Вписанный угол 8


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Отметим на окружности две точки А и В . Они разделяют окружность на две дуги. (чтобы различить дуги ,отметим, например, АLB) 0 А В L Угол с вершиной в центре окружности называется ЦЕНТРАЛЬНЫМ УГЛОМ. 0 А В L Если угол А0В развернутый,то ему соответствуют две полуокружности˘ АLB = 180˚ 0 А В L Одно из свойств центрального угла˘ALB = A0B 0 А В L Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется ВПИСАННЫМ УГЛОМ 0 А В L С Теорема Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Доказать: АВС = Ѕ ˘ АС.Доказательство. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС (рис. а). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому АОС = ˘ АС. Так как угол АОС —внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, тоАОС = 1 + 2=2 1. Отсюда следует,что 2 1 = ˘ АС или АВС = 1 = Ѕ ˘ АС. 2)Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. б). Точка D разделяет дугу АC на две дуги: ˘ АD и ˘ DС. По доказанному АВD= Ѕ ˘ AD и ˘ DBC= Ѕ ˘ DC. Складывая эти равенства попарно, получаем:АВD + DВС = Ѕ ˘ АD + Ѕ ˘ DC,или АВС = Ѕ ˘ АС. 3) Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла. По доказанному DBC = Ѕ ˘ DC иABD = Ѕ ˘ AD.Вычитая из первого равенствавторое, получаем:DBC- ABD= Ѕ ˘ CD – Ѕ ˘ AD,ABC = Ѕ ˘ AC. Следствие 1Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 0 А В С Следствие 2Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой 0 Теорема Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Пусть хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. Докажем, что AE * BE = CE * DE .Рассмотрим треугольники АDЕ и CBE .B этих треугольниках углы 1 и 2 равны ,так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников∆ ADE ∞ ∆ CBE,отсюда следует, чтоAE * BE=CE * DEТеорема доказана.

Приложенные файлы


Добавить комментарий