Все методы решенийподмодулных выражений

Методы решения неравенств, содержащих знак модуль.

I) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна система 13 EMBED Equation.3 1415

II) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна система 13 EMBED Equation.3 1415

III) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенство верно для любых х из области определения 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенство верно для любых х из области определения 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна совокупность 13 EMBED Equation.3 1415

IV) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенство верно для любых х из области определения 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна система 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна система 13 EMBED Equation.3 1415

V) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна система 13 EMBED Equation.3 1415

VI) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна система 13 EMBED Equation.3 1415

VII) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 верно для любых значений x из области определения неравенства 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна система 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна совокупность 13 EMBED Equation.3 1415






VIII) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 верно для любых значений x из области определения неравенства 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 верно для любых значений x из области определения неравенства 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 равносильна совокупность 13 EMBED Equation.3 1415

IX) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует неравенство 13 EMBED Equation.3 1415

X) Решение неравенств используя определение модуля (общий способ).

P.S
Любое неравенство можно решит общим способом.

Методы решения уравнений, содержащих знак модуль.

I) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то корней нет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная совокупность13 EMBED Equation.3 1415

II) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Способ №1
Уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная совокупность систем13 EMBED Equation.3 1415
Способ №2
Уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная совокупность систем13 EMBED Equation.3 1415

III) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Способ №1
Уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Способ №2
Уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная совокупность 13 EMBED Equation.3 1415

IV) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильное неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильное неравенство 13 EMBED Equation.3 1415

Методы решения иррациональных неравенств.

I) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415
соответствует равносильная система 13 EMBED Equation.3 1415

II) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенству 13 EMBED Equation.3 1415
соответствует равносильная система 13 EMBED Equation.3 1415

III) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная совокупность систем.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

IV) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная совокупность систем.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

V) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная совокупность систем.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

VI) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная система. 13 EMBED Equation.3 1415

VII) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная совокупность систем.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

VIII) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная система. 13 EMBED Equation.3 1415

IX) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильное неравенство 13 EMBED Equation.3 1415





X) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильное неравенство.
13 EMBED Equation.3 1415

XI) Неравенствах вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 решается обобщенным методом интервалов.

Методы решения иррациональных уравнений.

I) Метод возведения в четные степени (неравносильный переход нужна проверка) и нечетные степени (равносильный переход).

II) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Уравнению вида 13 EMBED Equation.3 1415
соответствует равносильная система 13 EMBED Equation.3 1415

III) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл, то данное уравнение равносильно следующей совокупности.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

IV) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Уравнению вида 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная система.
Способ №1 13 EMBED Equation.3 1415 Способ №2 13 EMBED Equation.3 1415

V) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Уравнению вида 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует р
·авносильная система.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

VI) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
13 EMBED Equation.3 1415
Возведем обе части уравнения в куб.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (1)

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
При переходе из 1 в 2 происходит не равносильный переход, значит, необходима обязательная проверка.

VII) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Уравнению вида 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная совокупность систем.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
VIII) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Уравнению вида 13 EMBED Equation.3 1415решаются с помощью введения переменных.
13 EMBED Equation.3 1415
Сводятся к решению системы алгебраических уравнений.
13 EMBED Equation.3 1415

IX) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Обе части исходного уравнения умножаются на выражение, сопряженное с левой частью уравнения и сложением затем исходного и полученного уравнений, что приводит к решению простейшего иррационального уравнения. (Нужна проверка)

X) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
13 EMBED Equation.3 1415
Удобно произвести замену.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Исходное уравнение примет вид.
13 EMBED Equation.3 1415
Обычно под знаком одного из радикалов, после такой замены, появляется полный квадрат двух члена.

XI) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Теорема. Если 13 EMBED Equation.3 1415 - возрастающая функция, то уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - равносильны.
Например.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 решений нет

XII) Решение некоторых иррациональных уравнений можно свести к однородным уравнениям.
Например.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415

Методы решения логарифмических неравенств.

1) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует равносильная система 13 EMBED Equation.3 1415










2) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.


Неравенству
13 EMBED Equation.3 1415
соответствует равносильная
система




3) Неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Неравенству 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует два случая
I сл. 13 EMBED Equation.3 1415 II сл. 13 EMBED Equation.3 1415

Методы решения показательно-степенных уравнений.

1) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует пять случаев:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 – обязательно проверка.
13 EMBED Equation.3 1415 – обязательно проверка.
13 EMBED Equation.3 1415 – обязательно проверка.
13 EMBED Equation.3 1415 – обязательно проверка.

Методы решения показательных уравнений.

1) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 решаются следующим образом.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Введем замену. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Методы решения уравнений высших степеней.

I) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
1) Возвратные уравнения четной степени.
13 EMBED Equation.3 1415
т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Введем замену: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
2) Возвратные уравнения нечетной степени.
Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного уравнения нечетной степени один из корней всегда равен –1
13 EMBED Equation.3 1415
Очевидно 13 EMBED Equation.3 1415 - корень уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
т.к 13 EMBED Equation.3 1415 - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Введем замену: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

II) Уравнения вида13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 решаются как возвратные.

III) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.
Пример №1.
13 EMBED Equation.3 1415
Введем замену: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
1) если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
2) Разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415

Пример №2.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415
Составим систему:13 EMBED Equation.3 1415

IV) Уравнения вида13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 эффективно решать перемножением 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, а затем делать замену.

V) В уравнениях вида 13 EMBED Equation.3 1415 и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

VI) В уравнениях вида 13 EMBED Equation.3 1415 обе части уравнения делятся на 13 EMBED Equation.3 1415

VII) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415 и к ним сводящиеся решаются при помощи замены 13 EMBED Equation.3 1415

Методы решения тригонометрических уравнений.

I) Решение тригонометрических уравнений как однородное.
Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - действительные числа. 13 EMBED Equation.3 1415 - показатель однородности.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то и 13 EMBED Equation.3 1415, что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит 13 EMBED Equation.3 1415. Разделим обе части на 13 EMBED Equation.3 1415, получим: 13 EMBED Equation.3 1415

II) Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415
1) если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение однородное.
2) если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415(то есть хотя бы одно из чисел 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 не равно 0), то разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
Т. к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то существует такой угол 13 EMBED Equation.3 1415, что 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
а) если, 13 EMBED Equation.3 1415 т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, то корней нет.
в) если, 13 EMBED Equation.3 1415 т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

III) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 решается следующей заменой 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий