Золкина с. В. Статя саратов

Систематическое повторение планиметрии в 10 классе по УМК Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича
Золкина Светлана Владимировна
МОУ «Гимназия №87»
Введение.
Повышение уровня математической подготовки учащихся – задача сложная и многогранная. Ее успешное решение возможно только при выполнении целого комплекса условий: наличие грамотного, профессионально подготовленного учителя, хорошей методической базы, качественных, современных учебников. Конечно же, талантливый учитель способен дать глубокие и прочные знания, вооружившись только доской и мелом, но насколько сильно будет облегчена его задача, если ему помогает так же талантливо написанный учебник, соответствующий реалиям сегодняшнего дня!
Сегодня современный учебник – это, прежде всего, помощник ученика, ориентированный на самостоятельную, творческую работу, наполненный разнообразными, интересными заданиями, позволяющий проводить самую широкую дифференциацию обучения математике. Такая дифференциация должна удовлетворять потребностям каждого, кто проявляет интерес и способности к математике, дав ему все возможности для их развития.
На протяжении двух лет я работала с классом углубленного изучения математики, созданном в гимназии №87 на базе параллели 8-х классов. В этом учебном году мои ученики обучаются в классе с физико-математическим профилем. Поэтому, обладая высокими познавательными данными и хорошими математическими способностями, они ориентируют себя на успешную сдачу ЕГЭ. Им просто необходимо знать геометрию на профильном (даже углубленном) уровне! Выбранный мною УМК по геометрии эту возможность им предоставляет.
Авторская концепция.
Учебно-методический комплект для 10 класса с углубленным изучением математики состоит из двух частей. Это «Учебник «Геометрия 10» и «Задачник «Геометрия 10», написанные Л. И. Звавичем и Е. В. Потоскуевым. Теми же авторами составлен комплект и для одиннадцатого класса. Кроме того, в комплект входят сборник «Контрольные работы по геометрии, 10 - 11» и учебное пособие «Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач» (элективный курс) тех же авторов.
В предисловии к обоим изданиям авторы подчеркивают (и я с ними полностью согласна), что комплект предназначен не только для специализированных математических школ, а и для классов с повышенным уровнем математической подготовки в общеобразовательных школах. В связи с этим, авторы считают, что целью работы в таких классах является формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, развитие их математических способностей, ориентация на профессии, связанные с математикой, на применение математических методов в различных областях жизни.
Необходимым условием хорошего усвоения материала курса стереометрии является умение решать планиметрические задачи. Для этого в пособиях имеются:
дополнение, посвященное планиметрии, которое содержит перечень важных теорем планиметрии и более 150 планиметрических задач разной степени сложности на построение, вычисление и на доказательство. Оно предназначено для повторения планиметрии и решения задач, как учебного содержания, так и задач вступительных экзаменов в вузы.
карточки для повторения планиметрии в пособии 13 QUOTE 1415. Данные карточки целесообразно использовать на протяжении двух лет обучения, предлагая их ученикам в качестве индивидуальных заданий или вариантов самостоятельных работ для всего класса. Примеры карточек можно увидеть в приложении 1.
система тематических зачетов, в которые включены вопросы и задачи по планиметрии.
задачи по стереометрии, для решения которых необходимо умение выполнять построение выносного планиметрического чертежа.

Я хочу остановиться подробнее на проведении тематических зачетов, а также рассмотреть примеры задач , в которых в решении используется выносной чертеж.

Тематические зачеты.
В курсе геометрии 10 класса предусмотрено проведение четырех зачетов.

Зачет 1. «Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве. Треугольники».
Зачет 2. «Взаимное расположение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Четырехугольники».
Зачет 3. «Параллельное проектирование. Параллельные плоскости. Угол между плоскостями. Окружность».
Зачет 4. «Векторы в пространстве. Координаты в пространстве. Координаты на плоскости».

Перед зачетом (за две недели) учащимся предоставляются открытые тексты билетов. Два теоретических вопроса они готовят самостоятельно, по решениям стереометрических задач проводятся консультации, а вот планиметрические задачи скрыты. Эти задачи выбираю я из списка задач по данной теме (имеющихся в задачнике), с которым заранее знакомлю учащихся. Этих задач примерно в два раза больше необходимых.
Так как зачеты проводятся в письменной форме (что необязательно!), а задачи достаточно сложные и объемные, то теоретические вопросы – это формулировки теорем, доказательство я не требую (что опять-таки необязательно!). Примерные тексты зачетов можно увидеть в приложении 2.
Использование выносного чертежа.
В качестве примеров использования выносных чертежей при решении стереометрических задач могут быть приведены задачи на построение сечений. Кроме построения сечения все эти задачи содержат рассчетную часть, в ходе которой проводится повторение планиметрии. Я приведу тексты этих задач, чертежи к ним и список повторяемых вопросов.

№1.057. АВСА1В1С1 –правильная треугольная призма, все ребра которой имеют длину а. Точка М – середина А1В1, точка Р – середина ВС. Постройте сечение призмы плоскостью АМР, определите его вид и длины всех его сторон.
1. Признаки подобия треугольников.
2. Формула длины высоты правильного треугольника.
3. Теорема косинусов.
4. Теорема Пифагора.
5. Определение трапеции.


№1.059. FАВСD – правильная четырехугольная пирамида. FE – ее высота, АВ = FE = а, точка H – середина СF. Точка G лежит на отрезке FE так, что FG = 13 QUOTE 1415. Постройте сечение пирамиды плоскостью GHD, определите его вид и найдите его сторону на грани СFВ.
1. Свойство медиан треугольника
2. Определение и свойства равнобедренного треугольника
3. Свойство диагоналей параллелограмма



№3.018. Основанием правильной четырехугольной пирамиды РАВСD является квадрат АВСD. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через АВ и точку К – середину РС. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.
1. Свойство средней линии треугольника
2. Формула площади трапеции
3. Определение площади равнобедренной трапеции по известным основаниям и боковым сторонам.


№1.071. МАВСD правильная четырехугольная пирамида. МО – ее высота, АВ = МО = а, точка О – середина отрезка МР, точка К – середина МD. Точка T лежит на луче ВС так, что СТ = 13 QUOTE 1415, и С лежит между В и Т. Постройте сечение пирамиды плоскостью РКТ, определите его вид и найдите его сторону на основании пирамиды.
1. Свойство медиан треугольника
2. Свойство равнобедренного треугольника
3. Признаки подобия.



Таким образом, при решении многих стереометрических задач происходит повторение отдельных тем планиметрии.

Я уверена, что при успешном изучении геометрии по данному УМК мои ученики справятся с заданиями ЕГЭ в плане геометрии с большой долей вероятности.

Приложение 1.
Карточка 1. «Треугольник» (была предложена в качестве недельной домашней работы)

Две стороны треугольника равны соответственно 6 и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону.
Найдите третью сторону остроугольного треугольника, если две его стороны равны а и в и известно, что медианы этих сторон пересекаются под прямым углом.
Расстояния от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до его сторон АС и ВС соответственно равны 2 см и 4 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АВ = 10 см, ВС = 17 см, АС = 21 см.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) на стороне ВС взята точка М так, что ВМ : МС = 1 : 4. В каком отношении прямая АМ делит медиану ВЕ треугольника АВС, считая от вершины В?
В треугольнике АВС проведены биссектрисы ВМ и АЕ, пересекающиеся в точке О. При этом АВ = ВМ, ВО = 2*ОМ и периметр треугольника АВМ равен 14. Найдите АВ.
Найдите отношение суммы квадратов длин сторон треугольника к сумме квадратов длин его медиан.
Приложение 2.
Билеты по геометрии к зачету №1 «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве».
Билет №1.
1. Теорема о плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку.
2. Теорема Пифагора. Обратная ей теорема.
3. Дан куб. Определите взаимное расположение и величину угла между прямыми С1В и В1К, где К – середина ребра АВ.
4. Боковая сторона и основание равнобедренного треугольника равны 50 см и 60 см соответственно. Найдите расстояние между ортоцентром и центром вписанной в него окружности.
Билет №3.
1. Теоремы о плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
3. Дана правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. Определите взаимное расположение и величину угла между прямыми А1С и ВС1.
4. Площадь прямоугольного треугольника равна 60 см2, а периметр 40 см. Найдите катеты треугольника.


Билет №2.
1. Теорема о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
2. Теоремы об окружности, вписанной в треугольник. Формулы для вычисления радиуса этой окружности. Частные случаи. Вневписанные окружности.
3. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три точки М, Р и К, где М – такая точка на луче А1В1, что В1 – середина отрезка А1М, Р – середина отрезка DD1, К – середина отрезка АВ. Определите вид сечения.
4. Расстояния от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до сторон АС и ВС соответственно равны 2 см и 4 см. Найдите расстояние от М до прямой АВ, если АВ = 10 см, ВС = 17 см, АС = 21 см.
Билет №4.
1. Взаимное расположение прямой и плоскости. Выполнение простейших стереометрических чертежей (см. графическую работу).
2. Теоремы об окружности, описанной около треугольника. Формулы для вычисления радиуса этой окружности. Частные случаи. Теорема синусов.
3. Постройте сечение правильного тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через три точки М, К и Р, такие, что DM:MA = 1:2, DP:PC = 2:1, точка К лежит на луче DB и DB = BK. Определите вид сечения.
4. Медианы, проведенные из вершин острых углов прямоугольного треугольника, равны 2 и 3. Найдите площадь этого треугольника.


Билет №5.
1. Изображение и простейшие свойства стереометрических фигур (куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды). Примеры построения сечений куба и тетраэдра.
2. Теорема косинусов.
3. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, М, Р, если М – середина А1В1, К – середина В1С1, Р – середина АА1. Определите вид сечения.
4. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 13 см, АС = 15 см, длина медианы АМ равна 7 см.
Билет №6.
1. Пересекающиеся и параллельные прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признаки скрещивающихся прямых.
2. Признаки подобия треугольников.
3. Постройте сечение правильного тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через три точки М, К и Р, такие, что DК:КA = 1:2, АP:PC = 1:2, DМ :МВ = 2:1. Определите вид сечения.
4. В прямоугольный треугольник с периметром, равным 15, вписана окружность радиуса 1. Найдите стороны этого треугольника.

Билет №7.
1. Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость.
2. Формулы для вычисления площади треугольника. Вывод формулы Герона.
3. Постройте сечение правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через точки М, К и Р, такие, что АМ:МА1 = ВК:КВ1 = АР:РС = 3:1. Определите вид сечения.
4. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведены медиана СМ и высота СН. Площадь треугольника АВС равна 10 см2, а треугольника СНМ – 3 см2. Найдите длину гипотенузы.
Билет №8.
1. Теорема о транзитивности параллельности прямых в пространстве.
Свойства медиан треугольника. Центроид треугольника.
3. Дан куб. Определите взаимное расположение и угол между прямыми В1D и KF, где K и F – середины ребер DD1 и C1D1.
4. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР меньше АТ. Прямые ВР и ВТ делят медиану АМ на три равные части. Найдите АС, если РТ = 3.

Билет №9.
1. Направления в пространстве. Теорема о равенстве двух углов с сонаправленными сторонами. Определение угла между скрещивающимися прямыми.
2. Свойство биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольника окружности.
3. Определите взаимное расположение и величину угла между данными в правильном тетраэдре прямыми АК и СМ, где К и М – середины ребер CD и BD соответственно.
4. В окружность радиуса 32,5 см вписан треугольник, две стороны которого равны 25 см и 39 см. Найдите третью сторону.
Билет №10.
1. Задачи на построение: проведение через точку прямой, параллельной данной прямой, скрещивающейся с данной.
2. Свойство серединных перпендикуляров сторон треугольника. Центр описанной окружности и ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера.
3. Определите взаимное расположение и величину угла между данными в кубе прямыми А1С1 И КМ, где К и М – середины ребер АА1 и А1В1 соответственно.
4. В треугольнике АВС проведены биссектрисы ВМ и АЕ, пересекающиеся в точке О. При этом АВ = ВМ, ВО = 2 ОМ и периметр треугольника АВМ равен 14. Найдите АВ.


РИС 1Рисунок 0РИС 1.JPGРис 2Рисунок 2Рис 2.JPG15

Приложенные файлы


Добавить комментарий