Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических уравнений с параметрами»


Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических уравнений с параметрами»
Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие. Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим: он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен ее открывать. Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы; ему ничто не должно доставаться даром. Дается только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)
Данная методическая разработка «Решение логарифмических уравнений с параметрами» предназначена для учащихся 11-х классов, желающих углубить и расширить свои знания по математике. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения. Кто понимает, что математику надо учить потому, что она «ум в порядок приводит», и без нее невозможно стать специалистом в любой отрасли знаний.
К сожалению, изучению логарифмических уравнений с параметрами в программе общеобразовательной школы уделяется незаслуженно мало внимания. а подобные уравнения входят в сложную группу заданий, предлагаемых в рамках ЕГЭ, для решения которых необходима хорошая теоретическая подготовка учащихся и уверенное владение технологиями решения математических задач. Выпускник должен не только знать обязательные этапы решения логарифмических уравнений с параметрами, но и хорошо понимать их смысл и назначение, так как многие учащиеся понимают параметр как «обычное число». Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной. В других задачах параметром бывает удобно объявить одну из неизвестных.
На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям». Соответственно
И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.
Основная цель данной методической разработки: показать различные методы решения нестандартных логарифмических уравнений с параметром, сделать использование этих методов глубоко осмысленным.
При решении логарифмических уравнений с параметрами необходимо придерживаться следующей схемы:
Найти область допустимых значений.
Решить уравнение (чаще всего выразить x через a).
Сделать перебор параметра a с учетом ОДЗ.
Проверить, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условиям ОДЗ.
Записать ответ.
Задача 1.
В зависимости от значений параметра a решить уравнение lg⁡(ax)lg⁡(x+1)=2.
Решение.
ax>0x+1>0x+1≠1ax=(x+1)2⬄x+1>0x≠0x2+x2-a+1=0.
x2+x2-a+1=0.
D=a2-4a, x1;2=a-2±a2-4a2.
x>-1x≠0a=(x+1)2x ⬄x>-1x≠0a=x+1x+2
1
a=x+1x+2a
x
0

Ответ: при a<0 x =a-2+a2-4a2, при 0≤a<4 ∅, при a=4 x=1,
при a>4 x=a-2±a2-4a2.
Задача 2
При каких значениях a сумма logasinx+2 и logasinx+3 будет равна 1 хотя бы при одном значении x? (ЕГЭ 2002г.)
Решение.
По условию уравнение logasinx+2+logasinx+3=1 должно иметь хотя бы один корень. Заметим, что sinx+2>0 и sinx+3>0 для любых действительных значений xОДЗ: a>0a≠1a∈Rlogasinx+2sinx+3=logaa, sinx+2sinx+3=a, sin2 x+ 5 sinx+ 6 – a=0.
Пусть sinx=t, t∈-1;1. Тогда получим уравнение t2+5t+6-a=0, дискриминант которого D=1+4a. Заметим, что 1+4a>0 при всех a∈ОДЗ.
Функция ft=t2+5t+6-a задает семейство парабол, пересекающих ось абсцисс в двух точках (ветви параболы направлены вверх). Абсцисса вершин парабол t0=-2,5.

Легко видеть, что только больший корень квадратного трехчлена может удовлетворять условию t∈-1;1.
f(-1)≤0f(1)≥0⬄ 1-5+6-a≤01+5+6-a≥0⬄ a≥0a≤12⬄a∈2;12Ответ: a∈2;12Задача3
При каких значениях параметра a все корни уравнения
(a-1)log32(x-2) +2(a+1)log3x-2+a-3=0 меньше 3?
Решение.
Область допустимых значений переменной х это x>2. А так как по условию все корни уравнения должны быть меньше 3, т.е. x<3, то x-2<1. Значит, log3(x-2)<0.
Если обозначить y=log3(x-2), то уравнение перепишется в виде равносильной системы a-1y2+2a+1y+a-3=0y<0При a=1 уравнение принимает вид 4y-2=0, и т. о. y= 12. Но это значение y противоречит условию y<0.
Пусть a≠1. Тогда корни квадратного трехчлена fy=(a-1)y2+2a+1y+a-3 будут меньше 0, если совместна система
D≥0yb<0a-1f(0)>0⬄a≥13a+1a-1>0a-1(a-3)>0⬄ a>3Ответ: a>3.
Задача 4.
При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения
2log42x2-x+2a-4a2+log0,5x2+ax-2a2=0 больше 1.
Решение.
log22x2-x+2a-4a2=log2x2+ax-2a2.
2x2-x+2a-4a2=x2+ax-2a2x2+ax-2a2>0⬄x2-1+ax+2a1-a=0x+2a(x-a)>0x2-1+ax+2a1-a=0.
x1=1-a, x2=2a.
1). x1=1-a, (1-a+2a)1-a-a>0,1+a1-2a>0,a∈(-1;12)2). x2=2a, (2a+2a)2a-a>0, 4a•a>0, a∈-∞;0∪(0;∞).
Уравнение имеет два корня, если a∈-1;0∪(0;12) (*)
Учитывая, что x12+x22>1, x12+x22= (x1+x2)2-2x1x2=(1+a)2-2·2a·(1-a)=
=5a2-2a+1.
5a2-2a+1>1, 5a2-2a>0, a∈-∞;0∪(25; ∞).(**)
Пересечем множества * и **, получим ответ.
Ответ: a∈-1;0∪(25;12).
Задача 5
При каких значениях параметра a уравнение
lgx2+2ax-lg8x-6a-3=0 имеет единственное решение.
Решение.
lgx2+2ax=lg8x-6a-3⇔x2+2ax=8x-6a-38x-6a-3>0⇔
⇔x2+2xa-4+6a+3=0x>6a+38.
6a+381) D=0xb>6a+38 ⇔a-42-6a+3=04-a>6a+38⇔a=1, a=13a<2914⇔ a=16a+382)

D>0f(6a+38)≤0 ⇔a∈-12;-322Ответ: a=1. a∈-12;-322Задача 6
При каких значениях параметра a уравнение
logax-6(2x2-3x+2)=2logax-6(x2+2x-4) имеет единственное решение?
Решение.
Рассматриваем систему, равносильную данному уравнению
ax-6>0ax-6≠12x2-3x+2=x2+2x-4⇔ax>6ax≠7x2-5x+6=0Квадратное уравнение имеет два корня x1=2,x2=3.
1). x1=22a>62a≠7⇔x1=2a>3a≠3,53
3,52
73 x1x2aa2).x2=33a>63a≠7⇔x2=3a>2a≠73Уравнение имеет единственное решение при a∈2;213∪(213;3]∪{3,5}.
Ответ: a∈2;213∪(213;3]∪{3,5}.
Задача 7
Найти все значения x, удовлетворяющие уравнению
logx+a2+1(a2x+2)=2log7+2x(5-6-2x )при любом значении параметра a.
Решение.
Так как уравнение должно иметь решения при любом значении параметра a, то оно должно иметь решения и при a=1. Но при этом значении a исходное уравнение принимает вид
logx+2(x+2)=2log7+2x(5-6-2x).
2log7+2x(5-6-2x)=1.
log7+2x(5-6-2x)=12.
7+2x=5-6-2x, (7+2x)2=25-106-2x+6-2x, 56-2x=12-2x,
2x2+x-3=0, x1=1,x2=-32.
Если подставить x1=1 в уравнение, получим
loga2+2(a2+2)=2log93, 1=1- верно для a∈R.
Если же подставить x2=-32 , то получим
loga2- 12(-32a2+2)=2log42, loga2- 12(-32a2+2)=1 * a2-12=-32a2+2, 52a2=52, a=±1.
То есть соотношение (*) справедливо не для всех значений параметра a, только для a=±1.
Ответ: x=1.
Задача 8
Найти все значения x, удовлетворяющие уравнению
logx+2a+1(ax+3)=2log6-x(5-7+x) при любом значении aРешение.
Если такое значение х существует, то оно будет удовлетворять уравнению при любом a∈ R, в том числе и при a=1.
Тогда при a=1 получим
logx+3(x+3)=2log6-x5-7+x (*), 1=2log6-x(5-7+x), 6-x=(5-7+x)2,
x2+x-6=0, x1=-3, x2=2. Оба найденные значения x являются корнями уравнения (*).Подставим теперь x1=-3 в данное уравнение: log2a-2(-3a+3)=2log93, 5a=5, a=±1.
Но при a=±1 выражение 2a-2 , являющееся основанием логарифма, равно 0.
Значит, x1=-3 не является корнем данного уравнения, ни при каких значениях a
Подставим x2=2 в данное уравнение log2a+3(2a+3)=2log42, log2a+3(2a+3)=1.
Это равенство верно при любом a∈ R.
Ответ: x=2.
Задача 9.
Найти все значения a, для каждого из которых уравнение
log1-x(a-x+2)=2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1; 1).
Решение.
log1-x(a-x+2)=2 ⇔ 1-x>01-x≠1a-x+2=(1-x)2⇔x<1x≠0a=x2-x-1- 1
a=-54a=x2-x-11
-1
1
xa
Ответ: a∈-54;-1∪(-1;1].
Задача 10.
Найти все значения a, для каждого из которых уравнение log1+x(3+4x-a)=2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (-1;2)
Решение.
log1+x(3+4x-a)=2⇔1+x>01+x≠13+4x-a=(1+x)2⇔x>-1x≠0a=-x2+2x+2.
3
a=-x2+2x+2-1
2
xa
Ответ: a∈-1;2∪(2;3].
Задача 11
При каких значениях параметра a уравнение log5x+4(1-a2)log25x5-2=0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 245.
Решение.
ОДЗ: x>0x≠125Предполагая, что эти условия выполнены и переходя к логарифмам по основанию 5, преобразуем уравнение к виду
log5x+4(1-a2)2+log5x-2=0, log52x-4a2=0,
log5x=2a или log52a=-2ax1=52a x2=5-2aЕсли a=0, то x1=x2=1Если a=±1, то о дно из чисел x1, x2 равно 125.
Поэтому значения a=0, a=±1 не удовлетворяют условию задачи.
Пусть a≠±1, a≠0, тогда уравнение может иметь два различных корня.
По условию x1-x2>245, т. е. 52a-5-2a>245 , a∈(-∞;-0,5)∪0,5;∞.Учитывая, что a≠±1, a≠0 и a∈(-∞;-0,5)∪0,5;∞ , получаем ответ.
Ответ: a∈(-∞;-0,5)∪0,5;∞, a≠±1.
Задача 12
При каких значениях a уравнение log3x+a2-4log3x13-3=0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 8?
Решение.
ОДЗ: x>0x≠13log3x+a2-4⋅-11+log3x-3=0.
log32x-2log3x-a2+1=0.
D=4a2. x1=31+a, x2=31-a.
Если a=0, то x1=x2=3.Если a=±2, то один из корней равен 13, что не удовлетворяет ОДЗ.
Пусть a≠0, a≠±2, тогда уравнение имеет два корня.
x1-x2>8 по условию.
31+a-31-a>8, a∈-∞;-1∪1;∞.Учитывая, что a≠±2 получим ответ.
Ответ: a>1, a≠2.
Мы рассмотрели разные способы решения задач. Однако предлагаемые способы решения уравнений не сказочный ключ к решению любой задачи. Но они направляют мысль, сокращают время поиска, формируют навыки решения.
Но «чтобы получить ощутимую пользу, ученик должен идти к цели не с завязанными глазами, а зрячим: он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать. Ученик должен напрягать свои силы, ему ничто не должно доставаться даром. Дается только тому, кто стремится». (А. Дистервег)



Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Логарифмические уравненияс параметрамиУчитель : Шарова Светлана Геннадьевна,МБОУ «Гимназия», г. Урюпинск, Волгоградская областьУЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ. 1 Типы задачI тип – « для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения».II тип – «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям».2 ОтветыI тип:перечисляются всевозможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения.II тип:перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.3 В зависимости от значений параметра решить уравнениеЗадача 14 0 Ответ:1-15 При каких значениях сумма и будет равна 1 хотя бы при одном значении ?Задача 26 При каких значениях параметравсе корни уравнения меньше 3?Задача 37 При каких значениях параметра уравнениеимеет единственное решение?Задача 48 Найти все значения , удовлетворяющие уравнению любом значенииЗадача 59 Найти все значения , для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку(-1;2)Задача 610 2-1-13Ответ:11 При каких значениях уравнение 0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 8?Задача 712 При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения больше 1.Задача 813 Ответы№2№3 №4 x=1.№5 №6.14; -0,5) Спасибо за сотрудничество!15

Приложенные файлы

  • docx file1.doc
    Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических уравнений с параметрами»
    Размер файла: 79 kB Загрузок: 8
  • pptx file2.ppt
    Презентация "Логарифмические уравнения с параметрами"
    Размер файла: 202 kB Загрузок: 9