Все по теореме пифагора

«Предмет математики настолько
серьезен, что полезно не упускать
случаев, делать его немного
занимательным».
Б. Паскаль








ТЕМА:







Вступление
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет учителя задуматься над тем, как у учащихся поднять интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Возникновение интереса к математике, у значительного числа учащихся зависит в большей степени от методики преподавания, от того насколько умело будет построена учебная работа. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал, активно и увлеченно и использовать это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса. Это особенно важно в подростковом возрасте, когда еще формируются, а иногда и только определяются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету. Именно, в этот период нужно стараться раскрыть притягательные стороны математики.
При изучении этой или иной темы, в зависимости от того, как её преподнесет учитель, у учащихся пропадает интерес к ее восприятию, к её изучению. Одной из таких тем является теорема Пифагора. Начиная с 8-го класса и до 11-го, эта теорема постоянно встречается при решении задач. Многие молодые учителя встречаются с трудностями при изучении теоремы, т.к. в учебниках геометрии этот материал изложен очень кратко. Дополнительная литература имеется, но она уже устарела. Например: «По следам Пифагора» - Ельнского, издана в 1961 году, Литцмана «Теорема Пифагора» - в 1960году, «Пифагоровы треугольники» Серпинского в 1959 году.
Проработав в школе несколько десятков лет, используя свой педагогический опыт, я хочу поделиться, как можно преподнести теорему Пифагора учащимся 8-го класса, показать ее применение при решении задач в разноуровневых классах, на занятиях математического кружка, на факультативных занятиях.
Разные авторы преподносят доказательство теоремы по – своему. Автор учебника Геометрия 7-11, А.В.Погорелов, доказательство теоремы дает через определение косинуса угла прямоугольного треугольника, используя теорему «Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника». Перед тем, как изучить теорему, на уроке с классом разбирается ряд задач, которые способствуют восприятию данной теоремы Во время фронтального опроса учащимся предлагается разгадать кроссворд, а ключом к разгадыванию кроссворда будут правильные ответы на вопрос учителя.
1. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
(катеты и гипотенуза).
2. Каким является катет ВС по отношению к углу А? (противолежащим)
3. Как называется отношение прилежащего катета к гипотенузе? (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника).
4. Каким является катет АС по отношению к углу
А? (прилежащим)
5. От чего зависит косинус угла? (от градусной меры).
6. Задача. На стороне угла ВАС отложены равные отрезки по5см.

Из точек М, N, Р к стороне АС проведены перпендикуляры MK, NE, PF. Расстояние АК=4 см.
Найти: из (МАК cosA
(NAE cosA
(PAF cosA
Решение:
т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
На основании теоремы Фалеса имеем: AK=KE=EF=4cm. Из (МАК имеем: cosA=AK/AM; cosA=4/5
(NAE имеем: cosA=AE/AN, cosA=8/10=4/5
APAF имеем: cosA=AF/AP, cosA=12/l5=4/5
Вопрос: Что можно сказать о значении косинуса угла А?
Ответ: Не зависит от размеров треугольника, а зависит только от градусной меры угда.
Вопрос: Какую теорему использовали при доказательстве равенства длин отрезков, т.е. AK=KE=EF?
Ответ: Теорему Фалеса.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что при разгадывании кроссворда, получим слово, «Пифагор». И называет тему урока: «Теорема Пифагора».
«Во мгле веков пред нашим взором
Блеснула истина одна.
Она, как теорема Пифагора
До наших дней еще верна».

г
п






и
р

к

к
п

п
и
ф
а
г
о
р

о
л
а
т
р
с
о

т
е
л
е
а
и
т

е
ж
е
т
д
н
и

н
а
с

у
у
в

у
щ


с
с
о

з
и




л

а
й




е







ж







а







щ







и







й

Доказательства теоремы Пифагора по учебнику Геометрия 7-9 , под редакцией Л.C. Атанасяна.
Автор учебника Геометрия 7-9, Л.С. Атанасян, теорему Пифагора доказывает используя свойства площадей многоугольников.
К этому уроку учащимся, необходимо повторить определение прямоугольного треугольника, формулы площади квадрата, прямоугольника, треугольника, название сторон в прямоугольном треугольнике, построить дома несколько прямоугольных треугольников с катетами Зсм и 4см, 15см и 8см 12см и 5см.

Урок следует начать, с фронтальной беседы:
Какие треугольники называются, прямоугольными?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Как сравнить катеты и гипотенузу?
Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
Найти площадь квадрата, если а=7см.
Найти площадь прямоугольника, если а=12см и в=4см
Найти площадь треугольника, если а=6см и h=4 см.
Найти площадь прямоугольного треугольника, если а=10см и b=16см.

После фронтальной беседы провести практическую работу.
Учитель предлагает в треугольнике с катетами Зсм и 4см:
Измерить гипотенузу.
Найти квадрат гипотенузы. С2=25.
Найти сумму квадратов катетов а2+b2=9+16=25.
Сравнить результаты.
Вопрос. Случайно ли это получилось? Проверить еще на следующих построенных треугольниках.
С катетами 12см и 5см.
15см и 8см.

Появилась гипотеза с2=а2+b2
Всегда ли это выполнимо?
Может, это получилось из-за неточности измерений?
Сегодня вы познакомитесь с теоремой, которая устанавливает зависимость между катетами и гипотенузой и названа она именем древнегреческого ученого Пифагора.
Вызвать у учащихся интерес к теме, увлечь их можно с помощью разного вида задач в стихах, задач- шуток, стихов, задач-сказок.
«Давным-давно на белом свете
Та теорема рождена.
Но нет и места на планете,
Где б неизвестною была.
Как символ вечного союза,
Как верной дружбы знак простой,
Связала ты, гипотенуза
Навеки катеты с собой.
А катет говорит гипотенузе
Сдружились мы с тобой навеки крепко.
И ссориться не будем мы с тобою никогда
Сковал нас Пифагор давно и цепко.

Учитель далее объявляет тему урока.

Тема урока: «Теорема Пифагора».
Теорема: Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: (АВС, угол С=90°. АС, СВ – катеты, АВ – гипотенуза.
АС=b; СВ=а; АВ=с.
Доказать: а2 +b2 =с2
Доказательство: Достроим (АВС до квадрата.
Получим четыре равных прямоугольных треугольника (по 2-м катетам), отсюда следует, что гипотенузы равны. Четырехугольник АВМК – ромб.
13 EMBED Equation.3 1415 т.к. (АВС - прямоугольный.
13 EMBED Equation.3 1415^l, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Если у ромба есть угол 90°, то такой ромб является квадратом: АВМК –квадрат.
Sб.кв.=(a+b)2=a2+2ab+b2
Sб.кв.=4S( +SABKM= 4(l/2(a(b +c2 =2ab+c2.
Имеем: a2+2ab+b2=2ab+c2, т.е. a2+b2=c2
Теорема доказана.

Учитель сообщает, что существует более 150 видов доказательств данной теоремы. Но и сейчас еще стремление к умножению этих доказательств не исчезло. Поэтому у ребят есть еще возможность дать свое доказательство этой теоремы.
Решение стандартных задач
Для закрепления данной теоремы предлагается решить ряд задач стандартного типа.
1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 24см и 10см.
Найти гипотенузу.
Дано: (АВС, угол С=90°.
АС=10см, СВ=24см.
Найти; АВ.
Решение:
Т.к.. (АВС прямоугольный, то
АВ2=АС2+СВ2
АВ2=242+102
АВ2=576+100, 13 EMBED Equation.3 1415
АВ=26см.

2. В прямоугольном треугольнике один из катетов 15см, а гипотенуза 25см. Найти второй катет.
Дано: (АВС, угол С=90°.
АВ=25см, АС=15см
Найти: СВ.
Решение:
Т.к. (АВС прямоугольный, то
АВ2=АС2 +СВ2, следовательно
СВ2=AВ2 – АС2
СВ2=252 – 152
СВ2=400
СВ=20
Сделать вывод: а2=с2-b2 и b2=c2-a2
Квадрат катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата другого катета

3. Две стороны прямоугольника равны 6 см и 9 см.
Найти диагональ прямоугольника.
Дано:
ABCD прямоугольник,
АВ=6см, AD=9см.
Найти: BD.
Решение:
Т.к. (ABD прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: BD2=AB2+AD2 BD2= б2 +92, BD2=36+81, BD2=117, 13 EMBED Equation.3 1415. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Найти высоту равнобедренной трапеции, у которой основания равны 5см и 11см, а боковая сторона 4см.

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция. AB=CD.
ВС=5см, AD=12см.
Найти: ВК.
Решение:
Из вершины С, проведем к основанию AD высоту СН.
Т.к. трапеция ABCD- равнобедренная, то (АВК = (CDH (по катету и гипотенузе), следовательно, AK=HD.
Четырехугольник КВСН – прямоугольник, следовательно, ВС=КН=5см, AK=HD= (11 – 5):2, AK=HD=3см.
Рассмотрим (АВК. 13 EMBED Equation.3 1415, АВ=4см, АК=Зсм.
По теореме Пифагора имеем ВК2=АВ2 – МК2
ВК2=42 - З2
ВК2=16-9, ВК2=7, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415см.

5. Найти периметр прямоугольника, если, одна сторона 9см, а диагональ 15см.

Дано:АВСО – прямоугольник AD=9см, AC=15см.
Найти: Р.
Решение:
Периметр прямоугольника находится по формуле: P=(AD+CB)*2.
CD-?
Рассмотрим (ADC. Он прямоугольный, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415. AD=9см,
АС=15см. По теореме Пифагора имеем: AC2=AD2+CD2
CD2=AC2- AD2
CD2=152 - 92, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, CD=12.
Т.к. это прямоугольник, то CD=AB=12см.
P=(9+12)*2, P=21*2=42,
Р=42см.
Ответ: 42см.

6. Высота равнобедренного треугольника равна 20 см7 а его основание 30см. Найти боковую сторону данного треугольника.

Дано: (АВС, ВК=20см, АС=30см.
Найти: АВ.
Решение:
Т.к. (АВС равнобедренный, то ВК является медианой, и биссектрисой, и высотой, следовательно, АК=КС.
Рассмотрим (АВК. Угол К=90°, АК=15, ВК=20.
По теореме Пифагора имеем: АВ2=АК2+ВК2
АС2=152+202
13 EMBED Equation.3 1415
АВ=25.
Ответ:АВ=25см.

7. В прямоугольном треугольнике ABC катеты равны 5см и 12см. Найти высоту, проведенную к гипотенузе.

Дано: (АВС, угол С=90°. СА=5см, ВС=12см.
Найти: CD.
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АСВ. Т.к. АС=5см и ВС=12см, то по теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ.
АВ2=АС2+СВ2
АВ2=52+122
АВ2=169, АВ=13см.
Площадь (АВС находится по формуле:
S=0,5*CA*CB, S=O,5*5*12,S=3Oсм2. Но площадь треугольника АВС можно найти по формуле
S=0,5*AB*CD.
30=0,5*13*CD,
CD=60:13.
Ответ: CD= 60/13 см.

После решения базовых задач целесообразно провести проверочные тесты.
Материал к тесту см. приложение №1.
На втором уроке следует разобрать более сложные задачи. См. приложение №2.
По итогам изучения теоремы Пифагора рекомендуется провести самостоятельную работу. Приложение №3.
Контрольные работы. Приложение 4 – 5.
Но каждом уроке по готовым чертежам решаются задачи. Приложение №6.
Доказательство теоремы Пифагора через площади квадратов, построенных на сторонах треугольника «Пифагоровы штаны»
Устойчивый интерес к математике у школьников начинает формироваться в 14-15 лет. Но для того, чтобы ученики в 8-ом классе всерьез начали заниматься математикой, необходимо, чтобы еще раньше они поняли, что размышления над трудными нестандартными задачами могут доставлять радость. С учащимися надо решать задачи, выходящие за рамки программы. Умение решать нестандартные задачи является одним из основных критериев уровня математического развития. По данной теме, учащимся, которые увлекаются математикой или в классах с углубленным изучением, можно предложить ряд задач, выходящих за рамки школьного курса, также показать несколько способов доказательств теоремы.
Во многих доказательствах теоремы Пифагора используют характерный рисунок квадратов, построенных во внешнюю сторону на сторонах треугольника, так называемые «Пифагоровы штаны».
Доказательство теоремы сводится к доказательству формулы S=Si+S2, где S – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, S1, S2 – площади квадратов, построенных на катетах.
Обычно при этом используется разбиение квадратов на равные части, совмещающиеся друг с другом. Биссектриса прямого угла неходкого треугольника т.е. (АВС делит гипотенузу на части длиной шип, причем по свойству биссектрисы m: n=a:b, где аив катеты исходного треугольника.
Проведем в квадрате, построенном на гипотенузе штриховые линии на расстоянии m и n от сторон. Рассмотрим (MBD он подобен (АВС, т.к. его катеты m иn пропорциональны а и b. Поэтому гипотенуза (MBD параллельна катету b, т.к. соответствующие накрест лежащие углы равны. Теперь можно провести остальные линии разбиения в квадрате, построенном на гипотенузе, параллельно катетам, а в квадратах, построенных на катетах, - параллельно сторонам квадрата, построенного на гипотенузе (причем во втором случае длины отрезков разбиения равны m и n ). В результате получились совмещающиеся фигуры.















где AQFB, CBKL, MACN – квадраты.



Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, состоит из суммы площадей частей квадрата, построенного на стороне катета b, т.е. имеем: S=S1+S2.
Из обобщения теоремы Пифагора следует, что сумма площадей двух меньших фигур равна площади большей фигуры. Поэтому, если на стороне прямоугольного треугольника построить:
равнобедренные прямоугольные треугольники,
правильные многоугольники,
то S=S1+S2.

Доказательство:
S1 = 0,5*a2, S2 = 0,5*b2
S1 + S2= 0,5*(a2+b2)
S= 0,5*c2 т.к. c2=a2 + b2 то S= 0,5*(a2 + b2); S=S1 + S2.
Решение комбинированных задач
Предлагается с этими ребятами рассмотреть Гиппократовы луночки –фигуры, ограниченные дугами двух окружностей, и при том такие, что по радиусам и длине общей хорды этих окружностей с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им квадраты.
Из обобщения теоремы Пифагора следует, что сумма площадей луночек, изображенных на рисунке, равна площади треугольника. Поэтому, если взять равнобедренный прямоугольный треугольник, то получаются две луночки, площадь каждой из которых будет равна половине площади треугольника.

Рис. 1 Рис. 2
Докажем утверждение (см. рис 1)
На гипотенузе и катетах построены полуокружности.
Доказать: S1 +S2 =S(ABC
Sпол.АС + Sпол.ВС = Sпол.AB
Sпол.АС = S1+F1
Sпол.АС = S2+F2
Sпол.АС = F1+F2+S(ABC
Sпол.АС = S1+F1+S2+F2
F1+F2+S(ABC=S1+F1+S2+F2
S1+S2=S(ABC
SF1, F1 и F2 – площади фигур, представляющие собой разность площадей полукругов и заштрихованных фигур.
Решение задач по теме «Обобщение теоремы Пифагора»
После того, как разобрали различные способы доказательства теоремы, сделали вывод из обобщения теоремы, можно с учащимися решить ряд задач.
Задача.№1
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С, сторонами АС и АВ, соответственно равными 7см и 25см найти радиус окружности вписанной в этот треугольник.
Дано: (АВС, угол С=90°. Окр.(О;г), АС=7см, АВ=25см.
Найти: г.
Решение:
ОК=г, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Т.к. (АВС – прямоугольный,
то 0,5*AC*CB
S( =0,5*7*24; S= 84 см2.
По теореме Пифагора найдем СВ.
АВ2 = АС2 + СВ2
СВ2 = АВ2 - АС2
СВ2 = 625 – 49
СВ=24 см.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 3см.

Задача №2
Найти длины отрезков, на которые основание высоты ВВ1 делит сторону АC треугольника ABC и длину ВВ1, если АВ =10 см, ВС =17 см, АС = 21 см.


Дано: (ABC, AB=10 см, BC=17см, AC=21 см, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти: AB1, B1C,BB1.



Т.к. в треугольнике известны три стороны, то по формуле Герона найдем площадь треугольника.
13 EMBED Equation.3 1415, где р - полупериметр.
13 EMBED Equation.3 1415(см)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
S=84см2.
С другой стороны
S( =0,5*AC*BB1
84 = 0,5*АС*ВВ1
84 = 0,5*21*ВВ1
ВВ1 = 168:21 = 8см.
Рассмотрим (АВВ1
АВ = 10см, BB1=8см, 13 EMBED Equation.3 1415, по теореме Пифагора имеем:
АВ2 = АВ12 – BB12,
АВ2 = 102 – 82=36,
AB1=6,
B1C=AC-AB1
B1C = 21 – 6, B1C = 15см.
Ответ: BB1 = 8см, В1А = 6см, В1С = 15см.

Задача№3.
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, длина одной из них равна 6см. Длина отрезка, соединяющего середины оснований равна 4,5см. Найти площадь трапеции.

Дано: ABCD - трапеция, 13 EMBED Equation.3 1415,CM = MD, 13 EMBED Equation.3 1415, АК = KB, 13 EMBED Equation.3 1415, АС = 6см, FN = 4,5 см..
Найти: Sтр.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть К и М середины боковых сторон трапеции. FN = 4,5 см и 13 EMBED Equation.3 1415.Т.к. АК = KB и BF = FC, то по теореме Фалеса именем: KF||АС. Аналогично, KN||DB, 13 EMBED Equation.3 1415.
Четырехугольник NKFM - прямоугольник.
Рассмотрим (FKN. 13 EMBED Equation.3 1415 FN=4,5; KF=3 , то по теореме Пифагора имеем: FN2 = FK2 + KN2;
FN2 = 32 + KN2, KN2 = 4,52 – 32; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
SKFMN=KF*KN; 13 EMBED Equation.3 1415.
A т.к. SABCD = 2SKFMN, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 см2.

Задача №4.
В трапеции одно из оснований в 2 раза больше другого и в 2 раза больше боковой стороны. Диагональ равна а, боковая сторона равна b. Найти нижнее основание трапеции.

Дано: ABCD - трапеция, АВ = 2CD = 2AD; АС= а, ВС = b.
Найти: АВ.
Решение:
В трапеции проведем СЕ||AD. Обозначим AD=х, тогда СЕ=х. AB=2DC=2x. Т.к. AE=DC=x, СЕ – медиана (AСВ. СЕ = 0,5 АВ, значит 13 EMBED Equation.3 1415 .
По теореме Пифагора имеем: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Задача №5
В трапецию с основанием а и b можно вписать окружность. Найти радиус вписанной окружности.

Дано: ABCD-трапеция, AD = а; ВС =b; О(О;г).
Найти: г.
Решение:
Т.к. в трапецию можно в

Приложенные файлы


Добавить комментарий