От игры к знанию или искусство разрезания квадрата на равные части


Паршева Валентина Васильевна,
учитель математики,
МБОУ «СОШ № 24» г. Северодвинска,

От игры к знанию или искусство разрезания квадрата на равные части
В педагогике всегда уделялось много внимания игре, так как игра может привить постоянное стремление пополнять недостающие знания, заставляет вспомнить то, что узнали на уроках. Познавательные игры помогают воспитать такие качества, как глазомер, пытливость, любознательность, сообразительность, наблюдательность. Развиваются такие качества ума как смекалка, догадка, гибкость ума. Математические развлечения помогут ребятам проявить интерес к математике, так как математические развлечения очень разнообразны. Такие игры могут помочь вовлекать учащихся в учебную исследовательскую и проектную деятельность. Особое место принадлежит геометрическим головоломкам.
-323852338070Занятия кружка «Математическое конструирование» в 5 классе мы начали с решения геометрических головоломок на разрезание квадрата на две равные части. Прежде всего, мы условились, что будем понимать под словом «разрезание». Решение задач на разрезание квадрата на части не означает, что при их решении потребуются ножницы. Здесь имеется в виду, что нужно начертить на клетчатой бумаге заданный в условии задачи квадрат и показать, как должны проходить линии разреза. Способы разрезания считаются разными, если части квадрата, полученные при одном способе, не равны частям квадрата, полученные при другом способе.
Если не оговаривать условия разрезания, ребята могут придумать много способов решения поставленной задачи.
Работа выполнена ученицей 5 класса В Шелещук Дариной.
Теперь усложним задание (первая проблема): пусть линии разреза проходят только по сторонам клеточек. Ребята замечают, что у Даши есть такие решения. Не сразу, но появляются решения и у других ребят. И тут новый проблемный вопрос: сколько существует разных вариантов разрезания квадрата на две равные части при условии, что линии разреза проходят по сторонам клеток. Ученики пытаются в ИГС GeoGebra найти способы выполнения разрезов по данному условию, но довольно быстро запутываются. Появляется предложение: надо придумать какое-то правило построения разреза, какой-то порядок построения. Начинаем думать, рассуждать, выдвигать предложения. Первое предложение: В квадрате со стороной 4 клеточки, всего 16 клеток, тогда в половине - 8 клеток. Какие фигуры можно из них составить? Составим из них фигурки так, чтобы любая из восьми клеточек имела общую сторону хотя бы с одной из остальных клеточек. Причем в один ряд можно выстраивать не более 4 клеточек, потому что сторона квадрата состоит из четырех клеточек. Способов перестановок квадратиков много. Получается множество многоугольников, состоящих из восьми клеточек.

Всегда ли из получившихся одинаковых многоугольников можно составить квадрат?
-2324108953512649Ученики делают попытку составить квадрат из двух одинаковых многоугольников. Одни, вырезав по две одинаковые фигуры, пытаются составить из них квадрат. Другие составляют квадрат из равных многоугольников в интерактивной геометрической среде.
Сделав этот эксперимент, ученики пришли к выводам:
Число многоугольников, которые можно составить из квадратиков большое. Перепробовать все варианты очень трудно, надо затратить много времени. Работа требует большого внимания и терпения.
В одних случаях из двух одинаковых многоугольников составить можно (1, 6, 9), в других – нет (2, 4). Так как вариантов составления многоугольников много, то установить число вариантов разрезания мы не смогли.

В результате проб и ошибок было установлено выполнение поставленной задачи с помощью разрезаний квадрата по данному условию следующим образом: Все ли способы разрезания по данному условию найдены? Утверждать или отрицать нельзя. Если ребята сами не заметили, то нужно обратить их внимание на то, что все ломаные проходят через центр квадрата. Ломаная, делящая квадрат на две равные части, симметрична относительно центра квадрата. Это наблюдение позволяет шаг за шагом рисовать ломаную с двух концов.
-3238549530Чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила: если следующее звено ломаной можно рисовать двумя способами, то сначала надо заготовить второй такой же рисунок и выполнять этот шаг на одном рисунке первым, а на втором рисунке – вторым способом. Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три. С помощью этого правила составим схему поиска способов разрезания квадрата со стороной 4 клетки на две одинаковые части линией, проходящей по сторонам клеток.
Первая часть схемы

Вторая часть схемы

В результате наблюдений, сопоставлений, сравнений, рассуждений, анализа было установлено, что существует шесть способов.

2091690182880
Выполняя работу в ИГС GeoGebr, ученики получили и такие результаты:
Безусловно, возник вопрос «Это разные или одинаковые способы разрезания?» После обсуждения в группах пришли к выводу, что полученные части в представленных способах одинаковые, значит способы разрезания одинаковые. Надо отметить, что ученики шли к выводу разными путями. Кто-то взял ножницы, разрезал второй и третий квадраты на части и, прикладывая части к первому квадрату, убедился, что части равны. Кто-то утверждал о равенстве частей интуитивно. Кто-то выполнил отображение частей относительно центра или оси симметрии, квадрата во втором и третьем квадрате и воочию убедил всех в справедливости вывода.
Затем ученикам было предложено несколько головоломок на разрезание квадрата из 16 клеток.
Задача 1. Парк квадратной формы решили разделить на две равные зоны отдыха так, чтобы в каждой зоне оставить по клену, кусту роз и статуе. Каким образом это можно сделать?
Задача 2. Квадрат разрезать на две равные части так, чтобы в каждой было по две желтые клеточки.
Задача 3. Можно ли квадрат разрезать на две равные части так, чтобы в каждой было по одной звездочке?

В третьей задаче было найдено четыре способа решения.

Ученикам предлагается творческое задание: придумать свою головоломку на разрезание квадрата на две равные части. После обсуждения в группах был составлен план работы.
Первый этап.
Разрезаем квадрат на одинаковые части.
Расставляем четное количество одинаковых фигур одного, двух или трех видов так, чтобы в каждой части оказалось одинаковое число фигур каждого вида.
-51435800100Второй этап. Убираем следы «разрезов» и формулируем условие задачи: Разрезать квадрат на две одинаковы части так, чтобы в каждой части было одинаковое число фигур каждого вида.
14808201754505-38101754505Полезно предлагать ученикам для решения головоломки, которые имеют как несколько решений, так и такие, которые не имеют решения.
-29610051062355Ребята увлеклись составлением головоломок по разрезанию квадрата из 16 клеток, создана коллекция таких головоломок, которые будут использованы на внеклассном мероприятии для 5-х классов во второй четверти.
Работа выполнена Гусейновым Тимуром (5 класс Б)
-4476115106680
Для того, чтобы еще раз обратить внимание учащихся на то, что линия разреза квадрата на две равные части проходит через центр квадрата, полезно им предложить такую задачу: Как провести линию разреза квадрата на две равные части, чтобы она проходила через точку А?
Составляем план решения и затем выполняем построение линии разреза.
Найдем центр квадрата.
Проведем прямую через центр О и точку А.
Отрезок ВС − линия разреза.
-5143549530И еще одна полезная задача. Можно ли квадрат 55 клеток разрезать на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток?
Решение. Построенный квадрат 55 клеток разрезать на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток нельзя, т.к. площадь квадрата составляет 25 клеток. Если 25 разделить на 2, то получится 12 целых клеток и две половинки, что противоречит условию задачи. Но, если из центра этого квадрата удалить одну клетку, то получившуюся фигуру из оставшихся 24 клеток можно разделить на две равные части.
-1276352539365Большой интерес у многих учеников вызвала головоломка, для решения которой надо квадрат из 36 клеточек разрезать на две равные части. Принцип решения головоломки такой же, и ребята с усердием принялись искать решения. Но через некоторое время увидели, что установить найден новый способ или такой способ уже был, оказалось задачей трудной. Решили обсудить создавшуюся ситуацию. Замысел головоломки понятен. Вспомнили полезное правило разрезания квадрата, чтобы не потерять какое-либо решение: если следующее звено ломаной можно рисовать двумя способами, то сначала надо заготовить второй такой же рисунок и выполнять этот шаг на одном рисунке первым, а на втором рисунке – вторым способом. Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три. Но как сопоставить и узнать, нет ли повторений при поиске линий разреза? Пришла идея – надо придумать шифр! Но какой и как?
38101254125Каждому рисунку присваивается имя – шифр решения, состоящий из 14 цифр. Первый шаг: от верхнего правого угла квадрата (на рисунке обозначить точкой) каждая сторона клеточки обозначается: вправо цифрой 1, вниз – цифрой 2, влево – цифрой 3, вверх – цифрой 4. Каждому решению головоломки соответствует единственный шифр. Почему 14 цифр? При поиске решений было обнаружено, что до центра квадрата наибольшее число сторон клеточек, по которым проходит линия разреза равно 14. Пусть решение имеет шифр 12112200000000-Ц. Это обозначает: линия разреза (ломаная) строится следующим образом: от верхней левой вершины квадрата отступаем 1 клеточку, далее одна клеточка вниз, две – вправо, две – вниз. Цифра 0 обозначает, что построение первой части ломаной закончено, дошли до центра квадрата, обозначенного буквой Ц. Вторую часть ломаной строим, начиная от правого нижнего угла квадрата симметрично первой части относительно центра квадрата. Итак, так как способов разрезания много, каждое построение линии разреза шифруем для того, чтобы затем выявить способы, которые повторяются, и исключить повторения. Чтобы избежать повторений из-за симметрии относительно центра квадрата, симметрии относительно оси симметрии, проходящей через середины противоположных сторон квадрата или поворота на 90 относительно центра квадрата, решили, что выполнять разрез надо, начиная с левой верхней вершины на одну, две или три клеточки. Причем в последнем случае надо проверить, нет ли повторений одинаковых многоугольников из-за симметричности. Решения головоломки хранится в компьютере в папке в виде файлов типа PDF, каждому файлу присвоено имя – шифр решения. Файлы упорядочиваются автоматически. Если выполнили новое построение, то всегда по шифру можно быстро установить есть уже такое решение или нет. В случае отсутствия такого решения создается соответствующий файл со своим шифром. Известно, что существует более 200 способов разрезания квадрата 6 на 6 на две равные части ломаной, проходящей по сторонам клеточек. Нами найдено около 160 способов, но еще не все они внесены в нашу коллекцию, так требуется их проверить, зашифровать и создать соответствующие файлы. Эта работа требует большого внимания, не терпит торопливости.
В результате обучения учащихся технологии и стратегии решения головоломки разрезания квадрата на две равные части был создан коллективный проект в виде презентации «Разрезание квадрата на две равные части». Затем ученики создали свои мини проекты в виде коллекций «Разрежь квадрат», в которых представляли свои головоломки на разрезания квадрата на две равные части. Группа учеников, членов кружка работают над проектами «Разрезание квадрата на четыре равные части», «Задачи на разрезание в книгах Я.И. Перельмана». «Искусное разрезание и составление фигур», «Разрезание фигуры на равные части», "Конструирование из Т". Особое место занимает разработка проекта «Праздник головоломок», который планируем провести в конце учебного года. Работа по созданию коллекций по разрезанию фигур на части и составлению из них новых фигур (квадрата или прямоугольника) продолжается. В итоге планируется создать большой коллективный долгосрочный проект «Семь раз отмерь, один раз отрежь».
Выводы.
Решение головоломок на разрезание развивает у школьников навыки алгоритмического мышления и памяти. Развивает способность мысленно манипулировать с фигурами, предвидеть результат своих действий с фигурами, выстраивать стратегию решения головоломки.
У учащихся вырабатывается опыт использования таких преобразований плоскости как симметрия, поворот на угол в заданном направлении.
При выполнении экспериментов, моделирования у учеников формировались навыки работы с программами МSOffice Word, MS Office PowerPoint, ИГС GeoGebra.
В ходе работы над проектом «Семь раз отмерь, один раз отрежь», учащиеся знакомятся с решением нестандартных задач, что способствует развитию познавательной активности школьников, повышению интереса к математике.
Библиографический список
Задачи для внеклассной работы по математике в 5–6 классах: Пособие для учителей / Сост. Сафонова В.Ю. Под редакцией Фукса Д.Б., Гавронского А.Л. М.: МИРОС, 1993. 72 с.
Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. 576 с.
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия, 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учреждений. М.: Дрофа, 2013. 189с.
Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку: Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. М.: Дрофа, 2003. 96 с.

Приложенные файлы

  • docx file1doc
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 6