Практическое занятие: Показательные уравнения с параметрами.


Практическое занятие:
Показательные уравнения с параметрами
«Уравнения – это золотой ключ, открывающий
все математические сезамы»
С. Коваль
Цели занятия:
Образовательные: познакомить учащихся с аналитическими методами решения показательных уравнений с параметрами.
Развивающие: развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли.
Воспитательные: воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.
Ход занятия.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи постоянно предлагаются на едином государственном экзамене.
Решение уравнений с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.
Сегодня мы поговорим о решении показательных уравнений с параметрами. Рассмотрим три типа уравнений:
Уравнения, которые необходимо решить для любого значения параметра.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени.
Уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения имеют заданное число решений.
Реализация принципа доступности предполагает выполнение следующих условий – дидактических правил:
Следовать в обучении от простого к сложному;
От простого к трудному;
От известного к неизвестному.
Все наше занятие будет идти от простого к сложному.
Для лучшего восприятия способа решений показательных уравнений I типа рассмотрим некоторые эквивалентности.
Уравнение h(x)f(x)=h(x)g(x) при h(x)>0 равносильно совокупности двух систем
hx=1x∈D(f)∩D(g) и fx=g(x)hx>0, h(x)≠1.
В частном случае hx=a уравнение af(x)=ag(x) при a>0 равносильно совокупности двух систем
a=1x∈D(f)∩D(g)иfx=g(x)a>0, a≠1.
Уравнение af(x)=b, где a≠1, b>0, равносильно уравнению f(x)= logab.
Задача1.
Решить уравнение 144-2x-1-2∙12-2x-1+a=0.
Решение.
Обозначая 12-2x-1 за t, исходное уравнение приведем к виду t2-2t+a=0, корни которого t1,2=1±1-a (a≤1). При a=1 t1=t2=1, а уравнение 12-2x-1=1⇔2x-1=0⇔x=12 .
Так как 0<t=12-2x-1≤1, то t2=1+1-a∉0;1при a<1. Решая неравенство0<t1=1-1-a≤1 ⇔0≤1-a<1⇔0<a≤1, получим, что 12-2x-1=1-1-a⇔-2x-1=log121-1-a, откуда
x=12(1±log12(1-1-a)) при 0<a≤1.
Ответ: решений нет при a∈-∞;0∪1; +∞; x=12(1±log12(1-1-a)) при 0<a≤1, x=12 при a=1.
Задача 2.
В зависимости от значений параметра а из полуинтервала (0; 1] решить уравнение (1+a22a)x-(1-a22a)x=1Решение.
Рассмотрим случай 0<a<1. Полагая a=tgz, где 0<z<π4, и замечая, что
1+tg2z2tgz=1cos2z∙12∙coszsinz=1sin2z.
1-tg2z2tgz=cos2zsin2z.
Исходное уравнение перепишем в виде
(1sin2z)x-(cos2zsin2z)x=1, (sin2z)x+(cos2z)x=1.
Это уравнение имеет очевидное решение х=2. Покажем, что других решений оно не имеет. Действительно, так как при каждом фиксированном значении x∈(0;π4) как cos2z, так и sin2z положительны и меньше 1, то по одному из свойств показательной функции при x>2 справедливы неравенства (cos2z)x<(cos2z)2, (sin2z)x<(sin2z)2.
Складывая эти неравенства, получаем
(cos2z)x+(sin2z)x<1.
Если же x<2, то придем к неравенству (cos2z)x+(sin2z)x>1.
Пусть теперь a=1. В этом случае уравнение перепишется в виде 1x-0x=1. Здесь решением является любое x>0.
Ответ: если 0<a<1, то x=2;если a=1, то x>0.II тип уравнений
Очень часто в задачах требуется установить, при каких а уравнение имеет решения или не имеет их. Рассмотрим несколько примеров.
Задача 3.
При каких а уравнение имеет решения?
a-14x-4∙2x+a+2=0.
Решение.
Полагая 2x=t , уравнение a-14x-4∙2x+a+2=0 (1) приводим к виду
ft=a-1t2-4t+(a+2). Уравнение (1) будет иметь хотя бы одно решение, если уравнение ft=0 будет иметь хотя бы одно положительное решение. Это возможно в следующих случаях:
a=1. Уравнение ft=0 имеет единственное решение t=34>0.
Корни уравнения ft=0 имеют противоположные знаки. Значения a находим из условия a-1f0<0⇔a-1a+2<0⇔a∈-2;1. Если один из корней равен о (при a = -2), то второй корень t=-43, т. е. значение a = -2 условию задачи не удовлетворяет.
Оба корня уравнения положительны. Значения a находим из системы
t0>0D>0a-1f(0)>0⇔2a-1>04-a+2a-1>0⇔a∈(1;2)a-1(a+2)>0Корни уравнения совпадают. D=0, a=-2, a=2. При a=-2 t=-12<0, а при a=2 t=2>0/
Объединяя все найденные значения a, получим
Ответ: a∈(-2;2]Задача 4.
Найти все действительные значения параметра в, при которых уравнение имеет решения
36x2+33x2+3-3b=5-9∙3-3x2+1-3-6x2Решение.
Запишем уравнение в виде
36x2+3-6x2+27∙33x2+3-3x2-3b-5=0Примем 33x2+3-3x2=y. Определим множество значений переменной y.33x2≥1.
Воспользуемся неравенством Коши: для любых неотрицательных a и b справедливо неравенство: a+b2≥ab.
Тогда z+1z≥2 ,z>0 .
Получаем, что 33x2+3-3x2≥2, y≥2.
36x2+3-6x2=y2-2.
Уравнение имеет вид: y2+27y-3b-7=0.
Осталось выяснить, при каких b уравнение y2+27y-3b-7=0 имеет хотя бы один корень, больший или равный двум.
Решим противоположную задачу: «Найти , при каких значениях параметра b уравнение не имеет корней».
Это возможно в двух случаях:
D<0. b<-63112D>0yв<2f(2)>0⇔b<17Итак, при b<17 решений нет, значит, при b≥17 уравнение имеет хотя бы одно решение.
Ответ: b≥17III тип уравнений.
Рассмотрим несколько примеров на определение значений параметра, при которых уравнение имеет единственное решение, три различных решения , два уравнения равносильны.
Задача 5
При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?
(x2-3ax+8+x2-3ax+6)x+(x2-3ax+8-x2-3ax+6)x=2(2)xРешение.
Сначала упростим левую часть уравнения. Замечаем, что
(x2-3ax+8-x2-3ax+6)x=2x(x2-3ax+8+x2-3ax+6)x.
Пусть t=(x2-3ax+8+x2-3ax+6)x, t>0.
Тогда уравнение примет вид
t+2xt=2∙2x2 ⇔(t-2x2)2=0⇔t=2x2 ⇒
(x2-3ax+8+x2-3ax+6)x=2x2⇔
⇔x∙lgx2-3ax+8+x2-3ax+6=x∙lg2⇔
x=0x2-3ax+8+x2-3ax+6=2 .
Мы видим, что при любом значении параметра a есть решение x=0, поэтому для единственности решения уравнения необходимо и достаточно, чтобы второе уравнение совокупности не имело решений.
ОДЗ (): x2-3ax+6≥0Если x2-3ax+6>0, то x2-3ax+8+x2-3ax+6>2 Если x2-3ax+6=0, то x2-3ax+8+x2-3ax+6=2 Заданное уравнение имеет единственное решение (x=0 является решением данного уравнения при любом a), если уравнение x2-3ax+6=0 не имеет решений. Что имеет место тогда и только тогда, когда D<0, 9a2-24<0, a∈(-263;263)Ответ: a∈(-263;263).
Задача 6
При каких значениях параметра a уравнение
16x-3∙23x+1+2∙4x+1-4-4a∙2x-1-a2+2a-1=0 имеет три различных корня?
Решение.
Пусть 2x=t, t>0, тогда данное уравнение приводится к виду:
t4-6t3+8t2+2a-1t-(a-1)2=0 ⇔(t2-3t)2-(t-a-1)2=0⇔⇔t2-2t-a+1t2-4t+a-1=0.
Задача сводится к нахождению трех положительных корней из двух квадратных уравнений.
t2-2t-a+1=0 1 или t2-4t+a-1=0 (2).
Это возможно в двух случаях:
Уравнение (1) имеет два положительных корня, а уравнение (2) имеет один положительный корень.
Уравнение (2) имеет два положительных корня, а уравнение (1) имеет один положительный корень.
1 случай.
t2-2t-a+1=0 1.
D=a, t1,2=1±a, xв=1.
Два положительных корня, еслиf(0)>0xb>0D>0⇔a<1a>0⇔a∈(0;1).
t2-4t+a-1=0 (2).
D=5-a, t1,2=2±5-a, xb=2Один положительный корень, если f0<0,a-1<0,a<1.
Пересекая полученные значения параметра a, получаем, что при a∈(0;1) исходное уравнение будет иметь 3 различных положительных корня.
2 случай.
t2-2t-a+1=0 1.
D=a, t1,2=1±a, xв=1Один положительный корень, если f0<0, -a+1<0, a>1.
t2-4t+a-1=0 (2).
D=5-a, t1,2=2±5-a, xb=2Два положительных корня, если f(0)>0xb>0D>0⇔a-1>05-a>0⇔a>1a<5⇔a∈(1;5)Проверим, не совпадают ли корни, при a∈(1;5).
1+a=2+5-a, a=4.Значит, a∈1;4∪(4;5).
Объединяя значения параметра, имеем a∈(0;1)∪1;4∪(4;5).
Ответ: a∈(0;1)∪1;4∪(4;5).
Задача 7
Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
(5-26)x+(5+26)x-5a=y-y-8,x2-a-4y=0 имеет единственное решение.
Решение.
Заметив, что 5-26=15+26, перепишем систему
1(5+26)x+(5+26)x-5a=y-y-8,x2-a-4y=0.
Теперь видно, что если (x0;y0) - решение, то (-x0;y0) - также решение.
Если x0≠-x0, то решений будет два, а нас интересует случай, когда решение единственно, т. е., когда x0=-x0⇔x0=0. Найдем все a, при которых x=0 является решением, т. е.
2-5a=y-y-8a-4∙y=0⇔y=0-5a=-10a=4y-y=-10⇔y=0a=2a=4y=-5.
Проверим, нет ли других решений при этих a.
Если a=2, то система имеет вид 1(5+26)x+(5+26)x=y-y+2,x2+2y=0y=-x22≤0⇒y-y+2=2y=2≤2.
1(5+26)x+(5+26)x≥2 при любых х, и 1(5+26)x+(5+26)x=2 тогда и только тогда, когда (5+26)x=1⇔x=0, а тогда y=0 - решение единственно.
Если a=4, то система имеет вид
1(5+26)x+(5+26)x=y-y+12,x2=0⇔y-y+10=0x=0⇔y=-5x=0.
Опять решение единственное.
Ответ: a=2, a=4.
Задача 8.
При каких a равносильны уравнения
4x+1+2x+4=2x+2+16 (1) и a-9∙3x-2+a∙9x-1=1? (2)
Решение.
Уравнение (1) сводится к квадратному уравнению t2+3t-4=0, t=2x, x=0.
Подставляя x=0 в уравнение (2), получим 19a-9+19∙a=1⇔a-9=-a-9,a≤9.
Исследуем полученные значения a.
При a≤9 уравнение (2) принимает вид ay2+9-ay-9=0, y=3x.
Если a=0, то y=1, 3x=1, x=0. Уравнение (2) имеет единственное решение x=0, следовательно, при a=0 уравнения равносильны.
При a≠0 корни квадратного уравнения ay2+9-ay-9=0,y1=1, y2=-9a.
Если a∈(0;9], то уравнение 3x=-9a решений не имеет, множества решений уравнений (1) и (2) совпадают (х=0), уравнения равносильны.
При a∈-∞;-9∪-9;0 уравнение (2) кроме x=0 имеет решение
3x=-9a ⇔x=log3(-9a), поэтому уравнения не равносильны.
При a= -9 y1=y2=1 , уравнение (2) имеет единственное решение x=0 и уравнения (1) и (2) равносильны.
Ответ: a∈-9∪[0;9].
Закончить занятие мне хотелось бы притчей. Наверняка вы её неоднократно слышали. “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.” “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам надо взять свои знания и применить их на практике. Решать, решать и решать.

Приложенные файлы

  • docx file1.doc
    Практическое занятие: Показательные уравнения с параметрами.
    Размер файла: 40 kB Загрузок: 3