Вер урок1

1
ТЕМА: ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЦЕЛЬ: повторить основные элементы комбинаторики; рассмотреть этапы развития теории вероятностей как науки.

ФОРМА УРОКА: обзорная лекция.

ОБОРУДОВАНИЕ: презентация «ver_Urok№1» в рамках проекта.

ХОД УРОКА.
Организационный момент.

Повторение.

( Устная работа.
Основные элементы комбинаторики. СЛАЙД 1-2.
Размещение 13 EMBED Equation.3 1415
Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n.
Перестановки (13 EMBED Equation.3 1415). Если m = n, то эти размещения называются перестановками.
13 EMBED Equation.3 1415
Сочетания (13 EMBED Equation.3 1415) – это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов.
13 EMBED Equation.3 1415
Следствие. Число сочетаний из n элементов по n – m равно число сочетаний из n элементов по m, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.

( Практическая работа. СЛАЙД 3-9.
Задача.1. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?
Решение:
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти 13 EMBED Equation.3 1415.
3) 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача.2. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три. Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются.
13 EMBED Equation.3 1415

Задача.3. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?
Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять.
13 EMBED Equation.3 1415 переставляются, 4 определенные книги можно переставлять 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда всего перестановок по правилу умножения будет 13 EMBED Equation.3 1415

Задача.4. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415

Задача.5. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Белые шары 13 EMBED Equation.3 1415
Черных шаров 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415

В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях – не учитывается.

Задача.6. Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на 2 подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5, а во второй – не более 9 человек.
Решение:
Первая подгруппа может состоять либо из 3, либо из 4, либо из 5 человек.13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача.7. Десять команд участвуют в разыгрывание первенства по футболу, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е места. Две команды, занявшие последние места не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства может будут учитывать, если только положение первых трех и последних 2-х команд?
Решение: 1-е три места может будут распределены: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 способов.
Остается 7 команд, две из которых выбывают из следующего первенства т.к. порядок выбывших команд не учитывается => 13 EMBED Equation.3 1415 способом.
Тогда число возможных результатов = 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача.8. Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них не будет вызван дважды и на занятии может будет опрошено любое количество учащихся, порядок опроса не важен.
Решение:
может не спросить ни одного, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415,
если только 1, то 13 EMBED Equation.3 1415,
если только 2-х то 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
Тогда он всего опросит 13 EMBED Equation.3 1415
III. Новый материал. Проект «Предмет теории вероятностей».
История СЛАЙД 10-17.
Развитие теории вероятностей, а с нею и развитие понятия вероятности можно разбить на следующие этапы. СЛАЙД 10.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Д. Кардано 
1. Предыстория теории вероятностей.  СЛАЙД 11. В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано,  Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), мы встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятных) и т. п.
Еще  в древности делались попытки сбора и анализа некоторых статистических материалов все это (а также и другие проявления внимания к случайным явлениям} создавало почву для выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности.
Но античная наука не дошла до выделения этого понятия. В философии вопрос о случайном, необходимом и возможном  всегда был одним из основных. Философская разработка этих проблем также оказывала влияние на формирование понятия вероятности.
В целом в средневековье мы наблюдаем только разрозненные попытки осмыслить встречающиеся вероятностные рассуждения.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Н. Тарталья


2. Возникновение теории вероятностей как науки.  СЛАЙД 12-13. К середине, XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли  внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь это относится к        Б. Паскалю, П. Ферма и X. Гюйгенсу. СЛАЙД 5. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности.
3. Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли "Искусство предположений" (1713), в которой впервые была  строго доказана первая предельная теорема простейший случай закона больших чисел. СЛАЙД14. К этому периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности.
4. Следующий период развития теории вероятностей связан прежде всего с Петербургской математической школой. СЛАЙД 15. За два столетия развития теории вероятностей главными ее достижениями были предельные теоремы. Но не были выяснены границы их применимости и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с огромными  успехами, достигнутыми теорией вероятностей в предыдущий период, были выявлены и существенные недостатки в ее обосновании, это в большой мере относится к недостаточно четким представлениям о вероятности.
В теории вероятностей создалось положение, когда дальнейшее ее развитие требовало уточнения основных положений, усиления самих методов исследования. Это было осуществлено русской математической школой во главе с П. Л. Чебышевым. Среди ее крупнейших представителей мы видим А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. В этот период в теорию вероятностей входят оценки приближений предельных теорем, а также происходит расширение класса случайных величин, подчиняющихся предельным теоремам. В это время в теории вероятностей начинают рассматривать некоторые зависимые случайные величины (цепи Маркова).
Понятие вероятности получило  большое распространение в естественных науках, в первую очередь это относится к физике. Появляются работы Максвелла, а затем Больцмана и Д. Гиббса. Их трудами создается статистическая физика. Но это внедрение вероятностных методов и понятий в физику шло в довольно большом отрыве от достижений теории вероятностей.
Развитие теории вероятностей в начале ХХ в. привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических  основ, в первую очередь понятия вероятности. Следует иметь в виду и то, что к началу ХХ в. аксиоматический метод стал проникать во многие области математики (работы Д. Гильберта, Пеано и др.), что также оказало влияние на теорию вероятностей. В результате всего этого возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия вероятности.
5. Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики. СЛАЙД 16-17. Этого прежде всего требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей и ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и кончая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.
Первые работы этого периода связаны с именами С. Н, Бернштейна, Р. Мизеса, Э. Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы ХХ в. Анализ тенденций развития теории вероятностей позволил А. Н. Колмогорову создать общепринятую аксиоматику.
В этот период понятие вероятности проникает почти во все сферы человеческой деятельности, становясь одним из основных понятий современной науки. Возникают самые различные определения вероятности, несводимые друг к другу. Многообразие определений основных понятий существенная черта современной науки, и понятие вероятности не исключение.

IV. Домашнее задание. СЛАЙД 18.
Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415 способов.
4. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать: а) двух дежурных, б) старосту и его заместителя?
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc ver_urok1
    Размер файла: 117 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий