Конспект урока по геометрии в 8 классе
учителя МАОУ «Гимназии №9» г. Королева
Земцовой Татьяны Викторовны.
Тема урока: «Решение задач на построение методом подобных треугольников»
Технология дифференцированного обучения
Цели:
Образовательные:
Показать применение метода подобия треугольников при решении задач на построение с помощью циркуля и линейки;
2. Формировать умения применять теоретический материал при решении практических задач.
Развивающие:
Развивать интерес к науке и технике, через поиск примеров применения данной темы в жизни.
Приобрести навыки исследовательской работы.
Воспитательные:
поддерживать и повышать мотивацию обучения данному предмету
Развивать навыки самоконтроля.
Оформление кабинета:
Плакаты, экран для мультимедийного проектора.
К уроку подготовлена презентация 21 слайд.
Деятельность учителя Деятельность ученика длительность
Организационный момент На экран 1 слайд
Тема урока: «Решение задач на построение методом подобных треугольников» 1 мин.
I Актуализация знаний учащихся Устный опрос
1) - Что называется отношением двух отрезков?
- В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?
- Дайте определение подобных треугольников.
- Сформулируйте признаки подобия треугольников.
- Сформулируйте утверждение о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике
- Найти BD? (см. рис.1)
4248153365500107251533655B
9963152921001101090292100
A C
D
Ответ: BD = AD∙DCВыразить из равенства DC
Ответ: BD²= AD ∙ DC
DC = BD2AD2) – Постройте угол равный данному углу.
- Постройте медиану AM треугольника ABC
- Постройте прямую, параллельную стороне AB ΔABC и проходящую через точку C.Ученики внимательно слушают вопросы и отвечают на них устно.
Слайд 2
Слайд 3
Практические задания на построения с помощью линейки и циркуля, ученики работают в тетрадях.
Слайд 4. II Решение задач - Сегодня на уроке мы будем решать задачи методом подобных треугольников.
- В чем заключается метод построения фигур методом подобия?
- Сколько и какие этапы включают в себя задачи на построения?
Слайд 5.
- Ребята, сейчас все вместе разберем следующую задачу на построение.
Задача 1.
Построить треугольник ABC по углу A , отношению сторон AB : AC= 2 : 1 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины C.
Решение (рис. 2 а) и б)):
Дано: ∠A = ∝, O – точка пересечения медиан, ΔABC, OC = m, AB:AC = 2 : 1.
Построить: ΔABC.( Слайд 7)
Построение: (Слайд 8)
а) Построить угол A, равный ∝.
б) На сторонах угла A отложить отрезки AC1 и AB1так, что AB1 : AC1 = 2 : 1.
в) Построить точку пересечения медиан треугольник AB1C1 - точку O1.
г) На луче O1C1 отложить отрезок O1E, равный m.
д) Построить прямую EC, параллельную медиане AM1 треугольника AB1C1C = EC ∩ AC1.
е) Через точку C провести прямую CB,параллельную C1B1, CB∩AB1 = B.
Треугольник ABC – искомый.
Доказательство: (Слайд 9)
а) В треугольнике ABC ∠A = ∝.
б) AB : BC = 2 : 1, так как ΔABC ~ ΔAB1C1 по двум углам → так как AB1:AC1 = 2: 1 по построению ,то AB : AC = 2 : 1.
в) О – точка пересечения медиан треугольника ABC, так как если B1M1 = M1C1, то BM = MC (ΔAB1M1~ΔABM,ΔAM1C1~ΔAMC).
г) OC = m, так как O1E = m, а O1OCE параллелограмм по построению.
Треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи, следовательно, треугольник ABC – искомый.
Задача 2.
№ 588 (из учебника)
Постройте треугольник ABC по углу A и медиане AM, если известно, что AB : AC = 2 : 3. (Слайд 10)
Решение (рис.3 а) и б))
Дано: ∠A = ∝, AM = m, AB : AC = 2 : 3.
Построить: ΔABC (Слайд 11)
Построение: (Слайд 12)
а) Построить ∠A = ∝б) На одной из сторон угла A отложить 2 одинаковых отрезка, а на другой 3 таких же отрезка, соединить FN
в) Найти середину NF
г) На луче AO - отрезок AM = m
д) Через M строим прямую l параллельную NF
е) l ∩ AF = C, l ∩ AN = B.
Треугольник ABC – искомый.
Доказательство: (Слайд 13)
а) ΔANF ~ΔABC, (∠A – общий ,∠ABC = ∠ANF при NF || BC и секущей AB)
б) NO = OF (по построению)
в) BM = MC , т.е. AM – медиана.
Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.
Задача 3.
№ 589 (из учебника)
Постройте треугольник ABC по углу A и стороне BC, если известно, что AB : AC = 2 : 1. (Слайд №14)
Решение (рис.4 а) и б)):
Дано:
∠A = ∝, BC = m, AB : AC = 2 : 1
Построить: ΔABC (Слайд 15)
Построение: (Слайд 16)
а) ∠A = ∝б) AB1 = 2 PQ
в) AC1= PQ
г) C1B2 = m
д) Через точку B2 проведем прямую, параллельную AC1 ,BB2|| AC1
е) Через точку B проведем прямую, параллельную С1B1., BC ||B2C1
Треугольник ABC - искомый.
Доказательство: (Слайд 17)
Угол A равен данному углу по построению. Так как BC || B2C1 и B2B || C1C, то четырехугольник BCC1B2 – параллелограмм, и поэтому BC = C1B2, а значит, сторона BC треугольника ABC равна данному отрезку. Наконец, так как BC || B1C1, ТО ABAC = AB1AC1 = 21. Таким образом, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.
Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.
Задача 4.
Постройте отрезок a= (m-n)∙mn, если отрезки m и n известны.
(Слайд 18)
Решение (рис. 5 а) и б)):
Дано:
См. рис. 5 (а)
Построить: отрезок a
(m-n)∙mn = m2-m∙nn = m2n – m
В прямоугольном треугольнике ABC BD- высота, проведенная из вершины прямого угла, поэтому BD = CD∙AD, следовательно, BD2=CD∙AD→CD=BD2:AD= m2:n. DK=CD-CK.Если CK= m, то DK = m2/n – m. (Слайд 19)
Построение:
а) Построить ΔABD, в котором ∠D = 90°, BD = m, AD = n.
б) Провести прямую BC так, что BC⏊AB=C.в) На луче CA отложить отрезок CK, равный m
г) DK – искомый отрезок.
Задача не имеет решения, если m<n. (Слайд 20)
- Сначала строят фигуру, подобную искомой, потом строят по заданным размерам саму искомую фигуру.
- Анализ задачи, построение, доказательство, исследование.
Слайд 6.
93980704850Рис.2
∝939805905500
68453022860009398022860009398011811000
m
а)
16960851371600020066013716000 B
B1M
1067435118745009912351758950020066011430000 KM
K1O
6673855778500 O1 M1
14674855842000106743558420002006605842000A C1 C
E
б)
Рис.3
20066010541000
α20066013017500
12769851784350012446017843500
1244607874000
m
20066018478500 a)
99123512319000 B
20066015240000724535381000 N M
O
20066016764000A
F C
б)
Ученики решают самостоятельно. Кто решит первый, тот объясняет у доски.
Если ученик не решил № 588, то решают №589.
Если ученик справился с задачей №588, то решает задачу №4.
Рис. 4
143510533400
α1435101905000
15151105588000248285558800024828511303000
m
а)
5435601352550063513525500 P Q
635762000
1435108001000
629285000 C
54356016002000 C1
117221011430000 B
1435107239000A B1
B2
б)
Рис. 5.
467360317500063531750006357937500
n
88646094615006731094615006731014224000
m
а)
A6432559144000
n
131508514033500131508514033500
514985193040004673601206500381635787400014389106921500 B D
m
137223517462500
K
C
б) .
2мин.
1мин.
8мин.
IV Итог урока V Домашнее задание по выбору Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки разделите его в отношении 2 : 3.
Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.
Даны отрезки m и n. Постройте отрезок y = n2m+n
Слайд 21.