Золотое сечение


Муниципальное автономное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 16
г. Сыктывкара с углубленным изучением отдельных предметов»
Золотое сечение
Авторы:
Максимова Алена, 6 «В» кл.
Руководитель:
Ковалева Т.М – учитель математики

2014
Содержание
І. Введение ………………………………………………………………………………………….3
ІІ. Описание работы ………………………………………………………………………………. 7
ІІІ. Заключение …………………………………………………………………………………. ..18
ІV. Литература …………………………………………………………………………………….19
V. Приложения ……………………………………………………………………………………20
Введение
Впервые с понятием «золотое сечение» мы встречаемся в курсе математики 6 класса. Нас заинтересовало это понятие, и мы решили его изучить. Перед тем, как начать работу по теме «Золотое сечение», мы провели опрос среди учеников с 6, 10 классов нашей школы. Нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы, что такое «золотая пропорция» или «золотое сечение»? Результаты опроса изображены на диаграмме.
left-6350

Рис. 1.1 Результаты анкетирования
Большая часть учащихся 10 классов знают что такое « Золотая пропорция» и « Золотое сечение», а учащиеся 6 классов не имеют представления о «Золотом сечении» и «Золотой пропорции». И мы решили рассказать вам про это.
Обзор литературы
Мы обратились к современному источнику информации – к Интернету. И обнаружили, что за высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе «отвечает» принцип «золотого сечения».
Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887... [8]
Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение».
На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Ещё у древних греков родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. [6]
О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения. [8]
Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты человеческого тела...". И эта формула – формула золотого сечения – некий универсальный информационный код красоты, соединяющий разные искусства и разные века в интуитивном постижении прекрасного. [2]
Эта формула отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом". Она оказалась близкой к 1,6.
Золотая пропорция встречается в конфигурации растений и минералов, строении частей Вселенной, музыкальном звукоряде. Ее используют в архитектуре, скульптуре, живописи, науке, вычислительной технике. [6]
Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. Трудно найти человека, который бы не знал собор Василия Блаженного. Его пропорции соответствуют золотой. [8]
Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а, следовательно, и золотая пропорция. Стихи А. С. Пушкина занимают особое место, остаются непревзойденными в русской поэзии. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Размер стиха у А. С. Пушкина, число строк в нем выступают не как произвольные или случайные величины. Они не изменяются от наименьшей к наибольшей непрерывно, а имеют некоторые частотные максимумы. В метрике стихов А. С. Пушкина преобладают числа Фибоначчи.
Алгеброй можно поверить не только гармонию архитектуры и поэзии, но и гармонию музыки.
Простой математический анализ, не выходящий за рамки арифметики, позволяет совершенно иными глазами взглянуть на музыкальное произведение, увидеть его скрытую внутреннюю красоту, которую мы только ощущаем, слушая произведение.
В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения, обычно она смещена, асимметрична. Изучая произведения Баха, Бетховена, Шопена, Скрябина можно установить, что во многих из них вершина, или высшая точка находится в точке золотого сечения.
Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер.
Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. [4]
Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов. [2]
На протяжении многих столетий человек в своем творчестве учился у природы, постигая законы её гармонии, её красоту. Он жил в духовном единстве с природой, и это создавало благодатную почву для его творчества.
Многие ученые абсолютизировали пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. [5]
Цель: выявить принципы применения «золотого сечения» в различных областях знаний, и проверить гармонию c числовыми закономерностями.
Задачи
Изучить понятие «золотое сечение»;
Найти применение «золотого сечения» в архитектуре, искусстве, биологии;
Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.
Методы исследования
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
Анкетирование.
Наблюдение.
Сравнение.
Анализ.
Аналогия.
Объект исследования: «золотое сечение».
Предмет исследования: золотое сечение в расположении листьев на стебле, в пропорциях человеческого тела, в раковинах моллюсков.
Актуальность: с математическим параметром “Золотое сечение” учащиеся 6-ых классов мало знакомы, в отличии от учеников 10-ых классов. Поэтому исследовательская работа по данной теме может быть представлена в курсе изучения математики в интересной, познавательной форме.
В работе большую помощь оказал учащийся 6 «в» класса Рочев Даниил.
ІІ. Описание работы.
Золотое сечение в архитектуре и искусстве.
Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону. (Приложение 1)
Всю вторую половину V в. до н.э. на Акрополе шло строительство храмов, пропилей (преддверий), алтаря и статуи Афины Воительницы. В 447 году начались работы над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н.э. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.
Как указывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся как отрезки золотого сечения. При взгляде на Парфенон от места расположения пропилей отношения массива скалы и храма также соответствуют золотое сечение.
0177165 Размеры Парфенона хорошо изучены, но приводимые замеры не всегда однозначны. Следует учесть, что геометрия архитектуры храма очень непростая – в ней почти отсутствуют прямые линии, поэтому определение размеров затруднено. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1 : 2 , а план образует прямоугольник со сторонами 1 и . Известно, что диагональ прямоугольника 1:2 имеет размер , следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.
Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты несколько варьирует у различных авторов. Так, по данным Н. Бруно, высота Парфенона 61,8 , высота трех ступеней основания и колонны – 38,2 , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 1,6 = Ф.Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. В работе В.Смоляка, посвященной изучению пропорций Парфенона, установлен закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцового фасада храма, Смоляк получил прогрессию, состоящую из 8 членов ряда: 1: : 2: 3: 4: 5: 6. Указанным членам ряда отвечают основные пропорции фасада Парфенона.
00На плане пола Парфенона также можно заметить «золотые прямоугольники».

Золотое сечение в искусстве.
0495300Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. [2]
Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.
Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.
Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.
Леонардо да Винчи писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.
Портрет Монны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника). [7]
На картине И.И. Шишкина "Сосновая роща" просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины приблизительно в золотом сечении. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит в золотом сечении правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины в пропорциях золотого сечения. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда художник создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой. [5] (Приложение 2)
Золотая пропорция и тело человека
Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. “Человеческое тело – лучшая красота на земле”, - утверждал Н.Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.
0224155Разработку теории пропорций человеческого тела в эпоху Возрождения начал Альбрехт Дюрер. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.
Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. [3]
-5080-584835
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона.
-10096585090Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.
Золотое сечение в природе
Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах — рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.
Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.
Золотое сечение. Спираль Архимеда
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
213995-1270Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д.
Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет в себе закон золотого сечения.
Золотое сечение. Ящерица живородящая
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.
Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. (Приложение 4)
Золотое сечение. Яйцо птицы
Спиралевидную форму имеют большинство раковин. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см.

Если посмотреть на изображение раковины, на нем точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом отношении.
Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная - рифленая. Внутри покоится тело моллюска - внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции. [1]
Исследование №1 «Золотое сечение в природе»
Шаг 1.

Мы внимательно изучили ракушки на нахождение в них «золотой спирали».
Шаг 2.

ВО/АВ = АВ /АО ≈ 0,62….. ЕF /АЕ = АЕ/АF ≈ 0,616…..
Шаг 3

Мы измерили расстояние между выростами на раковине моллюска. Среднее расстояние оказалось равным к числу 1,6.
В наших исследованиях мы подтвердили, что окружающие нас предметы содержат золотую пропорцию, характеризующую соразмерность и гармоничность их строения.
Раковины содержат искомые «Золотые пропорции».
Шаг 4
Вновь возьмем утверждение из школьного учебника: «Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В)».

Чтобы проверить, так ли это, мы выбрали 5 различных комнатных растений: хризантема, руэллия, толстянка, сциндапсус, каланхое.
Все эти растения есть в нашей школе. Мы сделали необходимые измерения между тройками листьев и посчитали соответствующие отношения (с точностью до сотых). Приложение 1.
Данные измерений и вычислений занесены в следующую таблицу:
№ Название ас Св ас ас/св св/ав
1. Хризантема 2,5 см 4,5 см 7 см 0,56 0,64
2. Руэллия 1,6 см 1 см 2,5 см 1,6 0,4
3. Толстянка 2,4 см 3,8 см 6,2 см 0,63 0,61
4. Сциндапсус 2,7 см 5,4 см 8,2 см 0,5 0,66
5. Каланхое 0,5 см 0,6 см 1,1 см 0,83 0,55
Из таблицы видно, что не все отношения получаются близкими к числу 0,618. Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказался цветок под номером 3 - толстянка . Следовательно, действительно расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».
Мы приняли решение более подробно исследовать размер листьев растения сциндапсус.
Расстояние между листьями От 1 до 2 От 2 до 3 От 3 до 4 От 4 до 5 От 5 до 6
См 4 см 4,5 см 3,5 см 5,9 см 4,8 см

Рис. 2. Отношение расстояний междоузлий
Отношение длин соседних столбцов ≈ 0,6.
Исследование №2 «Золотое сечение в пропорциях тела человека»
Для того чтобы проверить , присутствует ли золотое сечение в пропорциях тела человека мы провели исследование среди учащихся нашего класса. У каждого участника были сняты мерки двух видов: мерка от верхней точки головы до талии и мерка от талии до пола. Их отношение сравнивалось с числом отношения золотого сечения.
Ученик (ца) От головы до талии (в) От талии до пола (а) а/в
1. Алиева Алина 64 102 1,59
2. Бодров Егор 67 103 1,54
3. Головачева Дарья 68 108 1,59
4. Горшенина София 65 104 1,6
5. Залесский Дмитрий 57 98 1,71
6. Захарова Ульяна 60 100 1,67
7. Каракозов Матвей 59 98 1,67
8. Киндсфатер Кристина 64 105 1,64
9. Перков Сергей 65 100 1,54
10. Торлопов Роман 67 100 1,5
11. Тихонов Семен 68 108 1,59
12. Степанюк Олег 68 109 1,6
13. Смоляков Олег 64 106 1,66

Из 13-ти человек, участвовавших в исследовании, наименьшее отклонение от золотого сечения среди юношей имеют: ученик 6 класса Степанюк Олег (1,6) . Среди девушек – ученицы 6 класса София Горшенина (1,6).
В процессе проделанной работы мы получили следующие результаты.
Проанализировав проявления «золотого сечения» в окружающей нас действительности, а также научные открытия о существовании «золотой пропорции» в различных областях нашей жизни мы отмечаем, что:
«Золотое сечение» является основной пропорциональностью мира;
«Золотое сечение» является оптимальным кодом живой природы;
С расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер, где наблюдается феномен золотой пропорции. Это биология и зоология, экономика, психология, кибернетика, теория сложных систем, и даже геология и астрономия.
Также мы увидели строгую математику в расположении листьев фикуса и в морской ракушке. Узнали, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения". И даже в его генетическом коде заложены закономерности золотой симметрии.
Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы. А один из важных инструментов для познания тайн природы – это математика.
ІІІ. Заключение.
В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры, взятые из областей науки и искусства, в которых отражается эта пропорция: математика, архитектура, живопись, скульптура, ботаника.
В своей работе мы хотели продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающем мире подчиняется правилу золотого сечения.
Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе.
В результате нашего исследования мы выявили принципы применения «золотого сечения» в различных областях знаний, и проверили гармонию c числовыми закономерностями.
Среди исследованных объектов золотое сечение наблюдается:
В архитектуре: Парфенон.
В искусстве: «Улыбка Джоконды» Леонардо да Винчи, «Сосновая роща» И. И. Шишкина.
В природе: в раковинах моллюсков, в человеческом теле.
Исследовали присутствие золотого сечения в окружающей жизни: на комнатных цветах, на раковинах моллюсков, в человеческом теле.
В результате исследования получили следующие результаты:
В наших исследованиях мы подтвердили, что окружающие нас предметы содер- жат золотую пропорцию, характеризующую соразмерность и гармоничность их строения. Раковина моллюсков содержит искомые «Золотые пропорции». Золотое сечение - действительно универсальный закон живых систем.
Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказался цветок - толстянка Следовательно, действительно расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».
Из 13-ти человек, участвовавших в исследовании наименьшее отклонение от золотого сечения имеют 2 ученика.
ІV. Литература.
Ресурсы интернета:
http://d2-art.jimdo.com
http://images.yandex.ru
http://rustimes.com
http://www.goldenmuse.
http://netnotes.narod.ru
http://worldgenies.ru
http://ru.wikipedia.org
V. Приложения.
249555365125Приложение 1
Парфенон
Приложение 2

1966595259715Портрет Монны Лизы
Сосновая роща И. И. Шишкина
Приложение 3

Измерение длины листа

Измерение междоузлий
Приложение 4
Золотое сечение в мире насекомых
185420085725
-72517022225

Приложенные файлы


Добавить комментарий