Разработка урока в 11 классе: «Решение уравнений с параметрами координатно – параметрическим методом».


Разработка урока в 11 классе: «Решение уравнений с параметрами
координатно – параметрическим методом».
Цель и психолого-педагогические задачи урока (сдвоенного):
Ι. Общеобразовательная (нормативная) цель (на этапе подготовки к ЕГЭ): повторить и закрепить функционально - графические методы решения задач с параметрами, приемы решения задач с параметрами функционально – графическим методом в координатной плоскости (хоу) и (хОа).
ΙΙ. Задачи математического развития учащихся: на нестандартном учебно-математическом материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению, к алгебраическому и образно-графическому мышлению, к содержательному обобщению и конкретизации, к рефлексии и самостоятельности как метакогнитивной способности школьников; продолжить развитие культуры устной и письменной речи как психологических механизмов учебно-математического интеллекта.
III. Воспитательные задачи: продолжить личностно ориентированное воспитание у школьников познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической самостоятельности, коммуникативного умения сотрудничать с классом, учителем, одноклассниками; способности к соревновательной учебно-математической деятельности, стремления к высоким и высшим её результатам.
Тип урока: по критерию ведущей цели – урок повторения, закрепления; по критерию ведущего математического содержания – урок – практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и учителя – урок сотворчества, сотрудничества и соревновательности.
Ход урока
I этап урока. Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса учащихся при подготовке к ЕГЭ.
Здравствуйте! Сегодня мы продолжаем цикл практических занятий по подготовке к ЕГЭ по теме: «Решение задач с параметрами».
Ян Стюарт сказал: «10 из 100 математиков мыслят формулами. Но остальные мыслят образами, их интуиция геометрическая. Картинки несут гораздо больше информации, чем слово…. Да, они не строгие, но они помогают думать, а такого рода помощью никогда не следует пренебрегать».
Напомним, какова структура решения задач с параметром в координатной плоскости (ХОУ):
Строим график функции у = f(x,a), задающий семейство кривых, зависящих от параметра а.
Определяем преобразование, позволяющее перейти от одной кривой семейства к другой.
Читаем график и находим необходимый графический образ.
На прошлом занятии все ребята получили банк задач № 18, решаемых графическим способом. Некоторые из них мы рассмотрели на занятии, другие были даны в качестве домашнего задания. Проверим решение задания № 18 по математике из резервного дня 20 июня 2011 года и задания №18 ЕГЭ по математике из основного потока 6 июня 2011 года. В целях экономии времени я попросила подготовить слайдовую презентацию решения задач.
Задача №1


Задача №2


В зависимости от задачи ( с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости (ХОУ) или в координатной плоскости (хОа). Сегодня мы остановимся на решении уравнений с параметром в координатной плоскости (ХОА). Функционально – графический метод решения уравнений в координатной плоскости (хОа) в некоторой литературе называют координатно – параметрическим методом.
Итак, тема занятия: «Решение уравнений с параметром координатно – параметрическим методом».

Задача №1.
Решить уравнение 2x+a+x-2a=20, где a-параметр.
Решение. Решим уравнение координатно – параметрическим методом, используя координатную плоскость (ХОА). Для этого построим в плоскости (ХОА) прямые заданные уравнениями 2x+a=0 и x-2a=0.

IV
III
II
I
x-2a=02x+a=0
Указанные прямые разбивают всю плоскость (ХОА) на 4 области. С учетом разбиения плоскости (ХОА) на области I, II, III, IV составим таблицу:
Область I II III IV
Знак 2x+a+ - - +
Знак x-2a- - + +
В области I уравнение принимает вид x+3a=20, a=20-x3 (1).
В области II уравнение запишется в виде a=20+3x (2)
В области III имеем уравнение a=-x-203 (3).
В области IV – это уравнение a=3x-20 (4).На границах соответствующих областей прямые (1), (2), (3), (4) пересекаются с прямыми 2x+a=0 и x-2a=0 в точках А(8;4) и В(-4;8); В(-4;8) и С (-8;-4): С(-8;-4) и D(4; -8); D(4; -8) и А (8;4).

Рассматривая варианты пересечения прямой a=c,c∈R с построенным множеством, выписываем ответ:
Если a∈-∞;-8, то x∈∅; если a=-8, то x=-4; если a∈-8;-4 , то x=-3a+20, x=a+203; если a∈-4;4), то x=a3+203, x=a3-203; если a∈4;8), то x=-3a+20, x=a-203, если a=8,то x=4; если a∈8;∞, то xϵ∅.a=8a=4a=-4a=-8
Задача №2
В зависимости от значений параметра a решить уравнение 4x+a = 2x-1.
Решение.
Исходное уравнение равносильно системе:
4x+a=(2x-1)22x-1≥0.,Перепишем систему в виде: a=4x2-8x+1x≥0,5.,x
a1
0,5
-3
-2
0
Построим в плоскости (хоa) график функции ax= 4x2-8x+1 при условии x≥0,5.
2
Ответ: если a<-3, то решений нет; если a-3, то x=1;если-3<a≤-2, то x1,2 =2±a+32; если a>-2, то x=2+a+32 Задача №3
В зависимости от значений параметра a определить число корней уравнения
x2+4x-2x-a+2-a=0Решение.
На координатной плоскости xoa строим прямую, заданную уравнением x-a=0, а также графики функций, заданных соотношениями a= 13(x2+6x+2) при условии x-a < 0 и a=-(x+1)2-1 при условии x-a>0-3
-2
А
-1
-1

0
x-a=0a= 13(x2+6x+2)a=-(x+1)2-1
В
Графики функций пресекаются с прямой x=a в точках А(-1; -1) и В(-2;-2)


Минимальное значение a= -73 функция достигает при х = -3. Рассматривая теперь всевозможные варианты пересечения прямой a=c,c∈R, с построенным множеством выписываем ответ.
Ответ: при a∈-∞;-73, a∈-2;∞ уравнение имеет два корня, при a= -73, a=-2 уравнение имеет три корня, при a∈(-73 ; -2) уравнение имеет четыре корня.
Задача №4
При каждом а решите систему уравнений
Решение.
Запишем второе уравнение в виде
 
.
Геометрический смысл уравнения состоит в том, что сумма расстояний от точек до точек и равно . Поскольку расстояние между точками и тоже равно , это означает, что точка должна лежать на отрезке, соединяющем точки и . Другими словами, она удовлетворяет уравнению и условию .
 

Таким образом, исходная система равносильна системе
 

Подставив 2а в первое уравнение, получаем
 
.
Поскольку функция возрастающая (как сумма двух возрастающих), каждое значение она принимает ровно один раз. Поэтому решение — единственное, ему соответствует .
Ответ: если , то , при остальных а нет решений.
Задача № 5
В зависимости от значений параметра a определить число корней уравнения
a=x+1-x2Решение.
1
-1
x
Ответ:
Итак, мы рассмотрели решение уравнений с параметром в координатной плоскости (ХОа). В чем преимущества этого метода:
Экономия времени.
Подсказка на более рациональный аналитический метод решения.
Отсутствие сложных и громоздких вычислений.
На сайте «Гимназического союза России» размещены материалы подготовки к уроку. Там вы найдете статью «Решение уравнений с параметрами координатно – параметрическим методом». Теперь, читая ее, вам будет легче разобраться с предложенными заданиями. Первый шаг всегда самый сложный, нужно увидеть какие преобразования выполнить, какой метод или способ выбрать. Все это достигается через огромный труд и тренировку.
«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Д. Пойя.
Моя цель – показать использование наиболее рациональных подходов к решению различных типов задач с параметрами.


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

ФУНКЦИОНАЛЬНО – ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫУчитель : Шарова Светлана Геннадьевна,МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская областьУЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ. ЗАДАНИЕ № 18.1 Структура решения задач с параметром в координатной плоскости (ХОУ)1. Строим график функции у = f (х; а), задающий семейство кривых, зависящих от параметра а. 2. Определяем преобразование, позволяющее перейти от одной кривой семейства к другой. 3. Читаем график и находим необходимый графический образ.2 Найти все значения a , при каждом из которых  система имеет единственное решениеРешение: Первое уравнение системы задает полуокружность с центром (2; 2) и радиусом 3.Второе уравнение задает полуокружность с центром (а;а) и радиусом 3.Центр окружности лежит на прямой у = х3 Найдите все значения a , при каждом из которых  система имеет единственное решениеОтвет: 4 Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение5Первое уравнение системы задает окружности с центрами (5; 3), (-5;3) и R = 3Второе уравнение задает окружность с центром (1; 0) и R= №7 Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение61). AB=5, BC = 3. Таким образом, R = AC = AB-BC =2, =22). Ответ: «Решение уравнений с параметрами координатно – параметрическим методом»Координатная плоскость (хоа)7 Решение уравнений с параметром в плоскости ХОАИдея.Построим график уравнения с параметром как график уравнения с двумя переменнымиF(x,а)=0ХАКаждая точка контура показывает, какое значение xявляется решением при заданном значении параметра. 8 Решить уравнение:9 IIIIIIIVa=3x-20а=(x-20)/3а=3х+20а =(-х-20)/3а = -8-8<a≤-4-4≤a<44≤a<8a=810 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}ØØОтвет:11 В зависимости от значений параметра а решить уравнение12 В зависимости от значений параметра а определить число корней уравнения13 При каждом а решите систему уравнений14 131Ответ: ха015 В зависимости от значений параметра определить число корней уравнения16 a<-1a= -1-1 <a<1a =1≤ a< 17 Спасибо за внимание!18

Приложенные файлы

  • docx file1.doc
    Разработка урока в 11 классе: «Решение уравнений с параметрами координатно – параметрическим методом».
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 8
  • pptx file2.ppt
    Презентация "Функционально - графические методы"
    Размер файла: 553 kB Загрузок: 6