Презентация к уроку в 11 классе «Учимся решать планиметрические задачи. Многоугольник».


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

МногоугольникиУчитель: Шарова Светлана Геннадьевна,МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область1Учимся решать планиметрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание №16. «Каждая решённая мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач» Задача 1.В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC. Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно. Докажите, что угол BMN – прямой.Решение.I способВекторный методABCDMNKвысота, проведенная из вершины прямого угла







ABCMNKDII способ. Векторный метод и подобиеP∆CPN~∆AKB ⇒M – середина AK, значит, AM=MK=PC.Следовательно, MP=KC.








ABCMNKDPIII способПрименение тригонометрииУбедимся, что Пусть ∠ACB =∠ABK =α, CN =a, AB = 2aMP=KC, PN = 0,5BK∆ABK:∆ABC:∆BCN:∆BMK: ∆BKC: ∆MPN : ⇒∠BMN – прямой.











ABCMNKDPIV способТригонометрия и подобиеПусть ∠ACB =∠ABK =α∆BKC:∆ ABK: ∠C=∠K = 90⁰, ⇒∆BCN~∆BKM⇒∠MBK = ∠NBC = 𝜷∆BCN~∆BKM⇒𝜸𝜷𝜷Рассмотрим ∆BMN и ∆BKC∠MBN = 𝜷+𝜸, ∠CBK = 𝜷+𝜸 ⇒∠ MBN =∠CBK, ⇒∆BMN ~∆BKCЗначит, ∠BMN =∠BKC = 90⁰.











V способ. Подобие и вспомогательная окружностьABCMNKD∆BDC ~∆BAKИз условия следует, что BN и BM - медианыЭти отрезки служат соответственными элементами подобных треугольников.Отсюда, ∆ BMK~∆ BNC, ∠BMC = ∠BNCИ точки M,N,C,B лежат на одной окружности.Её диаметр – медиана BN, так как ∠BCN = 90⁰Таким образом, ∠BMN = 90⁰ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).



VI способ.Обратный ходABCMKDPПредположим, что ∠BMN - прямой, тогда1) 2)3)N4) MP = KC, MK = PCТаким образом, -верно, т. к. ∆PCN - прямоугольный







VII способ. Координатный методABCMKDPNxy - уравнение прямой AC BK⊥AC (условие) ⇒ Напишем уравнение прямой BK : Найдем координаты точки пересечения BK и ACM – середина AKНайдем угловые коэффициенты прямых BM и MN по формуле:









Задача №2Точка E – середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и AC взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O.Докажите, что площади треугольников AOB и COE равны.Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.Решение.OABCDE(у треугольников равны высоты, проведенные к общей стороне AE)Вычитая из равных площадей площадь треугольника AOE, приходим к тому, что и .


OABCDE1) Пусть OE = x 34∆ AOE: ∠O=90⁰, AE=2. ∆ABO: AB=3, ⇒ ∆ABE: 15 = 9+4-2∙3∙2∙cosA ⇒ cosA=-Ответ: b).Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.









Задача 3В трапеции ABCD BC и AD – основания. Биссектриса угла A пересекает сторону CD в ее середине – точке P.Докажите, что BP - биссектриса угла ABC.Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP = 8, BP=6.Решение.DCBAPN123456Пусть N – середина AB, NP║AD║BC∠1=∠3(накрест лежащие)С учетом условия ∠1=∠2, получаем: ∠2=∠3, то есть ∆ANP – равнобедренный.∆NPB – равнобедренный, ∠4=∠5∠4=∠6 (накрест лежащие)Значит, ∠5=∠6 ⇒ BP - биссектрисаa)










DCBAPNBN =NA=NPN – центр окружности, описанной около ∆ABP. AB - диаметр окружности ⇒∠APB - прямойAP∩ BC = FF∆ CFP = ∆ DAP (по II признаку) ∆ABP =∆FBP (по двум катетам)68Ответ: 48b) Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP = 8, BP=6.






DCBAPN68 Задача №4В равнобедренной трапеции ABCD точки M и N- середины оснований BC и AD соответственно. Отрезки AM и BN пересекаются в точке P, а отрезки DM и CN пересекаются в точке K.Докажите, что площадь четырехугольника PMKN равна сумме площадей треугольников ABP и DCK.Найдите площадь четырехугольника PMKN, если известно, что BC = 8, AD = 18, AB=CD=13.Решение.ABCDMNPK(у треугольников равны высоты, проведенные к общей стороне BM)Вычитая из равных площадей приходим к тому, что Аналогично доказываем, что a)




ABCDMNPK1313188H∆BPM~∆NPA∆PMK~∆AMDОтвет: b) Найдите площадь четырехугольника PMKN, если известно, что BC = 8, AD = 18, AB=CD=13.





Задача №5.В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOB и COD равны.Докажите, что точки A и D одинаково удалены от прямой BC.Найдите площадь треугольника AOB, если известно, что AB=13, BC = 10, CD=15, DA = 24.Решение.ANDKCBOОпустим перпендикуляры из точек A, D на прямую BC: AN⊥BC, DK⊥BCНадо доказать, что AN=DK.Рассмотрим ∆ABC и ∆BCD∆ ABC можно разбить на два треугольника:∆ AOB и ∆BOC∆ BCD можно разбить на два треугольника:∆ COD и ∆BOC По свойству площадей:(по условию)a)







ANDKCBO13151024HANKD - прямоугольникABCD - трапецияПусть NB = x, NK=AD = 24, тогда CK = NK-NB-BC = 14-x∆ANB: ∆DKC: Так как AN =DK, то приравняем правые части:AN = 12.Проведем BH⊥AC. ∆AOB и ∆BOC имеют одинаковую высоту ⇒Пусть Ответ:b) Найдите S∆AOB, если известно, что AB=13, BC = 10, CD=15, DA = 24.











Задача №6В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм.Докажите, что ABCD – параллелограмм.Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60 ⁰.Решение.12345ACDMKBПо условию ∠1=∠2, ∠4=∠5AKCM – параллелограмм , BC ║AD, ∠2=∠4 (противоположные углы), ∠3=∠4 (соответственные углы при параллельных прямых AK, CM.∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6.6KC = AM, AK=CM∆ABK = ∆CDM (по второму признаку)⇒BK = MD.Итак, AD=BC, AD║BC (∠2=∠3), а значит, ABCD – параллелограмм (по признаку параллелограмма)a)


ADMKBCO60⁰32BK = AB =3, AM=KC=2, AD =5∆ABO:∆ADO:(2) – (1): Ответ: b) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60 ⁰.







Спасибо за сотрудничество!21

Приложенные файлы

  • pptx file1.ppt
    Презентация к уроку в 11 классе "Учимся решать планиметрические задачи. Многоугольник".
    Размер файла: 573 kB Загрузок: 1