Виды треуголников 3


Равнобедренные треугольники
1. Задание 9 № 311320. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите .
Решение.
В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Биссектрисы CN и AM делят углы пополам, поэтому = = Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому Вертикальные углы равны, следовательно,
Ответ: 120.
Ответ: 120
311320
120
Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)2. Задание 9 № 311343. В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите .Решение.
Медианы в равностороннем треугольнике являются биссектрисами и высотами, поэтому . Треугольник AOK — прямоугольный, поэтому .
Ответ: 60.
Ответ: 60
311343
60
Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 3)3. Задание 9 № 311680.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Углы ACB и BAC равны, т. к. находятся при основании равнобедренного треугольника; пусть один из них равен x. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ∠ABC = 180° − x − x. Угол ACB смежен с углом 123°, значит, равен 180° − 123° = 57°. Следовательно, x = 57°, откуда ∠ABC = 180° − 2·57° = 66°.
Ответ: 66.
Ответ: 66
311680
66
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2014 по математике.4. Задание 9 № 316372. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
Сумма углов в треугольнике равна 180°, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, углы при основании равны (180° − 120°)/2 = 30°. По теореме синусов:

Ответ: 10.
Ответ: 10
316372
10
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90502.5. Задание 9 № 323376. Площадь равнобедренного треугольника равна Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны.
Решение.
Пусть длина боковой стороны равна Площадь треугольника можно найти как половину произведения сторон на синус угла между ними:


Ответ: 28.
Ответ: 28
323376
28
6. Задание 9 № 323416. Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание — 96. Найдите площадь треугольника.
Решение.
Пусть — длина основания равнобедренного треугольника, — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, — длина основания проведённого к высоте. Найдём длину боковой стороны:

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, также является его биссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдём высоту по теореме Пифагора:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

Ответ: 672.
Примечание.
Пусть — полупериметр треугольника. Можно не находить высоту, а найти площадь по формуле Герона:


Ответ: 672
323416
672
7. Задание 9 № 339364. В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 146°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.Решение.
Сумма смежных углов равна 180°, откуда Треугольник ABC — равнобедренный, поэтому Сумма углов треугольника равна 180^\circ, следовательно,
Ответ: 112.
Ответ: 112
339364
112
8. Задание 9 № 339375. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59∘. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Треугольник — равнобедренный, поэтому Найдём угол
Ответ: 9.
Ответ: 9
339375
9
9. Задание 9 № 339389. Высота равностороннего треугольника равна Найдите его периметр.
Решение.
Высота равностороннего треугольника равна следовательно, сторона треугольника Таким образом, периметр равностороннего треугольника равен
Ответ: 90.
Ответ: 90
339389
90
10. Задание 9 № 339450. В треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56. Найдите длину медианы BM.
Решение.
Треугольник — равнобедренный, поэтому медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём BM:

Ответ: 45.
Ответ: 45
339450
45
11. Задание 9 № 341672. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого реугольника.
Треугольники общего вида
1. Задание 9 № 323079. У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
Решение.
Пусть известные стороны треугольника равны и а высоты, проведённые к ним и Площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне:


Ответ: 8.
Ответ: 8
323079
8
2. Задание 9 № 339369. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Пусть угол равен угол равен Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда Аналогично, из треугольника Получаем систему уравнений:

Таким образом, угол равен 62°.
Ответ: 62.
Ответ: 62
339369
62
3. Задание 9 № 339390. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.
Решение.
Поскольку — медиана, Рассмотрим треугольник следовательно, треугольник — равнобедренный, — высота, следовательно, — медиана, откуда Найдём
Ответ: 63.
Ответ: 63
339390
63
4. Задание 9 № 339397. В остроугольном треугольнике высота равна а сторона равна 40. Найдите .
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник из теоремы Пифагора найдём

По определению косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Ответ: 0,5.
Ответ: 0,5
339397
0,5
5. Задание 9 № 339495. В треугольнике ABC AB = BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 64 и CH = 16. Найдите cosB.
Решение.
Из треугольника по определению косинуса:

Ответ: 0,8.
Ответ: 0,8
339495
0,8
6. Задание 9 № 339544. В треугольнике ABC BM — медиана и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Поскольку — медиана, Найдём Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда то есть треугольник — равнобедренный, значит, Углы и — смежные, вместе составляют развёрнутый угол, поэтому
Ответ: 140.
Ответ: 140
339544
140
7. Задание 9 № 339863. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.
Решение.
Пусть — длина основания равнобедренного треугольника, — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, — длина основания проведённого к высоте. Высота равнобедренного треугольника, проедённая к основанию, также является его биссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдём высоту по теореме Пифагора:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

Ответ: 48.
Ответ: 48
341672
48
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 29.09.2015 вариант МА90103.
Прямоугольный треугольник
1. Задание 9 № 118. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 8 , sin A = 0,4. Найдите AB.
Решение.
Синус угла равен отношению противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ. Поэтому:

Ответ: 20.
Ответ: 20
118
20
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.
2. Задание 9 № 132773. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 4 части к 5 частям, сумма этих углов 4 + 5 = 9 частей. Поэтому одна часть равна 10°. Так как больший угол содержит в себе 5 частей, он равен 5·10° = 50°.
Ответ: 50.
Ответ: 50
132773
50
3. Задание 9 № 311387. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
Решение.
Так как треугольник ABC — прямоугольный, то . Имеем:

Ответ: 21.
Ответ: 21
311387
21
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)
4. Задание 9 № 311399. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
Решение.
Так как треугольник ABC — прямоугольный, то . Имеем:

Ответ: 33.
Ответ: 33
311399
33
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)
5. Задание 9 № 311498. В треугольнике угол прямой, . Найдите .
Решение.
Треугольник ABC — прямоугольный. Таким образом,


Ответ: 20.
Ответ: 20
311498
20
Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Вариант 9
6. Задание 9 № 311500. В треугольнике угол прямой, . Найдите .
Решение.
Треугольник ABC — прямоугольный. Таким образом,


Ответ: 30.
Ответ: 30
311500
30
Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Вариант 10
7. Задание 9 № 311760. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Найдите BC.
Решение.

Тангенс угла равен отношению противолежащего угла катета к прилежащему, поэтому

Ответ: 10.
Ответ: 10
311760
10
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90101.
8. Задание 9 № 311816. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 20, = 0,5. Найдите AC.
Решение.

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему:

Ответ: 40.
Ответ: 40
311816
40
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90105.
9. Задание 9 № 311848. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 18, tgA = 3. Найдите AC.
Решение.

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему, поэтому

Ответ: 6.
Ответ: 6
311848
6
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90106.
10. Задание 9 № 316283. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 12 , tgA = 1,5. Найдите AC.
Решение.

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему:

Ответ: 8.
Ответ: 8
316283
8
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90107.
11. Задание 9 № 316320. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12 , tgA = 1,5. Найдите BC.
Решение.

Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилежащему поэтому:

Ответ: 18.
Ответ: 18
316320
18
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90103.
12. Задание 9 № 322819. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Решение.
Пусть катеты имеют длины и а гипотенуза — длину Пусть длина высоты, проведённой к гипотенузе равна Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов или как половина произведения высоты, проведённой к гипотенузе на гипотенузу:


Ответ: 33,6.
Ответ: 33,6
322819
33,6
13. Задание 9 № 322979. Катеты прямоугольного треугольника равны и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
Решение.
Пусть катеты имеют длины и а гипотенуза — длину Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:

Наименьший угол в треугольнике лежит против наименьшей стороны, 4 > 1 следовательно, синус наименьшего угла равен:

Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
322979
0,25
14. Задание 9 № 323344. Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.
Решение.
Пусть — длина катета, лежащего против угла в 30°, тогда гипотенуза равна второй катет равен .
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следовательно, длина гипотенузы, равна 16.
Ответ: 16.
Приведём другое решение.
Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, прилежащего к углу 30° равна Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

Откуда получаем:

Ответ: 16
323344
16
15. Задание 9 № 339365. В треугольнике угол равен 90°, Найдите
Решение.
По определению тангенса откуда По теореме Пифагора:

Ответ: 28.
Ответ: 28
339365
28
16. Задание 9 № 339370. В треугольнике угол равен 90°, Найдите
Решение.
Найдём косинус угла

По определению косинуса, откуда
Ответ: 15
339370
15
17. Задание 9 № 339385. Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.
Решение.
Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, лежащего напротив угла 30° равна Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, второй острый угол равен 180° − 90° − 30° = 60°. Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

Откуда получаем:

Ответ: 38.
Ответ: 38
339385
38
18. Задание 9 № 339406. Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.
Решение.
Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, прилежащего к углу 30° равна Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

Откуда получаем:

Ответ: 34.
Ответ: 34
339406
34
19. Задание 9 № 339436. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Решение.
Рассмотрим треугольники и они — прямоугольные, угол — общий, следовательно, треугольники подобны. Откуда:

Ответ: 12.
Ответ: 12
339436
12
20. Задание 9 № 340000. В прямоугольном треугольнике катет , а высота , опущенная на гипотенузу, равна Найдите
Решение.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому их синусы равны:

Ответ: 0,2.
Ответ: 0,2
340000
0,2
21. Задание 9 № 340078. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, tg A = 0,75. Найдите BC.
Решение.
По определению тангенса:

Ответ: 3.
Ответ: 3
340078
3
22. Задание 9 № 340384. В треугольнике = 35, угол равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
По теорем Пифагора найдём сторону

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
Ответ: 20.
Ответ: 20
340384
20
23. Задание 9 № 341380. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.
Решение.
По теореме Пифагора найдем второй катет: , значит, площадь равна:

Ответ: 30.
Ответ: 30
341380
30
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90703.

Приложенные файлы


Добавить комментарий