Урок геометрии в 8 классе по теме теорема пифагора

Урок геометрии в 8 классе по теме «Теорема Пифагора»
Цели урока:
Обеспечить понимание содержания учебного материала всеми учащимися.
Формировать умение учащихся делать выводы по результатам анализа.
Формировать умение учащихся проводить доказательства теоремы Пифагора и ей обратной.
Формировать умение учащихся применять доказанные теоремы при решении задач.
Научить детей самостоятельно добывать знания.
Способствовать развитию у учащихся познавательных и исследовательских умений.
Содействовать развитию эмоциональной сферы, монологической речи учащихся.
Содействовать развитию памяти.
Содействовать развитию элементов творческой деятельности как качеств личности.
10. Создать в классе условия для успешного восприятия, запоминания и применения учебного материала.
11. Повышать культуру общения.
12. Содействовать воспитанию положительного отношения к знаниям и процессу учения.
13. Содействовать воспитанию средствами учебного занятия уверенности в своих силах.

Оборудование: портрет Пифагора; чертежи для доказательства теоремы; таблицы «Пифагоровы тройки чисел»; презентация к уроку ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])

Эпиграф к уроку «Как хорошо, когда благоденствие человека основано на законах разума»
Пифагор.
Ход урока
I Организационный этап
Сообщаю учащимся, что сегодня мы проводим учебное занятие в форме урока-семинара по теме «Теорема Пифагора». Готовились все дети, задания были даны с учетом индивидуальных возможностей, консультации были проведены. Результаты самостоятельной работы учащиеся должны были оформить в виде докладов, рефератов и т. д. (сдают свои работы).
II Изучение нового материала
Мы с вами сегодня будем изучать теорему Пифагора. А кто же такой Пифагор? Давайте послушаем сообщение об этом ученом (учащийся делает доклад).
1) Рассказ о Пифагоре ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])
Учитель: в выступлении мы услышали про пифагорейский союз. Давайте послушаем более подробно об этом союзе.
2) Пифагорейский союз ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])
Учитель: у кого есть какие дополнения?
3) Дополнение 1 (учащийся): Как мы уже услышали, отличительным знаком членов школы Пифагора была пентаграмма. Пентаграмма – правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник или правильная пятиугольная звезда. Она известна, узнаваема и любима нами с детства. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды, вирусы и т. д. Человеческое тело также можно рассматривать как пятилучевую фигуру, где лучами служат голова, руки и ноги. В переводе с греческого пентаграмма означает дословно пять линий. Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев, попросил хозяина дома, приютившего его, нарисовать на воротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином. Конечно, пифагорейцы не случайно выбрали пентаграмму. Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Например, число лучей этой звезды представлялось пифагорейцам как число любви: 5 = 2 + 3; 2 – первое женское число, 3 – первое мужское число. Именно поэтому пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей присваивалась способность защищать человека от злых духов.
4) Дополнение 2 (учитель): Пифагорейцы боготворили пентаграмму. Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира, посылая пифагорейский привет своим согражданам и иноземным гостям. Пифагорейцы жили по определенным заповедям (акусмам) (нам тоже не помешало бы придерживаться этих заповедей, хотя им уже около двух с половиной тысяч лет):
Не делай того, чего не знаешь.
Поступай так, чтобы впоследствии не огорчаться и не раскаиваться.
Приучайся жить просто, без роскоши.
Мечом огня не разгребай (то есть не раздражай гневающегося).

5) Музыкальная пауза.
(Звучит музыка – композиция «Тени» Демиса Руссоса). Под музыку слова учителя. Древние египтяне были замечательными инженерами. Вы, наверное, слышали о пирамидах – огромных гробницах египетских царей (фараонов). В Египте насчитывается около 80 пирамид, расположенных на западном берегу Нила. Математика нужна была вавилонянам при строительстве дворцов и сооружений. Главным центром науки в III веке до новой эры стал египетский город Александрия, названный в честь знаменитого полководца Александра Македонского. После его смерти в Египте начала царствовать династия Птоломеев. Символично, что Демис Руссос, композицию которого вы сейчас слышите, родился в г. Александрии в Египте, а сам он по национальности грек. Его композиция «Тени» соединяет ранее живших людей с нынешним поколением. Греческие мастера строили дворцы и храмы. (Демонстрируется изображение античных дворцов, храмов, египетских пирамид под музыку).
Я предлагаю вам посмотреть три памятника искусства Древней Греции. Великое античное наследие по праву может считаться основой всего дальнейшего европейского искусства. Конечно, время наложило свой отпечаток на многие из этих памятников. Храмы разрушались во время войн, и все-таки, даже в поврежденном виде, многие эти произведения до сих пор оказывают сильное воздействие на человека, волнуют его, радуют, но никогда не оставляют равнодушным (слайды 3-8)
6) Постановка проблемы.
Предлагаю учащимся задачу: Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4, а гипотенуза равна 5. Можно ли, не пользуясь построением, найти второй катет? Учащиеся осознают, что они не могут этого сделать, хотя в принципе гипотенуза определяется однозначно. Таким образом, дети ощутили ограниченность своих знаний. Говорю учащимся, что сегодня на уроке мы познакомимся с теоремой Пифагора, которая позволит существенно расширить круг геометрических задач. С помощью этой теоремы вы сможете, зная два катета, находить гипотенузу; зная гипотенузу и катет, находить второй катет. Это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетие до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы. Давайте послушаем, какую историю имеет теорема Пифагора.
7) История теоремы Пифагора (сообщение учащегося). Существует много легенд о появлении теоремы Пифагора. Рассказывают, что когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, он отблагодарил богов, принеся им в жертву сто быков. Известный немецкий писатель-романтист А. Шамиссо писал:
Пребудет вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За свет луча, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

Мы видим ликование, которое охватило автора открытия. И важно не само свойство прямоугольного треугольника, а то, что оно было установлено не случайно, не опытом, не измерением, а исключительно путем доказательства, то есть усилием человеческого разума. Так что жертва богам была бы вполне уместна. Однако пифагорейцы верили в переселение душ (то есть допускали, что после смерти человека его душа может переселиться в животное), поэтому были последовательными вегетарианцами, а значит, ни о каком резании быков и речи быть не могло.

8) Доказательство теоремы 1 и 2 (учащиеся).
Теорема Пифагора широко применяется. Причина такой популярности теоремы триедина: красота, простота, значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но очевидна. Она очень широко применяется в геометрии на каждом шагу. И тот факт, что существует около 500 способов ее доказательств, свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теореме. Увы, от этого доказательства не сохранилось никаких следов. Поэтому предлагаю рассмотреть некоторые классические доказательства, известные из древних трактатов.
Итак, теорема Пифагора: Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах
а) Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и началась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на схему равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для
·АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах – по два рис. 1 ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Теорема доказана.
б) Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции второго в. до н. э. Дело в том, что в 213 г. до н. э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во втором в. до н. э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла «Математика в 9-ти книгах» - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В 9-ой книге «Математике» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, в, гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а + в, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в 2 прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны равна с2, а с другой равна а2 + в2. Теорема доказана. рис. 7 ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])

в) (Древнеиндийское). В квадрате со стороной а + в изображали четыре прямоугольных треугольника с катетами а и в, после чего писали одно слово «Смотри». Видим, что слева свободная от треугольников фигура, состоящая из двух квадратов со сторонами а и в, соответственно ее площадь равна а2 + b2, а справа – квадрат со стороной с – его площадь с2. Значит, а2 + b2 = с2, что и составляет утверждение теоремы Пифагора.
9) Теорема Пифагора.
Теорема Пифагора замечательна тем, что сама по себе вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны а, в, и с связывает простое соотношение: с2 = а2 + b2 рис. 2 ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])
Итак, сформулируйте теорему Пифагора на языке математики (В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).
Записать условие и заключение теоремы (учащиеся записывают самостоятельно).
Дано:
·АВС < С = 900
АВ = с, АС = в, ВС = а.
Доказать: с2 = а2 + b2

Доказательство.
Дополнительное построение: квадрат со стороной а + b рис. 3 ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])
План доказательства:
1. Записать площадь квадрата со стороной а + b ((а + b)2).
2. Сравнить треугольники Т1, Т2, Т3 и Т4 (они равны как прямоугольные по двум катетам).
3. Выяснить, какой фигурой является фигура Т и почему? (квадрат; Т1 = Т2 = Т3 = Т4 => Т – ромб с равными сторонами с;
· +
· = 900,
· = 1800 – (
· +
·) = 1800 – 900 = 900).
4. Найти площадь квадрата Т и сумму площадей треугольников (с2 и 4 · ,1-4. Найти площадь квадрата Т и сумму площадей треугольников (с2 и 4 · 13 QUOTE 1415 · аb).
5. Применяя свойство 2 измерения площадей, составить равенство
( (а + b)2 = с2 + 4 ·13 QUOTE 1415· аb; а2 + 2аb + b2 = с2 + 2аb => с2 = а2 + b2).

Есть забавное стихотворение И. Дырченко, которое помогает запомнить формулировку теоремы Пифагора.

Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем.
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.

Для формирования умения применять теорему с учащимися устно решаем №483(а), №484(а и г), №486(а) по учебнику Атанасяна.
10) Алгоритм решения задач с применением теоремы Пифагора.
Давайте с вами составим алгоритм решения задач с применением теоремы Пифагора (слайд 9):
1. Указать прямоугольный треугольник.
2. Записать для него теорему Пифагора.
3. Выразить неизвестную сторону через две другие.
4. Подставив известные значения, вычислить неизвестную сторону.
11) Задания на применение теоремы Пифагора рис.8 ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])

12) Теорема, обратная теореме Пифагора с проверкой домашнего задания. Давайте с вами вернемся на несколько уроков назад. Мы изучали тему «Задачи на построение. Параллелограмм». У нас была задача: построить параллелограмм по трем элементам: длине, ширине и его диагонали. Анализируя данную задачу, мы пришли к выводу, что сначала нужно построить треугольник по трем элементам. При построении треугольника у некоторых из вас получился прямоугольный треугольник и возник вопрос: почему? Была создана проблемная ситуация. Теперь настало время вернуться к данной проблеме. Кроме того, на дом было задание: построить треугольник по трем сторонам: а) 3, 4, 5; б) 6, 8, 10; в) 5, 12, 13. Измерить больший угол этих треугольников. Мы видим, что ответы близки к 900. Треугольники у всех расположены по-разному, длины сторон разные, а результаты у всех получились примерно одинаковые. Кто из вас сейчас готов ответить на вопрос: в каком случае треугольник будет прямоугольным; от чего это зависит? (зависит от длины сторон треугольника). Какое условие должно выполняться? (с2 = а2 + в2). Что мы получили? (Мы получили теорему, обратную теореме Пифагора). Сформулируйте эту теорему. (Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный). (Доказать теорему предлагаю дома для I и II групп, а для III группы составить план доказательства).

13) Решение №498(а, д, е) устно на закрепление данной теоремы
14) Пифагоровы треугольники рис. 4 ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]). Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5, то этот треугольник прямоугольный, а если равны этим числам, то его называют египетским. Этот факт использовался египтянами для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид надо было уметь строить прямые углы. Таким образом, безошибочность построения прямых углов следует из теоремы, обратной к теореме Пифагора: 32 + 42 = 52. Иначе говоря, числа 3, 4, 5 – корни уравнения х2 + у2 = z2. Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений? Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25, что соответствует теореме, обратной к теореме Пифагора: 132 = 52 + 122; 172 = 152 + 82; 252 = 242 + 72.
Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно сказать, что катеты а, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами: а = 2mn, b = m2 – n2, c = m2 + n2, где m и n – любые натуральные числа, такие, что m > n.
III Задания на закрепление нового материала
1) Устная работа
Не выполняя предложенных заданий, определить, когда необходимо воспользоваться теоремой Пифагора, а когда обратной к ней.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 13 и 5. Найдите второй катет.
Определите вид треугольника, стороны которого равны 8, 15 и 17.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 1,5 и 2. Найдите гипотенузу.

2) Применение теоремы Пифагора

№489
Дано:
·АВС АВ = ВС = АС = а
Доказать: S = а2,- Доказать: S = 13 QUOTE 1415
Доказательство рис. 5 ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ])
1. Проведем ВD
·АС
2.
·АВD (< D = 900): ВD2 = АВ2 – АD2
3. АD = DC = 13 QUOTE 1415
4. ВD2 = а2 – а2/4 = (4а2 – а2)/4 = 3а2/4; ВD = а,-4. ВD2 = а2 – 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415; ВD = 13 QUOTE 1415.
5. S = 13 QUOTE 1415 · АС · ВD = 13 QUOTE 1415 · а · а13 QUOTE 1415/2 = а213 QUOTE 1415/4 (запомнить!).

IV Итоги урока и рефлексия

1) Вычислить сторону
·КРR рис. 6 ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]) (вычислить нельзя). Необходимо обращать внимание на случаи, когда не хватает данных для решения. Если не ясно, какой вид имеет треугольник, то теорема Пифагора неприменима.
2) Что нового мы узнали на уроке? Чему мы научились?
3) Получили формулу площади равностороннего треугольника: а2,-3) Получили формулу площади равностороннего треугольника: 13 QUOTE 1415.
4) если <С = 900, то с2 = а2 + в2;
5) если с2 = а2 + в2, то <С = 900.
6) Выставляются отметки учащимся за работу на уроке. Сообщаю, что все творческие работы будут оценены и отметки дети узнают на следующем уроке.
V Домашнее задание
n. 54, 55 Знать теорему Пифагора и ей обратную, уметь их доказывать
Продолжить работу по решению задач (применяя изученную тему).





15

Приложенные файлы


Добавить комментарий