МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»


Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«АРМАВИРСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»
Краснодарского края
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
по учебной дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика»
для студентов 2 курса очной формы обучения
по специальности «Программирование в компьютерных системах»
Автор: Беляева Татьяна Юрьевна
Содержание
1. Введение………………………………………………………………. 3
2. Порядок проведения практического занятия……………………….. 3
3. Оформление практической работы…………………………………. 3
4. Критерии выставления оценок………………………………………. 3
5. Практическая работа № 1. «Неориентированные графы и их характеристика. Задание графов с помощью матриц смежности и инцидентности»………………………………………………………. 5
6. Практическая работа № 2. «Составление матриц смежности и инцидентности ориентированного графа. Представление ордерева в ярусном виде»……….…………………………………………… 9
7. Практическая работа № 3. «Решение комбинаторных задач и уравнений»…………………………………………………………….. 12
8. Практическая работа № 4. «Вычисление вероятностей событий по определению»……………………………………………………… 15
9. Практическая работа № 5. «Вычисление вероятностей сложных событий»……………………………………………………………….. 17
10. Практическая работа № 6. «Вычисление полной вероятности события и вероятностей гипотез»……………………………………. 19
11. Практическая работа № 7. «Вычисление вероятностей в схеме Бернулли»……………………………………………………………… 21
12. Практическая работа № 8. «Нахождение закона распределения случайной величины. Вычисление числовых характеристик ДСВ»……………………………………………………………………. 23
13. Практическая работа № 9. «Нахождение числовых характеристик непрерывных случайных величин»………………………………… 26
14. Практическая работа № 10. «Построение вариационного ряда и его графической диаграммы. Расчет по заданной выборке ее числовых характеристик»……………………………………………….. 28
15. Практическая работа № 11. «Расчет сводных характеристик выборки различными методами»…………………………………….. 31
16. Список рекомендуемой литературы……………………………….. 34

1. Введение
Цель методических указаний - обеспечить четкую организацию проведения практических занятий по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» и предоставить возможность студентам, отсутствовавшим на практическом занятии, самостоятельно выполнить работу.
Студенты, отсутствовавшие на практических занятиях, при выполнении практических работ самостоятельно, имеют право на получение консультаций у преподавателя.
Неудовлетворительная оценка, полученная студентом при выполнении практической работы, должна быть исправлена и повторно проверена преподавателем.
Студент, имеющий к концу семестра более 75% практических работ, написанных на неудовлетворительную оценку, не может иметь положительную оценку при зачете по предмету.
2. Порядок проведения практического занятия
1. Опрос студентов по теме практической работы в различных формах
2. Краткое сообщение преподавателя о целях практического занятия, порядке его проведения и оформления работы
3. Выдачу вариантов заданий
4. Выполнение практической работы студентами
5. Подведение итогов практического занятия преподавателем
3. Оформление практической работы
1. Задания выполняются в специально отведенной тетради.
2. Указывается тема практической работы и вариант.
3. Условия заданий переписываются полностью, выполняется решение, в конце которого записывается ответ.
4. Все рисунки и схемы выполняются карандашом, с помощью линейки.
5. Задания можно выполнять в произвольном порядке.
4. Критерии выставления оценок
Оценка «5» ставится, если:
• работа выполнена полностью;
• в логических рассуждениях и обоснованиях решения нет пробелов и ошибок;
• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Оценка «4» ставится, если:
• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).
Оценка «3» ставится, если:
• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Оценка «2» ставится, если:
• допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

5. Практическая работа № 1
Тема: «Неориентированные графы и их характеристика. Задание графов с помощью матриц смежности и инцидентности»
Цель работы: закрепить навыки составления таблиц смежности и инцидентности графов, распознавания графов и их элементов, поиска различных маршрутов в графе.
Методические указания
Опр. Графом называется совокупность 2-х множеств: V (точек) и E (линий, соединяющих какие-либо две точки). Элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества E - его ребрами.
Опр. Две вершины, которые соединяет ребро графа, называются граничными вершинами этого ребра.
Опр. Ребро, граничными вершинами которого является одна и та же точка, называется петлей.
Опр. Ребра с одинаковыми граничными вершинами называются кратными.
Опр. Вершины, которые не являются концами ребер, называются изолированными вершинам.

Напр.:
e2223456514478000
255841593345002234565933450013868409334500 v2e3 v3
e1
v1 e6e4
v4
24580851524000 ● v5
e5
e5 – петля
e2 и e3 – кратные ребра
v5 – изолированная вершина

Опр. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется пустым.
Опр. Граф без петель и кратных ребер называется простым.
Опр. Простой граф, в котором любые две вершины соединены ребром, называется полным.
Опр. Граф без петель, но с кратными ребрами называется мультиграфом.
Опр. Граф, содержащий петли и кратные ребра, называется псевдографом.
Опр. Две вершины графа называются смежными, если они являются граничными вершинами одного ребра.
Множество вершин V вместе с определенным на нем отношением смежности полностью определяет граф. При этом граф можно представить матрицей смежности. Строки и столбцы этой матрицы соответствуют вершинам графа, а ее (i; j)-ый элемент равен числу кратных ребер, связывающих вершины vi и vj. Матрица смежности симметрична относительно главной диагонали. В столбцах и строках, соответствующих изолированной вершине, все элементы равны нулю. Петлям соответствуют ненулевые элементы главной диагонали.
Если вершина vi является концом ребра ек, то говорят, что они инцидентны. Рассматривая инцидентность вершин и ребер (p; q) – графа, можно представить его матрицей инцидентности размера p ×q, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы – ребрам. Элементы этой матрицы определяются по правилу: (i; j)-ый элемент равен 1, если вершина vi инцидентна ребру еj, и равен 0, если vi и еj не инцидентны. Каждый столбец матрицы инцидентности содержит два единичных элемента. Нулевая строка соответствует изолированной вершине. Если в вершине vi имеется петля, то в соответствующей клетке ставится цифра 2.
Напр.: Дан граф
v3
e610096578105001962157810500186690781050010534657810500 e2
19621518796000
v2
e1 e7 e3 e4
19621511430000v1
e5 v4

Его матрица смежности:
v1 v2 v3 v4
v1 0 1 1 1
v2 1 2 1 0
v3 1 1 0 2
v4 1 0 2 0
Матрица инцидентности графа:
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
v1 1 0 0 0 1 0 1
v2 1 1 0 0 0 2 0
v3 0 1 1 1 0 0 1
v4 0 0 1 1 1 0 0
Опр. Граф G = (V; E) называется частью графа G = (V; E), если VV и ЕЕ.
Опр. Часть графа, которая не содержит изолированные вершины, называется подграфом.
Опр. Часть графа, которая, наряду с некоторым подмножеством ребер графа, содержит и все вершины графа, называется суграфом.
Напр.:
v3
e610096578105001962157810500186690781050010534657810500 e2
19621518796000
v2
e1 e7 e3 e4
19621511430000v1
e5
v4 v3
1866907810500 e2
v2

v1 ●
v3
e610096578105001866907810500 e2
1943101460500v2
e1
v1
v3
19431078105001866907810500 e2
19431018796000
v2
e1 e7
v1

v4
Граф Часть графа Подграф Суграф
Опр. Маршрутом длины т называется последовательность т ребер графа (не обязательно различных) таких, что два соседних ребра имеют общую вершину.
Опр. Маршрут, который приводит в ту же вершину, из которой начался, называется замкнутым.
Опр. Маршрут, все ребра которого различны, называется цепью, а маршрут, для которого различны все вершины, называется простой цепью.
Опр. Замкнутая цепь называется циклом, а простая замкнутая цепь – простым циклом.
Напр.:
e2223456514478000
255841593345002234565933450013868409334500 v2e3 v3
e1
v1 e6e4
v4
24580851524000
e5
Маршрут (e1, e2, e3, e6, e5, e6) имеет длину т = 6, проходит через вершины v1, v2, v3, v2, v5, v5, v2 и соединяет вершины v1 c v2.
Маршрут (e5, e4, e3, e1) имеет длину т = 4, проходит через вершины v5, v5, v3, v2, v1 и соединяет вершины v5 c v1.
(е2; е4; е6) – цепь
(е1; е2; е4) – простая цепь
(е2; е4; е5; е6) – цикл
(е3; е6; е4) – простой цикл
Опр. Две вершины графа называются связанными, если существует маршрут, соединяющий эти вершины. Граф, любая пара вершин которого связана, называется связным.
Всякий связный граф можно разделить на несвязные подграфы, если удалить из него некоторые вершины и ребра. При удалении вершин исключаются и все инцидентные им ребра, при удалении же ребер вершины сохраняются.
Опр. Вершина, удаление которой превращает связный граф в несвязный, называется точкой сочленения. Ребро с такими же свойствами называется мостом.
3453765264160003806190264160004615815264160004301490264160004615815264160002806065264160001558290-571500Напр.:точки сочленения
7677152540001624964254000767714254000767715253900
280606511176000467296511176000430149012128500280606512128500345376511176000377190207010001771652051050037719020701000
858520307340003771901739900076771517398900мост
точка сочленения
Содержание задания
Задание 1. Постройте граф, соответствующий данной матрице смежности:
1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1
1 1) Охарактеризуйте полученный граф.
2) Найдите в нем точки сочленения и мосты, если они есть.
3) Запишите для него матрицу инцидентности.
Задание 2. Дан граф:
13906515811500382524015811500
v2 v3
1710690863600022631408636000596265869950032346908699500171069086360001710690863600027679658636000226314086360005962658636000 v5
226314016764000 v1v4
226314018732500118681518732500226314018732500118681518732500
v6v7v8
1) Постройте часть графа, состоящую из 4вершин и 3 ребер; суграф с 5 ребрами.
2) Найдите какой-либо маршрут длины 5, 6, 7, 8, 9 и 10 между вершинами v5 и v6. Какова наименьшая длина такого маршрута?
6. Практическая работа № 2
Тема: «Составление матриц смежности и инцидентности ориентированного графа. Представление ордерева в ярусном виде»
Цель работы: закрепить навыки составления таблиц смежности и инцидентности ориентированных графов, построения графов бинарных отношений, представления ордеревьев в ярусном виде.
Методические указания
1. Ориентированные графы
Опр. Направленные ребра называются дугами,а граф, содержащий их, - ориентированным графом. Первая по порядку вершина дуги называется ее началом, вторая – концом.
Опр. Две кратные дуги называются строго параллельными, если они одинаково направлены, и нестрого параллельными, если противоположно направлены.
Матрица смежности орграфа. Каждую дугу орграфа ек представляют как упорядоченную пару вершин (vi; vj), при этом (i, j)-ый элемент матрицы смежности равен числу дуг, направленных от вершины vi к вершине vj.
(!!) Матрица смежности орграфа, в общем случае, несимметрична. Петлям соответствуют единицы на главной диагонали. Нулевая строка и нулевой столбец с тем же номером соответствуют изолированной вершине.
Матрица инцидентности орграфа. В случае орграфа ненулевой элемент матрицы инцидентности равен +1, если vi – начальная вершина дуги еj, и равен -1, если vi – конечная вершина дуги еj. Нулевой столбец в орграфе соответствует петле, при этом неясно, с какой вершиной связана петля.
Напр.: Для графа
12458709906000 v1 e1 v2
329564000329565000331470000 e3 e6
77724012827000 e2 v5
32956523812400 e4
v4e5 v3
Матрица смежности: Матрица инцидентности:
v1 v2 v3 v4 v5 e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1 1 1 1 v1 +1 +1 +1 v2 1 v2 -1 ±1v3 1 1 v3 +1 +1 v4 v4 -1 -1 v5 v5 -1 -1 При этом: +(v1) = 3 -(v1) = 0
+(v2) = 1 -(v2) = 2 ….
Опр. Маршрут, не содержащий повторяющихся дуг, называется путем, а не содержащий повторяющихся вершин, - простым путем.
Опр. Замкнутый путь называется контуром, а простой замкнутый путь – простым контуром.
2. Деревья
Опр. Связный ациклический граф называется деревом.
Опр. Ориентированное дерево называется прадеревом с корнем v0, если существует путь между вершиной v0 и любой другой его вершиной.
Опр. Висячая вершина ордерева называется листом.
Опр. Путь из корня в лист называется ветвью.
Опр. Длина наибольшей ветви ордерева называется высотой дерева.
Опр. Уровнем вершины ордерева называется расстояние от корня до этой вершины.
(!!)1 Корень имеет уровень равный 0.
(!!)2 Вершины одного уровня образуют ярус дерева.
3. Графы и отношения
Пусть на множестве Х задано бинарное отношение R. Ему соответствует ориентированный граф, вершины которого соответствуют элементам из Х, а дуга (xi; xj), где xi, xj∈Х существует тогда и только тогда, когда xiRxj. Если имеют место соотношения xiRxj и xjRxi, то вершины связываются 2-мя нестрого параллельными дугами, которые можно заменить ребром. Т.о., симметричному отношению соответствует неориентированный граф. Соотношению xiRxi соответствует петля, выходящая из xi и входящая в ту же вершину. Т.о., если R рефлексивно, то соответствующий граф имеет петли во всех вершинах. Если R транзитивно, то в графе для каждой пары рёбер (xi; xj) и (xj; xk) имеется замыкающее ребро (xi; xk).
Напр.: Пусть во множестве N = 1;2;3;4;5;6 задано бинарное отношение
R = 1;1;1;3;1;6;2;4;3;1;3;5;4;3;4;6;5;4;(5;6).Dom R = 1;2;3;4;5Im R = 1;3;4;5;6215836510477500 e1
Граф отношения:
233934068580001767840685800023393406858000 ● 1
e3
176784099060001767840996950024441159906000 6 ● e2 ●2
e8 e5
e10 e6
176784097790002444115977900017678409779000 5 ● ●3
e9 e4
● e7
4
Содержание задания
Задание 1. Постройте граф, соответствующий данной матрице смежности:
1 2 1
1 1 1 2 1 1 1
1 1 Определите все имеющиеся в нем виды маршрутов.
Найдите степени его вершин.
Задание 2.Во множестве N = 1;2;3;4;5 задано бинарное отношение
R = 1;2;1;4;2;1;2;3;2;5;4;2;4;4;4;5;5;2;(5;3). Для данного отношения запишите область определения и область значений. Нарисуйте граф этого отношения. Составьте для него матрицу смежности и инцидентности.
Задание 3. Представьте ордерево в ярусном виде, обозначив его вершины соответствующим образом. Найдите листья, вершины всех ярусов, высоту дерева.
186309014097000
14535156032500
1863090476250018630904762500145351547625001453515190500001453515190500003486151905000083439019050000
-70485157480001676401574800034861515748000
186309017208500186309017208500
-11811081915001676408191500
16764063500002914656350000

7. Практическая работа № 3
Тема: «Решение комбинаторных задач и уравнений»
Цель: приобрести практические навыки по вычислению числа соединений – вариантов различных выборок для конечных множеств в зависимости от конкретного случая.
Методические указания
1. Определение факториала
Опр. Произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно называется п-факториалом и обозначается п!, т.е. п! = 1∙2∙3∙…∙п
(!!) Считается, что о! = 1.
2. Основные правила комбинаторики
Правило умножения: Если некоторый элемент а можно выбрать т числом способов, а затем элемент в – п числом способов, то элемент «а и в» можно выбрать т∙п числом способов.
Правило сложения: Если некоторый элемент а можно выбрать т числом способов, а другой элемент в – п числом способов, то элемент «либо а, либо в» можно выбрать т+п числом способов.
Задача. Сколько однозначных, двузначных и трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3, если цифры могут повторяться?
/ Очевидно, что из данных цифр можно составить только одно четное однозначное число – 2.
При составлении двузначного числа авиз данных цифр вместо а можно взять любую цифру, кроме нуля (3 возможности),вместо в можно взятьвзять любую из цифр 0 и 2 (2 возможности).Т.о, согласно правилу умножения, имеем 3∙2= 6 способов составить нужное нам число.
При составлении трехзначного числа авс из данных цифр вместоа можно взять любую цифру, кроме нуля (3 возможности), вместо в можно взять любую из них (4 возможности), вместо с можно взять любую из цифр 0 и 2 (2 возможности). Т.о., согласно правилу умножения, имеем 3∙4∙2= 24 способа составить число, удовлетворяющее условию задачи.
Применяя правило сложения, получим: 1 + 6 + 24 = 31/
3. Алгоритм вычисления числа соединений
Установить количество элементов п всего множества и количество элементов т его подмножества.
Определить, влияет ли порядок расположения элементов в подмножестве на число вариантов различных подмножеств, состоящих из этих т элементов.
Выбрать, в зависимости от конкретного случая, комбинаторную операцию:
а) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем, и нет повторяющихся элементов, то перестановки без повторений: Pn = n!;
б) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем, и есть повторяющиеся элементы, то перестановки с повторениями: Рm1,m2,…,mn = (m1 +m2 + … + mn)! m1!∙m2!∙…∙mn!;
в) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем, и нет повторяющихся элементов, то размещения без повторений: Аnm = n!n-m!;
г) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем, и элементы повторяются, то размещения с повторениями: Аnm = пm;
д) если число комбинаций в подмножестве (выборке) не зависит от порядка расположения элементов в нем, и нет повторяющихся элементов, то сочетания без повторений: Cnm = n!n-m!m!;
е) если число комбинаций в подмножестве (выборке) не зависит от порядка расположения элементов в нем, и есть повторяющиеся элементы, то сочетания с повторениями: Cnm= m+n-1!m!n-1!.
Задача. Сколько различных натуральных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что любая из цифр в написании числа встречается не более одного раза?
/ Однозначных - А51= 5
Двузначных - А52= 5·4 = 20
Трехзначных - А53= 5·4·3 = 60
Четырёхзначных - А54= 5·4·3·2 = 120
Пятизначных - А55= 5·4·3·2·1 = 120
5+20+60+120+120= 325 /
Задача. В соревнованиях по волейболу участвуют 8 команд. Насколько более продолжительным будет турнир, организованный по круговой системе, чем по олимпийской?
/При проведении турнира по круговой системе каждый участник встречался с каждым и порядок их вхождения в пару не важен. Следовательно, по круговой системе потребуется провести 28встреч(С82), а по олимпийской только - 7 (четыре встречи в 14финала, две - в полуфинале и одна в финале)/
Задача. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2,3?
/ А32 = 32 = 9 /
Задача. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если 1 встречается 1 раз,2 – 2 раза, 3 – 2раза?
/ Р1,2,2= (1 +2 + 2)! 1!∙2!∙2!= 30 /
Задача. Имеются конфеты трех сортов в коробках. Сколько можно составить различных наборов из пяти коробок?
/ C35= 7!5!∙2!=…=21 /
Содержание задания
Задание 1. В футбольном турнире участвуют семь команд.
Найти число вариантов возможного распределения мест между ними.
Найти число вариантов распределения призовых мест.
Сколько игр будет проведено, если каждая команда проводит с каждым из соперников по одной игре?
Задание 2. В корзине лежат 7 белых шаров и 8 черных.
1) Сколькими способами можно достать из этой корзины 3 белых шара и 3 черных?
2) Ученик достает 3 шара одинакового цвета. Сколькими способами он может это сделать?
Задание 3.Сколькими способами можно разбить группу из 15 студентов на три подгруппы А, В и С по 3, 5 и 7 человек соответственно?
Задание 4. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 4, 5 и 7? Сколько среди них четных чисел?
Задание 5. Решите уравнение:
Pn=2Pn-2
8. Практическая работа № 4
Тема: «Вычисление вероятностей событий по определению»
Цель: приобрести практические навыки по вычислению вероятностей случайных событий по определению.
Методические указания
Опр. Вероятностью события А называется отношение числа М элементарных исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу всех элементарных исходов испытания.
109156513525500
Т.о.: Р(А) = МОпр. Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере всей области.
Алгоритм вычисления вероятностей событий по определению
Ввести обозначения для заданных величин и вопроса задачи.
Выбрать формулу вероятности, соответствующую данному случаю:
а) классическое определение: если задано общее число равновозможных исходов и число исходов М, благоприятствующих событию (которые можно сосчитать), то найти вероятность по формуле р = М;
б) геометрическое определение: если все возможные исходы можно изобразить с помощью геометрической фигуры, то надо:
- нарисовать эту фигуру;
- внутри нее нарисовать фигуру, соответствующую исходам, благоприятствующим событию;
- вычислить меры этих фигур (длины, площади, объемы);
- найти вероятность как отношение этих мер.
Задача. Брошена игральная кость. Найти вероятность следующих событий:
1) А – «выпало 3 очка»
/ По условию: N = 6, M = 1
р = М= 16 /
2) В – «выпало четное число очков»
/ По условию: N = 6, M = 3(2, 4, 6)
р = М= 36= 12 /
Задача. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара черные?
/ = С202 = 190, М = С82 = 28 => Р(А) = 1495 /
Задача. На плоскости нанесена сетка квадратов со стороной 8 см. Найти вероятность, что брошенный на плоскость круг радиуса 1см не пересечет ни одной стороны квадрата.
/
396240234950053911516637000 р = М= Sм.кв.Sб.кв.= 6282 = 3664 = 916 /
Содержание задания
Задание 1. Студент знает ответы на двадцать вопросов зачета из двадцати пяти. Какова вероятность того, что:
ему достанется на зачете известный вопрос?
из двух вопросов на зачете оба окажутся неизвестными?
Задание 2. Среди пятнадцати воздушных шаров четыре бракованных. Произвольно берут шесть шаров. Найти вероятность того, что среди них три бракованных.
Задание 3. Точку бросают наугад в круг радиусом 12 см. Какова вероятность того, что:
1) расстояние от точки до границы круга превысит 4 см?
2) точка окажется вне квадрата, вписанного в этот круг?

9. Практическая работа № 5
Тема: «Вычисление вероятностей сложных событий»
Цель: приобрести практические навыки по вычислению вероятностей случайных событий по известным вероятностям других событий, с ним связанных, используя теоремы сложения и умножения.
Методические указания
Алгоритм вычисления вероятностей событий
по известным вероятностям других событий, с ними связанных
1. Обозначить все события, указанные в задаче. Известные вероятности представить в виде дробей.
2. Установить связи между событиями.
3. Вычислить требуемые вероятности, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу для вычисления вероятности противоположного события:
Т1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, неважно какого, равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
63436543815 Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
00 Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Т2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.
63436543815 Р(А · В) = Р(А) · Р(В)
00 Р(А · В) = Р(А) · Р(В)

Т3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е.
63436543815Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∙ В)
00Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∙ В)

Т4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило, т.е.
63436543815Р(А · В) = Р(А) · РА(В)
00Р(А · В) = Р(А) · РА(В)

3901440-127000Если А и A - противоположные события, то Р(A) = 1 – Р(А)
Задача. От коллектива бригады, которая состоит из 6 мужчин и 4 женщин, на профсоюзную конференцию выбираются 2 человека. Какова вероятность, что среди выбранных хотя бы одна женщина?
/ 1 способ: ПустьА – «одна женщина»: Р(А) = С61∙С41С102=…= 815В – «две женщины»: Р(В) = С42С102=…= 215,
тогдаР(А+В) = 815+ 215= 1015= 232 способ: Пусть А – «два мужчины»: Р(А) = С62С102= 1545= 13, тогда Р(A) = 1 – Р(А) = 23 /
Задача. Два стрелка одновременно производят выстрел по мишени. Первый из них поражает цель в 80%, а второй – в 70% выстрелов. Какова вероятность поражения цели?
/1 способ: Р(А) = 0,8 Р(A) = 0,2
Р(В) = 0,7 Р(В) = 0,3
Р(A∙В) = 0,2·0,3 = 0,06=> Р(А+В) = 1 – 0,06 = 0,94
2 способ: Пусть Р(А) = 0,7 и Р(В) = 0,8, тогда Р(А·В) = 0,7·0,8 = 0,56.
А значит, Р(А+В) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94 /
Задача. В цехе 2 станка. Вероятность занятости каждого из них равна 0,7. Какова вероятность того, что один станок занят, а второй нет?
/ Пусть А – «занят только один станок»
А1 – «занят 1-й станок»
А2 – «занят 2-й станок», тогда А = А1 ·А2 + А1∙А2. А сл-но, Р(А) = 0,7·0,3 + 0,3·0,7 = 0,42 /
Задача. В ящике находятся 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет 2 детали. Вычислить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
/А – «1-я деталь стандартная» Р(А) = 812= 23В – «2-я деталь стандартная» РА(В) = 711Р(А·В) = 23∙711= 1433 /
Содержание задания
Задание 1. В двух залах кинотеатра идут два фильма. Вероятности того, что на определенный час в кассах первого и второго залов есть билеты, соответственно равны 0,3 и 0,1. Найти вероятность того, что на данный час:
нет билетов;
имеются билеты хотя бы в одной кассе;
только в одной кассе есть билеты;
имеются билеты не более чем в одной кассе.
Задание 2. В первом ряду сидят 8 юношей и 7 девушек. Из этого ряда вызывают к доске подряд трех студентов. Какова вероятность вызвать трех девушек?

10. Практическая работа № 6
Тема: «Вычисление полной вероятности события
и вероятностей гипотез»
Цель: приобрести практические навыки по вычислению вероятности события, которое может наступить только при условии появления одной из гипотез, образующих полную группу событий, а так же по переоценке вероятностей гипотез после того, как событие произошло.
Методические указания
Алгоритм вычисления вероятности события по формуле
полной вероятности и вероятности одной из гипотез по формуле Байеса
1. Дать описание всех гипотез и вычислить их вероятности.
2. Вычислить условные вероятности события по каждой гипотезе.
3. Выбрать нужную формулу:
А) для подсчета вероятности события - формулу полной вероятности
18726159588500
Р(А) = i=1nPHiPHi(A)Б) для подсчета вероятности гипотезы - формулу Байеса
206692510795000
PA(Hi) = P(Hi)∙PHiAi=1nPHiPHi(A)Задача. Пусть имеются три одинаковые урны с таким составом шаров:
2 белых и 1 черный;
3 белых и 2 черных;
1 белый и 3 черных.
Какова вероятность того, что извлеченный из произвольно взятой урны шар - белый?
/ Пусть А – «извлечен белый шар»,
Нi – «извлечен шар из i-ой урны», тогда
P(Нi) = 13 , PH1A= 23, PH2A= 35 и PH3A= 14.
А значит, Р(А) = 13 · 23 + 13 · 35 + 13· 14= …=91180 /
Задача. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый производит, в среднем, 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом?
/ Пусть А – «деталь отличного качества»,
Н1 – «деталь произведена 1-ым автоматом»
Н2 – «деталь произведена 2-ым автоматом»
P(Н1) = 23 , Р(Н2)= 13, PH1A= 0,6 и PH2A= 0,84=>PA(H1) = P(H1)∙PH1APH1∙PH1A + P(H2)∙PH2A = … = 1017/
Содержание задания
Задание 1. На склад поступает продукция от двух фабрик, причем продукция 1-ой фабрики составляет 65% от всей продукции. Известно, что средний процент бракованных изделий для 1-ой фабрики равен 2%, а для 2-ой – 3%. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие окажется бракованным.
Задание 2. В группе из 20 студентов, пришедших на экзамен, четверо подготовлены отлично, восемь – хорошо, шестеро – удовлетворительно и двое - плохо. Имеются 25 вопросов, причем отлично подготовленный студент может ответить на все, хорошо подготовленный – на 20, удовлетворительно подготовленный – на 15 и плохо подготовленный – на 10. Случайно выбранный студент смог ответить на доставшийся ему вопрос. Найти вероятность того, что он плохо подготовлен.
Задание 3. Имеются три урны с шарами: в первой - 3 белых и 7 красных, во второй – 8 белых и 2 красных, в третьей – 4 белых и 6 красных. Бросают игральную кость. При выпадении менее трех очков вынимают шар из первой урны, от трех до пяти очков – из второй, шести очков – из третьей урны.
А) Найти вероятность того, что вынутый шар красный.
Б) Вынутый шар оказался белым. Из какой урны наиболее вероятно он мог быть извлечен?

11. Практическая работа № 7
Тема: «Вычисление вероятностей в схеме Бернулли»
Цель: приобрести практические навыки по вычислению вероятностей событий в независимых повторных испытаниях по формуле Бернулли, а так же наивероятнейшего числа наступления события в схеме Бернулли.
Методические указания
Алгоритм вычисления вероятности события и наивероятнейшего числа
наступления события при повторных испытаниях:
1. Ввести обозначения для заданных величин
2. Выбрать нужную формулу:
А) для подсчёта вероятности наступления события т раз при п испытаниях формулу Бернулли:
21202658001000
рп(т) = Сnmpmqn-mБ) для подсчета вероятности наступления события не менее т раз при п испытаниях:
рп(т) + … + рп(п)
В) для подсчета вероятности наступления события менее т раз при п испытаниях:
рп(0) + … + рп(т-1)
Г) для подсчета вероятности наступления события не более т раз при п испытаниях:
рп(0) + … + рп(т)
Д) для подсчета вероятности наступления события более т раз при п испытаниях:
рп(т+1) + … + рп(п)
Е) для подсчета наивероятнейшего числа наступления события при п испытаниях:
212026513017500
пp – q ≤ μ ≤ пp + p
Задача. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 чёрных. Вынули подряд 5 шаров, причём каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующегошары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.
/ n = 5, m = 2, p = 1520= 34, q = 14р5(2) = C52p2∙q3 = 5!2!∙3!342∙143 = … = 45512/
Задача. Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажутся более 4-х стандартных.
/ n = 6, p = 0,02, q = 0,98
р6(0≤m≤1) = р6(0) + р6(1) = C60p0q6+ C61p1q5≈ 0,9943 /
Задача. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случае отбора партии из 75 изделий?
/ p =0,31, q = 0,69, n = 75
0,31 · 75 – 0,69 ≤μ≤0,31 · 75 + 0,31
22,56 ≤μ≤ 23,56
μ = 23 /
Содержание задания
Задание 1. Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время равна 0,85. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за это время откажут: а) ровно два узла; б) не менее двух узлов; в) хотя бы один узел; г) не более двух узлов.
Задание 2. На данной остановке данным маршрутом автобуса пользуются 20 человек, причем каждый из них, независимо от остальных, опаздывают на автобус с вероятностью 0,1. Чему равно наиболее вероятное число пассажиров, заполняющих автобус данного маршрута на данной остановке?

12. Практическая работа № 8
Тема: «Нахождение закона распределения случайной величины. Вычисление числовых характеристик ДСВ»
Цель: приобрести практические навыки по составлению ряда распределения, нахождению функции распределения и вычислению основных числовых характеристик ДСВ.
Методические указания
Опр. Соответствие между возможными значениями х1, х2, …, хп случайной величины Х и их вероятностями р1, р2,…, рп называется законом распределения случайной величины Х.
Закон распределения ДСВ может быть представлен таблицей, первая строка которой содержит возможные значения хi, а вторая – вероятности рi. Эта таблица называется рядом распределения. Причем, i=1npi=1.Ряд распределения можно задать графически, если по оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие вероятности этих значений. Соединив точки (хi; pi) последовательно отрезками, получают ломанную, которую называют многоугольником распределения вероятностей.
Опр. Модой ДСВ называется такое значение ДСВ, вероятность которого наибольшая.
Обозначение: Мо(Х)
Опр. Медианой ДСВ называется среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ.
Обозначение: Мс(Х)
Опр. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности появления этих значений, т.е.
232029015811500Обозначение: М(Х)
M(X) = xipiОпр. Дисперсией СВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания.
Обозначение: D(Х)
2806065149860004629157366000
D(X) = M (X – M(X))2 или D(X) = M(X2) – M2(X)
Если Х является ДСВ, то
190119012319000
D(X) = xi- M(X)2piОпр. Среднеквадратичным отклонением СВ называется арифметический квадратный корень из ее дисперсии.
234886520637500Обозначение: σ(Х)
σ(X) = D(X)Вычисление числовых характеристик случайных величин,
распределение которых подчиняется определенному закону
Вид распределения ДСВ Биномиальное
распределение Гипергеометрическое
распределение
Вероятность Cnkpkqn-kCMkCN-Mn-kCNnМатематическое ожидание np nMNДисперсия npq nMN-1(1 - MN)(1 - nN)
Задача. Найдите Мо(Х), Мс(Х), М(Х), D(X) и σ(Х), если СВ задана следующим рядом распределения:
Х 2 4 7 10 12
р 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
/ Очевидно: Мо(Х) = 7, Мс(Х) = 7
Для удобства вычислений остальных числовых характеристик все результаты можно свести в таблицу:
xi pi xi·pi xi - M(X) (xi - M(X))2·pi xi2 xi2·pi
2 0,1 0,2 -5 25·0,1=2,5 4 0,4
4 0,2 0,8 -3 9·0,2=1,8 16 3,2
7 0,4 2,8 0 0 49 19,6
10 0,2 2 3 1,8 100 20
12 0,1 1,2 5 2,5 144 14,4
1 7 8,6 57,6
M(X) D(X) M(X2)
D(X) = 57,6 – 72 = 8,6
σ(X) = 8,6≈2,93/
Задача. Проверка качества МК показала, что из каждых ста МК имеют дефекты в среднем 25 штук.
1) Составить ряд распределения СВХ– «число исправных МК» из взятых наудачу шести из них.
2) Найти числовые характеристики этой СВ.
/ По условию, п = 6, р = 0,75, q = 0,25
p6(0) = 0,256≈0,000 p6(1) = 6·0,75·0,255≈0,004
p6(2) = C62·0,752·0,254≈ 0,033 p6(3) = C63·0,753·0,253≈ 0,132
p6(4) = C64·0,754·0,252≈ 0,297 p6(5) = C65·0,755·0,25≈ 0,356
p6(6) = 0,756≈0,178
Т.о., закон распределения можно представить в виде ряда:
х 0 1 2 3 4 5 6
р 0,000 0,004 0,033 0,132 0,297 0,356 0,178
М(Х) = 6 · 0,75 = 4,5D(X) = 6 · 0,75 · 0,25 =1,125 σ(X) = 1,125 ≈1,06 /
Задача. В партии, состоящей из 10 МК, семь – стандартных. Контролер ОТК наудачу проверил два МК. Составить закон распределения числа обнаруженных стандартных МК и найти числовые характеристики этой СВ.
/ Х – число стандартных МК из взятых 2-х
Возможные значения этой величины: 0,1 и 2. Подсчитаем вероятности этих значений:
Р(х =0) = С70∙С32С102= 115 Р(х =1) = С71∙С31С102= 715 Р(х =2) = С72∙С30С102= 715Х 0 1 2
р 115715715Т.о., закон распределения этой ДСВ имеет вид:
1 способ: Найдем М(Х) и D(X) по общей формуле:
М(Х) = 0 · 115+ 1 · 715 + 2 · 715= 1,4
М(Х2) = 0 · 115+ 1 · 715 + 4 · 715= 213=>D(X) = 2,33 – 1,96 = 0,37и σ(Х) = 0,37 ≈0,62 способ: М(Х) = 2 ·710 = 1,4
D(X) = 2 ·79 (1 - 710)(1 - 210) = 2875 = 0,37/
Содержание задания
Задание 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:
Х 3 5 7 11 12
р 0,11 0,24 0,37 0,13 ?
а) Найдите недостающее значение вероятности.
б) Постройте многоугольник распределения.
в) Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.
Задание 2. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
xi 2 7 11
pi 0,1 0,3 0,6
Найдите медиану, моду, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Задание 3. Для следующих задач составьте закон распределения ДСВ и найдите ее математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение.
1) В магазин вошли три покупателя. Вероятность сделать покупку для каждого из них равна 0,25. Случайная величина Х – «число покупок».
2) В партии из двадцати деталей пятнадцать стандартных. Берут наугад три детали. Случайная величина Х – «число стандартных деталей» среди отобранных.

13. Практическая работа № 9
Тема: «Нахождение числовых характеристик непрерывных случайных величин»
Цель: приобрести практические навыки по вычислению основных числовых характеристик НСВ, а также установлению связей между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей для НСВ.
Методические указания
Опр. Функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее х, называется функцией распределения случайной величины (интегральной функцией распределения).
110109013144500
Т.о.: F(x) = p (X<x)
Опр. Первая производная интегральной функции распределения F(x) называется дифференциальной функцией распределения вероятностей f(x) (плотностью вероятности).
329184015811500110109015811500
Т.о.: f(x) = F(x) F(x) = -∞xf(x)dxВероятность нахождения величины Х в интервале а ≤Х≤ в
120586514859000
P(a≤X≤b) = F(b) - F(a) = abfxdxОпр. Математическим ожиданием НСВ с функцией плотности f(x), возможные значения которой принадлежат отрезку a;b, называется определенный интеграл abxfxdx, т.е.
208216514351000
M(X) = abxfxdxОпр. Дисперсией СВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания.
Для НСВ с плотностью распределения f(x):
166306514859000
D(X) = abx-M(X)2fxdxЗадача. Дана интегральная функция распределения вероятности
F(x) = 0, при х≤0,x2, при 0<х≤1,1, при х>1.Найти р (0,25 <Х <0,5) и плотность распределения вероятности.
/ р (0,25 <Х <0,5) = 0,25 – 0, 0625 = 0, 1875
f(x) = F(x) = 0, если х≤0,2х, если 0<х≤10, если х>1.,Задача. Дано: f(x) = 0,если х≤-π212cosx,если-π2<х≤π20, если х>π2. Найдите: F(x)
/ При х≤-π2 F(x) = -∞x0dx= 0
При -π2<х≤π2 F(x) = -∞-π20dx+ -π2x12cosхdx = 0+ 12sinхx-π2 = 12(sinx+ 1)
При х>π2 F(x)= 1
Т.о.: F(x) = 0,если х<-π212sinx+ 1,если-π2≤х<π21, если х≥π2 /
Задача. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ, заданной дифференциальной функцией распределения
f(x) =0 при х≤03x2 при 0<х≤10 при х>1./ М(Х) = 01x3x2dx = … = 34 D(Х) = 01х-3423x2dx = … = 0,04 σ(X) = 0,2 /
Содержание задания
Задание 1.Случайная величина Х задана функцией распределения:
F(x) = 0, если х≤1,(х-1)3, если 1<х≤2,1, если х >2.а) Постройте график функции распределения F(x).
б) Найдите плотность вероятности f(x) и постройте ее график.
Задание 2. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью вероятности f(x):
f(x) = 0 при х<0,29xпри 0≤х≤30 при х>3.,Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднеквадратическое отклонение σХ, а также вероятность попадания СВ Х в интервал (1; 1,5).
14. Практическая работа № 10
Тема: «Построение вариационного ряда и его графической диаграммы. Расчет по заданной выборке ее числовых характеристик»
Цель: приобрести практические навыки по построению дискретных вариационных рядов и их полигонов, а также вычислению числовых характеристик выборок различными методами.
Методические указания
Опр. Совокупность всех мысленно-возможных объектов данного вида, над которыми производится наблюдение с целью получения конкретных значений определенной случайной величины, называется генеральной совокупностью.
Опр. Часть отобранных объектов из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью (выборкой), а число объектов выборки – ее объемом.
Опр. Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариант хi c соответствующими им частотами mi (или частостями p*i).
Опр. Значение СВ, соответствующее определенной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных - частотой варианты (ее весом).
Опр. Разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.
Опр. Полигоном частот (относительных частот) называется ломаная, отрезки которой соединяют точки (х1; т1), (х2;т2), …((х1; р*1), (х2; р*2), …).
Опр. Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений СВ с соответствующими частотами (или частостями) попадания значений величины в каждый из них.
Опр. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению mih (плотность частоты), где mi – сумма частот вариант, попавших в i- ый интервал.
Опр. Средним арифметическим Х наблюдаемых значений СВ Х называется частное от деления суммы всех этих значений на их число, т.е.
245364013335000
Х = i=1nxinЕсли данные наблюдений представлены в виде дискретного вариационного ряда, где х1, х2,…,хк – наблюдаемые варианты, а т1, т2,…,тк – соответствующие им частоты (i=1кmi = т), то по определению,
2377440-9080500Х = i=1кximinЗадача. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 50
xi 2 5 7 10
mi 16 12 8 14
Найти выборочную среднюю.
/ X = 2∙16+5∙12+7∙8+10∙1450 = 5,76 /
(!!) Если первоначальные варианты хi – большие числа, то для упрощения расчёта целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т.е.перейти к условным вариантам ui = xi–C, тогда X= С + i=1kxi∙minЗадача. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема п = 10
хi 1250 1270 1280
mi 2 5 3
/ Перейдём к условным вариантамui = xi – 1270, получим
ui -20 0 10
mi 2 5 3
X= 1270 +-20∙2+0∙5+10∙310= 1270 – 1 = 1269 /
Опр. Выборочной дисперсией D*Хзначений СВ Х является среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического.
3263265-190500948690-190500Т.о.: D*Х= i=1k xi-X2min или D*Х= i=1kхi - Х2pi*Опр. Выборочное среднеквадратическое отклонение:
227266515430500
σ*(Х) = D*(Х)Наряду с выборочной дисперсией D*Х= i=1k xi-X2min в качестве приближенного значения генеральной дисперсии DХ используют величину, которую называют исправленной выборочной дисперсией:
219646510795000
S2= i=1k xi-X2min-1Очевидно: S2 = nD*Хn-1.
Задача. Найти выборочную и исправленную выборочную дисперсии по данному распределению выборки
хi -2 0 4
mi 2 3 5
/ Х = -2∙2+0∙3+4∙510 = 1,6 Х2 = 4∙2+0∙3+16∙510 = 8,8
D*(X) = 8,8-1,62 = 6,24 S2 = 10·6,249 = 6,93 /
Содержание задания
Задание 1. Постройте вариационный ряд и полигон относительных частот по данным выборки:5, 8, 7, 6, 7, 8, 9, 5, 10, 8, 7, 5, 6, 6, 9, 7, 8, 6, 7, 10.
Найдите размах выборки, ее моду и медиану.
Задание 2. В техникуме проводилось тестирование по философии, содержащее 60 вопросов. Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид: 44, 36, 56, 60, 50, 48, 55, 24, 52, 52, 54, 45, 43, 60, 40, 52, 54, 56,49, 59, 58, 32, 50, 60, 60. Составьте интервальный вариационный ряд и постройте гистограмму частот.
Задание 3. Найдите выборочную среднюю, выборочную и исправленную выборочную дисперсии по данному распределению выборки:
xi 1 3 4 7
mi 15 10 20 5

15. Практическая работа № 11
Тема: «Расчет сводных характеристик выборки различными методами»
Цель: приобрести практические навыки по вычислению числовых характеристик выборок различными методами.
Методические указания
Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии
Пусть выборка задана в виде распределения равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. В этом случае удобно находить выборочные среднюю и дисперсию методом произведений по формулам:
274320958850020554959588500
X= M1*∙h+C и D*(X) = (M2* - (M1*)2) ·h2 , где
h – шаг (разность между двумя соседними вариантами)
C – ложный нуль (варианта, которая расположена примерно в середине вариационного ряда)
ui = xi-Ch - условная варианта
М1* = miuin – условный момент 1-го порядка
М2* = miui2n – условный момент 2-го порядка
Задача. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсии по заданному распределению выборки объёма п = 100.
хi 12 14 16 18 20 22
mi 5 15 50 16 10 4
/ 1) Найдём шаг h = 14 – 12 = 2
2) В качестве ложного нуля возьмём варианту, имеющую наибольшую частоту, т.е. С = 16.
2) Составим расчётную таблицу
xi mi ui miui miui2 mi(ui + 1)2
12 5 -2 -10 20 5
14 15 -1 -15 15 0
16 50 0 0 0 50
18 16 1 16 16 64
20 10 2 20 40 90
22 4 3 12 36 64
Итого 100 23 127 273
Контроль: miui2+ 2 ui+ 1= miui2+ 2miui+ n = 100 + 23 + 127 = 273
3) Вычислим условные моменты М1* = miuin = 23100 = 0,23
М2* = miui2n = 127100 = 1,27
4) Найдем искомые выборочные среднюю и дисперсию
X= M1*∙h+C = 0,23 · 2 + 16 = 16,46 D*(X) = (M2* - (M1*)2) ·h2 = (1.27 – 0,232) · 4 = 4,87 /
(!!) Если первоначальные варианты не являются равноотстоящими, то интервал, в котором заключены все варианты выборки делят на несколько равных, длины h, частичных интервалов (каждый интервал должен содержать не менее 8 – 10 вариант). Затем находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант. В качестве частоты каждой середины интервала принимают сумму частот вариант, которые попали в соответствующий частичный интервал.
249936067373500При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки, вызванной группировкой, делают поправку Шеппарда, а именно: вычитают из найденной дисперсии 112 квадрата длины частичного интервала.
Т.о., с учетом поправки: D*’ = D* - h212Задача. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсии по заданному распределению выборки объёма п = 100.
хi 2 3 7 9 11 12,5 16 18 23 25 26
mi 3 5 10 6 10 4 12 13 8 20 9
/ 1) Разобьем интервал 2 - 26 на 4 частичных интервала длины h= 6: 2 - 8; 8 – 14; 14 – 20; 20 – 24. Приняв середины этих интервалов в качестве новых вариант уi, получим равноотстоящие варианты: 5; 11; 17 и 23.
Составим вариационный ряд:
yi 5 11 17 23
mi 18 20 25 37
Пользуясь методом произведений найдем Х (15,86) и D* (45,14).
C учетом поправки Шеппарда D*’ = 45,14 - 6212 = 42,14 /
Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии
При использовании метода сумм моменты 1-го и 2-го порядков находятся по формулам:
-800101562100022174208953500
М1* = d1n и М2* = S1+2S2n , где
d1 = a1 – b1, s1 = a1 + b1, s2 = a2 + b2
Задача. Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсии по заданному распределению выборки объёма п = 100.
xi 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84
mi 2 4 6 8 12 30 18 8 7 5
/ 1) Составим расчётную таблицу:
xi mi b1 = 72 b2 = 70
48 2 2 2
52 4 6 8
56 6 12 20
60 8 20 40
64 12 32 0
68 30 0 0
72 18 38 0
76 8 20 37
80 7 12 17
84 5 5 5
n = 100 a1 = 75 a2 = 59
В качестве ложного нуля С выберем варианту 68, которая имеет наибольшую частоту и находится примерно в середине таблицы. В клетках строки, содержащей ложный нуль, запишем нули. В 4-ом столбце над и под уже помещённым нулём запишем ещё по одному нулю. В оставшихся незаполненными над нулём клетках 3-го столбца (исключая самую верхнюю) запишем последовательно накопленные частоты: 2, 2 + 4 = 6, 6 + 6 = 12, … Сложив все накопленные частоты, получим число b1 = 72.
Аналогично поступим с клетками под нулём. При этом получим число а1.
Заполняя 4-ый столбец, суммируем частоты 3-го столбца. Т.о. находим b2 и а2.
2) Найдём d1 = a1 – b1 = 3
s1 = a1 + b1 = 147
s2 = a2 + b2 = 129
3) Вычислим условные моменты:
М1* = 0,03, М2* = 147+2∙129100 = 4,05
4) Учитывая, что h = 4 и ложный нуль С = 68, находим: X= M1*∙h+C = 0,03· 4 + 68 = 68,12
D*(X) = (M2* - (M1*)2) ·h2 = (4,05 – 0,032) · 14 = 64, 87 /
Содержание задания
Задание 1. Найдите методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсии по заданному распределению выборки:
хi 5 10 15 20 25 30
mi 3 7 17 13 6 4
Задание 2. Найдите методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсии по заданному распределению выборки:
xi 32 34 36 38 40 42 44 46 48
mi 5 9 10 15 21 22 11 6 1

16. Список рекомендуемой литературы
М.С. Спирина, П.А. Спирин. Теория вероятностей и математическая статистика / Учебник/ - М: Издательский центр «Академия», 2007, 352 с.
Н. В. Калинина, В. Ф. Панкин. Математическая статистика. - М: Высшая школа, 2004, 336 с.
Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская, В. В. Соколов. Теория вероятностей и математическая статистика / Учебник / - М: Форум-ИНФРА-М, 2003, 240 с.

Приложенные файлы

  • docx file9.doc
    Размер файла: 287 kB Загрузок: 13