МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ по учебной дисциплине «Математика» для студентов 2 курса очной формы обучения по специальности «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)»


Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«АРМАВИРСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»
Краснодарского края
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
по учебной дисциплине
«Математика»
для студентов 2 курса очной формы обучения по специальности
«Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)»
Автор: Беляева Татьяна Юрьевна
Содержание
1. Введение………………………………………………………………. 3
2. Порядок проведения практического занятия……………………… 3
3. Оформление практической работы………………………………… 3
4. Критерии выставления оценок……………………………………… 3
5. Практическая работа № 1. «Множества и бинарные отношения»…………………………………………………………………... 5
6. Практическая работа № 2. «Вычисление производных сложных функций»……….……………………………………………………… 8
7. Практическая работа № 3. «Нахождение производных и дифференциалов высших порядков»………………………………………. 10
8. Практическая работа № 4. «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле»………………………… 11
9. Практическая работа № 5. «Вычисление определенных интегралов заменой переменной и по частям»……………………………… 13
10. Практическая работа № 6. «Решение дифференциальных уравнений первого порядка»………………………………………………… 15
11. Практическая работа № 7. «Решение дифференциальных уравнений второго порядка»………………………………………………… 17
12. Практическая работа № 8. «Вычисление интегралов и решение дифференциальных уравнений с применением численных методов»……………………………………………………………………. 19
13. Практическая работа № 9. «Числовые ряды. Исследование рядов на сходимость»………………………………………………………... 21
14. Практическая работа № 10. «Вычисление числовых характеристик случайных величин»…………………………………………… 23
15. Практическая работа № 11. «Построение вариационного ряда. Расчет по заданной выборке ее числовых характеристик»…………………………………………………………………… 25
16. Список рекомендуемой литературы……………………………….. 28

1. Введение
Цель методических указаний - обеспечить четкую организацию проведения практических занятий со студентами 2 курса специальности 210414 «Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)» по дисциплине «Математика» и предоставить возможность студентам, отсутствовавшим на практическом занятии, самостоятельно выполнить работу.
Студенты, отсутствовавшие на практических занятиях, при выполнении практических работ самостоятельно, имеют право на получение консультаций у преподавателя.
Неудовлетворительная оценка, полученная студентом при выполнении практической работы, должна быть исправлена и повторно проверена преподавателем.
Студент, имеющий к концу семестра более 75% практических работ, написанных на неудовлетворительную оценку, не может быть допущен к экзамену по дисциплине.
2. Порядок проведения практического занятия
1. Опрос студентов по теме практической работы в различных формах
2. Краткое сообщение преподавателя о целях практического занятия, порядке его проведения и оформления работы
3. Выдачу вариантов заданий
4. Выполнение практической работы студентами
5. Подведение итогов практического занятия преподавателем
3. Оформление практической работы
1. Задания выполняются в специально отведенной тетради.
2. В тетради студенты записывают:
- дату, когда проводится занятие;
- тему практической работы;
- вариант.
3. Условие каждого задания переписывается полностью или делается краткая запись «Дано» (если это возможно), затем выполняется решение задания и записывается ответ. Иногда ответ можно не записывать (ответом служит график, таблица и т.п.).
4. Все рисунки и схемы выполняются карандашом, с помощью линейки.
5. Задания можно выполнять в произвольном порядке.
4. Критерии выставления оценок
Оценка «5» ставится, если:
• работа выполнена полностью;
• в логических рассуждениях и обоснованиях решения нет пробелов и ошибок;
• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Оценка «4» ставится, если:
• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).
Оценка «3» ставится, если:
• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Оценка «2» ставится, если:
•допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

5. Практическая работа № 1
Тема: «Множества и бинарные отношения»
Цель: 1) усвоить понятия множества и способы его задания; приобрести практические навыки по выполнению операций над множествами, заданными своими элементами; 2) закрепить понятия бинарных отношений, их свойств и способов задания.
Методические указания
Опр. Множество – совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку. Каждый объект, входящий во множество, называется его элементом.
Различные способы заданий множеств
- Перечислением его элементов
А = -1;1 - множество состоит из чисел – 1 и 1.
- Описанием характеристического свойства
А = х ∈Z| x2- 1=0 – множество таких целых чисел, которые являются корнями квадратного уравнения
- Порождающей процедурой
- Геометрически (с помощью кругов Эйлера)
Опр. Множество В называется подмножеством множества А, если всякий его элемент является элементом А.
Обозначение: В ⊂ АОпр. Множество, состоящее из всех подмножеств некоторого множества, называется булеаном этого множества.
Обозначение: В(А)
Напр.: Пусть А = 1;3;5, тогда
В(А) = ∅; 1;3; 5; 1;3; 1;5; 3;5; 1;3;5Операции над множествами
Опр. Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.
Обозначение: А В.Опр. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.
Обозначение: А В.Опр. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
Обозначение: А \ В.
Опр. АЕ называется дополнением множества А до множества Е, если А является подмножеством Е и АЕ = Е \ А.
Опр. Прямым произведением множеств А и В называется множество, элементами которого являются все упорядоченные пары а;в, в которых первым компонентом является элемент из А, вторым –элемент из В.
Обозначение: А × В
Задача. Пусть А = 1;6, В = 1;3;5, С = 1;3;6;9.
Найти: А ⋃ В, В ∩ С, С \ B, АС, В × А, А2.
/ А ⋃ В = 1;3;5;6 В ∩ С = 1;3 С \ B = 6;9 АС = 3;9 В × А = {(1; 1), (1; 6), (3; 1), (3; 6), (5; 1), (5; 6)}
А2 = {(1; 1), (1; 6), (6; 1), (6; 6)} /
Опр. Подмножество R прямого произведения А на В называется бинарным отношением.
Обозначение: R ⊂ А × В
Опр. Областью определения бинарного отношения R ⊂ А × В называется подмножество множества А, для элементов которого найдутся такие элементы из В, что а R в.
Обозначение: Dom R
Опр. Областью значений бинарного отношения R ⊂ А × В называется подмножество множества В, для элементов которого найдутся такие элементы из А, что а R в.
Обозначение: Im R
Матричный способ задания бинарного отношения:
Опр. Матрица бинарного отношения – это прямоугольная таблица, строки которой соответствуют первым координатам, а столбцы – вторым координатам в упорядоченных парах данного отношения. На пересечении i - ой строки и j - ого столбца матрицы ставится «1», если aiRbj, в противном случае ставится «0».
Напр.: Пусть А = {2; 3}, B = {3; 4; 5; 6}, тогда
А × В = {(2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 3), (3; 4); (3; 5); (3; 6)}
Рассмотрим отношение R – отношение «быть делителем»
R = 2;4;2;6;3;3;(3;6)Матрица этого отношения:
3 4 5 6
2 0 1 0 1
3 1 0 0 1
Свойства бинарных отношений
Пусть R – бинарное отношение в А, т.е. R ⊂ А2.
1) Отношение R называется рефлексивным, если ∀а∈А а R а.
2) Отношение R называется антирефлексивным, если ∀а∈А а R а.
3) Отношение R называется симметричным, если ∀ai;aj∈А из того, что aiRaj, следует, что ajRai.
4) Отношение R называется антисимметричным, если из соотношений aiRajи ajRai следует, что ai = aj.
5) Отношение R называется асимметричным, если ни для одной пары ai;aj∈А не выполняется одновременно aiRajи ajRai.
6) Отношение R называется транзитивным, если из того, что aiRaj и ajRaк, следует, что aiRaк.
7) Отношение R называется антитранзитивным, если оно не обладает свойством 6).
Графическое представление бинарных отношений
Пусть на множестве Х задано бинарное отношение R. Ему соответствует ориентированный граф, вершины которого соответствуют элементам из Х, а дуга (xi; xj), где xi, xj ∈Х существует тогда и только тогда, когда xiRxj.Если имеют место соотношения xiRxj и xjRxi, то вершины связываются 2-мя нестрого параллельными дугами, которые можно заменить ребром. Т.о., симметричному отношению соответствует неориентированный граф. Соотношению xiRxi соответствует петля, выходящая из xi и входящая в ту же вершину. Т.о., если R рефлексивно, то соответствующий граф имеет петли во всех вершинах. Если R транзитивно, то в графе для каждой пары рёбер (xi; xj) и (xj; xk) имеется замыкающее ребро (xi; xk).
Напр.: Пусть во множестве N = 1;2;3;4;5;6 задано бинарное отношение
R = 1;1;1;3;1;6;2;4;3;1;3;5;4;3;4;6;5;4;(5;6).Dom R = 1;2;3;4;5Im R = 1;3;4;5;6215836510477500 e1
Граф отношения:
233934068580001767840685800023393406858000 ● 1
e3
176784099060001767840996950024441159906000 6 ● e2 ●2
e8 e5
e10 e6
176784097790002444115977900017678409779000 5 ● ●3
e9 e4
● e7
4
Содержание задания
Задание 1. Прочитайте запись М = х∈Z | х3-25х=0. Задайте это множество перечислением элементов. Запишите все его подмножества.
Задание 2. Найдите дополнение множества В до множества А. если:
А = х∈Z| -2<х≤10 и В = х∈N | 5<х<10.
Задание 3. Найдите А∪К,К∩В,К \ А, МА, М2 и С × М, если:
А = 1;4;5;6;9, В = 3;4;5;6;7, С = {2; 5; 8}, М = {4; 6}, К = {1; 3; 7; 9}.
Задание 4. Во множестве N = 1;2;3;4;5 задано бинарное отношение R = 1;2;1;4;3;1;3;2;3;3;4;1;4;2;5;1;5;3;(5;4). Для данного отношения запишите область определения и область значений. Нарисуйте граф этого отношения.
Задание 5. Дано: отношение R – «не имеют общих делителей кроме 1» во множестве М = 2; 8; 14; 15; 26. Задайте данное отношение R перечислением элементов и матрицей. Определите, какими свойствами обладает отношение R.
6. Практическая работа № 2
Тема: «Вычисление производных сложных функций»
Цель: приобрести практические навыки по вычислению производных сложных функций и обратных тригонометрических функций.
Методические указания
Правила дифференцирования
с' = 0 (х)′ = 1
(u∙v)'=u'v+uv' cu'=cu'
uv′ = u'v-uv'v2 yx′ = yu'ux'Таблица формул дифференцирования
Основные элементарные Сложные функции
функции(xn)′ = n xn-1 (un)′ = n un-1u′
x'= 12x u'= u'2u1x′= - 1x2 1u′= - u'u2ax'= axlna au'= aulna u'ex'= ex eu'= eu u'
(logax)'= 1xlna (logau)'= u'ulnalnx'= 1x lnu'= u'usinx'= cos x sinu'= cos u u'(cos x)′ = - sin x (cos u)′ = - sin u u′
(tg x)′ = 1cos2x (tg u)′ = ucos2u(ctg x)′ = - 1sin2x (ctg u)′ = - u'sin2u(arcsin x)′ = 11-x2 (arcsin u)′ = u'1-u2(arccos x)′ = - 11-x2 (arccos x)′ = - u'1-u2(arctg x)′ = 11+x2 (arctg u)′ = u'1+u2(arcctg x)′ = - 11+x2 (arcctg u)′ = - u'1+u2Примеры
Найти производные:
1) (х2 4х-3)ʹ = (x2)ʹ4х-3 + x2(4х-3)ʹ = 2х 4х-3 + х2 (4х-3)ʹ24х-3 = 2х 4х-3 + 4x224х-3 = 2х 4х-3 + 2x24х-3 = 2х 4х-3 + 2x24х-3 = 8x2- 6х + 2x24х-3 = 10x2- 6х4х-32) (5х25х-43)ʹ = 5x2ʹ(5х-4)3-5x2((5х-4)3)ʹ5х-46 = 10х (5х-4)3-5x2∙35х-42(5х-4)ʹ5х-46 = 5х-42(10х5х-4-75x2)5х-46 = 50x2-40х-75x2)5х-44 = -40х-25x25х-44 = - 40х+25x25х-443) (lnsin8х)ʹ = 12 (lnsin8х)ʹ = 12 ∙ (sin8х)ʹsin8х = 12 ∙ cos8х(8х)ʹsin8х = 12 ∙ 8 cos8хsin8х = 4 ctg 8x
4) (arctg e-x)ʹ = (e-x)ʹ1+(e-x)2 = e-x(-x)ʹ1+e-2x = -e-x1+e-2xВычислите , если
f ʹ(x) = (2x)ʹ1- (2x)2 = 21- 4x2f ʹ(0) = 21- 0 = 2
Содержание задания
Задание 1. Вычислите:
а) , если
б) , если
в) , если
г) , если
Задание 2. Найдите производные следующих функций:
а) y = earcctgx- lnarcctgx;
б) у = х2 · агсsinх;
в) y = x26-2x.

7. Практическая работа № 3
Тема: «Нахождение производных и дифференциалов высших порядков»
Цель: 1) усвоить понятия производной п-го порядка и дифференциала п-го порядка;
2) приобрести практические навыки по вычислению производных и дифференциалов высших порядков.
Методические указания
Опр. Если у′ есть производная функции y = f(x), то производная от у′ называется второй производной, или производной второго порядка от первоначальной функции у.
Обозначение: у′′(f′′(x), d2ydx2)11201409842500
y(n) = (y(n-1))′ - производной n -го порядка
Пример: Для данных функций найти производные указанного порядка:
1) у = х5 – 7х3 + 2, у′′′ - ?
/ уʹ = 5х4 – 21х2 уʹʹ = 20х3 – 42х уʹʹʹ = 60х2 /
2) у =lnх, у(5) - ?
/ уʹ = 1х уʹʹ = - 1x2 уʹʹʹ = - (х-2)ʹ = 2х-3 у(4) = - 6 х-4 у(5) = 24 х-5 = 24х5 /
Формулы для п-ых производных некоторых функций
(ekx)(n) = knekx(cos x)(n) = cos (x + nπ2) (sin x)(n) = sin (x + nπ2)
Примеры:
1) (е5х)′′′ = 53е5х = 125е5х
2) sinх(10) = sinх+10π2 = sinх+5π = sinх+π= - sinх3) cosх(15) = cosх+15π2 = cosх+15π2- 6π = cosх+3π2= sinх11201406604000
dny = у(n)dхn - дифференциал n -го порядка
Содержание задания
Задание 1. Найдите вторую производную функции:
у = 5агcsinx - агссоsx.
Задание 2. Найдите y(n):
а) (e2x)(5); б) (соsx)(48); в) (sinx)(101).
Задание 3. Найдите дифференциал второго порядка функции, если
y = sin lnx.
Задание 4. Найдите d4y, если у = соs2 3x.
8. Практическая работа № 4
Тема: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле»
Цель: привить студентам практические навыки вычисления неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям.
Методические указания
Свойства неопределенных интегралов

Таблица основных интегралов
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10. dx1-x2=arcsinx+C11. dx1+x2=arctg x+CМетод замены переменной - это метод интегрирования, при котором путем введения новой переменной интегрирования и применения свойств интегралов удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. В полученном после интегрирования результате следует снова перейти к первоначальной переменной.
Примеры:
1) (2x+3)4dx = 2x+3=t2dx=dtdx= dt2 = t4∙ dt2 = 12 ∙ t55 + C = 110(2x+3)5+ C2) dxsin2x3= x3=t13dx=dtdx=3dt=3dtsin2t=3∙- ctg t+C= -3 ctgx3+ C

3) ex2xdx = x2=t2xdx=dtdx= dt2x = etx∙ dt2x = 12 ∙ et dt = 12et+ C = 12ex2+ C4) sinxxdx = x=t12xdx=dtdx= 2xdt = t4∙ dt2 = 12 ∙ t55 + C = 110(2x+3)5+ C5) sin3xdx= sin2xsinxdx= 1- cos2xsinxdx = cos x=t-sinxdx=dtsinxdx= -dt = (1-t2)∙ (-dt) = t2dt- dt= t33- t+ C = 13cos3x- cosx+ C
Метод интегрирования по частям - это интегрирование по формуле
190119011874500
u dv= uv- v du Примеры:
1) xcosxdx= u=xdv= cosxdxdu=dxv= sinx=xsinx- sinxdx=xsinx+ cosx+C2) xe2xdx= u=xdv=e2xdx du=dxv= 12e2x= 12xe2x- 12e2xdx= 12xe2x- 14e2x+ C3) arctgxdx= u=arctgxdv=dxdu= 11 + x2dxv=x = x arctgx - x1+ x2 dx = 1+ x2=t2xdx=dtdx= dt2x = x arctgx - xt dt2x=x artgx- 12dtt=x arctgx- 12 lnt+ C= x arctgx- 12 ln1+ x2+ C4) (3x2-2x)lnxdx = u= lnxdv=3x2-2xdxdu= 1xdxv= x3- x2=x3- x2ln x- x3- x2xdx = x3- x2ln x- (x2-x)dx = x3- x2ln x- x33+ x22+ CСодержание задания
Задание 1. Найдите интегралы методом замены переменной:
а) 32-3x2dx, б)e2x4-e2xdx, в) x2cosx3+3dx.Задание 2. Найдите интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:
а) x sin5x dx;б) 4x3 -6x+8lnx dx.

9. Практическая работа № 5
Тема: «Вычисление определенных интегралов заменой переменной и по частям»
Цель: приобрести практические навыки по вычислению определенных интегралов методом подстановки и по частям.
Методические указания
Формула Ньютона – Лейбница
205359016383000

Для вычисления определенного интеграла методом подстановки поступают так же, как и при вычислении неопределенного интеграла этим способом. Однако при этом нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной. Следует лишь, заменяя переменную под знаком интеграла, изменить и пределы интегрирования.
Примеры:
1)
2)
3)

4)

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
188214014795500
abudv=uv|ba- abvduПримеры:
1) 0π2(x+3)sinxdx= u=x+3dv=sinxdxdu=dxv= -cosx= -x+3∙cosxπ20- 0π2-cosxdx= -(π2+3cosπ2- 0+3cos0) + sinxπ20= -0-3+ (sinπ2- sin0) = 3 + 1 = 4
2) 01xarctgxdx= u=arctgxdv=xdxdu=dx1+x2v= x22 = x22 arctgx10- 01x22∙dx1+x2=12arctg1-0- 1201x2+1-1x2+1dx= π8- 12 011dx- 01dx1+x2= π8- 12 x10- arctgx10= π8- 12 1-0- arctg1-arctg0= π8- 12 1- π4= π8- 12+ π8= π4- 12= π - 243) e4xlnxdx= u=lnxdv= xdxdu=1xdxv= x22 = x22lnx4e-e4x22∙1xdx=(8ln4- e22)- 12e4xdx= 8ln4- e22- x244e= 8ln4- e22- (4 - e24) = 8ln4- e22- 4+ e24= 8ln4- e24- 4Содержание задания
Задание 1. Вычислите интегралы способом подстановки:
а) -102-3x32x2dx; б) 136x-2dx;в) 2π9π3cosπ2-3xdx.
Задание 2. Вычислите интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:
а) 1ex3lnxdx; б) 01arctgxdx.

10. Практическая работа № 6
Тема: «Решение дифференциальных уравнений первого порядка»
Цель: привить студентам практические навыки решения дифференциальных уравнений первого порядка.
Методические указания
Опр. Дифференциальное уравнение 1- го порядка с разделяющимися переменными – это уравнения вида:
23012409779000
у'=fx∙gyДля решения таких уравнений надо:
разделить переменные (у – в одну часть, а х – в другую);
проинтегрировать обе части полученного равенства.
(!!) При решении таких уравнений всегда необходимо переходить к другому обозначению производной у′ = dydx.
Примеры.
1) Решить уравнение

2) Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1.
; ; ; ;
при у(2) = 1 получаем
Итого: или - частное решение
Опр. Линейные дифференциальные уравнения 1- го порядка – это уравнения вида:
116776515303500
y' + f(x)·y + g(x) = 0 , где f(x) ≠ 0 и g(x) ≠ 0.
Решение таких уравнения сводится к решению 2-х дифуравнений с разделяющимися переменными посредством подстановки y = u·v, где u и v - новые функции от х (метод Бернулли).
Пример. Найти общее решение уравнения: у' – 2у – 3 = 0
Пусть y = u·v, тогда y' = u'v + uv'. Подставив у и у' в исходное уравнение, получим:
u'v + uv' – 2uv – 3 =0
u'v + u(v' – 2v) – 3 =0 (*)
Выберем функцию v так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т.е.
v' – 2v = 0 …………… ………………………………………………v = e2x.
Подставив v в уравнение (*), получим:
u'·e2x- 3=0…………………………..u = - 32e-2x+ C.
Следовательно, окончательно получаем: у = ………. = С е2х- 1,5.Содержание задания
Задание 1. Найдите частные решения уравнений:
а) dу = (4х – 3) dx,если при х = 0 у = 0;
б) (1 – у) dх – (2 + х) dу = 0,если при х = 0 у = 1.
Задание 2. Найдите общее решение уравнения: у′ – 2ух+1 = (х + 1)3.

11. Практическая работа № 7
Тема: «Решение дифференциальных уравнений второго порядка»
Цель: Приобретение практических навыков по решению дифференциальных уравнений второго порядка.
Методические указания
Дифференциальные уравнения 2-го порядка вида d2ydx2=f(x)Такие уравнения решаются двукратным интегрированием. Их общее решение содержит две произвольные постоянные.
Примеры.
1) Найти общее решение уравнения: d2ydx2=sinхПусть dydx=z, d2ydx2= dzdx.
По условию: dzdx = sinх | dx
dz = sinxdx dz= sinxdxz = - cos x + C1 => dydx= -cosx+ C1| dx dy = ( - cos x + C1) dx
dy= -cosx+ C1dx y = - sin x + C1 x + C2.
2) Решить уравнение с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;
- общее решение
Подставим начальные условия:

Получаем частное решение: .Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами y" + p·y' + q = 0
Для нахождения общего решения составляется характеристическое уравнение: k2 + pk +q = 0, в зависимости от корней которого оно и строится.
При этом возможны 3 случая:
D > 0 (два различных действительных корня k1 и k2)
277749017208500
Общее решение имеет вид: y = C1 ek1x+ C2ek2xD = 0 (два совпадающих корня k1 = k2 = k)
272034013398500
Общее решение имеет вид: y = (C1 + C2x) ekxD< 0 (два комплексных корня k1,2 = a ±bi)
2729865-5715000Общее решение имеет вид: y = eaxC1cosbx+ C2sinbxПримеры. Найти общее решение уравнения:
1)
Характеристическое уравнение:

О. р.:
2)
Характеристическое уравнение:

О. р.:
3)
Характеристическое уравнение:

О. р.:
Пример.
Найти частное решение уравнения: у" – 5у = 0, если у(0) = 1 и у'(0) = - 1
k2 – 5k = 0 k1 = 0, k2 = 5
Следовательно: y = C1 e0x+ C2e5x= C1 + C2e5x - общее решение
Найдем у' = … = 5С2е5хТ.к. у(0) =1, то С1 + С2 = 1. Т.к. у'(0) = - 1,то 5С2 =- 1.
Составим и решим систему: С1+С2=1,5С2= -1.Итак: у = 1,2 – 0,2е5х - частное решение
Содержание задания
Задание 1. Найдите общее решение уравнения: у′′ = 2sin 4x.
Задание 2. Найдите частные решения уравнений:
а) у′′ = 10х + 5, если при х = 1 у = 4 и у′ = -1;
б) у′′ - 6у′ + 9у = 0, если при х = 0 у = 2 и у′ = 1.

12. Практическая работа № 8
Тема: «Вычисление интегралов и решение дифференциальных уравнений с применением численных методов»
Цель: закрепить на практике навыки вычисления определенных интегралов по формулам прямоугольников и трапеций, а также решения дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Методические указания
Численное интегрирование
-70485-381000abydx ≈ h · (y0 + y1 + … +yn-1) – формула левых прямоугольников
-7048519113500
abydx ≈ h · (y1 + y2 + … +yn) – формула правых прямоугольников
-7048517145000
abydx ≈ h· (y0+yn2+y1+…+ yn-1) – формула трапеций
Пример. Вычислить определенный интеграл 12x2dx по формуле прямоугольников, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычислить погрешность приближения.
Найдем h = 2-110 = 0,1
Составим таблицу (для формулы левых прямоугольников):
i0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xi 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
yi1 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,79 3,24 3,61
12x2dx≈ 0,1 (1 + … + 3,61) = 2,175
Найдем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: 12x2dx= x3321= 83- 13= 73=223δ = 2,667-2,1752,667∙100% ≈18,4% Пример. Измерения глубины реки представлены следующей таблицей:
х0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
у0,3 0,9 1,7 2,1 2,8 3,4 3,3 3,0 3,5 2,9 1,7 1,2 0,8 0,6
х - расстояние от одного берега реки до другого, а у – соответствующая глубина
Найти: площадь поперечного сечения реки (по формуле трапеций)
По условию, h = 2
S = 2∙(0,3+0,62+ 0,9+1,7+2,1+2,8+3,4+3,3+3,0+3,5+2,9+1,7+1,2+0,8) = 48,5Метод Эйлера приближенного интегрирования уравнения 1-го порядка
-7048514287500
уk = yk -1 + h ∙ уʹk – 1 , где k = 1, 2, …, n
Пример. Пользуясь методом Эйлера, составить таблицу приближенных значений частного интеграла уравнения уʹ = у2 – x2, удовлетворяющего начальному условию у(1) = 1, на отрезке 1;2, разбив его на 10 равных частей.
Найдем h = 2-110 = 0,1
Составим расчетную таблицу:
k xkykуʹk h уʹk
0 1 1 0 0
1 1,1 1+0 =1 12 - 1,12 = - 0,21 - 0,021
2 1,2 1 - 0,021 = 0,9790 0,9792 - 1,22 = - 0,4816 - 0,0482
3 1,3 0,979 - 0,0482 = 0,9308 0,93082 – 1,32 = - 0,8236 - 0,0824
4 1,4 0,8484 - 1,2402 - 0,1240
5 1,5 0,7244 - 1,7252 - 0,1725
6 1,6 0,5519 - 2,2554 - 0,2255
7 1,8 0,3264 - 2,7834 - 0,2783
8 1,8 0,481 - 3,2377 - 0,3238
9 1,9 - 0,2757 - 3,5340 - 0,3534
10 2 - 3,8097 В этой таблице столбцы xk и yk представляют искомую таблицу приближенных значений интеграла данного уравнения; остальные столбцы вспомогательные.
Содержание задания
Задание 1. Вычислите интеграл 026x2dx по формулам Ньютона-Лейбница, прямоугольников (n = 10) и трапеций (n = 5). Найдите погрешности приближений.
Задание 2. По методу Эйлера составьте таблицу приближенных значений интеграла уравнения уʹ = 3х - 2у2 на отрезке 1;2, разделяя его на 10 равных частей, если у(1) = -1.

13. Практическая работа № 9
Тема: «Числовые ряды. Исследование рядов на сходимость»
Цель: закрепить признака Даламбера и приобрести практические навыки по исследованию рядов на сходимость.
Методические указания
Опр. Выражение вида aп = а1 + а2 + а3 + … + ап +… называется числовым рядом.
Пример. Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену аn = 2n+13n-1a1 = 223-1 = … = 2 а2 = 236-1 = … = 135a3 = 249-1 = … = 2 a4 = 2512-1 = … = 21011Опр. Суммы конечного числа членов ряда S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ... , Sn = a1 + a2 + … + an называются частичными суммами ряда.
Пример. Найдите S3, если ряд задан формулой общего члена аn = 2n3n.
a1 = 23 a2 = 49 a3 = 29
S3 = 69+ 49+ 29= 129=113Признак Даламбера
Пусть в положительном ряде а1 + а2 + а3 + … + ап + … отношение an+1an последующего члена к предыдущему при п→∞ имеет предел q. Возможны 3 случая: 1) q <1, тогда ряд сходит; 2) q >1, тогда ряд расходится; 3) q = 1, тогда ряд может сходиться, а может расходиться.
Пример. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда n2n= 12+ 24+ 38+ 416+ 532+ …По условию: an = n2n, тогда an+1 = n+12n+1.
limn→∞an+1an = … = 12 <1 => ряд сходится
Раскрытие неопределенности вида «∞∞»
Пусть функция у(х) имеет вид у(х) = P(x)Q(x), где P(x) и Q(x) – некоторые многочлены.
а) Если степень числителя ниже степени знаменателя, то предел данной функции равен нулю.
б) Если степень числителя и знаменателя равны, то искомый предел равен отношению старших коэффициентов членов дроби.
в) Если степень числителя выше степени знаменателя, то предел данной функции равен бесконечности.
Содержание задания
Задание 1. Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену an = 2n+13n-1Задание 2. Найдите формулу общего члена ряда: 6 + 12 +24 + 48 +...
Задание 3. Найдите частичную сумму S5, если ряд задан формулой общего члена an = (-1)nn+1!.
Задание 4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряды:
а) 7n3n; б) n+1!2n-1.

14. Практическая работа № 10
Тема: «Вычисление числовых характеристик случайных величин»
Цель: закрепить понятия математического ожидания и дисперсии случайной величины, привить практические навыки по вычислению основных числовых характеристик случайной величины.
Методические указания
Мода и медиана случайной величины
Опр. Модой Мо(Х) ДСВ называется такое ее значение, которое имеет наибольшую вероятность.
Опр. Медианой Мс(Х) ДСВ называется среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ.
Математическое ожидание случайной величины
Опр. Математическим ожиданием М(Х) ДСВ X называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности появлений этих значений, т. е.
227266514605000
M(X) = xipi212979061849000Опр. Математическим ожиданием М(Х) НСВ X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а; b], называется определенный интеграл abxfx, т.е.
М(Х) = abxfxdxЕсли возможные значения случайной величины распределены по всей оси Ох, то М(Х) =-∞∞xfxdxДисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины
Опр. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ X от ее математического ожидания М(Х) называют дисперсией D(Х) СВ X, т. е.
3529965121285006286512128500
D(Х) = М(Х - М(Х))2 или D(X) = М(Х2) – М2(Х)
95821512382500
Для ДСВ: D(X) = xi- M(X)2pi288226517526000
Для НСВ с функцией плотности f(x): D(X) = abx-M(X)2fxdx
Опр. Среднеквадратичным отклонением σ(Х) СВ X называется арифметический квадратный корень из ее дисперсии:
227266513208000
σ(X) = D(X)Примеры:
Найдите Мо(Х), Мс(Х), М(Х), D(X) и σ(Х), если СВ задана следующим рядом распределения:
Х 2 4 7 10 12
р0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
/ Очевидно: Мо(Х) = 7, Мс(Х) = 7
Для удобства вычислений остальных числовых характеристик все результаты можно свести в таблицу:
xi pi xi·pixi - M(X) (xi - M(X))2·pi xi2 xi2·pi
2 0,1 0,2 -5 25·0,1=2,5 4 0,4
4 0,2 0,8 -3 9·0,2=1,8 16 3,2
7 0,4 2,8 0 0 49 19,6
10 0,2 2 3 1,8 100 20
12 0,1 1,2 5 2,5 144 14,4
1 7 8,6 57,6
M(X) D(X) M(X2)
D(X) = 57,6 – 72 = 8,6
σ(X) = 8,6≈2,93/
2) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ, заданной дифференциальной функцией распределения
f(x) =0 при х≤03x2 при 0<х≤10 при х>1./ М(Х) = 01x3x2dx = … = 34 D(Х) = 01х-3423x2dx = … = 0,04 σ(X) = 0,2 /
Содержание задания
Задание 1. Закон распределения случайной величины задан таблицей:
xi - 1 0 2 5 10 12 13
pi 0,1 0,1 0,3 0,2 0,15 0,05 0,1

Найдите: М0(Х), Мс(Х), М(Х), D(Х) и σ(Х).
Задание 2. Найдите М(Х) и D(Х) случайной величины X, заданной функцией распределения f(x) = 0 при х < -1,1,5x2 при-1≤х≤1,0 при х>1.
15. Практическая работа № 11
Тема: «Построение вариационного ряда. Расчет по заданной выборке ее числовых характеристик»
Цель: приобрести практические навыки по построению дискретных и интервальных вариационных рядов, а также вычислению числовых характеристик выборок.
Методические указания
Опр. Совокупность всех мысленно-возможных объектов данного вида, над которыми производится наблюдение с целью получения конкретных значений определенной случайной величины, называется генеральной совокупностью.
Опр. Часть отобранных объектов из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью (выборкой), а число объектов выборки – ее объемом.
Опр. Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариант хi c соответствующими им частотами mi (или частостями p*i).
Опр. Значение СВ, соответствующее определенной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных - частотой варианты (ее весом).
Опр. Разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.
Опр. Полигоном частот (относительных частот) называется ломаная, отрезки которой соединяют точки (х1; т1), (х2;т2), …((х1; р*1), (х2; р*2), …).
Опр. Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений СВ с соответствующими частотами (или частостями) попадания значений величины в каждый из них.
Опр. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению mih (плотность частоты), где mi – сумма частот вариант, попавших в i- ый интервал.
Опр. Средним арифметическим Х наблюдаемых значений СВ Х называется частное от деления суммы всех этих значений на их число, т.е.
245364013335000
Х = i=1nxinЕсли данные наблюдений представлены в виде дискретного вариационного ряда, где х1, х2,…,хк – наблюдаемые варианты, а т1, т2,…,тк – соответствующие им частоты (i=1кmi = т), то по определению,
2377440-9080500Х = i=1кximinЗадача. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 50
xi 2 5 7 10
mi 16 12 8 14
Найти выборочную среднюю.
/ X = 2∙16+5∙12+7∙8+10∙1450 = 5,76 /
(!!) Если первоначальные варианты хi – большие числа, то для упрощения расчёта целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т.е.перейти к условным вариантам ui = xi–C, тогда X= С + i=1kxi∙minЗадача. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема п = 10
хi1250 1270 1280
mi 2 5 3
/ Перейдём к условным вариантамui = xi – 1270, получим
ui-20 0 10
mi 2 5 3
X= 1270 +-20∙2+0∙5+10∙310= 1270 – 1 = 1269 /
Опр. Выборочной дисперсией D*Хзначений СВ Х является среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического.
3263265-190500948690-190500Т.о.: D*Х= i=1k xi-X2min или D*Х= i=1kхi - Х2pi*Опр. Выборочное среднеквадратическое отклонение:
227266515430500
σ*(Х) = D*(Х)Наряду с выборочной дисперсией D*Х= i=1k xi-X2min в качестве приближенного значения генеральной дисперсии DХ используют величину, которую называют исправленной выборочной дисперсией:
219646510795000
S2= i=1k xi-X2min-1Очевидно: S2 = nD*Хn-1.
Задача. Найти выборочную и исправленную выборочную дисперсии по данному распределению выборки
хi-2 0 4
mi 2 3 5
/ Х = -2∙2+0∙3+4∙510 = 1,6 Х2 = 4∙2+0∙3+16∙510 = 8,8
D*(X) = 8,8-1,62 = 6,24 S2 = 10·6,249 = 6,93 /
Содержание задания
Задание 1. Постройте вариационный ряд и полигон относительных частот по данным выборки: 5, 8, 7, 6, 7, 8, 9, 5, 10, 8, 7, 5, 6, 6, 9, 7, 8, 6, 7, 10.
Найдите размах выборки, ее моду и медиану.
Задание 2. В техникуме проводилось тестирование по философии, содержащее 60 вопросов. Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид: 44, 36, 56, 60, 50, 48, 55, 24, 52, 52, 54, 45, 43, 60, 40, 52, 54, 56,49, 59, 58, 32, 50, 60, 60. Составьте интервальный вариационный ряд и постройте гистограмму частот.
Задание 3. Найдите выборочную среднюю, выборочную и исправленную выборочную дисперсии по данному распределению выборки:
xi 1 3 4 7
mi 15 10 20 5

16. Список рекомендуемой литературы
И. Д. Пехлецкий. Математика - М.: «Академия», 2010
В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. Элементы высшей математики - М.: «Академия», 2010
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика - М.: «Дрофа», 2010
Н.В. Богомолов. Сборник задач по математике – М.: «Дрофа», 2010

Приложенные файлы

  • docx file33
    Размер файла: 226 kB Загрузок: 7