Всероссийский конкурс исследователских работ учашчихся


МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №12
ТЕМА ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ:
Средние линии трапеции
Оглавление
1.Введение 3
2.Основная часть 5
2.1. Первая средняя линия трапеции 5
2.2.Вторая средняя линия трапеции: 6
2.3. Третья средняя линия трапеции 7
2.4.Свойства средних линий трапеции 8
3.. Практическая часть
3.1.Задачи из источников 11
3.2.Собственные задачи 14
3.3.Задачи из ОГЭ И ЕГЭ 15
4. Заключение 18
5. Литература 19





Введение.
Тема моей работы – «Среднии линии трапеции».
На уроке геометрии, изучая тему, средняя линия трапеции мы решали следующую задачу:
Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны и высота равна 10 см.
Сходу решить задачу у нас не получилось, но когда, с помощью учителя мы доказали, что Sравн.трапеции=h2 , если d1 ┴ d2, то ответ оказался очевиден 100см2. Вскользь, учительница математики сказала, что в задачах с таким условием, высота трапеции будет равна средней линии трапеции.
Я заинтересовался о средней линии трапеции.
Во время своих поисков я наткнулся на упоминание о второй и третьей средней линии трапеции. Мне понятия показались чем-то неизведанным: ни мои одноклассники, ни мои знакомые ничего не слышали об этих средних линиях трапеции. В школьном учебнике (Атанасян Л. С. «Геометрия 7 – 9») о второй линии не упоминается, но есть задача (№ 820), а про третью линию - вообще отсутствуют. Тогда я решил собрать сведения об этих таинственных линиях, задачах, связанные с ними, и оформить свою работу в виде доклада. Думаю, он будет интересен тем людям, которые увлекаются геометрией.
Цель работы:
исследование второй и третьи средней линии трапеции, применение их при решении задач ОГЭ и ЕГЭ.
Задачи:
Собрать информацию о средних линиях трапеции.
Изучить свойства средних линий трапеции.
Решить задачи, имеющиеся в литературе, в Интернете, на сайтах по подготовке к ОГЕ и ЕГЭ.
Составить и решить свои собственные задачи.
Предмет исследования: геометрия.
Объект исследования: среднии линии трапеции.
Гипотеза: Среднии линии трапеции используется в решении задач ОГЭ И ЕГЭ.
Актуальность темы обусловлена тем, что все больше и больше геометрических задач встречается в экзаменационной работе по математике в 9 и 11 классах, материалы данного исследования можно использовать при подготовке к экзаменам, они будут полезны всем ребятам интересующимся геометрией.
Я начал свою работу со сбора информации в Интернете и в имеющихся архивах книг учителя и в справочниках по математике. К моему удивлению, информации оказалось крайне мало. Очень много полезного для себя я почерпнул в статье «Вторая средняя линия трапеции» (Кушнир И. А., журнал «Математика в школе» № 2, 1993) и в учебном пособии для техникумов под автором Лисичкина В.Т, Соловейчик И.Л.,1991год.
Большую часть свойств второй средней линии трапеции я сформулировал на основе задач, представленных в ней. К сожалению, не все задачи были мне понятны, поэтому я решил продолжить поиск. Задачи, связанные со второй средней линией трапеции оказались у авторов: Лидского В. Б., Прасолова В. В., Сивашинского И. Х., Шахно К. У. Так как задач оказалось очень мало, я решил составить собственные. Мне удалось придумать 2 задачи.
Третья средняя линия трапеция в источниках приводиться виде определения и единственного свойство.
Основная часть
Первая средняя линия трапеции.
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
3810188595Дано: ABCD - трапеция, MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN || AD;
MN || BC; MN = ( AD + BС)

Доказательство.
1. Для доказательства из вершины B через точку N проведём прямую BN до пересечения этой прямой с продолжением основания AD в точке B1.
2. Рассмотрим ∆ BCN и ∆ B1DN.
1=2 (как вертикальные); 3=4 (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и АB1 секущей CD); CN= ND (по построению)
3. ∆BCN = ∆B1DN ( по второму признаку равенства треугольников( по стороне и двум прилежащим к ней углам) => BC = B1D и BN = B1N.
4. По построению MB = AM. Значит, средняя линия трапеции MN является средней линией ∆ ABB1. По теореме о средней линии треугольника MN AB1. => MN II AD, а AD II BC (по определению трапеции), то MN || BC ( следствие 2 из аксиомы параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и отрезок MN= AB1=(AD+BC). Теорема доказана.
2.2.Вторая средняя линия трапеции.
Вторая средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.
ВКС

А S D
KS – вторая средняя линия трапеции АВСD
Как известно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований. А есть ли связь между второй средней линией трапеции и её боковыми сторонами? Очевидно, что вторая средняя линия трапеции не равна полусумме боковых сторон, в чём можно убедиться, хотя бы растяжением одного из оснований:
рис.1В К С


A1 А S D D1
сумма боковых сторон трапеции изменилась, а длина KS осталась прежней. И всё же связь между второй средней линией трапеции и боковыми сторонами есть. Воспользуемся векторным способом:
в трапеции АВСD (рис.1) ВС || АD, КS – вторая средняя линия.
KS = KB + BA +AS, с другой стороны, KS = KC + CD + DS. Сложив оба равенства, получим: 2KS = (KB + KC) + (BA + CD)+ (AS + DS), т.е.
KS = (BA + CD).
Вывод: таким образом, вектор второй средней линии трапеции равен полусумме векторов боковых сторон, взятых в одном порядке (сверху вниз).
Это утверждение можно доказать и вторым способом:
рис.2
В К СВ трапеции АВСD (ВС || АD) КS – вторая
средняя линия, О – произвольная точка
По формуле для середины отрезка:
А S D ОК = (ОВ + ОС), OS = (OA + OD)
OS – OK = ((OA – OB) + (OD – OC)), KS = (BA + CD)
2.3. Третья средняя линия трапеции
1.Третья средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
2.Третья средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полуразности:
B C RS = (AD–BC). RS||AD;   RS||BC;
R S RS-средняя линия
A D


2.4. Некоторые свойства средних линий трапеции.
1. Первая и вторая средние линии трапеции в точке пересечения делятся пополам.
рис.3
BKC Для доказательства рассмотрим
треугольники ВСD и ABD: KN -
M N средняя линия треугольника BCD,
OKN || BD и .
ASD MS–средняя линия треугольника ABD, MS || BD, . Аналогично, МК || АС, , NS || AC, . Таким образом, MKNS – параллелограмм, MN и KS – его диагонали, следовательно, KO = OS, MO = ON.
2. Вторая средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей.
рис.4
B K CДано: ВК = КС
OДоказать: AS = SD
AS D
Доказательство: как накрест лежащие при ВС || AD и секущей BD. как вертикальные. подобен , аналогично, подобен .
. Из этих равенств следует, что , а т.к. BK = KC (по условию), то AS = SD .

3. Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны. (Слайд 4)
рис.5О Для доказательства рассмотрим треугольники ВОС и AOD.
Они подобны по двум углам,
B KC
A S D ODOC, OBOA, OA =k ·OB, OD = k ·OC.
По формуле середины отрезка:
OK = (ОВ+ОС), OS = (OA+OD), OS = (k ·OB + k ·OC)= k (OB+ OC)= = k ·OK OK коллинеарен OS, ОKS.
Верно и обратное утверждение: если прямая проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны и середину одного из оснований, то она проходит и через середину другого основания (является второй средней линией трапеции). Дано: Прямая OS проходит через середину основания AD трапеции ABCD.
Доказать: ВК = КС
Доказательство: (по рис.6)
∆KOC ~ ∆SOD ∆ВОК ~ ∆AOS
, т.к. АS = SD(по условию), то КС = ВК.
4. В равнобочной трапеции все средние линии перпендикулярны. (Слайд 5)
ВKС Дано: ABCD - трапеция, АВ = CD,
MN, KS – средние линии
МN Доказать: MNKS.А S D Доказательство: ( рис.7)
MK – средняя линия ∆АВС, МК||АС, МК=АС
NS – средняя линия ∆ADC, NS||AC, NS =АС
Если противоположные стороны четырехугольника MKNS равны и параллельны, то по признаку MKNS – параллелограмм Т.к. трапеция ABCD – равнобокая, то AC = BD,
MK = АС, KN = BD, MK = KN, MKNS - ромб
По свойству ромба, диагонали в нем перпендикулярны, MN KS.
Верно и обратное утверждение: если все средние линии трапеции перпендикулярны, то эта трапеция равнобокая.
Доказательство (по рис.7) :По теореме о средней линии трапеции MN||BC, MN||AD
По условию MNKS, BCKS, ADKS
BK=KC, AS=SD, KS- ось симметрии трапеции ABCD,
AB и CD симметричны относительно KS, AB=CD.
Пользуясь доказанным свойством, можно сформулировать следующее:
5. В равнобочной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям (см. доказательство предыдущего утверждения)
6. Если первая и вторая средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны. (Слайд 6) рис.8
В Е С
Доказательство:
MN МЕNF – параллелограмм, по условию MN=EF.
Если в параллелограмме диагонали равны,
AF Dто этот параллелограмм – прямоугольник, ENME,
т.к. EN||BD, ME||AC, то BDAC. Обратное утверждение также верно: если диагонали трапеции перпендикулярны, то средние линии этой трапеции равны.
Доказательство: ACBD, MEEN, MFFN MENF – прямоугольник EF=MN.
Задачи.
Задачи Кушнир И.А., Лидский В. Б., Прасолов В. В., Сивашинский И. Х., Шахно К. У.)
Мне удалось найти очень мало задач, связанных со второй средней линией трапеции (авторы: Кушнир И. А., Лидский В. Б., Прасолов В. В., Сивашинский И. Х., Шахно К. У.). В учебнике «Геометрия 7-9 » (автор Л.С.Атанасян) представлена лишь одна задача (№820). Кроме того, две задачи повторяются у нескольких авторов, правда, с различными формулировками:
Шахно К. У. [5], стр.73, № 859:
Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.
Лидский В. Б.[4], стр.60, №347:
Доказать, что прямая, соединяющая середины параллельных сторон трапеции, пройдёт через точку пересечения диагоналей.
Кушнир И. А.[2], стр.57, №8:
Доказать, что точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции и точка пересечения диагоналей трапеции принадлежат прямой, содержащей вторую среднюю линию трапеции.
Прасолов В. В.[6], стр.14, №1.22:
Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны, лежат на одной прямой.
Задача 1 (Кушнир И.А.)
Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на диагональ трапеции и на синус угла между ними.
B E C рис.9 Дано: ABCD – трапеция,
EF – вторая средняя линия.

AFDДоказать:
Доказательство. Соединив точки А и E, С и F, получим что площадь трапеции AECF, , где - угол между отрезками EF и AC. и . Значит, площадь трапеции ABCD равна удвоенной площади трапеции AECF, что и требовалось доказать.
Задача 2 (Кушнир И.А.)
Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведенных к этой средней линии (или её продолжению) из двух противоположных вершин трапеции. ( рис.10.)
B E C
NДано: ABCD – трапеция,
EF – вторая средняя линия,
MСNEF, AMEF.
A FD Доказать:
Доказательство: Рассмотрим треугольники AEF и ECF. , . Тогда . Т. к. , то .
Задача 3 (Атанасян Л. С.)
(№820) Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям.
Решение:
В KС Дано: ABCD - трапеция, АВ = CD,
MN, KS – средние линии
МN Доказать: MNKS.А S D Доказательство: ( рис.7)
MK – средняя линия ∆АВС, МК||АС, МК=АС
NS – средняя линия ∆ADC, NS||AC, NS =АС
Если противоположные стороны четырехугольника MKNS равны и параллельны, то по признаку MKNS – параллелограмм Т.к. трапеция ABCD – равнобокая, то AC = BD,
MK = АС, KN = BD, MK = KN, MKNS - ромб
По свойству ромба, диагонали в нем перпендикулярны, MN KS.
Задача 4 (Сивашинский И. Х.)
В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90º. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.( рис.11)
M Решение: AF = FD, BN = NC
º, º,
B N CAD – гипотенуза,
MF = AF = FD = AD
А F D

MN = BC , FN = MF – MN, FN = AD - BC = (AD – BC)
Собственные задачи
Задача 1
Верно ли утверждение: если прямая проходит через середину одного основания трапеции и точку пересечения диагоналей, то и другое основание она делит пополам?
Решение: Да, см. свойство 2.
Задача 2
Основания трапеции равны 10 см и 6 см, вторая средняя линия – 4 см, угол между средними линиями 30º. Найти площадь трапеции.
Решение:
B K С

M O N
A H S D
(соответственные), , КН = 2 см см².
Ответ: 16.
Задача 3.
Чему равна длина отрезка, являющегося частью средней линии трапеции и лежащего между ее диагоналями. Основания трапеции равны 16 и 20 см
В С

М К О Н
А Д
Решение. По свойству третьей средней линии трапеции КО= (20-16) : 2=2.
Ответ:2.
3.3.Задачи из ОГЭ и ЕГЭ.
Задача 1. Досрочный ЕГЭ 26.04.12. Задание C4.
Боковые стороны   и  и  трапеции  равны10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые     и        пересекаются в точке   . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник    .
Решение: Возможны два варианта: 1)

 Так как средняя линия равна 24, а ,  то получим с одной стороны    , с другой стороны:        Откуда 
  :


 —  по формуле Герона. Следовательно,
2)   

В данном случае    и  . Ответ:   2 или 6
Задача 2. Р.К.Гордин « ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4.


Задача 3. Сайт решу ЕГЭ-2015( прототипы №№ 50879,50831,50833,50835…)
№ 27843. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Решение.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности большего и меньшего оснований. Поэтому он равен (3 − 2) :2 = 0,5.
 Ответ: 0,5.
Задача 3. Сайт: ЕГЭ-2015 MAXIMUM. ruОснования трапеции равны 12 и 60. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение: 

I способ:
Из предыдущих задач мы уже знаем, что средняя линия трапеции содержит точки – середины диагоналей.
То есть NM – часть средней линии. Более того, RN=MT=BC/2;
RM=NT=AD/2
Итак, NM=NT-MT=AD/2-BC/2=30-6=24.
II способ:
По свойству третьей средней линии трапеции: (60-12) :2=24.
Ответ: 24.
Заключение
В результате проделанной работы я узнал, что такое вторая средняя линия трапеции, какими свойствами она обладает; разобрал решение задач, связанных с этой линией.
Я выяснил, что вторая и третья средняя линии трапеции используется в решении задач мало, видимо, поэтому она не проходится в школе. Но я не жалею, что потратил время на изучение этой темы, т.к. узнал много нового о трапеции.
В ходе исследования я убедился, что изложенные примеры могут быть применены при решении более сложных задач на ЕГЭ как свойства (теоремы), что позволит сэкономить время на их решение.


Литература
Л. С. Атанасян и др. «Геометрия 7-9» Учебник для образовательных учреждений/- М., Просвещение, 2009
Википедия.- ru.wikipedia.org/wiki/средние линии
И. А. Кушнир «Вторая средняя линия трапеции», журнал «Математика в школе» №2, 1993.
Научный форум dxdy. – dxdy.ru/topic20315.html
И. Х. Сивашинский «Задачник по элементарной математике», - М., Наука, 1966.
Р.К.Гордин « ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4.
К. У. Шахно «Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности», - Минск, Высшая школа, 1966.
Лисичкина В.Т, Соловейчик И.Л.,1991год.
Reshuege.ru. Сайт решу ЕГЭ
Egemaximum.ru. ЕГЭ-2015 MAXIMUM.

Приложенные файлы


Добавить комментарий