Виды тригонометрических уравнений — назарова марина


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Виды тригонометрических уравнений Выполнила ученица 10 класса Назарова Марина Так какие же они эти уравнения? Решение простейших тригонометрических уравнений Уравнение cos t = a. Если lаl›1, то уравнение не имеет корней.Если lаl≤1, то t = ±arccos a + 2πn, n Є Z.Частные случаи:cos t = 0, t = π/2+ πn, n Є Z.cos t = 1, t = 2πn, n Є Z.cos t = -1, t = π +2πn, n Є Z. arccos (-a) = π – arccos a cos (arccos a) = a Уравнение sin t = a. Если lаl›1, то уравнение не имеет решений.Если lаl≤1, то t = (-1)ⁿarcsin a + πn, n Є Z.Частные случаи:sin t = 0, t = πn, n Є Z.sin t = 1, t = π/2 + 2πn, n Є Z.sin t = -1, t = -π/2 + 2πn, n Є Z. arcsin (- a) = - arcsin a.arccos a + arcsin a = π/2 Уравнение tg t = a t = arctg a + πn, n Є Z.arctg (-a) = - arctg a.tg (arctg a) = a Уравнение ctg t = a. t = arcctg a + πn, n Є Z.arcctg (-a) = - arcctg a.arctg a + arcctg a = π/2 Типы тригонометрических уравнений Уравнения приводимые к алгебраическим Уравнение sinІx + sin x -2 = 0 Это уравнение является квадратнымотносительно sin x.Обозначив sin x = y, получим уравнение уІ+ у – 2 = 0. Его корни у1 = 1, у2 = -2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x = 1 и sin x = - 2.Уравнение sin x = 1 имеет корни x = π/2 + πn, n Є Z. Уравнение sin x = - 2 не имеет корней. Уравнение2cosІx – 5 sin x + 1 = 0. Заменяя cosІx на 1 - sinІx, получаем:2 (1 - sinІx) – 5 sin x + 1 = 0 или2 sinІx – 5 sin x - 3 = 0.Обозначая sin x = y, получаем 2yІ+ 5y – 3 = 0, откуда y1 = - 3, y2 = Ѕ.1) sin x = - 3 – уравнение не имеет корней, так как l- 3l › 1. 2) sin x = Ѕ, x = (- 1)ⁿ arcsin Ѕ + πn = (-1)ⁿπ/6 + πn, n Є Z. Уравнения, являющиеся равенством двух одноименных тригонометрических функций. Уравнение вида sin f(x) = sin φ(x) Равносильно единению уравнений: f(x) = φ(x) + 2πk, k Є Z f(x) = π – φ(x) + 2πn, n Є Z Уравнение видаcos f(x) = cos φ(x) Равносильно единению уравнений: f(x) = φ(x) +2πn, n Є Z f(x) = - φ(x) + 2πm, m Є Z Уравнение видаtg f(x) = tg φ(x) Равносильно системе: f(x) = φ(x) +πk; φ(x) ≠ π/2 +πn ( или f(x) ≠ π/2 + πm), k, n, m Є Z Однородные уравнения 2 cos x – 3 sin x = 0 Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cos x = 0. Уравнение cos x = 0 не содержит корней данного уравнения. Действительно, если cos x0 = 0, cos x0 = 0, то2 cos x0 - 3 sin x0 = 0, sin x0 = 0,но это не возможно, так как cosІx0 + sinІ x0 = 1.Следовательно, имеем равносильное уравнениеtg x = 2/3; x = arctg 2/3 + πm, m Є Z. 3 sinІx – 4 sin x cos x + cosІx = 0 Это уравнение второй степени. Значения х, при которых cos x = 0, не являются решениями этого уравнения, так как если cos x = 0, то должно выполнятся равенство 3sinІx = 0, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cosІx (или на sinІx) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению 3 tgІx – 4 tg x + 1 = 0, откуда tg x = 1 или tg x = 1/3. Следовательно, x =π/4 + πn, n Є Z, или x = arctg 1/3 + πn, n Є Z. Если уравнение может быть приведено к виду, когда его левая частьоднородное выражение второй степени относительно тригонометрическихфункций, а в правой есть число, отличное от нуля, то такое уравнение можно привестик однородному уравнению второй степени относительно cos f(x) и sin f(X), представив число в правой части a = a(sinІf(x) + cosІf(x)). Уравнения, решающиеся разложением на множители. При решении этого типа уравнения необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.cos x = 0, или 3 tg x = 5 cos x ≠ 0, x = arctg 5/3 + πm, m Є Z.2) (2 cos x – 1) √sin x = 0, sin x = 0 или cos x = Ѕ x = πk, k Є Z; sin x › 0. Уравнения видаa cos x + b sin x = c(a·b·c ≠ 0) Один из способов решения такого уравнения состоит в том, что левую часть уравнения можно преобразовать по формуле:a cos x + b sin x = √aІ+ bІ cos (x – φ), где cos φ = a/√aІ+ bІ sin φ = b/√aІ+bІ Уравнения, решающиеся оценкой значения левой и правой части. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Уравнение корней не имеет.3 cos 3x + cos x = 4. Так как cos x ≤ 1, 3cos 3x ≤ 3, то cos x + 3 cos 3x ≤ 4 и равенство возможно лишь при cos x = 1, cos 3x = 1.Корни первого уравнения определяются формулой х = 2πκ, к Є Z.Подставим эти значения х во второе уравнение: cos 3x = cos (6 πκ) = 1 (верно). Значит, это корни данного уравнения.

Приложенные файлы


Добавить комментарий