Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №4»
г. Мегион ХМАО-Югра
«Задания с аркфункциями»
(методическая разработка
для 10-11классов)
Автор: Магомедов Иосиф Маграмович,
заместитель директора по УВР,
учитель математики
высшей категории
г. Мегион – 2014 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Обратные тригонометрические функции и их свойства.
Основные тождества.
Вычисление значений обратных тригонометрических функций.
Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
Задания с аркфункциями на ЕГЭ.
Подготовка к ЕГЭ. Тест по теме: «Обратные тригонометрические функции».
Список использованной и рекомендуемой литературы.
Введение
Методические рекомендации к решению задач по теме «Обратные тригонометрические функции», приведенные в данной работе будут полезны учителям и учащимся. Изучать их можно на уроках, на дополнительных занятиях, на факультативе, на спецкурсе по предмету. В содержании элективного курса отражен в полном объеме теоретический материал по теме, рассмотрена технология решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, собраны разнообразные задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах и на ЕГЭ по математике в последние годы, с подробными решениями и комментариями. Приведен в пример тест для подготовки к ЕГЭ, состоящий из 15 заданий (по группам А, В, и С) на обратные тригонометрические функции с решениями и ответами.
Учебно-теоретическая часть и методические рекомендации
1.Обратные тригонометрические функции и их свойства.
Определение 1
Функция , где | x | ≤ 1 и - π/2 ≤ y ≤ π/2 , называется арксинусом.
Она является обратной для функций на отрезке [ - π/2 ; π/2 ]. Графики данных функций симметричны относительно прямой y = x.
Свойства функции вытекают из свойств функции на отрезке [- π/2 ; π/2].
Область определения: отрезок [ -1 ; 1 ] , D (y) = [ -1 ; 1 ];
Область значений: отрезок , E (y) = ;
Функция нечетная : arcsin(- x) = - arcsin x;
Функция монотонно возрастающая и непрерывная на отрезке [ -1 ; 1 ];
График пересекает оси Ox и Oy в начале координат;
≥ 0 при 0 ≤x ≤ 1, < 0 при -1 ≤ x < 0.
Определение 2
Функция y = arccos x, где -1 < x < 1 и 0 ≤ y ≤ π , называется арккосинусом.
Она является обратной для функции y = cos x на отрезке . Графики данных функций симметричны относительно примой y = x.
Свойства функции y = arccos x:
Область определения : [ -1 ; 1 ] , D (y) = [ -1 ; 1 ];
Область значений : [ 0 ; ], E (y) = [ 0 ; ];
Функция y = arccos x ни четная , ни нечетная, и верно тождество arccos (- x) = - arccos x;
y = arccos x непрерывна и монотонно убывает на отрезке [ -1 ; 1 ];
График пересекает ось Ox в точке ( 1 ; 0), а ось Oy – в точке ( 0 ; );
y = arccos x 0 на всем отрезке [ -1 ; 1 ].
Определение 3
Функция y = arctg x , обратная функции y = tg x , взятой на промежутке ( - ; ), называется арктангенсом.
Свойства функции y = arctg x
Область определения : R , т.е. D (y) = R;
Область значений : интервал ( - ; );
Функция y = arctg x нечетная : arctg ( -x ) = - arctg x;
Функция y = arctg x непрерывна и монотонно возрастает на R;
График пересекает оси Ox и Oy в начале координат;
arctg x < 0 при -< x < 0 и arctg x > 0 при x > 0;
Прямые y = и y = - являются горизонтальными асимптотами графика.
Определение 4
Функция y = arcctg x, обратная функции y = ctg x на промежутке ( 0 ; ), называется арккотангенсом.
Свойства функции y = arcctg x.
Область определения : R , D (y) = R;
Область значений : интервал ( 0 ; );
Функция y = arcctg x ни четная и ни нечетная.;
Справедливо тождество arcctg (- x) = - arcctg x;
Функция y = arcctg x непрерывна и монотонно убывает на R;
График пересекает ось Oy в точке ( 0 ; );
Функция arcctg x > 0 при x;
Прямые y = 0 и y = являются горизонтальными асимптотами.
2. Основные тождества
Рассмотрим четыре основных групп тождеств.
Группа А.
1) sin (arcsin x) = x , | x | 1 (1)
2) cos (arccos x) = x , | x | 1 (2)
3) tg (arctg x) = x , x R (3)
4) ctg (arcctg x) = x , x R (4)
5) sin (arccos x) = , | x | 1 (5)
Доказательство (5).
Положив arccos x = , получим cosα = x. Тогда sin (arccos x) = sin = 1-cos2α= 1-x2, т.е. sin(arccosx) = 1-x2 , х 1. Знак « + » перед корнем взяли потому, что = arccos x удовлетворяет неравенствам 0 , где sin0.
6) cos (arcsin x) = , | x | 1 (6)
Доказательство.
Положив arcsin x = , получим sin = x.
Тогда cos (arcsin x) = cos = 1-sin2α, т.е. cos (arcsin x) = , | x | 1
Знак « + » перед корнем взяли потому, что для = arcsin x имеем , где cos0
7) tg (arcctg x) = , x (7)
(7) получим на основании тождества tg = ;
8) ctg (arctg x) = , x (8)
(7) получим на основании тождества ctg = ;
9) На основании формулы tg = и предыдущих формул получим
tg (arcsin x) = ; | x | < 1 (9)
10) sin ( arctg x) = ; x R (10)
11) sin (arcctg x) = ; x R (11)
12) cos (arctg x) = ; | x | 1 (12)
13) cos (arcctg x) = , x R (13)
14) tg (arccos x) = ; 0 < | x | 1 (14)
15) ctg (arcsin x) = , 0 < | x | 1 (15)
16) ctg ( arccos x) = , | x | < 1 (16)
17) sin (2 arcsin x) = 2x , | x | 1 (17)
Доказательство (17).
Обозначив arcsin x = , получим sin = x. Тогда sin (2arcsin x) = sin2 = 2 sincos = 2x
18) sin (2 arccos x) = 2x , | x | 1 (18)
Вывод (18).
sin (2arccos x) = 2 sin(arccos x) cos (arccos x) = 2x;
19) cos (2 arccos x) = 2x2 – 1 , | x | 1 (19)
Доказательство (19). Обозначив arccos x = , имеем cos = x. Тогда cos (2 arccos x) = cos2 = 2cos2x – 1 = 2x2 – 1
20) tg (2arctg x) = , | x | (20)
21) sin ( 2arctg x) = , x R (21)
22) cos (2arctg x) = , x R (22)
23) sin (4 arctg x) = , x R (23)
24) cos (arccos x) = , | x | 1 (24)
Доказательство (24).
Обозначив arccos x = , получив cos = x. Тогда cos (arccos x) = cos = = ;
25) sin ( arccos x) = , | x | 1 (25)
26) sin (arcsin x + arcsin y) = x+ y, где | x | 1, | y | 1 (26)
27) sin (arccos x + arccos y) = x+ y, где | x | 1, | y | 1 (27)
Заметим, что в этой группе формул можно аналогично вывести очень много различных соотношений. При решении примеров нужно выводить ту или иную формулу.
Группа Б.
arcsin x + arccos x = , | x | 1 (28)
arctg x + arcctg x = , x R (29)
arctg x = arcctg , x (0; +) (30)
arctg x = - arcctg(-) , x(-; 0) (31)
arcsin x + arcsin y = arcsin (x+) (32)
Доказательство (32).
Обозначим arcsin x + arcsin y = z и получим sin z = sin(arcsin x + arcsin y) =
sin (arcsin x) cos (arcsin y) + cos(arcsin x) sin (arcsin y) = x+ y или
z = arcsin (x+ y)
arcsin x – arcsin y = arcsin (x- y) (33)
arccos x + arccos y = arccos (xy - ) (34)
arccos x - arccos y = arccos (xy + ) (35)
arctg x + arctg y = arctg (37)
Группа В
arcsin (-x) = - arcsin x , | x | 1
arccos (-x) = - arccos x , | x | 1
arctg (-x) = - arctg x , x R
arcctg (-x) = - arcctg x , x R
Группа Г
arcsin (sin) = [- ; ] ;
arccos (cos ) = [ 0 ; ] ;
arctg (tg ) = (- ; ) ;
arcctg (ctg ) = ( 0 ; )
Замечание
Для произвольных значений угла последние четыре соотношения можно уточнить
- 2k, при [-+ 2k ; + 2k ] ;
arcsin (sin) =
- + 2k, при [+ 2k ; + 2k].
- 2k, при [2k ; + 2k ] ;
arccos (cos) =
2k - , при [- + 2k ; 2k]
arctg (tg x) = - k, при ( - + k ; + k ) ;
arcctg (ctg x) = - k, при ( k ; + k )
3. Вычисление значений обратных тригонометрических функций.
Пример 1 . Вычислите sin (arctg (-2) ).
Способ 1. Пусть arctg (-2) = , тогда tg= -2 и (- ; 0). Отсюда tg2= == 4
Из уравнения sin2 = 4 – 4 sin2 находим , что sin2= . Поскольку (- ; 0), то sin< 0 и sin=.
Окончательно , sin (arctg (-2) ) = - ;
Способ 2. По формуле (10) имеем sin ( arcsin x) = ; sin (arctg (-2) ) = -= ;
Пример 2. Вычислите sin (arcsin - arccos ).
Решение. Обозначим arcsin = , arccos = , тогда sin= , cos = и
sin (-) = sin cos - cossin = ∙ - ∙= - =
Пример 3. Вычислите sin (arccos (-) + arctg (-).
Решение. Обозначим : = arccos (-), = arctg(-)
sin (+) = sincos + cossin
Применим способ «вспомогательного треугольника».
а) cos= - , < < II ч.
sin= 17
II ч 15
8
б) tg= -, -< < 0 IV ч.
sin- ? , cos - ? 5 IV ч 4
sin= - , cos=
3
sin (+) =
Ответ:
Пример 4. Вычислите сумму arctg 2 + arctg 3
Решение. Найдем tg (arctg 2 + arctg 3).
Обозначим = arctg 2 , = arctg 3. По формуле сложения для тангенса имеем
tg (+) = , подставив в эту формулу tg= 2 и tg= 3, получим
tg (+) =
< arctg 2 < ,
< arctg 3 <
---------------------
< + <
В этом промежутке есть единственный угол, тангенс которого равен -1. Это угол
Ответ:
Пример 5. Вычислите при x > 1
2 arctg x + arcsin
Решение. Возьмем tg (2 arctg x + arcsin )
Обозначим = arctg x , = arcsin
tg ( 2+ ) = ;
tg= x, < < т.к. x > 1
tg 2- ?
tg 2= , tg 2=
2) sin =
m = = = = = | x2 – 1| = x2 – 1
т.к. x > 1
tg =
tg (2+ ) =
tg (2+ ) = 0 , 2+ = n, n
< <
< 2 <
0 < <
-----------------
< 2+ <
При n = 0 2+ = 0 , 0 ( ; ) ;
При n = 1 2+ = , ( ; ) ;
При n = 2 2+ = 2 , 2( ; ) .
Итак, 2+ =
Ответ:
Пример 6. Вычислите : arctg + arctg + arctg + arctg
Решение : Обозначим = arctg , = arctg , = arctg , = arctg ,
(0 ; ) , (0 ; ) , (0 ; ) , (0 ; )
Вычислим с помощью формул сложения для тангенса :
tg (+) = = ==,следовательно,+= arctg , 0 < +<
tg (+) = ===,следовательно,+= arctg , 0 < + <
tg (+++) = tg (arctg + arctg ) = = = =1
+++= , так как 0 < +++ <
Ответ:
Пример 7. Вычислите а) arcsin (sin 14); б) arcctg ( tg10).
Решение
а) arcsin (sin 14) = arcsin (sin (14 - 4)) = 14 - 4 т.к. 14 - 4 [- ; ]
Для произвольного значения угла имеем
- 2k, при [- + 2k ; + 2k ]
arcsin (sin) =
-+ 2k , при [+2k ; + 2k ] ;
14[-+ 4 ; + 4] , следовательно , arcsin (sin 14) = 14 - 4
б) arcctg (tg 10) = - arctg (tg 10) = - (10 - 3) = + 3 - 10 = 3,5- 10
arctg (tg 10) = 10 - 3 , т.к. 10(-+3; + 3).
Пример 8. Упростите выражение sin (2 arcsin )
Решение. Для решения задания применим формулу двойного аргумента. Обозначим arcsin = , [- ; ]
sin = > 0 , (0 ; )
cos = =
sin 2= 2 sincos= 2 =
Ответ:
Рассмотрим использование геометрического приема, который дает короткое решение.
Пример 9. Вычислите arctg 1 + arctg 2 + arctg 3
Решение. Стоит только нарисовать клеточный фон, как задание выполняется практически устно.
B
arctg 3 = BAM,
arctg 1 = BAC,
C
arctg 2 = CAN
(BAC – острый угол прямоугольного
равнобедренного ABC)
рис. 1
N
M
A
Ответ:
B
Пример 10. Вычислите arctg + arcctg 5
D
Решение.
C
Поскольку arctg = CAD, arcctg 5 =BAD,
а угол BAC – острый угол в прямоугольном
равнобедренном треугольнике ABC, то
рис. 2
arctg+ arcctg 5 =
A
Ответ:
Пример 11. Вычислите ctg (arccos )
Решение.
Если использовать понятия косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорему Пифагора и свойство биссектрисы треугольника , то задача решается почти мгновенно.
На рис. 3 изображен ABC, в котором ACB = 90, BC = 5, AB = 13 и BM – биссектриса угла ABC. Следовательно , MC = 5x, AM = 13x и AC = 12, отсюда x = . В
Тогда ctg (arccos ) = 13
Ответ: 5
А 13х М 5х С
Рис.3
Рассмотрим тригонометрическую подстановку при решении задач, содержащих обратные тригонометрические функции. Одной из задач при изучении обратных тригонометрических функций (ОТФ) является задача о нахождении значения выражения , содержащего ОТФ. Для решения подавляющего числа подобных задач используется определенная последовательность действий:
оценить , какие значения может принимать данное выражение (область значений);
выбрать тригонометрическую функцию, монотонную на области значений;
найти значение выбранной функции;
найти значение самого выражения.
Рассмотрим применение последовательности этих действий на одном их примеров.
Пример 12.
Вычислите значение выражения
arcsin
Решение. 1) Найдем ОДЗ данного выражения:
Итак, данное выражение определено на промежутке .
2) Оценим, какие значения может принимать рассматриваемое выражение. Из неотрицательности выражений
следует справедливость неравенств:
Сложив неравенства одного знака, получим, что исходное выражение может принимать значение из интервала (0;).
3) На интервале (0;) функция ctgt является монотонной и, следовательно, зная ее значение, можно однозначно определить и значение аргумента.
4) Найдем значение котангенса исходного выражения:
(применим формулу)
Для преобразования полученного выражения применим следующие соотношения:
если
при любых значениях .
Тогда получим, что
(с учетом ОДЗ),
и наконец,
на ОДЗ рассматриваемого выражения.
5) В силу монотонности функции ctgt на интервале (0;) равенство ctgt=0 возможно лишь при .
Следовательно, выражение принимает значение при x и не имеет смысла при других значениях х
Ответ: при
4.Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
Простейшие уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.
Функции и монотонно возрастают, а функции и монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы:
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
4.1
4.2
Замечание. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 1.1 и 2.1, зависит от того, какое неравенство проще;
Пример 1.
Решить уравнение:
Решение. Запишем равносильную систему:
Корни -0,5 и 2 уравнения системы подставляем в неравенство. Находить все решения двойного неравенства нет необходимости. Число -0,5 неравенству удовлетворяет, а число 2 не удовлетворяет.
Ответ: {-0,5}
Пример 2.
Решить неравенство
Решение
Следовательно, {-2}
Пример 3.
Решить уравнение
Решение. Так как , то имеет место следующая цепочка равносильных преобразований:
Ответ:
Пример 4.
Решить уравнение с параметром a:
Решение. Уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая:
1). В этом случае система примет вид:
2) . В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни и . Так как , то
Если то Если , то уравнение имеет два корня.
Ответ: при и
При и ;
При прочих а решений нет.
Пример 5.
Решить неравенство
Решение. Неравенство равносильно следующему:
Ответ:
Уравнения и неравенства, сводимые к алгебраическим (замена переменной).
Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.
Пример 1.
Решите уравнение
Решение. Обозначим где и решим квадратное уравнение
а) нет корней, так как
б)
Ответ:
Пример 2.
Решите уравнение
Решение. Обозначим После преобразований получим уравнение
Поскольку то откуда
Ответ: -
Пример 3.
Решить неравенство
Решение. Пусть Тогда
Поскольку то
Откуда
Ответ:
Использование тождеств при решении уравнений и неравенств.
При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, можно пользоваться известными тригонометрическими тождествами. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению – следствию и после его решения делать необходимую проверку. Пусть требуется решить уравнение Предположим, что - решение этого уравнения. Обозначим
через Тогда
откуда
Итак (1)
Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:
(2)
(использована формула );
(3)
(использована формула );
(4)
(использована формула );
(5)
(использована формула );
(6)
(использована формула );
Замечание. Корнем каждого из уравнений (1) – (4) может быть только такое число для которого и . В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение.
Корень является посторонним.
Ответ: {1}
Пример 2.
Решить уравнение
Решение
.
Корни вида являются посторонними.
Итак,
Пример 3.
Решить неравенство
Решить. Рассмотрим функцию и решим неравенство методом интервалов.
Найдем область определения Решим систему
Найдем нули Для этого решим уравнение
Корень х=-2 является посторонним.
Решим неравенство методом интервалов.
+
-
1
2
х
Ответ:
Применение одной и той же тригонометрической функции к обеим частям уравнения.
При вычислении значений тригонометрической функции от обеих частей уравнения получается уравнение-следствие. Это опасное действие, оно должно совершаться с осторожностью: при этом можно и приобрести, и потерять решения! Во-первых, это может случиться из-за того, что значения тригонометрических функций от различных аргументов, лежащих на разных промежутках монотонности, могут совпадать. Например, уравнение
не имеет решений, но при вычислении синуса получим
Другая причина приобретения корней заключается в том, что область допустимых значений нового уравнения может быть шире или уже ОДЗ исходного уравнения.
Пример 1.
1
Решите уравнение
Решение.
7
(1)
Обозначим где
Остается убедиться, что при вычислении синуса не были приобретены посторонние решения. Это действительно так, поскольку обе части уравнения (1) принимают значения только из промежутка
Ответ:
Пример 2.
Решим уравнение
Решение. Взяв синус от обеих частей уравнения, получим уравнение
Откуда
Проверка. Выполним ее постановкой. Получаем:
, х1 - посторонний корень.
Т.о. корень уравнения.
Ответ:
Пример 3.
Решите уравнение
Решение.
Ответ:
Пример 4.
Решите уравнение
Решение.
Перейдем к уравнению – следствию.
,
ОДЗ:
Серия корней не удовлетворяет условиям системы неравенств.
Ответ: .
Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение. Пусть Тогда уравнение примет вид
Функции и являются монотонно возрастающими. Поэтому функция также является монотонно возрастающей, поэтому уравнение
имеет не более одного корня. Очевидно, что является корнем этого уравнения.
Поэтому
Получаем: {-1;0}.
Пример 2.
Решить неравенство
Решение. Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на отрезке функцию
Уравнение имеет не более одного корня. Очевидно, что корень этого уравнения. Поэтому решение неравенства является отрезок
Ответ:
5. Задания с аркфункциями на ЕГЭ.
1) Найдите значение выражения
Решение. Введя постановку где ; т.к. получим
Ответ: 15
2) Найдите значение выражения
Так как значит принадлежит I четверти, откуда ,
Ответ: 1
3) (С-2, ЕГЭ, 2003)
Найдите множество значений функций
если
Решение.
1. то есть принадлежит I четверти;
2.
Следовательно, 2х принадлежит II четверти;
3. Во II четверти функция синус убывает и непрерывна. Значит, данная функция хпринимает все значения от до
4. Вычислим эти значения:
Ответ:
4) Найдите множество значений функции
Решение.
1. Так как а синус принимает все
значения от -1 до 1, то множество значений разности . При умножении на этот отрезок перейдет в отрезок
2. Арккосинус – монотонно убывающая и непрерывная функция. Значит, множество значений выражения - это отрезок
3. При умножении этого отрезка на получим
Ответ:
5) Найдите множество значений функций
если
Решение.
1. Так как арктангенс является возрастающей функцией, то
2. При возрастании от до аргумент 2х возрастает от 2 до Так как синус на таком промежутке возрастает, то функция принимает значения от до 1.
3. При возрастании х от до аргумент 2х возрастает от до 2. Так ак синус на таком промежутке убывает, то функция принимает значения от до 1
4. Используя формулу, выражающую синус через тангенс половинного угла, находим, что
Значит, искомое множество значений – это объединение отрезков [0,8;1) и [0,6;1], то есть [0,6;1].
Ответ: [0,6;1]
6) Подготовка к ЕГЭ. Тест по теме: «Обратные тригонометрические функции»
Часть А
А1 Вычислите:
1) 2) 3) 4) 5)
Решение.
Ответ: 3)
А2 Вычислите:
1) 2) 03) 4) 5)
Решение.
Ответ: 4)
А3 Вычислите:
1) 2) 03) 4) 5)
Решение.
Обозначим:
1. тогда
2.
Следовательно, (*)=
Ответ: 1)
А4 Вычислите:
1) 2) 3) 4) 5)
Решение.
Обозначим:
следовательно,
Ответ: 2)
А5 Вычислите:
1) 2) 3) 4) 5)
Решение.
Ответ: 3)
А6 Какие из выражений не имеют смысла?
1) 2) 3)
4) 5)
Решение. Зная, что
имеем
значит, выражение
не имеет смысла.
Ответ: 2)
А7 Упростите выражение
1) 2) 13)04)25)
Решение.
Так как значит принадлежит I четверти и
Значит, то есть
Ответ: 2)
А8 При каких значениях параметра а число принадлежит промежутку ?
1) 2) 3) 4) 5)
Решение.
Так как возрастает на [-1;1], то из неравенства следует, что т.е. Ответ: 2)
Часть В
В1 Сколько целых чисел в области определения функции ?
Решение.
Так как то область определения данной функции задается условиями:
Целых значений в этой области определения три:
0; -1; -4
Ответ 3
В2 Решите уравнение
Решение.
Переходим к следующему уравнению-следствию:
Проверка.
посторонний корень.
Ответ:
В3 Вычислите при
Решение.
Так как и
Ответ: 0
В4 Вычислите
Решение.
Обозначим:
1)
2)
Следовательно,
Ответ: 3-8
В5 При каких значениях параметра а уравнение
Имеет решение?
Решение. Найдем ОДЗ уравнение:
Значит,
Ответ: при а=6 ур-е имеет ед. решение Х=2
Часть С
С1 Чему равно а, если ?
Решение. ОДЗ
Имеем
Так как то
Ответ:
С2 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три решения.
Решение.
,
Рассмотрим три случая:
1) - бесконечно много решений;
2) - бесконечно много решений;
3)
ровно три решения тогда и только тогда, когда
Ответ:
Список использованной и рекомендуемой литературы.
Рязановский А.Г. 500 способов и методов решения задач по математике. М.: Дрофа, 2001,-480с.
Черкасов О.Ю, Якушев А.Г. Математика: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. М.: АСТ-ПРЕСС Школа, 2002,-576с.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математика. Решение задач: Учеб. Пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991,-384с.
Тухватов М.Б. Лекции по математике для поступающих в вузы. Уфа: БГАУ, 1995,-640с.
Мордкович А.Г. и др. Практикум по элементарной математике М. Просвещение 1988.
Бородин П.А. , Сергеев И.Н. Вступительные экзамены в вузы. МГУ. Математика в школе №1, 2005.
Крючкова В.В. Обобщающий семинар по теме «Обратные тригонометрический функции». Математика в школе №1, 2004
Зубов А.Б. Тригонометрическая постановка при решении задач, содержащих обратные тригонометрические функции. Математика в школе №2, 2003
Генкин Г.З. Геометрические решения алгебраических задач. Математика в школе №7, 2001
Учаева В. Задания с аркфункциями 10-11 классы. Математика №29, 2003
Иванова Т. Обратные тригонометрические функции. Математика №35, 2004
Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. М.: Издательство Московского университета, 1990-303с
Материалы ЕГЭ 2001, 2002, 2003 годов
Дорофеев Г.В. и др. Математика: Для поступающих в вузы: Пособие. М. Дрофа, 2001-672с.
Литература, рекомендованная для учащихся
А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.: Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М. :Просвещение, 2004. – 384 с.
Рязановский А.Г. 500 способов и методов решения задач по математике. М.: Дрофа, 2001,-480с.
Черкасов О.Ю, Якушев А.Г. Математика: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. М.: АСТ-ПРЕСС Школа, 2002,-576с.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математика. Решение задач: Учеб. Пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991,-384с.
Тухватов М.Б. Лекции по математике для поступающих в вузы. Уфа: БГАУ, 1995,-640с.
Мордкович А.Г. и др. Практикум по элементарной математике. М. Просвещение 1988.
Бородин П.А. , Сергеев И.Н. Вступительные экзамены в вузы МГУ. Математика в школе №1, 2005.
Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. М.: Издательство Московского университета, 1990-303с.
Материалы ЕГЭ 2001, 2002, 2003 годов.
Дорофеев Г.В. и др. Математика: Для поступающих в вузы: Пособие. М. Дрофа, 2001-672с.
Приложенные файлы
