Вспомогателная окружност


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Лицей «Дубна»Тема работы:Метод Вспомогательной окружностиВыполнил: Джавадзаде ДжавидРуководитель: Рычкова Татьяна Викторовна – учитель математики МОУ Лицей «Дубна» г. Дубны Московской области» Цели и задачиИзучение необходимой теории1Приобретение знаний и умений по применению метода вспомогательной окружности.2Рассмотреть задачи из проекта ЕГЭ 2011- 2012 года С4. 3Разработать тест , способствующий развитию геометрической изобретательности и интуиции4 Вспомогательная окружность – одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Скорее всего, это связано с тем, что «увидеть» окружность там, где ее нет, уже само по себе нетривиально. Однако мы надеемся, что после знакомства с нашей работой, у любителей геометрии чаще будут возникать «круги перед глазами.»В огромном саду геометрии каждый найдет себе букет по вкусу». Д. Гильберт. По мере изучения геометрии мы познакомились с различными методами решения задач: векторный, координатный, аналитический, геометрический. Убеждались не раз, что для решения нестандартных геометрических задач наиболее эффективным и красивым является чисто геометрический, т. е. такой, где необходимо применить вспомогательное построение. С его помощью решаемую задачу обычно удаётся свести к элементарным задачам, решения которых известны или легко могут быть получены. Вспомогательные построения иногда напрашиваются сами собой. Например, если в задаче говорится о прямой, касающейся окружности, то естественно провести радиус в точку касания и воспользоваться тем, что он перпендикулярен касательной. При решении же нестандартных задач найти удачное вспомогательное построение не так – то просто. Требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтобы догадаться, какие дополнительные линии следует провести. 321Доказательство: Опишем около данного треугольника окружность.По свойству вписанного угла:ے1 = ½ AnCے 2 = ½ ClBے3 = ½ BkNAkB+BlC+CnA = 360 ° =>ے1+ے2+ے3=180°,что и требовалось доказать.АВСlknДоказать: сумма углов треугольника равна 180°


BACMДоказательство:Опишем около треугольника АВС окружность, ےАСВ=90° => АВ – диаметр, МС – радиус, следовательно МС равно ½ АВ, что и требовалось доказать.Доказать: в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине∠ C=90°, CM -медиана
AMKBAMBKЕсли для четырех точек плоскости А, В, М, К выполняется одно из следующих условий: а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом ∠ АМВ = ∠ АКВ;б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом ∠ АМВ + ∠ АКВ = 180°,то точки А, В, М, К лежат на одной окружностиТеорема о принадлежности точек одной окружности
АВСМОДоказательство: заметим, что точки А,В,С лежат на одной окружности с диаметром ОМ, по теоремео принадлежности точек одной окружности. ∠ ACB= ∠ AOB(опираются на одну дугу) = 60°,Аналогично ∠ ABC= ∠ BAC=60°=> тр-к ABC - равносторонний.Через некоторую точку плоскости, проведены 3 прямые так, чтоУгол между любыми 2 из них равен 60°. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных на эти прямые из любой точки плоскости, служат вершинами правильного треугольника.Доказать








CA13NВQM513Известно, что BM и CN – высоты треугольника АВС, при этом MN=10,BC=26. Найдите расстояние между серединами отрезков MN и BC. Пусть P и Q – середины отрезков BC и MN соответственно. Точки B,N,M,C – лежат на одной окружностиС диаметром ВС. Точка Р – центр окружности, а Q – середина хорды MN, поэтому PQ перпендикулярно MNPM=PC(как радиусы)=13;Из прямоугольного треугольника PQM находим, что PQ = 12 Задача С4Р
ABCDEFGHДано: АВСDEFGH – правильная восьмиконечная звездаНайти: сумму углов звезды.Опишем около звезды АВСDEFGH окружность, ∠ FAD = ½ дуги FD = дуге FE аналогично с другими углами. Следует сумма углов равна 360º.ТестИтак, подведем некоторые итоги. На мой взгляд, геометрические задачи, в которых требуется выполнить дополнительные построения, самые интересные, поскольку отгадка не лежит на поверхности. Но для умения их решать нужна геометрическая интуиция, изобретательность и, конечно, тренировка. Я хочу предложить вам небольшой тест.


тестВНАСР∠ C=90°CН - высотаДоказать: СН²=АН*НВПостроим описанную окр. около ΔАВС, продолжим высоту СН до Р, СН=РН; т. к. АВ перпендикулярно СР, отсюда: СН²=АН*НВ по свойству хорд.Тест


CDBAOEДано: ∠ А=50 °; ∠ B=60°;∠ DCA = ∠ EAC=30°О - центр описанной окружности.Найти: ∠ CDE-?Решение: ∠ DOE= ∠ AOC = 120° около четырехугольника ODBE можно описать окружность.50°30°60°30°ЗадачаЗаметим, что ∠CDE=∠ODE=∠OBE, т.к. они опираются на одну дугу.Из треугольника OAB: OA=OB, отсюда:∠ OBA= ∠ OAB = ∠ A- ∠ OAC=20°∠ OBE = ∠ B- ∠ OBA =40° = ∠ CDEОтвет: ∠ CDE= 40°

СDС1ABppppqqОснование BD и боковая сторона AD трапеции ABCD равны p.Боковая сторона BC равна q. Найдите диагональ AC.Задача С4


Задача С4C1BАCDαДан прямоугольный треугольник АВС С прямым углом И углом α при вершине А. Точка D – середина гипотенузы. Точка C1 симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол AC1B-?Описав окружность, докажем, что DC=DA=DB=DC1
Не хотелось бы утомить вас обилием кругом, боюсь, что теперь круги перед глазами не только у меня, но и у вас =) но тем не менеенастоятельно рекомендую вам, выбирая метод решения, отдавать предпочтение геометрическому, в частности методу вспомогательной окружности.Не хотелось бы утомить вас обилием кругов, боюсь, что теперь круги перед глазами не только у меня, но и у вас =) но тем не менеенастоятельно рекомендую вам, выбирая метод решения, отдавать предпочтение геометрическому, в частности методу вспомогательной окружности. Спасибо за внимание!

Приложенные файлы


Добавить комментарий