Вневписанная окружност


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Исследовательская работа на тему:«Вневписанная окружность» Секция « математика»Выполнила:Маломагомедова Людмилаученица 9 классаМБОУ КИРОВСКАЯ СОШ Цель исследования: Показать применение свойств вневписанной окружности при решении задач ГИА и ЕГЭ. Определение. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон О А В С М N H Свойство 1.Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника Дано: АВСОкр. (О; r)М, N, К – точки касанияДоказать (1)Решение:Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д. А В С О К М N Свойство 2.Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ1 = АС1 = p Дано: АВСВневписанная окр. (Оа; ra )Доказать, чтоАВ1 = АС1 = pДоказательство:Т.к. Оа - центр вневписанной окружности. Касательные, прове -денные к окружности из одной точки, равны между собой,поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.Значит,2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1т.е. АВ1 = АС1 = p. Оа В1 ra ra ra А В С С1 А1 α/2 α/2 Теорема2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. ra = , rb = , rc = Дано: АВСВневписанная окр. (Оа ; ra)Доказать ra = , rb = , rc = Решение:ИмеемS = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = Ч (b + c – a) = raЧ (p – a), т.е. ra = А В С Оа p p В1 С1 b c ra ra ra Теорема3. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R Доказательство:Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:r = , R = , ra = , rb = , rc =Значит, ra + rb + rc – r = + + - = = = = = = 4R Теорема 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство:Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника:r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит, Теорема 5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. rarb + rbrc + rcra = p2 Доказательство:Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника:r = , ra = , rb = , rc = ПодставимИз формулы Герона следует(p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому Теорема 6. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. rarbrc = rp2 Доказательство:Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Геронаra = , rb = , rc = , Тогда Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp Ч p = Sp. Следовательно Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство:Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно, . Значит ЗАДАЧА №1(сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева) Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС.Решение: Сделаем чертеж к данной задачи. Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то –это вневписанная окружность. Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то AF-биссектриса угла ВАС, а AO – биссектриса угла CAD В А С O O F D ∆FAO – прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. АК – высота, проведенная к гипотенузе. AKІ=FK·KO, 5І=FK·7,5; FK=25:7,5=10/3/.FK – радиус вписанной в ∆АВС окружности, следовательно r = 10/3.Ответ: 10/3 К r ЗАДАЧА №2(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) В-16. «Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6.»Решение: Согласно следствию 2, произведение радиусов можно найти по формуле rarbrc = rp2. Где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р=4+5+6=15, р=15/2=7,5. r =S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =√р(p−a)(p−b)(p−a). S= √7,5(7,5-4)(7,5-5)(7,5 -6) = 3,75√7; r=3,75 √7 : 7,5=√7/2. Отсюда rarbrc =(√7/2) :(15/2)І =225 √7/8Ответ: 225 √7 8 ЗАДАЧА №3(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21.Решение: S=abc/4R ,следовательно abc=S·4R. 4R=ra+rb+rc-r; S=rarbrc/p; pІ=rarb+rarc+rbrc;pІ=9·18+9·21+18·21=27І; S=9·18·21/27=126; 4R=ra+rb+rc-r; r=ra·rb·rc/pІ; r=9·18·21/27І=14/3;4R = 9+18+21- 14/3 = 130/3; abc=126·130/7=5460Ответ: 5460 Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся при подготовке к итоговой аттестации. 3. Заключение.

Приложенные файлы


Добавить комментарий