Урок козлованб 10класс тетраедр.построение сечений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 14»
г. Череповца









Урок математики в 10 классе
по теме: «Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра»













Разработала учитель математики Козлова Наталья Борисовна













2015-2016 уч.г.
г. Череповца
Вологодская область
Пояснительная записка
Фамилия Имя Отчество: Козлова Наталья Борисовна
Название образовательной организации: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 14» г. Череповца Вологодской области.
В работе использован сценарий модели, созданной в среде «1С:Математический конструктор 5.5. № 059». Модель создана автором ее сценария – Ивановой И.И. при участии учащихся школы № 1 города N Сидоровой Галины и Степанова Ильи».
Предмет: геометрия.
Класс: 10
Дидактическая структура урока
Урок относится к теме « Прямые и плоскости в пространстве ». На изучение этой темы отводится 37 часов. Разработанный урок является 17-ым, но первым в своём разделе. Поэтому большая часть урока отводится изучению нового материала и практической работе.
Урок разработан с использованием частично технологий проблемного и развивающего обучения. Путем последовательного и целенаправленного выдвижение перед обучающимися познавательных задач, разрешая которые обучаемые активно усваивают знания, создания условий для развития личности, ориентирования учебного процесса на потенциальные возможности детей. Методы и приемы, использованные на уроке: фронтальная и групповая работа, поисковый, проблемный и наглядные методы. На уроке используются мультимедийные ресурсы « 1С. Математический конструктор», что позволяет визуализировать изучаемый материал и способствует более прочному его усвоению.
Тема урока: «Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра.»
Тип урока: формирование новых знаний.
Цели урока:
Образовательные:
Научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
Научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
Освоить методы построения этих сечений
Развивающие:
Развивать познавательный интерес учащихся.
Формировать и развивать у учащихся пространственное воображение.
Воспитательные:
Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.
Воспитывать умения работать индивидуально над задачей.
Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.
Формы работы на уроке: фронтальная, групповая, индивидуальная.
Список используемых источников и программно-педагогических средств:
1.  Л. С. Атанасян. Геометрия. 10-11 классы,- М: Просвещение, 2010г.
2. Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики.
4.  Мультимедийный конструктор: «1 С. Математический конструктор. № 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Техническое обеспечение:
Компьютер с установленными программами «1С. Математический конструктор», Power Point, мультимедийный проектор.
Раздаточный материал:
Бланки-карточки с заданиями для практической работы, презентация «Построение сечений параллелепипеда».
Структура урока ( 45 мин).
1.
Приветствие. Организационный момент.
1 мин

2.
Актуализация опорных знаний.
4 мин

3.
Постановка цели и задачи урока.
4 мин

4.
Изучение нового материала (формирование знаний, умений).
10 мин

5.
Закрепление знаний.
10 мин

6
Динамическая пауза.
2 мин

7.
Практическая работа на построение сечений.
10 мин

8.
Итог урока. Домашнее задание.
3 мин

9.
Рефлексия.
1 мин




Ход урока:
1)Приветствие. Организационный момент.
Девиз урока: Моделируя, учимся и учим.
2) Домашнее задание.
Учитель раздаёт карточки с домашней работой( приложение 3).
Дополнительная задача: Существует ли тетраэдр, все грани которого  равные прямоугольные треугольники?
3) Актуализация знаний.
Учитель: Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. (Учащиеся пробуют из карандашей). На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко.
Ученик: 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Учитель: Найдите понятие тетраэдра в учебнике (п. 12) и объясните основные элементы на спичках и на слайде( МК – плеер, файл № 059, с заранее подготовленным тетраэдром, где подписаны все вершины, можно его покрутить). А сейчас с помощью программы «1C. Математический конструктор» мы «оживим» тетраэдр. Программа позволяет вращать, что позволит вам увидеть тетраэдр со всех сторон.
Примите к сведению, что слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: от tetra - «четыре» и hedra - «основание», «грань».
Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
Элементы тетраэдра:
А, B, C, D – вершины тетраэдра. AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраэдра.
·ABC, ABD, BDC, ADC - грани тетраэдра.
Можно отметить, что плоскость АВС можно принять за основание тетраэдра, тогда точка D будет является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей.
Типы тетраэдров:
Равногранный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани – равные между собой треугольники.
Ортоцентрический тетраэдр – это тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Прямоугольный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Такой тетраэдр можно получить, разрезав куб.
Правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольники.
Ученики: делают записи в тетради.
4) Постановка цели и задачи урока.
Учитель: Проверим, как вы слушали?
1) Существует ли тетраэдр у которого:
А) одна из граней имеет вид прямоугольника?(нет, так как каждая грань является треугольником)
Б) 3 ребра? (нет)
В) 6 граней?(нет)
Г) 1 вершина?(нет)
Д) все грани прямоугольные треугольники?(да, его можно получить, разрезав прямоугольный параллелепипед).
2) Найдите площадь всех граней тетраэдра, каждое ребро которого 4 см.
Решение: S=4( S
· = 4( 0,25 а2(3 = а2(3 = 16 (3(см2).
Учитель: В основе понимания форм различных деталей, способов их образования, а значит и построения чертежа этих деталей лежит пространственное мышление. Развитое пространственное мышление является специфическим видом мыслительной деятельности, направленной на решение задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространствах, как видимых, так и воображаемых. Все геометрические задачи можно разделить на три типа: на вычисление; на доказательство и на построение. Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как в школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Построение сечений широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. Таким образом, цель нашего урока?
Учащийся: Научиться строить сечения тетраэдра.
Учитель: Совершенно верно. Какие задачи для этого необходимо будет решить?
Учащиеся:
1) Познакомиться с понятием сечения.
2) Узнать приемы построения сечения в тетраэдре и их виды.
3) Построить сечения тетраэдра.
5) Изучение нового материала (формирование знаний, умений).
Учитель:
На предыдущих уроках мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии, следствиями из аксиом и с теоремами о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.  Вспомните, как в пространстве можно задать плоскость.
Ученики:
Плоскость можно задать следующими способами:
1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2) точкой и прямой, не проходящей через эту точку;
3) двумя пересекающимися прямыми;
4) двумя параллельными прямыми.
Учитель: Давайте проговорим некоторые вопросы теории. ( На странице 27 найдите понятие сечения, ответьте на вопросы, записанные на доске, и рассмотрите, какие сечения могут получаться в тетраэдре.)
Что такое секущая плоскость?
Как можно задать секущую плоскость?
Что такое сечение тетраэдра?
Какие многоугольники мы получали при построении сечений тетраэдра?
Учащиеся:
Осуществляют поиск материала, для ответа на поставленные вопросы в учебнике. Отвечают.
6) Закрепление знаний.
Учитель: Рассмотрим ключевые задачи на построение сечений тетраэдра. (стр 27-28, задачи 1 и 2, разбор по готовым шаблонам с презентацией).
Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех обозначенных плоскостей.
Решение:  Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е.
Нахождение точки Е:
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях – (АВС) и (MNP). Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение(показываем на отдельном слайде).
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Задача 2. Точка М лежит на боковой грани (АDВ) тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Решение: Секущая плоскость
· параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость
· параллельна прямым АВ, АС, ВС.
В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ
параллельно АВ. Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.
Учитель: Итак, при построении сечений важно знать следующие правила:
1) Если две точки многогранника принадлежат сечению, то прямая, проходящая через них, принадлежит секущей плоскости.
Обоснование: по аксиоме - если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой, лежат в этой плоскости.
2) Если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную грани многогранника и пересекает её, то линия пересечения плоскости и грани параллельна данной прямой. Обоснование: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.
3) Общая точка секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней лежит на прямой, содержащей общее ребро граней.
Обоснование: Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает и линию пересечения плоскостей.
А сейчас с помощью программы «1С. Математический конструктор» мы «оживим» пространство на примере сечений тетраэдра. Программа позволяет вращать многогранник, что позволит вам увидеть сечение со всех сторон.


7) Динамическая пауза.
Учитель: Прежде, чем мы перейдём к практической работе, предлагаю желающим составить у доски тетраэдр из собственных тел.
8) Практическая работа на построение сечений.
Учитель: Мы справились с теоретическими вопросами, предлагаю выполнить практическую работу в парах.
Ученики получают бланки-карточки для практической работы с заранее начерченными на них тетраэдрами( приложения 1 и 2). 
Практическая работа состоит из 5 заданий разного уровня сложности. 1-3 правильно выполненных заданий оценивается «3», 4 правильно выполненных заданий оценивается «4», 5 правильно выполненных заданий оценивается «5».
Решение задач с последующей проверкой.
Задача 1.
а) Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД, где М, N и К – середины соответствующих ребер.
б) Найдите периметр данного сечения если все рёбра тетраэдра равны 4см..
Решение: а)
КМ =
·
· АВД,
МN =
·
· АВС,
КN =
·
· АДС
KMN – искомое сечение.
б) КМ = 0,5 ( ВД=2см.( КМ средняя линия треугольника АВД);
МN = 0,5 ( ВС=2см. (МN средняя линия треугольника АВС);
KN = 0,5 ( ДС=2см. (KN средняя линия треугольника АДС);
Р= 2+2+2=6см.
Ответ: 6см.
Задача 2. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.
Решение:
MN =
·
· АВД
NK =
·
· ВДС
Х = NК
· ВС
Р = АС
· МХ
РК =
·
· АДС
MNKP – искомое сечение.
Задача 3. Определите вид сечения в предыдущей задаче, если точки M, N и К – середины указанных рёбер.
Решение:
Данное сечение – параллелограмм, так как MN II AD и МN = 0,5 ( АД и КР II AD и КР = 0,5 ( АД, значит MN = KP и MN II КР ( признак параллелограмма).
Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки
М є АВС, К є ВД, N є ДС.
Решение:
KN =
·
· ДВС
Х = КN
· ВС
Т = МХ
· АВР = ТХ
· АС
РТ =
·
· АВС, М є РТ
PN =
·
· АДС
ТРNK – искомое сечение.
Задача 5.  Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.
Решение:
1. М М1 , N N1
Х = NМ
· N1М1
R = КХ
· АВ
RL =
·
· АВД, М є RL
КР =
·
· ВДС, N є КР
LP =
·
· АДС
RLPK – искомое сечение.
9) Рефлексия. В завершение урока учащиеся с помощью учителя фиксируют степень соответствия поставленной цели и результатов деятельности. Выставляются оценки.
№ задания

правила
Самооценка
Взаимооценка

1




2




3




4




5




Итого

























Приложение 1
Практическая работа «Построение сечений тетраэдра».
Цель: Научиться строить сечения тетраэдра.
Оборудование и материалы: линейка, карандаш, ручка, учебник.
План выполнения работы:
1) Изучить теоретические вопросы построения сечений.
2) Разобрать типовые задачи.
3) Практическая часть.
Ход работы:
1)
Элементы тетраэдра:
Вершины тетраэдра:________________________________
Ребра тетраэдра: ___________________________________ Грани тетраэдра:___________________________________
2) План построения сечения тетраэдра :
а) Если две точки тетраэдра принадлежат сечению, то прямая, проходящая через них, принадлежит секущей плоскости.
Обоснование: по аксиоме - если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой, лежат в этой плоскости.
б) Если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную грани многогранника и пересекает её, то линия пересечения плоскости и грани параллельна данной прямой. Обоснование: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.
В) Общая точка секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней лежит на прямой, содержащей общее ребро граней.
Обоснование: Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает и линию пересечения плоскостей.
3) Пример построения:
Задача 1. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра  ВD и точка Р принадлежит ребру DС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Решение: 
Случай 1. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны.
NP =
·
· (DBC)
MN=
·
· (ABD)
E = NP
· ВС
Q = EM
· AC
MQ =
·
· (АВС)
PQ =
·
· (ADC)
MNPQ – искомое сечение.
Случай 2. Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC.
1. MQ || BC; MQ
· AC = Q
2. MNPQ – искомое сечение.


4) Решите задачи:
Задача 1.
а) Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД, где М, N и К – середины соответствующих ребер.
б) Найдите периметр данного сечения если все рёбра тетраэдра равны 4см..
Задача 2. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки
М є АВ, К є ДС, N є ДВ.
Задача 3. Определите вид сечения в предыдущей задаче, если точки M, N и К – середины указанных рёбер.
Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки
М є АВС, К є ВД, N є ДС.
Задача 5.  Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки
К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.
4) Заполните таблицу.
№ задания

правила
Самооценка
Оценка товарища

1




2




3




4




5




Итого




5) Вывод:______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Приложение 2.
1) Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2) Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3) Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
4) Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
5) Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]



Приложение 3.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]












зђ Заголовок 2еђ Заголовок 315

Приложенные файлы


Добавить комментарий