Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
Остатки ОстаткиОпределение. Разделить натуральное число N на натуральное число m с остатком – означает представить N в виде N = km + r, где 0 ≤ r < m. При этом число r называется остатком от деления N на m.Утверждение 1. Сумма любых двух натуральных чисел и сумма их остатков имеют одинаковые остатки при делении на натуральное n.Утверждение 2. Произведение любых двух натуральных чисел и произведение их остатков имеют одинаковые остатки при делении на натуральное n. Задачи1.Найдите остаток от деления 2003· 2004· 2005 + 2006³ на 7.Решение2. Докажите, что N³ + 2N делится на 3 для любого натурального N.Решение3. Дискриминант любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами равен 27. Что вы можете сказать о его корнях?Решение4. X, Y, Z – натуральные числа, причем X² + Y² = Z² . Доказать, что X·Y делится на 12.Решение5. а) A+1 делится на 3. Докажите, что 4+7А делится на 3. б) 2+ А и 35 – В делятся на 11. Докажите, что А+В делится на 11.Решение 6. Докажите, что существует такое натуральное N, что числа N + 1, N + 2, … , N + 2005 – составные.Решение7. Докажите, что существует бесконечное множество простых чисел.Решение Решение. Произведем действия с остатком от деления каждого из чисел на 7: 1·2·3 + 4³. Обратим внимание на то, что 4³ = 64 = 7·9 + 1, тогда 6 + 1 = 7, и остаток от деления на 7 будет равен нулю. Решение. Число N при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1, 2. Рассмотрим все возможные случаи:Если N дает остаток 0, то и N³ и 2N делятся на 3, и поэтому N³ + 2N также делятся на 3.Если N дает остаток 1 , то и N³ дает остаток 1, 2N – остаток 2, а 1+2 делится на 3.Если N дает остаток 2 , то и N² дает остаток 1, N³ – остаток 2, 2N – остаток 1, а 2 + 1 делится на 3. Решение. Кажется, что можно говорить о том, что уравнение имеет два различных действительных корня. Обратим внимание на дискриминант этого уравнения: D =b² – 4ac. Можем утверждать, что дискриминант квадратного уравнения должен при делении на 4 иметь в остатке 1 или 0, а 27 при делении на 4 имеет остаток 3. Уравнения удовлетворяющего условию задачи не сущетвует. Решение. Если ни одно из чисел X, Y не делится на 3, то Z² дает остаток 2 от деления на 3, что невозможно. Заметьте также, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1, квадрат четного числа, не делящегося на 4, - остаток 4, квадрат числа, делящегося на 4, остаток 0. Остаётся доказать, что либо X и Y оба четны, либо среди них есть число, кратное четырем. Решение. а) 4 + 7А = 4(А + 1) + 3А;б) А+В = (2+А) – (35- В) + 33. Решение. Число N + 1 должно быть составным. Попытаемся пойти по самому простому пути: сделаем так, чтобы N + 1 делилось на 2. N + 2 также должно быть составным, но делиться на 2 уже не может. Попытаемся опять пойти по самому простому пути: хотелось бы сделать так, чтобы N + 2 уже делилось на 3. Продолжая в том же духе, можно попытаться найти число N такое, что N + 1 делится на 2, N + 2 – на 3, N + 3 – на 4 и так далее. Это равносильно тому, что N – 1 делится на 2, 3, 4, … , 2006. Такое число, конечно, существует – например 2006!. Итак, в качестве искомого N можно взять число 2006! + 1. Решение. Предположим противное. Пусть p1, p2, … , pn – все простые числа. Рассмотрим число p1 p2 pn + 1. Это число не делится ни на одно из чисел p1, p2, … , pn и, следовательно, не может быть разложено в произведение простых. Противоречие.
Приложенные файлы
