Справочный материал для подготовки к ЕГЭ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ
Формулы сокращенного умножения
Квадрат суммы (а + в)2=а2 + 2ав + в2
Квадрат разности (а - в)2=а2 – 2ав + в2
Разность квадратов а2 - в2 = (а-в)(а+в)
Сумма кубов а3 + в3=(а + в)(а2 – ав + в2)
Разность кубов а3 – в3=(а - в)( а2 + ав + в2)
Куб суммы (а+в)3 = а3+3а2в +3ав2+в3
Куб разности (а-в)3 = а3-3а2в +3ав2-в3
Степени
а0=1, а≠0
а1 = а
а-n= 1аnamn = nam, m∈Z, n∈N.
ap· ar = ap+rap : ar = ap-r(ap)r= ap·r(ab)r = ar·br(ab)r = arbr(ab)-r = (ba)r
Корни
na = b a=bn ,b≥0, n∈N, a≥0
(а )2 = а, а≥0
а2 = а, а∈R(na )n = a, 2na2n = a, 2n-1a2n-1 = a
nab = na·nbnab = nanb . (na )p = napnma = nmana = nkankЕГЭ 2018
Квадратный трехчлен
f(x) = ax2 + bx + c – парабола, хв = - b2aD = b2 – 4ac – дискриминант
D<0 нет корней
D = 0 один корень, х = хв = - b 2aD>0 два корня х1,2 = - b±D2aax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
Теорема Виета
x2 + px + q = 0
если x1 + x2 = - p, x1·x2 = q, то х1,х2 – корни
Свойства логарифмов
logba = c a=bc, a>0; b>0; b≠1.
loga1= 0 logaa = 1 loga1a = - 1 blogba = a
logc(ab) = logca + logcblogcab=logca - logcblogcak=k logca logcka = 1k logcalogba=logcalogcb logba = 1logablognb · logmc = logmb · logncalognb = blognaПрогрессии
арифметическая геометрическая
Формула n-го члена an = a1+(n-1)·d bn=b1·qn-1
Сумма п первых членов Sn Sn=a1 + an2·n
Sn=2a1+n-1d2·n Sn=bnq- b1q-1Sn=b1(qn-1)q-1S=b11-qХарактеристическое свойство an=an+1 + an-12 bn2=bn+1·bn-1
Другие формулы d=an +amn-mbn:bm = qn-mТригонометрические функции
722630-19494500В
79375013271500
А С
sinА = ВСАВ; cosА= АСАВ ; tgА = ВСАС;
Основные тождества
sin2x + cos2x =1; tgx=sinxcosx; ctgx=cosxsinx;
1 + tg2x = 1cos2x; 1 + ctg2x = 1sin2x; tgx·ctgx = 1
Значения табличных углов:
00 300 450 600 900 1800 2700 3600
α 0 π6π4π3π2π 3π22π
sinα0 1222321 0 - 1 0
cosα1 3222120 - 1 0 1
tgα 0 331 3- 0 - 0
ctgα - 31 330 - 0 -
Периодичность
sinх+2π=sinх; cosх+2π=cosхtg(x+π)=tgx; ctg(x+π)=ctgx
Четность
cos-х= cosх; sin-х=- sinхtg(-x) = - tgx; ctg(- x)= - ctgx
Формулы сложения
cos(х+у)=cosхcosу - sinхsinу;
cos(х-у)=cosхcosу + sinхsinу;
sinх+у=sinхcosу + cosхsinу;
sinх-у=sinхcosу - cosхsinу;
tg(x+y)=tgx+tgy1-tgx·tgy; tg(x-y)=tgx+tgy1+tgx·tgy;
Формулы двойного угла:
cos2х=cos2x – sin2x; cos2х=2cos2x – 1;
cos2х=1 – 2sin2x; sin2x = 2sinxcosx
tg2x=2tgx1-tg2x
Формулы суммы
cosх + cosу = 2cosх+у2·cosх-у2 cosх - cosу = - 2sinх+у2·sinх-у2 sinx + siny=2sinx+y2·cosx-y2 sinx - siny=2sinx-y2·cosx+y2 tgx + tgy = sin(x+y)cosx·y tgx - tgy = sin(x-y)cosx·y Формулы преобразования произведения в сумму
cosх·cosу = 12(cosх-у + cosх+у) sinх·sinу = 12(cosх-у - cosх+у) sinх·sinу = 12(sinх+у+ sin(х-у)) Универсальная подстановка
cosх = 1- tg2x/2 1+ tg2x/2 ; sinx = 2tg2x/2 1+ tg2x/2 Уравнения
cosx = a, a≤1
x=±arccos a + 2πn, n∈Z sinx=a, a≤1
x = (-1)karcsin a + πk. k∈Z tgx = a, x=arctg a + πn, n∈Z. cosx = 0, x=π2 +πn,n∈Z. cosx =1, x=2πn,n∈Z. cosx= - 1, x=π+2πn,n∈Z. sinx =0, x=πn,n∈Z. sinx=1, x=π2 +2πn,n∈Z. sinx= - 1, x= 3π2 + 2πn, n∈Z.Таблица производных и интегралов:
Табличная производная Производная сложной функции Функция f(x) Первообразная F(x)
(C)1 = 0 k Kx+C
(X)1=1 (kx)1=k xn xn+1n+1 +C
(Xn)1 = nxn-1 (un)1=nun-1 u1 1xlnx +C
(cosx)1=- sinx (cosu)1=- sinu ·u1 cosx snx + C
(sinx)1= cosx (sinu)1= cosu ·u1 Sinx -cosx + C
(tgx)1=1cos2x(tgu)1=1cos2u ·u1 1cos2xtgx + C
(ctgx)1= - 1sin2 x(ctgu)1= - 1sin2 u ·u1 1sin2 x-ctgx + C
(ex)1=ex (eu)1=eu ·u1 ex ex + C
(ax)1=ax lna (au)1=au lna·u1 ax axlna + C
(lnx)1=1x(lnu)1=1u ·u1 (logax)1=1xlna(logau)1=1ulna ·u1 Физический смысл производной:
Скорость – производная пути от времени v(t) = s1(t).
ускорение – производная скорости по времени: a(t) = v1(t) = s11(t).
Геометрический смысл производной:
Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке: f1(x0) = tgα = k.
Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х0: у = f(x0) + f1(x0) ·(x-x0) ( y = kx + b )
ГЕОМЕТРИЯ
ТРЕУГОЛЬНИК
Теорема Пифагора a2 + b2 = c2
Теорема косинусов a2 = b2+c2 – 2ab cosA
Теорема синусов asinA = bsinB = csinC = 2R
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.
Радиус вписанной окружности r=2Sa+b+c.
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Радиус описанной окружности R= abc4S.Площадь треугольника: S=12ah, S=12absinC
Формула Герона S=pp-ap-b(p-c)ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
P=2a+2b S=ah S=absinα S=12d1d2sinγТрапеция Окружность и круг
S=a+b2 ·h С=2πR S=πR2
Объемы тел Площади
Vпар.=abc
Vприз.=Sосн.·h
Vцил.=Sосн.·h S=2πRh
Vкон.= 13Sосн.·h=13πr2h Sбок=πrl
Vпир.= 13Sосн.·h
Vш=43π·R3 Sсф.=4πR2
Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99
десятки Единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
sin(π2 ±α) = cosαcos(π2 – α) = sinαcos(π2 + α) = - sinαtg(π2 – α) = ctgα
tg(π2 + α) = - ctgα
sin(3π2 ±α) = - cosαcos(3π2 – α) = - sinαcos(3π2 + α) = sinαtg(3π2 – α) = ctgα
tg(3π2 + α) = - ctgα
sin(π+α) = - sinαsin(π- α) = sinαsin(2π+α) = sinαsin(2π-α) = - sinαcosπ+α= - cosαcosπ-α= - cosαcos2π+α= cosαcos2π-α= cosαtg(π+α) = tgα
tg(π – α) = - tgα
tg(2π-α) = - tgα
tg(2π + α) = tgα
Ни пуха, ни пера!
МБОУ «СОШ №4»
г. Мегиона ХМАО-Югры
Учитель математики
Магомедов Иосиф Маграмович

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ
Формулы сокращенного умножения
Квадрат суммы (а + в)2=а2 + 2ав + в2
Квадрат разности (а - в)2=а2 – 2ав + в2
Разность квадратов а2 - в2 = (а-в)(а+в)
Сумма кубов а3 + в3=(а + в)(а2 – ав + в2)
Разность кубов а3 – в3=(а - в)( а2 + ав + в2)
Куб суммы (а+в)3 = а3+3а2в +3ав2+в3
Куб разности (а-в)3 = а3-3а2в +3ав2-в3
Степени
а0=1, а≠0
а1 = а
а-n= 1аnamn = nam, m∈Z, n∈N.
ap· ar = ap+rap : ar = ap-r(ap)r= ap·r(ab)r = ar·br(ab)r = arbr(ab)-r = (ba)r
Корни
na = b a=bn ,b≥0, n∈N, a≥0
(а )2 = а, а≥0
а2 = а, а∈R(na )n = a, 2na2n = a, 2n-1a2n-1 = a
nab = na·nbnab = nanb . (na )p = napnma = nmana = nkankЕГЭ 2018
Квадратный трехчлен
f(x) = ax2 + bx + c – парабола, хв = - b2aD = b2 – 4ac – дискриминант
D<0 нет корней
D = 0 один корень, х = хв = - b 2aD>0 два корня х1,2 = - b±D2aax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
Теорема Виета
x2 + px + q = 0
если x1 + x2 = - p, x1·x2 = q, то х1,х2 – корни
Свойства логарифмов
logba = c a=bc, a>0; b>0; b≠1.
loga1= 0 logaa = 1 loga1a = - 1 blogba = a
logc(ab) = logca + logcblogcab=logca - logcblogcak=k logca logcka = 1k logcalogba=logcalogcb logba = 1logablognb · logmc = logmb · logncalognb = blognaПрогрессии
арифметическая геометрическая
Формула n-го члена an = a1+(n-1)·d bn=b1·qn-1
Сумма п первых членов Sn Sn=a1 + an2·n
Sn=2a1+n-1d2·n Sn=bnq- b1q-1Sn=b1(qn-1)q-1S=b11-qХарактеристическое свойство an=an+1 + an-12 bn2=bn+1·bn-1
Другие формулы d=an +amn-mbn:bm = qn-mТригонометрические функции
722630-19494500В
79375013271500
А С
sinА = ВСАВ; cosА= АСАВ ; tgА = ВСАС;
Основные тождества
sin2x + cos2x =1; tgx=sinxcosx; ctgx=cosxsinx;
1 + tg2x = 1cos2x; 1 + ctg2x = 1sin2x; tgx·ctgx = 1
Значения табличных углов:
00 300 450 600 900 1800 2700 3600
α 0 π6π4π3π2π 3π22π
sinα0 1222321 0 - 1 0
cosα1 3222120 - 1 0 1
tgα 0 331 3- 0 - 0
ctgα - 31 330 - 0 -
Периодичность
sinх+2π=sinх; cosх+2π=cosхtg(x+π)=tgx; ctg(x+π)=ctgx
Четность
cos-х= cosх; sin-х=- sinхtg(-x) = - tgx; ctg(- x)= - ctgx
Формулы сложения
cos(х+у)=cosхcosу - sinхsinу;
cos(х-у)=cosхcosу + sinхsinу;
sinх+у=sinхcosу + cosхsinу;
sinх-у=sinхcosу - cosхsinу;
tg(x+y)=tgx+tgy1-tgx·tgy; tg(x-y)=tgx+tgy1+tgx·tgy;
Формулы двойного угла:
cos2х=cos2x – sin2x; cos2х=2cos2x – 1;
cos2х=1 – 2sin2x; sin2x = 2sinxcosx
tg2x=2tgx1-tg2x
Формулы суммы
cosх + cosу = 2cosх+у2·cosх-у2 cosх - cosу = - 2sinх+у2·sinх-у2 sinx + siny=2sinx+y2·cosx-y2 sinx - siny=2sinx-y2·cosx+y2 tgx + tgy = sin(x+y)cosx·y tgx - tgy = sin(x-y)cosx·y Формулы преобразования произведения в сумму
cosх·cosу = 12(cosх-у + cosх+у) sinх·sinу = 12(cosх-у - cosх+у) sinх·sinу = 12(sinх+у+ sin(х-у)) Универсальная подстановка
cosх = 1- tg2x/2 1+ tg2x/2 ; sinx = 2tg2x/2 1+ tg2x/2 Уравнения
cosx = a, a≤1
x=±arccos a + 2πn, n∈Z sinx=a, a≤1
x = (-1)karcsin a + πk. k∈Z tgx = a, x=arctg a + πn, n∈Z. cosx = 0, x=π2 +πn,n∈Z. cosx =1, x=2πn,n∈Z. cosx= - 1, x=π+2πn,n∈Z. sinx =0, x=πn,n∈Z. sinx=1, x=π2 +2πn,n∈Z. sinx= - 1, x= 3π2 + 2πn, n∈Z.Таблица производных и интегралов:
Табличная производная Производная сложной функции Функция f(x) Первообразная F(x)
(C)1 = 0 k Kx+C
(X)1=1 (kx)1=k xn xn+1n+1 +C
(Xn)1 = nxn-1 (un)1=nun-1 u1 1xlnx +C
(cosx)1=- sinx (cosu)1=- sinu ·u1 cosx snx + C
(sinx)1= cosx (sinu)1= cosu ·u1 Sinx -cosx + C
(tgx)1=1cos2x(tgu)1=1cos2u ·u1 1cos2xtgx + C
(ctgx)1= - 1sin2 x(ctgu)1= - 1sin2 u ·u1 1sin2 x-ctgx + C
(ex)1=ex (eu)1=eu ·u1 ex ex + C
(ax)1=ax lna (au)1=au lna·u1 ax axlna + C
(lnx)1=1x(lnu)1=1u ·u1 (logax)1=1xlna(logau)1=1ulna ·u1 Физический смысл производной:
Скорость – производная пути от времени v(t) = s1(t).
ускорение – производная скорости по времени: a(t) = v1(t) = s11(t).
Геометрический смысл производной:
Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке: f1(x0) = tgα = k.
Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х0: у = f(x0) + f1(x0) ·(x-x0) ( y = kx + b )
ГЕОМЕТРИЯ
ТРЕУГОЛЬНИК
Теорема Пифагора a2 + b2 = c2
Теорема косинусов a2 = b2+c2 – 2ab cosA
Теорема синусов asinA = bsinB = csinC = 2R
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.
Радиус вписанной окружности r=2Sa+b+c.
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Радиус описанной окружности R= abc4S.Площадь треугольника: S=12ah, S=12absinC
Формула Герона S=pp-ap-b(p-c)ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
P=2a+2b S=ah S=absinα S=12d1d2sinγТрапеция Окружность и круг
S=a+b2 ·h С=2πR S=πR2
Объемы тел Площади
Vпар.=abc
Vприз.=Sосн.·h
Vцил.=Sосн.·h S=2πRh
Vкон.= 13Sосн.·h=13πr2h Sбок=πrl
Vпир.= 13Sосн.·h
Vш=43π·R3 Sсф.=4πR2
Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99
десятки Единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
sin(π2 ±α) = cosαcos(π2 – α) = sinαcos(π2 + α) = - sinαtg(π2 – α) = ctgα
tg(π2 + α) = - ctgα
sin(3π2 ±α) = - cosαcos(3π2 – α) = - sinαcos(3π2 + α) = sinαtg(3π2 – α) = ctgα
tg(3π2 + α) = - ctgα
sin(π+α) = - sinαsin(π- α) = sinαsin(2π+α) = sinαsin(2π-α) = - sinαcosπ+α= - cosαcosπ-α= - cosαcos2π+α= cosαcos2π-α= cosαtg(π+α) = tgα
tg(π – α) = - tgα
tg(2π-α) = - tgα
tg(2π + α) = tgα
Ни пуха, ни пера!
МБОУ «СОШ №4»
г. Мегиона ХМАО-Югры
Учитель математики
Магомедов Иосиф Маграмович