Желанова виолетта мбоу сош но8 куда исчезла плошчад

.................3
Глава 1 . Парадоксы в задачах на разрезание.................5
Виды разрезаний фигур..5
Парадоксы с исчезновением площади..5
Парадоксы с появлением площади...6
Причины появления парадоксов...7
Поиск исчезнувшей площади с помощью математического эксперимента.8
Глава 2. Разрешение парадоксов в задачах на разрезание с помощью компьютера...9
2.1. Обнаружить неточность в построении помогает увеличение масштаба графического изображения...9
2.2. Обнаружить неточности вычислений помогает компьютерный расчёт.10
Заключение...12
Библиография...13
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Виды разрезаний.14
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Разрезание фигур на клетчатой бумаге.16
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Математические доказательства парадоксов...17

Введение
Изучая математику в школе, мы постепенно знакомимся не только с математическими объектами (числами, фигурами, выражениями, уравнениями и т.д.), но и изучаем правила различных математических действий. Многие математики считают математическими такие действия: вычисление и измерение, но также большинство не относит к математическим такие действия как разрезание и перекраивание. Объясняют они это тем, что прежде чем разрезать фигуру хотя бы на 2 равные части, мы должны вычислить либо площади этих фигур, либо длины их сторон. А эти вычисления являются математическими действием, поэтому разрезание и перекраивание фигуры является следствием математических действий.
Читая книги Г. Линдгрена «Занимательные задачи на разрезание» и М. Гарднера «Математические чудеса и тайны» [3], [10], я узнала, что математики относятся к разрезаниям и перекраиваниям фигур с большим уважением. Они выделяют разные способы разрезаний и перекраиваний фигур (S-разрезание, Р – сдвиг, Q-сдвиг, ступенчатое разрезание и др.); исследуют свойства фигур, которые сохраняются и изменяются при этих преобразованиях.
В научно-популярных математических книгах для школьников я нашла много различных задач и фокусов, связанных с разрезанием фигур. Один из них меня поразил настолько, что я решила заняться его разгадкой. Это фокус с исчезающей или пояаляющейся площадью.
Наши преподаватели часто используют на своих занятиях компьютер и различные программы, с помощью которых показывают различные факты. При изучении темы «Координатный метод» на уроке информатики, Евгений Александрович познакомил нас с программой GeoGebra, с помощью которой мы строили по координатам объекты. Это навело меня на мысль попробовать парадоксы с исчезновением площади вскрывать средствами компьютера. Он предложил попробовать воспользоваться этой программой, объяснив это тем, что данная среда широко используется при обучении геометрии. Она позволяет строить и видоизменять геометрические фигуры, измерять их элементы.
Проблема исследования: возможность использования ИГС Geogebra для разрешения парадоксов, связанных с кажущимся «появлением» и «исчезновением» площади.
Объект исследования: парадоксы, связанные с кажущимся «появлением» и «исчезновением» площади.
Предмет исследования: разрешение парадоксов с помощью интерактивной геометрической среды Geogebra.
Цель исследования: выявить возможности ИГС Geogebra при разрешении парадоксов, связанные с «появлением» и «исчезновением» площади при разрезании фигур.
Задачи и методы исследования:

Задача исследования
Метод ее решения

1.
Изучение «разрезаний» и «перекраиваний».
Анализ научно-популярной литературы для школьников

2.
Сбор данных о парадоксах, которые возникают при разрезании фигур.
Анализ занимательной математической литературы для школьников.

3.
Описание парадокса с «исчезновением» и «появлением» площади и его опытно-экспериментальная проверка.
Анализ занимательной математической литературы для школьников. Конструктивный и измерительный эксперимент.

4.
Составление перечня возможных причин появления парадоксов при разрезании фигур
Анализ тех действий, которые привели к появлению или обнаружению каждого парадокса.

5.
Поиск научных объяснений «исчезновения», «появления» площади.
Анализ научно-популярной литературы для школьников и литературы по истории математики

6.
Обоснование иррациональности длин разрезов, приводящих к кажущемуся исчезновению площади
Доказательство на основе теоремы Пифагора.

7.
Разрешение парадоксов, возникающих при разрезании фигур, средствами компьютерного эксперимента.
Компьютерное моделирование процесса разрезания фигур, проведение компьютерных экспериментов. Анализ и обобщение результатов.

Глава 1 . Парадоксы в задачах на разрезание.
Виды разрезаний фигур.
Изучая математику в школе, мы не только знакомимся с математическими объектами (числами, фигурами, выражениями, уравнениями и др.), но и правилами математических действий.
Мы привыкли относить к математическим действиям: вычисления, измерения, преобразования, потому что о них мы говорим почти на каждом уроке математики.
Но вот говорить о разрезании как о математическом действии дело для нас совсем необычное.
В прочитанных мной книгах [5], [10], [9] разрезание рассматривается как математическое действие:
1. Под разрезанием фигуры математики понимают проведение таких разрезов, чтобы из частей данной фигуры можно было составить новую фигуру, указанного вида или обладающую указанными свойствами.
2. Выделяются виды разрезаний (S-разрезание, разрезание типа сдвиг (или Р-сдвиг), разрезание типа Q-сдвиг, ступенчатое разрезание).
Более подробно виды разрезаний описаны в Приложении 1.
Несмотря на то, что каждый вид разрезаний имеет свои особые свойства, есть свойства, которыми обладают все разрезания вместе:
1. «каждую плоскую фигуру с прямолинейными границами можно преобразовать в любую другую равновеликую первой фигуру того же типа, разрезав предварительно исходную фигуру на конечное число частей» [10, с.7]. Это свойство было известно математикам еще в древности и носило называние «свойство равновеликости равносоставленных фигур». В учебнике В.В. Вавилова «Геометрия -10» [2] я прочитала, что это свойство доказали независимо друг от друга венгерский математик и поэт Фаркаш Бойяи (1832), друг К.Ф. Гаусса и (годом позже) простой любитель математики Пауль Гервин, который был лейтенантом пехотного полка прусской армии [2, c.6].
2. «Все разрезания обладали свойством обратимости в том смысле, что для нас было совершенно несущественно, преобразуем ли мы многоугольник А в многоугольник В или наоборот» [10, c.18].
Вывод. Представленные в книгах данные показывают, что разрезание фигуры, как бы оно не проводилось, не может привести к изменению площади фигуры. Это свойство закреплено в математической теореме о равновеликости равносоставленных фигур.
1.2. Парадоксы с исчезновением площади
Начиная с первого класса, учителя нам твердили, что сумма не зависит от перестановки мест слагаемых. Этот закон арифметики всегда оправдывал себя, даже если мы имели дело с геометрическими величинами (длинами, площадями, объемами). Подтверждением справедливости этого закона является теорема о равновеликости равносоставленных плоских фигур.
Читая книги по занимательной математике для школьников [3], [10], я столкнулась с описанием различных разрезаний, которые по утверждениям авторов приводят, по крайней мере, к кажущемуся изменению площади фигуры.
Можно выделить два направления нарушения утверждения этой теоремы, которые возникают при разрезании фигур: 1) увеличение площади фигуры после разрезания; 2) уменьшение площади фигуры. В первом случае мы будем говорить о «появлении» площади, а, во втором, об ее «исчезновении».
Рассмотрим примеры этих парадоксов, которые нам удалось подобрать в научно-популярной литературе.
Парадокс с шахматной доской (Парадокс№1).
Шахматная доска разрезается наискось (Рис.1), а затем часть В сдвигается влево вниз (Рис.2). Если треугольник, выступающий в правом верхнем углу, отрезать ножницами и поместить на свободное место, имеющее вид треугольника в левом нижнем углу (Рис.2), то получится прямоугольник в 713 EMBED Equation.3 14159 квадратных единиц. Первоначальная площадь равнялась 64 квадратным единицам, теперь же она равна 63. Куда исчезла одна недостающая единица? Ответ состоит в том, что диагональная линия проходит несколько ниже левого нижнего угла клетки, находящейся в правом верхнем углу доски. Благодаря этому отрезанный треугольник имеет высоту, равную не 1, а 1/7, и таким образом, высота равна не 9, а 9 1/7 единицам. Увеличение высоты на 1/7 единицы почти незаметно, но, будучи принято в расчет, оно приводит к требуемой площади прямоугольника в 64 квадратные единицы.
13 EMBED PBrush 1415 13 EMBED PBrush 1415
Рис. 1 Рис.2 Рис. 3 Рис. 4
Парадокс с прямоугольником (Парадокс №2).
Разрезается квадрат размером 6х6 единиц площадью 36 квадратных единицы на 3 части А, В, С (Рис.3), которые после перераспределения образуют прямоугольник (Рис.4) с площадью 8х4=32 квадратных единиц. Произошла потеря в 4 квадратные единицы.
1.3. Парадоксы с появлением площади
3. Парадокс с прямоугольником (Парадокс №3).
Меняя положение частей А и С, (Рис.5,6), можно превратить прямоугольник площадью в 30 квадратных единиц в два меньших прямоугольника размером 2х6 и 4х5 единиц с общей площадью в 32 квадратных единицы, получая таким образом, «выигрыш» в две квадратные единицы.
13 EMBED PBrush 1415 13 EMBED PBrush 1415 13 EMBED PBrush 1415
Рис.5 Рис.6 Рис.7 Рис.8
Парадокс с квадратом (Парадокс №4).
Несколько прямоугольников образуют квадрат, представляющий собой обычную шахматную доску в 8х8 клеток, общей площадью 64 квадратных единицы. Эти прямоугольники разрезаются на части, которые после перераспределения образуют новый большой прямоугольник с кажущимся приростом площади в одну квадратную единицу (Рис.7,8).
При аккуратном построении чертежа квадрата строгой диагонали большого прямоугольника не получается. Вместо нее появляется ромбовидная щель, настолько вытянутая, что стороны ее кажутся почти слившимися. С другой стороны, при аккуратном проведении диагонали большого прямоугольника высота верхнего из двух прямоугольников, составляющих квадрат, будет чуть больше, чем это должно быть, а нижний прямоугольник – чуть шире.
Выводы. Приведенные примеры показывают, что рассуждения авторов кажутся, хоть и не вероятными, но очень убедительными.
1.4. Причины появления парадоксов
Мы решили проверить, действительно ли разрезание фигур может привести к уменьшению или увеличению площади, как об этом пишут в книгах. Проверку наметили осуществлять по плану:
1. Вырезать из бумаги описанную в книге фигуру.
2. Вычислить ее площадь.
3. Перекроить эту фигуру описанным в задаче способом.
4. Измерить площадь полученной фигуры.
То есть, задача свелась к тому, чтобы измерить площади разрезанных фигур, сложить эти числа и сравнить с начальной площадью.
Мной проведен эксперимент с разрезанием этих фигур на клетчатой бумаге. Результаты описаны в Приложении 2. Результаты мои совпали с результатами авторов парадоксов.
Мы подумали, что наших выводов будет недостаточно и представленные в параграфах 1.2. и 1.3. парадоксы решили представить в классе. Попросили ребят по плану найти площади фигур. Участие принимал весь 5 «А» класс и Евгений Александрович (всего 27 человек). Получили следующие данные (Таблица 1):
Таблица 1
№ парадокса
Увеличение площади (чел.)
Уменьшение площади (чел.)
Без изменения (чел.)

1
-
27
-

2
-
27
-

3
20
7
-

4
22
5
-


Из таблицы видно, что у нас появились расхождения даже с авторами парадоксов.
Этот эксперимент с классом мы провели для того, чтобы проверить доводы авторов учебников и, чтобы выделить те действия, которые могли привести к кажущемуся нарушению теоремы о равновеликости равносоставленных фигур. Для получения перечня таких действий была составлена таблица (Таблица 2). В ней знаком «+» обозначены те действия, которые есть в описании указанного парадокса. Жирным шрифтом выделены действия, которые не являются строгими, а значит, могут быть причиной появления парадоксов.
Таблица 2
Действие
Парадоксы исчезновения площади
Парадоксы появления площади


1
2
3
4

Выделение линий разреза
+
+
+
+

Разрезание
+
+
+
+

Складывание частей
+
+
+
+

Измерение отрезков
+
+
+
+

Вычисление
+
+
+
+


Выводы: Проведенный анализ показал, что возможными причинами появления парадоксов являются: выделение линий разрезов, неточность измерений, неточность складывания фигуры из частей, вычисления. Эти выводы приводят нас к гипотезе о том, что, заменяя эти действия математическими или компьютерными построениями, измерениями и вычислениями, можно избежать появления парадоксов.
1.5. Поиск исчезнувшей площади с помощью математического эксперимента.
Для того чтобы проверить справедливость выдвинутой в параграфе 1.4 гипотезы, мы решили обратиться не к измерениям и наложениям, а к вычислениям и сравнению величин.
В Приложении 3 мы представили математические доказательства и объяснения этих парадоксов. Получается, площадь во всех случаях не меняется, остается постоянной.
Нам понадобились факты по алгебре и геометрии, которые изучаются в старших классах: понятия прямоугольной трапеции и ее площадь, прямоугольного треугольника и его площадь, теорема Пифагора, иррациональные числа, решение квадратного уравнения, свойства квадратных корней и другие.

Глава 2. Разрешение парадоксов в задачах на разрезание с помощью компьютера.
Программа GeoGebra разработана австрийским математиком Маркусом Хохенвартером в 2001 году. Она представляет собой среду, в которой каждый может сделать геометрический чертеж, изучить свойства изображенных фигур, а также изменить их, меняя положение элементов чертежа. Говорят, что эта среда даёт возможность создавать «живые чертежи» в планиметрии. Она ещё называется – интерактивная геометрическая среда (ИГС). Еще одним достоинством этой программы является возможность описания геометрических фигур разными способами: на языке геометрии, алгебры, векторов и координат. Эта программа разработана специально для школьников, поэтому проста и удобна в использовании. Именно эти достоинства программы мы и решили использовать для целей исследования.
2.1. Обнаружить неточность в построении помогает увеличение масштаба графического изображения.
Одним из подозрительных действий, отмеченных в Таблице 2, является «складывание частей» фигуры. Неточность прикладывания частей, возможно, и приводит к возникновению парадокса. Для того, чтобы проверить эти подозрения, мы решили выполнить эти действия на компьютере в среде GeoGebra версии 4.2.
Обнаружить наложение одних частей фигуры на другие, а также прорехи между складываемыми частями нам помогло увеличение масштаба рисунка. Покажем, как это было.
Парадокс с квадратом:
Я нанесла на рабочее поле сетку (кнопка Полотно – сетка ), имитируя этим бумагу в клетку.
Используя инструмент – построения многоугольников (вкладка Многоугольник), я изобразила квадрат 8х8 единичных отрезков, составленный из разрезанных фигур (Парадокс №4). Затем, как и в примере, переставила с помощью этого же инструмента из «разрезанных» частей прямоугольник. Получила прямоугольник 5х13 единичных отрезков, площадь которого на 1 ед.2 меньше. Используя инструмент , выбрала вкладку – Увеличить. Тем самым увеличила масштаб изображения. Данная процедура помогла заметить зазор внутри фигуры, что и является причиной кажущегося увеличения площади (Рис. 9).


Рис.9
Увеличение масштаба изображения позволило установить, что прореха между частями фигуры является причиной появления также Парадокса № 1.
ИГС GeoGebra позволяет производить вычисления с необходимой точностью. Так как при измерении отрезков длин сторон разрезанных фигур в Парадоксе № 2 получаются иррациональные числа, то они могут быть представлены приближенными силами. Из за этого и возникает уменьшение площади (Рис.10, 11).

Рис.10 Рис.11 Рис.12
Кроме того, компьютерная проверка показала, что к подозрительным следует отнести и действие «выделение линий разрезов». Именно неточность этого действия оказалась причиной появления парадокса шахматной доски – Парадокс №1 (Рис.12).
Вывод: Увеличение масштаба сетки графической среды, помогло убедиться в правильности нашего предположения о том, что причиной некоторых парадоксов является неточность складывания частей фигуры. Кроме того, оказалось, что неточность в выделении линий разрезов также может стать причиной парадокса.
2.2. Обнаружить неточности вычислений помогает компьютерный расчёт.
Еще одним действием, которое по нашему предположению могло привести к появлению парадоксов «исчезновения» и «появления» площади является измерение длин сторон фигуры. Проверить правильность этого предположения при компьютерном решении задач на разрезание фигур позволяет инструмент - вкладка Площадь . С его помощью можно вычислить площадь фигуры, не прибегая к предварительным измерениям ее элементов.
Используя эти возможности ИГС рассмотрим разрешение Парадокса № 3. Аналогичным образом поострили прямоугольник с размерами 3х10 ед., составленный из частей, с помощью инструмента . Используя в инструменте , выбрали вкладку Площадь. Измерили площадь данного прямоугольника, в сумме получилось 30 ед2. Переложив части фигуры в 2 прямоугольника, измерили площадь получившейся фигуры и после переставления частей. Площади прямоугольных треугольников выражаются выражениями с корнями, а программа может представить десятичной дробью. Результат очевиден – площадь не изменилась (Рис.13,14).





Рис.13

Рис.14

С другими аналогичными парадоксами поступили также, используя этот инструмент . Компьютерный подсчет показал – площадь не меняется.
Выводы: Увеличение точности измерения площади фигуры, которое допускает компьютерный эксперимент убедительно доказывает справедливость нашего предположения о том, что причиной некоторых парадоксов является неточность измерительных инструментов, а также последующие вычисления с приближенными значениями.
Заключение
В результате проведенного исследования я смогла узнать многие математические факты, которые изучаются в старших классах, познакомиться с возможностями интерактивной геометрической среды GeoGebra; разгадать 4 математических парадокса – «исчезновения» и «появления» площади при решении задач на разрезание фигур. В разгадке мне помог компьютерный эксперимент.
Построение и преобразование фигур в ИГС позволило доказать, что причинами этих парадоксов являются неточности некоторых видов действий:
- складывания новой фигуры из частей старой;
- измерения элементов фигуры, составленной из частей;
- выделение линий разрезов,
- арифметические операции.
В первом, втором и четвертом случае помогла возможность увеличить масштаб рисунка. В третьем – возможность увеличить точность вычислений.
Эти результаты опровергают мой прежний вывод о том, что с помощью экспериментов нельзя разрешать подобные парадоксы. Если эксперименты проводить не с реальным листом клетчатой бумаги, а с его компьютерным изображением, сделанным с ИГС, то разрешить парадоксы можно.
Таким образом, было доказано, что правильные выводы о величине площади, можно делать не только опираясь на точные вычисления и логические выводы, но и дополнительные возможности, которые предоставляет компьютерная техника.

Библиография
Geogebra БыстроСтарт. Краткое руководство по Geogebra. - [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Вавилов В.В. Геометрия -10 (Тезисы лекций). -М.: Школа им А.Н. Колмогорова, 2008, - 38 с.
Гарднер М. Математические чудеса и тайны.- М: Издательство «Наука», 1977. - 126 с.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.: ил.
Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.- 240 с.
Динамическая геометрия для школы. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Екимова М.А, Кукин В.Г. Задачи на разрезание.-М: МЦНМО, 2002.- 120 с.
Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: книга для учащихся 5-6 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1992. – 192 с.
Кордемский Б.А., Русалев Н.В. Удивительный квадрат.- М: АО «Столетие»,1994.-158 с.
Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание.- М.: Издательство «Мир», 1977.-256.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. – 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 215.: ил.
Руководство по использованию ИГС GeoGebra. Материал подготовлен при поддержке Фонда "Прыжок тигра", сентябрь 2009 г. Формат PDF.
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.М. Наглядная геометрия.5-6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений - М: Дрофа, 1998.- 192 с.










13PAGE 15


13PAGE 14815










Root Entry

Приложенные файлы


Добавить комментарий