Золотое сечение

Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ Новоселенгинская средняя школа – интернат (полного) общего образования






Проект
«Золотое сечение»



Выполнила: ученица 10 класса
Ажеева Марина
Проверила: Дондокова Е.В. учитель
математики










с. Новоселенгинск
2010-2011 уч.год



Ц е л ь : воспользовавшись различной литературой по геометрии, по черчению, различными справочными материалами для более подробного изучения темы «Золотое сечение» дать наиболее полное представление о данной теме; рассмотреть применение «золотого сечения» в архитектуре города Улан - Удэ.

Введение.

Задачи проекта:
1. Ввести понятие «золотое сечение» (немного об истории). Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения».
2. Рассмотреть применение «золотого сечения» в искусстве древней Греции.
3. Рассмотреть «Золотую пропорцию» и связанные с нею отношения.
4. продемонстрировать и разобрать понятие золотой спирали в живой природе.
5. Показать применение «золотого сечения» в архитектуре г. Улан - Удэ.
б. Частично изучив архитектуру нашего города, указать наиболее известные здания с применением золотого сечения.
Идея создания проекта зародилась случайно. Однажды на уроках геометрии услышала о широком применении «золотого сечения» в архитектуре и я занялась подробным изучением темы «Золотое сечение». Предметом исследования явились здания оперного театра, здание «Буркопсоюза» и т.д., построенные на основе «Золотого сечения» Я рассмотрела различные энциклопедические сведения, разработки ученых, занимавшихся темой «Золотое сечение». Для нахождения материала для моего проекта использовала энциклопедические справочники по математике, учебники по архитектуре, градостроительству, учебные пособия. Средства ЭТ (сканер, копир) позволили мне наглядно представить коллекцию зданий города. Актуальность данной темы не вызывает сомнения т.к. в искусстве с древнейших времен и до наших дней многие здания строились на основе применения «золотого сечения».
В ходе исследования я использовала следующие группы методов:
теоретические: анализ литературы, моделирование общей гипотезы исследования и проектирование результатов и процессов их достижения на различных этапах поисковой работы;
эмпирические: анализ творческих работ, наблюдения, опытная работа и др.;
статистические: оценка статистической значимости гипотезы.



Немного истории...
«Золотое сечение» деления в крайнем и среднем отношении деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая часть АС является средней пропорциональной между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ. Алгебраическое построение «золотого сечения» АВ = а сводится к решению уравнения а: х = х : (а х) (где х = АС, откуда
х = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,62а. Отношение х к а может быть также выражено приближенно дробями 13 EMBED Equation.3 1415где 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Фибоначчи числа. Геометрическое построение «золотого сечения» отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливают перпендикуляр к АВ, на нем откладывают отрезок ВЕ = I/2АВ, соединяют А и Е, откладывают ЕД = ЕВ и, наконец, АС=АД, тогда будет
АВ:АС=АС:СВ В дошедшей до нас античной литературе «золотое сечение» впервые встречается во II книге «Начал» Евклида, где дается его геометрическое построение, равносильное решению квадратного уравнения вида
х (а + х) = а2.
Евклид применял «золотое сечение» при построении правильных 5- и 10- угольников, а также в стереометрии при построении правильных 12- и 20-гранников. Несомненно, что «золотое сечение» было известно и до Евклида. Весьма вероятно, что задача «золотого сечения» была решена ещё пифагорейцами, которым приписываются построение правильного 5-угольника и геометрического построения, равносильные решению квадратных уравнений. Именно пентаграмму Пифагорейцы выбрали символом своего союза религиозной секты во главе с Пифагором (ок. 580500 до н. э.), которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т. д. Пифагорейцев отличало от других то, что они считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) мужскими. Число 5 как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. После Евклида исследованием «золотого сечения» занимались Гипсикл (II в. до н. э.), Папп Александрийский (III в. н. э.) и др.
В средневековой Европе с «золотым сечением» познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Кампано из Новары (ХIII в.) добавил к 13 книге «Начал» предположение, содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его «золотого сечения».


В ХVХV1 вв. усилился интерес к «золотому сечению» среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гёте проникновение дьявол Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала позвал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он сам смог предстать перед Фаустом. Л. Пачоли посвятил «золотому сечению» трактат «О божественной пропорции» (1509); о «золотом сечении» много писал в одном из своих ранних произведений И. Кеплер (1596). Ленардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны числом Ф, деление отрезка в отношении Ф он назвал «золотым сечением». «Золотое сечение» или близкие ему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, например, Капелла Нации во Флоренции, архитектора Ф. Брунеллески, ХV в.










«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» И ЗАКОНЫ ИСКУССТВА В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ.
Статуя «Дорифор».
Рассмотрим теперь применение «золотого сечения» в скульптурах древней Греции. Работы Фидия в оригиналах почти не сохранились, поэтому для иллюстрации возьмем произведение его младшего современника, скульптора и теоретика искусства Поликлета (вторая половина V в. до н. э.).
В своём трактате «Канон» он стремился установить законы пропорциональности человеческого тела. Теория пропорций Поликлета ярко воплотилась в статуе «Дорифор»-копьеносец, которую он изваял в строгом соответствии всех частей. В этой статуе мы встречаем много раз примененное число. Так, пупок (точка О) делит высоту статуи в отношении «золотого сечения». Значит, если высоту АВ принять за 1, то АО = ф, но тогда ОВ =1 ф . Однако на рис. 2 показано, что расстояние ОВ берётся равным. Нет ли здесь противоречия? Проверим: если считать, что 1 ф = ф , то приходим к уравнению
Ф2 + ф - 1 = 0. Откуда ф = 13 EMBED Equation.3 1415 ,т.е.получили то же самое значение, которое вычислили ранее.
Но проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равно ф3, высота шеи вместе с головой равна ф4, длина шеи до уха ф5, а расстояние уха до макушки ф6. Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем ф: ф2, ф3 ф4ф5ф6.
Парфенон.
«Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями


дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за ширину
торцевого здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно ф, между третьей и шестой ф2, между четвертой и пятой ф4. Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получим прогрессию: 1, ф, ф2, ф3, ф4, ф5.
Здесь поучительно вспомнить о пропорциях человеческого тела, отмеченных ранее. Сравнивая, видим, что отношение торцевой длины здания к его высоте равно отношению человеческого роста к длине нижней части тела: 1/ф. Высота крыши Парфенона относится к расстоянию между крышей и капителями колонн, как ф4: ф5, т. е. так же, как отрезок ВС относится к отрезку ЕС.
Эти совпадения не случайны. В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела.
Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?
Построим сначала правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из её центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, равные 13 EMBED Equation.3 1415 = 72°, стороны углов пересекут окружность в точках А, В, С, Д, Е. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т. е. знаменитую пентаграмму (рис. 2) Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении её сторон мы снова видим правильный пятиугольник открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности. Пентаграмма представляет собой вместилище «золотых пропорций» При п = 5 имеем 1800 3 : 5 = 108°. В пятиугольнике АВСДЕ, 13 EMBED Equation.3 14151 = 108° : 3 = 36°. Теперь рассмотрим пентаграмму на рис. 3. Соединим в ней точки К и F. Выше уже отмечалось, что пятиугольник КLFРМ правильный, т. е. угол КL= 108°. Тогда 13 EMBED Equation.3 14151 =13 EMBED Equation.3 14152 = 36°. Но угол Е тоже равен 36°. Из того что 13 EMBED Equation.3 1415 1 = 13 EMBED Equation.3 1415 Е, следует, что ЕС параллельна КF, а тогда 13 EMBED Equation.3 1415ВЕР ~13 EMBED Equation.3 1415ВКЕ, ЕВ:КВ=РВ: FВ. (1)
Обозначим ЕВ = а и КВ = х, перепишем пропорцию (1) иначе:
а : х = х: (а х), или х2 + ах а2 = 0. Мы получили то же самое уравнение, решением
которого является х = 13 EMBED Equation.3 1415 Значит, КВ : ЕВ = ф.
Таким образом доказано, что стороны пентаграммы,
пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины
которых образуют «золотую пропорцию».

Рис. 3

«Золотая пропорция» и связанные с нею отношения.
Применение «золотой пропорции» часто сводится к построению отрезка длиной Ф = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14151,618. Это число является обратным по отношению к числу ф.
В самом деле: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Естественно поставить вопрос о том, как построить отрезок длиной Ф.
Построение:
а) отложим отрезок АВ = 1; из точки В восстановим
перпендикуляр к отрезку АВ и отложим на нем отрезок
ВС = 1;
б) разделим отрезок АВ пополам точкой О
ОС =13 EMBED Equation.3 1415
в) из точки О проведем окружность радиусом 13 EMBED Equation.3 1415, пересекающую луч АВ в точке Д, АД = 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415
Ранее было доказано, что ф2 = 1 ф. Теперь докажем, что Ф2 = 1 + Ф.
Доказательство: С одной стороны,
Ф2 =13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
С другой стороны, Ф + 1= 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, Ф2 = Ф + 1.
Много интересных свойств числа Ф можно увидеть в так
называемом возвышенном треугольнике равнобедренном
треугольнике, у которого основание равно Ф, а боковые
стороны Ф + 1.
Прежде всего установим величины углов треугольника АЕС.
Для этого проведем ЕО
· АС. Из 13 EMBED Equation.3 1415 АЕО:
соs13 EMBED Equation.3 1415А=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Итак, соs А = 0,309. Теперь можно установить по таблицам или с помощью МК, что 13 EMBED Equation.3 1415А = 72°, а значит, 13 EMBED Equation.3 1415С = 72°, 13 EMBED Equation.3 1415Е = 36°.
Рассмотрим теперь построение отрезков длиной 13 EMBED Equation.3 1415 на сторонах возвышенного треугольника. Проведем биссектрису угла А до пересечения со стороной ЕС в точке К, а из точки К отрезок КМ, параллельный стороне АС. Построим теперь биссектрису МL угла ЕМК и проведем прямую LN в АС. В треугольнике МLN углы равны 36°, 36°, 108°, а углы треугольника МКL равны 36°, 72°, 720. Из треугольника КМL определим длину отрезка LК,
используя теорему синусов: 13 EMBED Equation.3 1415 , т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 , LK = 13 EMBED Equation.3 1415
Продолжив построение биссектрис углов GNL, FGP и т. д., аналогично предыдущему докажем, что основания получающихся равнобедренных треугольников NPL, GHP и т. д. равны 1/Ф2, 1/Ф3 ,
т.е.LK= 1/Ф, LP= 1/Ф2, РН=1/Ф3
Число Ф интересно ещё и тем, что оно является диагональю правильного 5-угольника со стороной 1. На этом свойстве основан способ построения правильного пятиугольника циркулем и линейкой. Ранее мы строили его «незаконно» с точки зрения древнегреческой математики, поскольку кроме циркуля и линейки применяли транспортир.
П о с т р о е н и е: а) разделим отрезок АВ точкой С в соотношении «золотого сечения», т. е. так, чтобы ВС: СА = 13 EMBED Equation.3 1415;
б) из точки В как из центра проведем окружность, которая пересечет луч СВ в точке Р, РА = РВ+АВ = 13 EMBED Equation.3 1415
в) из точек А и В как из центров проведем окружности радиусом РА и обозначим точку их пересечения через Е; поскольку АЕ = ВЕ = Ф, заключаем, что Е третья точка пятиугольника, которая не является соседней для точек А и В;
г) из точки Е как из центра проведем окружности радиуса АВ, которые пересекают две предыдущие окружности в точках К и L. Так получены ещё две вершины многоугольника.
Пятиугольник АВКЕL (рис. 4) правильный по построению.
Рассмотрим теперь вопрос о построении правильного 10-
угольника. Правильный 10-угольник можно разделить на 10
треугольников, углы которых равны 36°, 72°, 72°, т. е. эти
треугольники подобны возвышенному треугольнику. Если
выбрать сторону 10-угольника равной Ф, то его можно будет вписать в окружность радиусом Ф + 1. Но с практической точки зрения гораздо важнее другая задача: вписать в окружность данного радиуса правильный десятиугольник (рис. 5).
Пусть ОА = R. Требуется найти длину отрезка АВ.
Р е ш е н и е. Проведем ОР перпендикулярно АВ, АР = АО
соs 72°=. R13 EMBED Equation.3 1415 Но АВ = 2АР = R13 EMBED Equation.3 1415
·
Таким образом, чтобы построить правильный 10-угольник,
вписанный в окружность радиуса R, надо радиус ОА
окружности разделить точкой С в отношении «золотого
сечения» и раствором циркуля, равным ОС, сделать 10 засечек на окружности, которые являются вершинами вписанного 10-угольника.
Геометрические фигуры, в которых есть элементы, связанные друг с другом «золотой пропорцией», большинству людей кажутся красивыми. Известен, например, большинству такой психологический опыт: каждого из испытуемых (а их было довольно много) просили начертить прямоугольник любой, какой больше нравится. Испытуемые рисовали прямоугольники разной величины, но у большинства отношение сторон оказалось близким к отношению отрезков, составляющих «золотое сечение».
Прямоугольник, у которого для сторон а и Ь выполняется соотношение а: Ь = ф : (ф 1), иногда называют «золотым прямоугольником». Золотой прямоугольник обладает интересными свойствами. Рассмотрим два из них, тесно связанные друг с другом.
1 свойство. Если от золотого прямоугольника со сторонами а и Ь (где а > Ь) отрезать квадрат со стороной Ь, то получим прямоугольник со сторонами Ь и а Ь, который тоже золотой. Продолжая этот процесс, мы каждый раз будем получать прямоугольник меньших размеров, но опять золотой.
II свойство. Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется «золотой спиралью». Точка S, с которой она начинает раскручиваться, называется полюсом. Отрезки, соединяющие точку S с точками спирали, называются полярными радиусами.
Французский ученый Пьер Вариньон (16541722) назвал эту спираль логарифмической, поскольку логарифм расстояния движущей точки М от полюса S изменяется пропорционально углу поворота а.
Одно из важнейших свойств этой кривой состоит в том, что она пересекает под постоянным углом все прямые, выходящие из полюса S.
Свойства логарифмической спирали первым начал изучать французский ученый Рене Декарт (15961650). Много занимался этой спиралью и швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 1705). Он настолько был восхищен ею, что даже завещал вырезать ее на своем надгробии вместе со словами; «Измененная, я воскресаю той же».

«Золотое сечение» и «золотая спираль» в живой природе
«Золотая пропорция» символ взаимодействия двух физических сил тяготения и инерции, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста.
Одним из первых проявления «золотого сечения» в природе подметил немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630). С ХVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.
Представим себе, что две соседние ветки растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг от друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами-ветками обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415, а угол, дополняющий его до 360°, через 13 EMBED Equation.3 1415 . Составим «золотую пропорцию» деления до полного угла, считая, что угол 13 EMBED Equation.3 1415 большая часть этой величины: 360: 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 : (36013 EMBED Equation.3 1415). Отсюда получаем уравнение 13 EMBED Equation.3 14152 + 36013 EMBED Equation.3 1415 - 3602 = О и находим положительный корень 13 EMBED Equation.3 1415 = -180 + 13 EMBED Equation.3 1415= 180 (-1 + 13 EMBED Equation.3 1415)= 1801,236 = 222,48. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 =360° - 222,48° = 137,52° 13 EMBED Equation.3 1415 138°.
Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при «золотом сечении».
Рассмотрим расположение семечек в корзинке подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую 21. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов. Число рядов листьев или цветков, ориентированных противоположно, отличается у разных растений, но чаще всего принимает следующие значения: Ѕ = 0,5 2/3 = 0,6666,3/5 = 0,6 5/8=0,625
8/13=0,615, 13/25=0,619047..., 34/55=0,61818..., 55/89=0,617977..., 89/144=0,618055
Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число ф, с каждым новым шагом выражаемое всё более точно: ф = 0,618033...
Логарифмическая спираль (рис. 6) единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других.
По логарифмической спирали свернуты раковины многих
улиток моллюсков; та же спираль встречается в соцветиях
растений; даже пауки, сплетая паутины, закручивают нити
вокруг центра по логарифмической спирали.
Таким образом «Золотое сечение» - один из этих
основополагающих принципов природы.
рис 6
Применение «золотого сечения»
в архитектуре города Улан - Удэ
Я не имела доступа к документации по теме проекта, поэтому мне было очень сложно узнать настоящие размеры нужных мне зданий. Но выход был найден.
Я проводила измерения, используя подобие треугольников:
1. При помощи линейки я измерила нужные мне размеры зданий.
2. Шагами измерила расстояние до здания, между колоннами (2 шага 1 метр).
3. Воспользовалась подобием треугольников. Размеры, полученные в процессе измерения, могут немного отличаться от настоящих, так как измерения производились с погрешностью глазомера, линейки.




Количество шагов

Оперный театр г. Улан - Удэ
№ п/п

Параметры здания

Размеры, полу-ченные при помощи линейки, м
Размеры, полу-ченные после
вычислений, м

1.
Высота
0,19
17,4

2.
Высота колонны
0,13
12

3.
Расстояния между двумя колоннами
0,04
4,3

4.
Расстояния между четырьмя колоннами
0,07
7,2

5.
Расстояния между шестью колоннами
0,12
12

6.
Расстояния от верхней части до колонны
0,053
5,3


Возьмем за 1 ширину торцевого фасада. Расстояние между первой и шестой колоннами равно
·, между второй и пятой
· 2, между третьей и четвертой –
· З.
Аналогичные закономерности мы видим и в построении зданий по высоте. Объединив их, мы получаем прогрессию: 1,
·,
·2,
·З,
·4.
В ы в о д: произведя ряд вычислений и преобразований, я выявила закономерность и определила, что фасадная часть здания оперного театра действительно построена по принципу «золотого сечения» (рис. 8).



Заключение.

Мы думаем, что наша работа является мини-пособием для изучения «золотого сечения». Возможно, не все подробно, но в проекте затронуты все опорно-полагающие аспекты. Также мы рассмотрели применение «золотого сечения» в искусстве с древнейших времен до наших дней. Секрет того могучего эмоционального воздействия, которое эти здания оказывают на зрителя, многие искусствоведы искали и находили в соотношениях «золотой пропорции».
В нашем проекте мы описали применение «золотого сечения» только на нескольких зданиях, но здания, при построении которых применяли «золотое сечение», встречаются в нашем городе неоднократно
(рис. 9).


Рисунок 8







Приложение




Здание Буркопсоюза
Рисунок 9
















Литература

1. Большой энциклопедический словарь: математика. М.: Большая Российская энциклопедия, 1988.
2. Газета «Математика», приложение к учебно-методическому пособию «Первое сентября». - Волгоград: издательский дом «Первое сентября», 2005.
З. Квант: научно-популярная физико-математическая энциклопедия. М.: Бюро «Квантум».
4. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.
5. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика,1985


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native:Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий