Жилина валерия. Математика — царица наук 9-11 класс

Задание 1. При каком значении а прямая у = а расположена выше оси Ох?
Решение. Прямая у = а параллельна оси абсцисс и расположена выше оси Ох при а > 0.
Ответ: а > 0.
Задание 2. Вычислите lg 0,001 + 5.
Решение. lg 0,001 + 5 = lg 10-3 + 5 = -3 * lg 10 + 5 = -3 + 5 = 2.
Ответ: 2.
Задание 3. Решите уравнение 4х – 1 = 64.
Решение. 4х – 1 = 64; 4х – 1 = 43; х – 1 = 3; х = 4.
Ответ: 4.
Задание 4. Найдите значение выражения sin
·
· tg
· - 9cos
· при
· = 0.
Решение. При
· = 0 sin
·
· tg
· - 9cos
· = sin 0 * tg 0 – 9cos 0 = 0 * 0 – 9 * 1 = – 9.
Ответ: – 9.
Задание 5. Чему равна наименьшая сумма, слагаемые которой и сама сумма – простые натуральные числа?
Решение. Число называется простым, если оно имеет два делителя единицу и само себя.
2 + 3 = 5; 2, 3, 5 – простые числа.
Ответ: 5.
Задание 6. Чему равен показатель степени, которая равна выражению а7,5
· (а2,5) -3 : а-1.
Решение. а7,5
· (а2,5) -3 : а-1 = а7,5 * а-7,5 : а-1 = а7,5 – 7,5 – 1 = а-1.
Ответ: -1.
Задание 7. Найдите наибольшее значение функции у = sinх – 3.
Решение. Е(sinх) = [-1; 1]; E(sinх – 3) = [-4; -2]. Наибольшее значение функции у = sinх – 3 равно -2.
Ответ: -1.
Задание 8. Высоты AH и BK равнобедренного треугольника ABC с основанием BC пересекаются в точке O так, что BO = 5, а OK = 3. Найдите площадь треугольника BKC.
Дано:
·АВС – равнобедренный, ВС – основание, АН и ВК – высоты, АН13 EMBED Equation.3 1415ВК = О, BO = 5, OK = 3. Найти: S(
·ABC).
Решение.
А
К
O


В Н С

·ВКС
·
·ВНО по двум углам, т. к.
· КВС – общий,
· ВКС =
· ВНО = 900,
отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 или 2ВН2 = 40, ВН2 = 20 и ВН = 213 EMBED Equation.3 1415. В
·ВНО, где
· ВНО = 900, по теореме Пифагора ВО2 = ВН2 + ОН2. Отсюда ОН2 = 52 – (213 EMBED Equation.3 1415)2 = 25 – 20 = 5, т. е. ОН = 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, КС = 13 EMBED Equation.3 1415 = 4.
· S(
·ABC) = 13 EMBED Equation.3 1415КС * ВК = 13 EMBED Equation.3 1415 * 4 * 8 = 16.
Ответ: 16.
Задание 9. Сложное задание можно сделать простым, если учесть, что вместо * надо поставить простое число и равенство будет верным. * + * + 1747 = 1759 - * - *. Какое число потребуется?
Решение. * + * + 1747 = 1759 - * - *. Пусть данное простое число равно а, тогда имеем уравнение относительно а. а + а + 1747 = 1759 – а – а; 4а = 1759 – 1747; 4а = 12; а = 3.
Ответ: 3.
Задание 10. Летом скорость катера против течения составляет 0,6 скорости по течению. Весной течение становится на 1 км/ч быстрее. Поэтому скорость катера против течения в 2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость катера в стоячей воде.
Решение. Пусть х км/ч скорость катера в стоячей воде, у км/ч скорость течения летом.
Летом v (км\ч)
По течению х + у
Против течения х – у, что составляет 0,6 скорости по течению
По условию задачи составим уравнение: х – у = 0,6(х + у).
(у + 1) км/ч скорость течения весной
Весной v (км\ч)
По течению х + (у + 1)
Против течения х – (у + 1), в 2 раза медленнее, чем по течению
По условию задачи составим уравнение: 2(х – у – 1) = х + у + 1.
Составим и решим систему уравнений: х – у = 0,6(х + у),
2(х – у – 1) = х + у + 1;
х – у = 0,6х + 0,6у, 0,4х = 1,6у, х = 4у, х = 4у, х = 12,
2х – 2у – 2 = х + у + 1; 3у = х – 3; 3у = 4у – 3; у = 3; у = 3.
Ответ: 12 км/ч.





«Принимаю участие в проекте «Познание и творчество» третий год. Из заданий данного тура мне больше понравились геометрическая задача и задача со степенями. Идеи для решения заданий № 5, 7, 9 и 10 я обсуждала с учителем, родителями, использовала литературу, интернет. Считаю, что конкурсные математические задачи позволяют использовать знания в нестандартных ситуациях. Спасибо организаторам конкурса за интересные задания!»
Жилина Валерия ГБОУ СОШ № 12 города Сызрани


Литература
https://www.statgrad.org/
http://4ege.ru
http://fipi.ru/
http://alexlarin.net/
http://решуегэ.рф


Приложенные файлы


Добавить комментарий