Презентация к уроку в 11 классе «Площади и объемы»


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Площади и объемыУчитель: Шарова Светлана Геннадьевна,МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская областьУчимся решать стереометрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание №14.1 ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫПлощадь сечения многогранника.Площадь поверхности многогранника.Объем многогранника.2 Задача 1.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6, а высота 4. Точки K,P,M середины ребер AB,BC,SD.Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K,M,P.Найдите площадь этого сечения.Решение.a)SLMNCROYBPAKTDL1M1N1KP∩AD = T, KP∩DC = R, MR∩SC = L, MT∩AS=N, NMLPK – искомое сечение b) Проекция NMLPK на плоскость основания пирамиды - пятиугольник N1M1L1PK α - угол между плоскостями сечения и проекции643


















SLMNCROYBPAKTDL1M1N1α = ∠MYM1 1. BD = , M1Y = DO = 0,5DB=MM1= 0,5∙SO = 2SDCMLRE2. ME ║ SC,ME = 0,5∙ SC, LC = 0,5∙ ME = ¼∙SC SOCLL1L1C:OC = 1:4644














ADCBOyM1L1N1KPL1N1 =2∙OL1= 2∙(OC-L1C)=2∙(OC-1/4∙OC) = 3/2∙OCL1N1 Ответ: 5 Задача 2.В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На стороне CC1 взята точка K так, что CK : KC1 = 1:4, а на ребреA1C1 взята точка M так, что A1M:MC1 = 1:2.Определите, в каком отношении плоскость BKM делит ребро A1B1 призмы.Найдите площадь сечения призмы плоскостью BKM.Решение. A1MKDC1BANB1TCD1M11. MK∩ AC=T, MK∩AA1=N2. NB∩A1B1 = D3.MDBK - искомое сечение4. MC1K – прямоугольный и равнобедренный (MC1=C1K = 4 )5. ∠KMC1=450 ⇒∠A1MN = 4506. A1N =A1M = 2 (из прямоугольного равнобедренного треугольника A1NM)7. ∆A1ND~∆ANB ⇒ k = A1N:AN = 2:7568. ТогдаA1D:AB = 2:7 ⇒ A1D:DB1 = 2:5 b) HM1D1BC – проекция MDBC на плоскость ABCα =∠KHC (CH⊥ BT)6

















MKDC1BANB1CD1M156HT∆KCT: ∠С= 900, KC= CT = 1BCTH161200A1Ответ: 7










Задача 3.Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD вершиной в точке P. Через точку С и середину ребра AB перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость α.Докажите, что плоскость α делит ребро BP в отношении 2:1, считая от точки B.Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если известно, что PA = 10, AC = 16.Решение.ADCBPMOENПусть M – середина AB, CM∩BD = E. Так как PO⊥(ABC) и α⊥(ABC), то α║PO. Значит, α∩ (PBD) = NE, NE║PO. Сечение NCM –искомое. POABCDMEK∆ MBE~∆KOE⇒ OE:BE=OK:MB , OK=OP-KP=½AB-½MB =½MBТаким образом, OE:BE = 1:2По теореме о пропорциональных отрезках OE:BE = PN:NB.Значит, BN:NP = 2:1.b) 1016Ответ: 8


















Задача 4.В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K – середина ребра C1D1 , точка P- середина ребра AD, точка M – середина ребра CC1.Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K,P,M. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно 6.Решение.ABCDD1C1B1A1MPKENLFKM ∩ DC = E, KM ∩ DD1 =NEP ∩ BC = FNP∩ A1D1 = LFMKLP – искомое сечение96









ABCDD1NKMC1B1A1PFHELb) 1. CH ⊥PE (построение), MH⊥PE (по теореме о трех перпендикулярах)α = ∠MHC2. ∆ EMC = ∆KMC1⇒EC=C1K=½C1D1 =3∆MC1K=∆ND1K⇒ND1 = MC1 =½DD1=3∆ECF~∆EDP, k = EC:ED = 1:3, CF = ⅓PD = 1∆ND1L~∆NDP, k=⅓, D1L = 1∆ECF: ∠С = 90⁰, СH⊥EF, (метод площадей)1066








ABCDNKMC1B1A1PFHELL1K1Проекция сечения LKMFP на плоскость (ABC) – есть пятиугольник CK1L1PFABCDL1PK1F331351Ответ:11














Задача 5Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60⁰.Докажите, что существует точка О, одинаково удаленная от всех граней пирамиды (центр вписанной сферы).Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.Решение.SHCDMQPNBAO9944Пусть SN,SP,SQ,SM – апофемы граней ABS, BCS,DCS,ADC соответственно.Тогда по теореме о трех перпендикулярах HN⊥AB, HP⊥BC,HQ⊥DC, HM⊥AD, H – проекция вершины пирамиды на плоскость основания. ∆NHS =∆PHS=∆QHS =∆MHS (по катету и острому углу), то HN=HP=HQ=HM, то есть H – точка основания, равноудаленная от всех его сторон (центр вписанной окружности)Плоскости MHS и ADS перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей, значит любой перпендикуляр плоскости MHS к линии пересечения плоскостей, перпендикулярен ADS. Аналогично с остальными парами плоскостей.Возьмем на прямой HS такую точку O, что OH=OT, где OT⊥MS. Имеем, что О равноудалена от всех граней пирамиды, т. е. является центром вписанной сферы. 12T


SHCMPNBO99441. Так как H – центр вписанной окружности в основание пирамиды, то по свойству отрезков касательных (с учетом того, что трапеция равнобедренная) BP=PC=CQ=NB. AM=MD=AN=DQ.b)ADQABCDPMQN99994444H12Высота трапеции MHS60⁰OTMS = 2MHОтвет: 46813
























Задача 6.Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом arccos0,6. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60⁰.Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).Найдите объем данной пирамиды.Решение.SABCDHMa) Так как каждое ребро пирамиды наклонено под одним углом к основанию, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности вокруг основания. Это следует из равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу) с общим катетом SH и гипотенузами – ребрами пирамиды.Все точки прямой SH равноудалены от вершин основания. Поэтому достаточно выбрать такую точку M на прямой SH, что, например, SM=MA.Итак, M – центр описанной сферы около пирамиды SABCDb) Трапеция ABCD – равнобедренная, так как вокруг нее можно описать окружность14

SABDHMABCDHKL799arccos0,6∆ABK: cosA =AK:AB; 0,6 = 9:AB; AB = 15∆BDK: Окружность, описанная около трапеции ABCD – окружность, описанная около ∆ ABDПо теореме синусов радиус R =AH = ∆ASH: 60⁰Ответ: 15C






Задача 7В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB =8, BC = 6, косинус угла между прямыми BD и AC1 равен 0,14.Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B и D параллельно прямой AC1. Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.Решение.ABCDOKC1B1D1A186a) BD∩ AC = O, OK║ AC1 ∆BKD – искомое сечениеOK║ AC1 ⇒∠(AC1;BD) = ∠(OK;BD) Меньшим углом при пересечении прямых BD,OK будет ∠KOB (угол KOD – тупой (|DK|>|BC|))cos ∠(AC1;BD)=cos ∠KOB = 0,14 16





ABCDOKC1B1D1A186b)HCH⊥BD⇒KH⊥BD (по теореме о трех перпендикулярах)∆ DCB: ∠С = 90⁰, CH -высота⇒ ( метод площадей)∆ COH: ∠H = 90⁰∆KOH: ∠H =90⁰, cosα=0,14α∆ OKC: ∠С = 90⁰, Ответ: 17












Задача 8.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = BC = 8, BB1 =6. Точка K- середина BB1 ,точка P - середина C1D1 . Найдите: Площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD1 ;Объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.Решение.ABCDC1D1B1A1KPEL886Плоскость сечения пересечет плоскость BD1B1 (в которой лежит BD1) по прямой (содержащей точку K), параллельной BD1 , так как BD1 по условию параллельна плоскости сечения. KE║BD1 , E- середина B1D1. PE∩A1B1 =L.Соединяем LKПроводим в плоскости DCC1 через точку P прямую , параллельную LK (параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым). TLPTK – искомое сечение.LPTK –прямоугольник, так как LP║ A1D1 (P – середина D1C1 по условию, E – центр A1B1C1D1 ), A1D1 ⊥ AA1B1 , то есть A1D1⊥LK. LP = 8, PT = 18









ABCDC1D1B1KPEL886Tb)Ответ: a) 40; b) 336.19 Задача 9.Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A и C параллельно прямой BD1 Найдите отношение объемов многогранников, на которые делит параллелепипед эта плоскость.Решение.ABCDLMB1C1D1A1a) AC∩BD = LLM║ BD1 , M – середина DD1 ∆ AMC - искомое сечениеb) Построенное сечение отсекает от прямоугольного параллелепипеда пирамиду ACDMОтвет: 1120






Задача 10В правильной треугольной пирамиде PABC M – точка пересечения медиан грани PBC.Докажите, что прямая AM делит высоту PO пирамиды в отношении 3:1, считая от точки P.Найдите объем многогранника с вершинами в точках A, B, M, P, если известно, что AB = 12, PC = 10.Решение.ABCPOMQFE1012a) MF║POMQ: PM = FQ: OF (теорема о пропорциональных отрезках)PM: MQ = 2:1 (свойство медиан)FQ:OF = 1:2, OQ = 3FQ = ½AO, FQ =1/6 AO,OF = ⅓AO, AF = 4/3AO∆AEO~∆ AMF, AO:AF = OE : MF, OE = 3/4MF∆MQF~∆PQO, MF:PO = FQ: OQ = 1:3, MF =⅓POOE = ¾ MF =1/4∙PO ⇒ PE: EO = 3:121



CPOMQFE1012b) BA∆ ABQ: ∠Q =90⁰, ∠B =60⁰, AB =12 ⇒ AQ = ∆ APO: ∠O= 90⁰,Ответ: 22





Задача 11В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро равно 10, а сторона основания равна . Через точки B и С перпендикулярно ребру PA проведена плоскость α.Докажите, что плоскость α делит пирамиду PABC на два многогранника, объемы которых относятся как 2:3.Найдите площадь сечения пирамиды PABC плоскостью α.Решение.ABCPKMa) BC α, α⊥AP, α∩AP = K, PK⊥α, AK⊥αAPBKH1023











ABPKM10Cb) ∆ BKM: ∠M = 90⁰Ответ:24


Задача 12.В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1 Докажите, что A1P:PB1 = 1: 2, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A1B1 Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .Решение. ABCDMB1C1D1A1KEPa) В плоскости DD1B1 через точку K проведём прямую EK ║ BD1 , E € D1B1 В плоскости A1D1C1 : C1E∩A1B1 = P Плоскость PC1K ║ BD1 по признаку параллельности прямой и плоскости∆EB1K~∆D1B1B ⇒ EB1: D1B1 = B1K: B1B = 2: 5Значит, EB1: D1E= = 2: 3∆PEB1~∆C1ED1 ⇒ PB1:C1D1=EB1 : D1E = 2: 3C1D1 = A1B1, значит, PB1:C1D1 = PB1:A1B1 = 2:3Таким образом, A1P: PB1 = 1:2 255355







ABCDMB1C1D1KEPb) B1K = 2Ответ: 26A15355




Задачи для самостоятельного решения1. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середин рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания отношении 5:1, считая от точки C.Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью α.2. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. На его ребре BB1 отмечена  точка K так, что KB=5. Через точки K и C1 проведена плоскость α параллельная прямой BD1.а) Докажите, что A1P:PB1=4:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α. 3. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6,  а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α  27 Спасибо за сотрудничество!28

Приложенные файлы

  • pptx file1.ppt
    Презентация к уроку в 11 классе "Площади и объёмы"
    Размер файла: 505 kB Загрузок: 1