Презентация «Учимся решать планиметрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание №16. Окружность.»


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

ОкружностьУчитель: Шарова Светлана Геннадьевна,МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область1Учимся решать планиметрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание №16. Задача №1Две окружности касаются внешним образом в точке A. Прямая l касается первой окружности в точке B , а второй – в точке C.Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.Найдите площадь ∆ ABC, если радиусы окружностей 8 и 2.Решение.1 способO1O2ADCBlПроведем общую касательную к окружностям через точку A.По свойству отрезков касательных: AD=BD, AD=DC.Точка D равноудалена от всех вершин ∆ ABC.Точка D –центр описанной окружности около ∆ABC, при этом BC – диаметр этой окружности.Угол A, опирающийся на диаметр, - прямой.















2 способO1O2ACBl ∆ – равнобедренный, ∠A = ∠B =α, αα∆ - равнобедренный, ∠С = ∠A =𝜷𝜷𝜷∠ =90⁰, ∠ABC = 90⁰-α; ∠ =90⁰, ∠ACB = 90⁰-𝜷 ∠BAC = 180⁰- (90⁰-α+90⁰-𝜷) = α+𝜷α+𝜷+α+𝜷 =180⁰⇒α+𝜷 = 90⁰, ∠ A =90⁰.ABO1ACO2O1BCO2CB











3 способСBA∠O1= α, ∠O2 =1800- α.


1 способO1O2ADCBlO1B ⊥l, O2C ⊥ lE║ l∆ O1EO2 - прямоугольныйO2E28O2E = BC =82sinADB = sinADC, так как ∠ADB+∠ADC = 180⁰ ∆ O1EO2







2 способСBA8822EHAH ║ BO1O2A:AO1 = CH: HB = 2:8CH: HB = 1:4⇒CH = x, HB = 4xx+4x=8 ⇒ x = 1,6 CH=1,6. BH = 6,4Ответ: 12,88





3 способСBA822E886 по теореме косинусовОтвет: 12,8





Задача 2.Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.Докажите, что отрезок BK больше отрезка CK.Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB , если BK = 18 и BN = 17.Решение.ABCMOKNПроведем медиану AE к основанию BC.EТак как ∆ABC – равнобедренный, то AE – биссектриса и высота.Проведем MK∠BKM =90⁰( вписанный, опирается на диаметр окружности)AE ⊥BC, MK ⊥ BC ;AE║MK;M – середина AC⇒ MK – средняя линия ∆AEC ⇒ KC = EK.Так как CE = 2CK, то BK = 3CKBK > CK






ABCMOKNE18171 способ∠BKM=∠BNM = 90⁰ (вписанные, опираются на диаметр окружности)Ответ: 18.





ABCMOKNE18172 способПусть AB = AC = x, тогда AM=MC = ½x, AN = x-17, x > 17∠EAC = α, тогда ∠BAC = 2α∆ANM : ∠N = 90⁰, cos2α =AN:AM∠EAC = ∠KMC (соответственные)αα∆MKC:∠K=90⁰, sinα = KC:MCв пункте (а) было доказано, что BK = 3CKCK = 6,Учитывая, что Получим уравнениеУсловию x > 17 удовлетворяет x=18. Ответ: 18.









BMOKNE1817αAC3 способПусть AB = AC =x, x > 17, ∠BAC = α. ∆ANM:∠N = 90⁰, cosA = AN:AM ∆ABC: по теореме косинусовУсловию x > 17 удовлетворяет x=18. Ответ: 18.6





Задача 3. Окружность проходит через вершину С прямоугольника ABCD, касается стороны AB, пересекает сторону CD в точке M и касается стороны AD в точке K.Докажите, что ∠CKD = ∠KMD.Найдите сторону AB, зная, что AD = 18, DM=4.Решение.СDBAOKM∠KCD – вписанный, измеряется половиной градусной меры дуги KM∠MKD – угол между секущей и касательной, измеряется половиной градусной меры дуги KM∠ KCD =∠MKD ⇒ ∠ CKD = ∠KMD


СDBAOKMPrrrrrr418Пусть радиус окружности – r. KD = 18-rТак как CO = MO = r, то высота OP ∆ OCM, проведенная к основанию , является и медианой. Пусть CP = PM = x. ∆ CKD~∆KMD (по двум углам).KD:MD = CD:KD.Ответ: 16








Задача 4.Окружности с центром O1 и окружность с центром O2 касаются внешним образом. Из точки O1 к проведена касательная O1A, а из точки O2 к проведена касательная O2B (A и B – точки касания).Докажите, что углы O1AB и O1O2B равны.Найдите площадь четырехугольника O1O2AB, если известно, что точки A и B лежат по одну сторону от прямой O1O2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3.Решение.AB∠O1AO2=900, ∠O1BO2 =900∆O1O2B и ∆O1O2A имеют общую гипотенузуЗначит, все точки попадают на одну окружность с диаметром O1O2 .Следовательно, ∠O1O2B = ∠O1AB, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.



AB2332Пусть ∠O1O2B = ∠O1AB=α,∠O2BA = ∠O2O1A =𝜷.K






Задача 5 . На диаметре AB окружности выбрана точка C. На отрезках AC и BC как на диаметрах построены окружности и соответственно. Прямая l пересекает окружность в точках A и D, окружность в точках A и E, а окружность - в точках M и N.Докажите, что MD=NE.Найдите радиус круга, касающегося окружностей , и , если известно, что AC = 10, BC = 6.Решение.ABECO1O2OMNFD∠AEC = ∠ADB = 90⁰ (опираются на диаметры)EDBC – прямоугольная трапецияПроведем среднюю линию трапеции Тогда EF=DF. - высота равнобедренного ∆ MF=FN.Итак, EM=ND.MD = MN+ND = MN+EM = NE, то есть MD = NE.







ABCO1O2OKQ106Пусть радиус окружности - это r.Исходя из условия AO = OB = OK = 8,Тогда





O1O2OQ5+r3+r8-r35по теореме косинусовТак как , тоОтвет: 120/49





Задача 6. Окружность касается стороны AB параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и проходит через вершины C и D.Докажите, что DN = CM.Найдите DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18. Решение.ABCDKNMЧетырёхугольник NCDM, вписанный в окружность, - трапеция Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.Значит, диагонали трапеции равны.CM = DN


ABCDKNM1691829По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности


MNCD29Найдем диагональ равнобедренной трапеции MNCD, основания которой 2и 9, а длина боковой стороны равна EFОтвет: 30.







22Задача №1В равнобедренном треугольнике ABC AC – основание. На продолжении стороны BC за точку B отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.Докажите, что AB - биссектриса угла CAD.Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6.Решение.ABCDЕсли принять угол при основании равнобедренного треугольника ABC за α, то угол ABD, как внешний угол треугольника, будет равен 2ααα2αТак как по условию углы CAD и ABD равны,то угол DAB, как и угол BAC, равен α, то есть AB – биссектриса угла CAD.



23ABCDαα2α∆ ABD ~ ∆CAD (по двум углам)∠ABD = ∠CAD∠ DAB = ∠DCAααЗначит,Так как по условию AB=5, AC=6,тоИзимеемВозвращаемся в следующую пропорцию:Ответ:











24Задача №2В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что CK: BK = 1:2. Точка E – середина стороны AB. Отрезки CE и AK пересекаются в точке P.Докажите, что треугольники BPC и APC имеют равные площади.Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120.Решение.ABCKTEP2xxДокажем, что треугольники APC и BPC имеют равные площади.1. Найдем, в каком отношении точка P делит отрезок AK2. Проведём через K прямую , параллельную CE KT║CE3. По теореме о пропорциональных отрезках BK:KC = BT:TE, то есть BT:TE = 2:1Но тогда и AE:ET = 3:1А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и AP:PK = 3:1






25BCKTEP2xx∆ APC и ∆PKC имеют общую высоту, проведённую из вершины С, поэтомуАналогичным образом,∆BPC и ∆PKC имеют общую высоту, проведенную из вершины P, поэтому Итак, равенство очевидно.3yyA



26BKEP2xx3yyCAЗаметим, что в силу того, что совпадают высоты, проведенные к равным сторонам AE и BEПусть Тогда Sx2S3S∆APB и ∆BPK имеют общую высоту, проведенную из точки B, поэтомуТо есть 6SПо условию , поэтому 12S = 120, то есть S = 10.А значит, Ответ: 60b)Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120.









Спасибо за сотрудничество!27

Приложенные файлы

  • pptx file1.ppt
    Презентация к уроку математики в 11 классе "Учимся решать планиметрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание №16. Окружность."
    Размер файла: 532 kB Загрузок: 30