Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
ДЕЛИМОСТЬ И ОСТАТКИ ДЕЛИМОСТЬ И ОСТАТКИ 1. Простые и составные Вы, конечно, хорошо знаете, что среди натуральных чисел есть простые и составные. Число является составным, если оно равно произведению двух меньших натуральных чисел (например, 3 • 5 = 15). В противном случае число (если оно, кроме того, отлично от единицы) называется простым. Единица не является ни простым, ни составным числом! Простые числа являются «кирпичиками», из которых состоят составные числа. Рассмотрим число 420. Оно, без сомнения, составное. Его можно разложить на множитель, например, 420 = 42х 10. Каждое из чисел 42 и 10 также составное: 42 = 6x7, 10 = 2x5. Но 6 = 2x3, тогда 420 = 2x2x3x5x7. Мы получили разложение нашего числа на простые множители. Основная теорема арифметики: Каждое натуральное число, за исключением единицы, раскладывается в произведение простых сомножителей, причем единственным образом. Свойства делимости практически полностью определяются разложением числа на простые множители. Определение 1. Два числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, отличных от единицы. Примечание 1. Два простых числа являются взаимно простыми. Примечание 2. Если некоторое число делится на два взаимно простых числа n и m, то оно делится и на их произведение nm. Примечание 3. Если число р • А делится на q, где р и q взаимнопросты, то и А делится на q. Определение 2. Наибольшим общим делителем (для краткости НОД) двух чисел называется наибольший из общих делителей этих чисел. Определение 3. Наименьшим общим кратным (НОК) двух чисел называется наименьшее число, делящееся на каждое из них. Так, например, НОД (18, 24) = 6; НОК (18, 24) = 72. Пример 1. Р— простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших Р и взаимно простых с ним; б) меньших Р2 и взаимно простых с ним? Решение. Простые рассуждения показывают, что условие а) выполняется для Р— I числа, а условие б) выполняется для Р* (Р— 1) чисел. Задачи1.Делится ли 2^9 • 3 на 2?Решение2. Делится ли 2^9 • 3 на 5? Решение3. Делится ли 2^9 • 3 на 8? Решение4. Делится ли 2^9 • 3 на 9? Решение5. Делится ли 2^9 • 3 на 6? Решение6. Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и 3, то оно делится на 12? Решение7. Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24? Решение 8. Число А не делится на 3. Может ли на 3 делиться число 2А?Решение9. Число А — четно. Верно ли, что ЗА делится на 6?Решение10. Число 5А делится на 3. Верно ли, что А делится на 3? Решение11.Число 15 А делится на 6. Верно ли, что А делится на 6? Решение12. Может ли N! оканчиваться ровно на 5 нулей?Решение Ответ: Да, так как 2 входит в разложение этого числа на простые множители. Ответ: Нет, потому что в разложении этого числа на простые множители нет простого числа 5. Ответ: Да, поскольку 8 = 23, а в разложение данного числа на простые множители двойка входит 9 раз. Ответ: Нет, так как в разложение данного числа на простые множители тройка входит лишь один раз, а в разложение 9 — дважды. Ответ: Да, потому что 6 = 2*3, а 2 и З входят в разложение Данного числа на простые. Ответ: Да, поскольку в разложение на простые множители числа, делящегося на 4, двойка входит по крайней мере 2 раза; а так как число делится и на 3, то в его разложение входит и тройка. Поэтому оно делится на 12 Ответ: Нет, например число 12. Дело в том, что если число делится на 4, то в его разложение на простые множители, по крайней мере, дважды входит число 2; из делимости числа на 6 следует, что в его разложение входят 2 и 3. Таким образом, заведомо в его разложение входит две (не три!) двойки и одна тройка, и можно утверждать лишь то, что число делится на 12. Ответ: Нет, поскольку тройка не входит в разложение на простые множители числа 2А. Ответ: Да, так как 2 и 3 входят в разложение числа ЗА на простые множители. Ответ: Да, потому что в разложение числа 5А на простые множители тройка входит, а в разложение числа 5 — нет. Ответ: Нет, например, А = 2. Тройка, входящая в разложение числа 6, входит и в разложение числа 15. Поэтому можно утверждать лишь то, что в разложении числа А обязательно есть двойка. Решение. Необходимо подсчитать, сколькими нулями оканчивается число, для этого подсчитать, сколько десяток и пятерок входят в произведение N!. Нетрудно отыскать, что 24! Оканчивается четырьмя нулями, а 25! – шестью.Ответ: нет.
Приложенные файлы
