Методическая разработка практического занятия в 11 классе по теме: «Решение неравенств с параметрами координатно-параметрическим методом»


Методическая разработка
практического занятия в 11 классе по теме: «Решение неравенств с параметрами координатно-параметрическим методом»
Шарова Светлана Геннадьевна
МБОУ «Гимназия» городского округа Г. Урюпинск Волгоградской области
I. Общеобразовательная (нормативная) цель (на этапе подготовки к ЕГЭ): повторить и закрепить функционально - графические методы решения задач с параметрами, приемы решения задач с параметрами функционально – графическим методом в координатной плоскости (хоа).
ΙΙ. Задачи математического развития учащихся: на нестандартном учебно-математическом материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению, к алгебраическому и образно-графическому мышлению, к содержательному обобщению и конкретизации.
III. Воспитательные задачи: продолжить личностно ориентированное воспитание у школьников познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга.
Ход занятия:
I этап. Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса учащихся при подготовке к единому государственному экзамену.
Сложность решения задач с параметрами заключается в том, что существует очень много методов их решения. Зачастую приходится подбирать метод под конкретную задачу. И чем больше методов вы знаете, тем проще вам будет ориентироваться в выборе. Есть задачи, которые принципиально решаются только аналитическими методами, и есть задачи, в которых проще использовать графические иллюстрации.
Очень эффективными бывают функционально – графические методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств в координатных плоскостях ХОУ и ХОА. Сегодня мы остановимся на решении неравенств, систем неравенств и комбинированных неравенств координатно – параметрическим методом.
В чем состоит основная идея решения неравенств с параметром в координатной плоскости ХОА?

Каков алгоритм решения неравенств в координатной плоскости ХОА?
1.    Находим область определения данного неравенства.
2.    Сводим неравенство к уравнению.
3.    Выражаем a как функцию от х.
4.    В системе координат ХОА строим графики функций a = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
5.    Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6.    Исследуем влияние параметра на результат.
      найдём абсциссы точек пересечения графиков.
      зададим прямую a = const  и будем сдвигать её от -∞ до +∞
II этап. Решение задач.
Задача №1
В зависимости от значений параметра a решить неравенство
Решение.
Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
х≤02х+a≥0,x≥02x+a≥x2Построим на координатной плоскости xoa область, где х≤0 и a≥-2x
Построим на координатной плоскости xoa область, где x≥0 и a≥x2-2x
Объединим полученные решения.

Ось a точками -1, 0 разбита на три области, на каждой из которых легко выписывается решение. Для этого берем a на соответствующем участке, проводим горизонтальную прямую, находим значения х, соответствующие концам отрезков этой прямой, попавших в заштрихованную зону.
Для того чтобы записать решение решим уравнения:
x2-2х-a=0, D1=1+a, x1,2=1±1+aa=-2x, x=-a2.
Ответ: при a<-1, ∅-1≤a≤0 xϵ1-1+a;1+1+a.
a>0 xϵ-a2;1+1+a.
Задача №2
При любом значении параметра a решить неравенство logx2(x-a)>1.
Решение. Для решения данного неравенства вспомним метод рационализации неравенств.
Прием рационализации заключается в замене сложного выражения F(x;y) на более простое выражение G(x;y), при которой неравенство G(x;y) v 0 равносильно неравенству F(x;y) v0 в области определения выражения F(x;y).

Данное неравенство logx2(x-a)>1равносильно системе:
x2>0x2≠1x-a>0x2-1(x-a-x2)>0x≠0x≠±1a<xx-1x+1(x-a-x2)>0Рассмотрим плоскость xoa и изобразим на ней множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств.
ax=x-x2, a|=1-2x=0, x=0,5, a=0,25
Ось a точками -2, -1, 0, 0,25, 1 разбита на шесть участков, на каждом из которых легко выписывается решение неравенства. Для этого берем a на соответствующем участке, проводим горизонтальную прямую, находим значения х, соответствующие концам отрезков этой прямой, попавших в заштрихованную зону.
x2-x+a=0, D=1-4a. x1,2=1±1-4a2.
Ответ:a<-2 xϵ 1-1-4a2;-1∪(1;1+1-4a2)a=-2 xϵ1;1+1-4a2.
-2<a<-1 xϵ-1;1-1-4a2∪1;1+1-4a2.
-1≤a<0 xϵa;1-1-4a2∪1;1+1-4a2.
a=0 решений нет.
0<a≤14 xϵa;1-1-4a2∪1+1-4a2;1.
14<a<1 xϵa;1.
a≥1 решений нет.
Задача №3
При каких значениях параметра a система x2-4a-1x+3a2-a<0,ax=4 имеет решение?
Решение:
x2-4a-1x+3a2-a=0. D= (2a-1)2. x1=3a-1. x1=a.
x-3a-1x-a<0.
Изобразим в координатной плоскости xoa решение данного неравенства. a=x+13 a=x.

Точки, координаты которых удовлетворяют системе,- общие для неравенства и уравнения. Найдем a для точек A и C, B и D.
Для точек A и C: a=x+13, ax=4; x=3a-1,a3a-1=4; 3a2-a-4=0;a=-1 ,a=43Для точек B и D: a=x,ax=4; a2=4, a=±2Ответ: a ϵ -2;-1∪43;2Задача №4. Найдите, при каких значениях параметра a имеет решение система
x2-4x+a2-21=0,x2-4a-3x+3a2-3a≤0x+a≥4,Решение:
Первое уравнение системы задает окружность (x-2)2+a2=25, с центром (2;0) и радиусом 5. Второе неравенство системы можно записать в виде x-3a+3x-a≤0.
Точки, координаты которых удовлетворяют второму неравенству системы,- это углы, ограниченные прямыми a=x+33 , a=x.
Уравнение x+a=4 на плоскости xoa задает квадрат. Решением неравенства служат координаты точек, расположенных вне квадрата. Точки, координаты которых удовлетворяют системе,- общие для неравенств и уравнения.

Найдем a для точек А ,С, В ,D.
Для точки A: (x-2)2+a2=25-x-a=4, a=-6+142Для точки B: a=x,(x-2)2+a2=25 , a=2-462Для точки D: a=x+33(x-2)2+a2=25, a=3Для точки C: a=x,(x-2)2+a2=25 , a=2+462Ответ: a∈2-462;-6+142∪3;2+462.
Задача №5
Найти все значения a, при которых область определения функции
y=ax+0,5+xa4-x0,5+xlogxa-a4,50,5 cодержит ровно одно целое число.
Решение.
Из определения логарифма следует, что a>0, x>0, x≠1.
Упростим выражение, стоящее в основании степени.
ax+0,5+xa4-x0,5+xlogxa-a4,5== ax+0,5-a4,5+x0,5a4-x0,5ax== a0,5ax-a4-x0,5ax-a4=a0,5-x0,5ax-a4.
Из условия имеем a0,5-x0,5ax-a4≥0.
Применяем метод рационализации.

Получим:
a-1x-4a-x∙0,5≥0 или a-1x-4x-a≤0.

При 0<a≤1 x∈4;∞) содержит бесконечное множество целых чисел, т. е. a∈0;1 не удовлетворяет условию задачи.
При a∈1;4 решение имеет вид x∈a;4. Если 3<a<4,то отрезок a;4 содержит одно целое число 4.
При a=4 решение x=4.
При a∈4;∞ решение имеет вид x∈4;a,которое содержит одно целое число 4 при условии 4< a<5.
Объединим полученные значения параметра a. a∈3;5Ответ: a∈3;5III этап.
Итак, сегодня мы рассмотрели различные задачи с параметрами, для решения которых можно применить координатно – параметрический метод.
Первый шаг всегда самый сложный, нужно увидеть какие преобразования выполнить, какой метод или способ выбрать. Все это достигается через огромный труд и тренировку.
«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Д. Пойя.
Моя цель – показать использование наиболее рациональных подходов к решению различных типов задач с параметрами.
Следующие наши занятия мы посвятим аналитическим методам. Потому, что не все задачи можно решить графически.

Приложенные файлы

  • docx file1doc
    Методическая разработка практического занятия в 11 классе по теме: «Решение неравенств с параметрами координатно-параметрическим методом»
    Размер файла: 352 kB Загрузок: 10