в ВУЗы/ М.И. Шабунин// Москва, .«Аквариум», 1997. – 272 с.
13.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. 10 класс/ И.Ф. Шарыгин// Москва. «Просвещение»,1989. – 252с.
14.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.. Факультативный курс по математике. 11 класс/ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев// Москва. «Просвещение», 1991. – 384с.
15.Шарыгин И.Ф. Сборник задач по математике с решениями/ И.Ф. Шарыгин//Москва, «Астрель», 2001. – 400 с.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 142115
xb
0
f(n)
n
x2
x1
n
x1
x2
xb
f(n)
0
n
f(n)
x1 = x2
0
x1 = x2
n
f(n)
xb
0
f(m)
m
x2
x1
m
x1
x2
xb
f(m)
0
m
f(m)
x1 = x2
0
x1 = x2
m
f(m)
m
xb
f(m)
0
f(n)
n
xb
0
f(m)
m
x2
x1
n
f(n)
0
x1 = x2
m
f(m)
n
f(n)
0
m
f(m)
x1 = x2
n
f(n)
0
f(m)
m
x2
x1
n
f(n)
m
f(m)
0
f(n)
n
x2
x1
0
n
f(n)
x1
x2
m
f(m)
n
f(n)
0
f(m)
m
x2
x1
0
n
f(n)
x1
x2
m
f(m)
n
f(n)
0
f(m)
m
x2
x1
0
x2
x1
n
f(n)
n
f(n)
0
x2
x1
1
6
а
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
0
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
0
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Приложенные файлы
