Вписанные и описанные окружности


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Вписанная окружностьО вписанной окружностиТеоремаДоказательство теоремыЗамечанияСвойстваОписанная окружностьО описанной окружностиТеоремаДоказательство теоремыЗамечанияСвойстваАвтор Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности. В любой треугольник можно вписать окружность. о А В С Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.Допустим, что в треугольник можно вписать двеокружности. Тогда центр каждой окружности равноудаленот сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой Опересечения биссектрис треугольника, а радиус равенрасстоянию от точки О до сторон треугольника.Следовательно, эти окружности совпадают. о В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можновписать окружность.Рассмотрим прямоугольник, у которого смежные стороны не равны. Ясно, что в такой треугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя «поместить» ее так, что бы она касалась всех 4 сторон. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.Верно и обратное утверждение:Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность. Около любого треугольника можно описать окружность. Доказательство. Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника является центром окружности, описанной около этого треугольника. Так как данный треугольник — равнобедренный, то по теореме о медиане равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Значит, высота совпадает с серединным перпендикуляром, проведенным к основанию треугольника. Следовательно, центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию. о Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин, и поэтому совпадает с точкой О пересечения середины перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. о В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.Нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом.(Т.к. Не все вершины ромба будут касаться окружности.) Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством: В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180⁰. C B D A + =180˚ А = 0,5 BCD, C = 0,5 BAD, откуда следует А + C = 0,5*( BCD + BAD) = 0,5*360˚=180˚ C B D A Верно и обратное:Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180⁰, то около него можно описать окружность.

Приложенные файлы


Добавить комментарий