Геометрия масс

Международная научно-практическая конференция
«Первые шаги в науку»


Исследовательская работа по математике по теме:
«Геометрия масс»

Предметная область: математика
Работу выполнил: Нахабин Дмитрий, ученик 10 класса Учитель: Ланцева Ирина Александровна, учитель математики
Образовательное учреждение:
МБОУ средняя школа №4 с углубленным изучением отдельных предметов
Брянск 2014


Содержание

HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc382661537" HYPER14Введение HYPER13 PAGEREF _Toc382661537 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc382661538" HYPER141 Понятие центра масс HYPER13 PAGEREF _Toc382661538 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc382661539" HYPER142 Центр масс системы точек HYPER13 PAGEREF _Toc382661539 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc382661540" HYPER143 Задачи на применение центра масс HYPER13 PAGEREF _Toc382661540 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc382661541" HYPER14Заключение HYPER13 PAGEREF _Toc382661541 \h HYPER1410HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc382661542" HYPER14Список литературы HYPER13 PAGEREF _Toc382661542 \h HYPER1411HYPER15HYPER15
HYPER15



Введение

Актуальность темы: В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается. Решения задач на отношение длин при решении обычными методами получаются достаточно объёмными. Данный метод необходим для рационального решения задач.
Проблема: поиск рационального способа решения задач
Объект исследования – геометрические задачи на нахождение отношения длин отрезков
Цели: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс, повысить уровень культуры решения геометрических задач, развитие навыков исследовательской работы
Задачи:
1. Дать понятие геометрии масс
2. Научиться решать задачи с применением этого метода
3. Подготовка к ЕГЭ(С4) и олимпиадам
Гипотеза: Многие задачи на отношение длин отрезков рациональнее решать с помощью геометрии масс
Методы исследования: анализ и синтез, сравнение, индукция/дедукция , прогнозирование, наблюдение, ранжирование
Этапы:
Изучение теоретического материала
Алгоритм решения
Подбор задач с преимуществом этого метода






Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.
В частности, этим способом им была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.).
Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи геометрии и алгебры. В частности, таким путем удается ответить на вопросы о том, пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной прямой (или одной плоскости) и т. п. Эффективны барицентрические соображения при доказательстве неравенств и решении разнообразных задач.
Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием свойства центров масс не могут дать математически строгих решений геометрических задач (хотя, может быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим задачам). Однако такое мнение глубоко ошибочно. Понятия механики не только служат ценным эвристическим средством; облеченные в строгую математическую форму, они позволяют получать математически безупречные решения задач геометрии и алгебры.

1 Понятие центра масс

Чтобы понять, что такое центр масс, рассмотрим детские качели (рис.1).

рис.1
Многие замечали, что более тяжелый ребёнок перевешивает.
Но стоит ему начать приближаться ближе к центру, как качели постепенно приходят в равновесие. Насколько ближе он должен подвинуться ответит метод масс. Переведём задачу на язык математики
Пусть качели – отрезок AB, где m1, m2 – массы, расположенные на концах качелей (m1 >m2).





Рис.2

Центром масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка АВ, что АО*m1 = BO*m2, или HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

Пример: Пусть масса, расположенная в точке A равна 400г, а масса в точке B равна 1400г (см. рис.2). Найти центр масс данного отрезка.
Решение: из определения центра масс получаем, что точка O делит отрезок AB в отношении HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 . Значит центр масс O делит отрезок так, что 7*АO = 2*BO.
Принцип центра масс является ничем иным, как законом рычага, с помощью которого Архимед собирался перевернуть Землю.

2 Центр масс системы точек

Теперь найдём центр масс треугольника. В точках A, B, C расположены массы m1, m2, m3 (рис.3).





Если нам дана система из нескольких точек с массой в каждой из них, то вместо любой пары точек мы можем рассмотреть их центр масс, в котором сосредоточена сумма масс этих точек.
Таким образом центр масс нашего треугольника (точка D) будет совпадать с центром масс точек O (центр масс для точек A и B) и C (рис.4).



Пример: Дан треугольник ABC с массами mA = mB = mC = 1 в вершинах. Найти центр масс треугольника.
Решение: Для начала найдём центр масс точек A и B. Это точка М, которая расположена в середине отрезка AB, т.к. на его концах одинаковые массы. В точке М сосредоточена масса 1+1=2.
Значит центр масс треугольника ABC совпадает с центром масс отрезка MC и делит отрезок в отношении 2:1 . Мы доказали, что в треугольнике с одинаковыми массами в вершинах его центр масс расположен на медиане и делит её в отношении 2:1. Аналогично можно найти центр масс на медианах BN и AK. Однако у треугольника только один центр масс, а значит мы все три раза попадали в одну точку. Так мы доказали, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 .

3 Задачи на применение центра масс

Задача 1: Дан треугольник ABC (рис.6). BM – медиана, а AN делит сторону BC в отношении 1:2 от вершины B и пересекается с BM в точке O. Найти отношение BO:OM.
Решение: Расположим в вершинах A и C массы, равные 1, а в вершину B – массу, равную 2. Тогда точка M – центр масс для точек A и C, и концентрирует массу, равную 2. Точка N – центр масс отрезка BC, т.к. BN:NC=1:2 (из условия), а mB:mC=2:1.
Предположим, что точка O – центр масс для отрезка BM. Тогда она является и центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу 2+2=4. Если O – центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN. Проверим это. В точке A сконцентрирована масса 1, в точке N – 3, а в точке O – 4.
1+3=4 , следовательно, O – центр масс отрезка AN и всего треугольника. Тогда отношение BO:OM = 2:2 = 1.
Ответ: BO = OM.

Задача 2: Дан треугольник ABC (рис.7). BM – медиана. Отрезок KP точкой K делит AB в отношении 2:1 от точки А, а точкой P делит отрезок BC в отношении 2:1 от вершины В. Отрезки KP и BM пересекаются в точке O. В каком отношении точка О делит отрезок KP?
Решение: Расположим в вершинах А и С массы, равные 2. Рассмотрим отрезок BC. Предположим, что точка Р – центр масс данного отрезка. Определим, какая масса сконцентрирована в точке В.
Пусть она равна х, тогда:
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Получаем, что х = 1, а значит в точке Р масса, равная 3.
Теперь рассмотрим отрезок АВ. Масса в точке А равна 2. Пусть точка К – центр масс данного отрезка, тогда масса, заключенная в точке В равна 4, а в точке К – 6. Значит для всей системы точек в точке В сконцентрирована масса 5.
Допустим, что точка О – центр масс всего треугольника. В точке М сконцентрирована масса 4 (mA = mC = 2, AM = CM, М – центр масс). Значит точка O – центр масс и для отрезка ВМ, а значит в точке О сосредоточена масса 4+5=9. А т.к. точка О принадлежит и отрезку КР, то из предположения о том, что О – центр масс треугольника, получаем, что эта точка – центр масс и для отрезка КР (в точке О сконцентрирована масса, равная сумме масс , расположенных в точках К и Р). А значит, что КО:ОР = 3:6 =1:2.
Ответ: 1:2.

Задача 3 (С4 ЕГЭ): Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12). Пусть точка J – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку J, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.
Решение:
Треугольник ABC подобен треугольнику KBP, значит
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15. Тогда
КР = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
2-й случай: КР = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
3-й случай: КР = HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

Задачи для самостоятельного решения:
Задача 1. В треугольнике ABC точка к делит сторону BC в отношении 1:4, считая от вершины B. В каком отношении отрезок AK делит медиану BM?
Ответ: 1:2

Задача 2. B треугольнике ABC точки M, N, K расположены соответственно на сторонах AB, AC, BC так, что AM:MB = 1:4, AN:NC = 2:3, CK:KB = 3:2. Отрезки AK и MN пересекаются в точке L. Во сколько раз LK больше AL?
Ответ: 3
Заключение

Изучив немногочисленные источники по теме «Геометрия масс», я научился решать пока еще не сложные задачи на отношение длин отрезков .
При выполнении задач уровня С4 пришел к убеждению, что указанный метод позволяет найти решение задач быстрее и рациональнее.
Изучая источники по этой теме убедился в тесной связи двух предметов - математики и физики.
Думаю, что решать задачи по физике станет легче, приобретая навык решения методом геометрии масс.
В процессе исследования данной проблемы усовершенствовались умения и навыки работы с научно-популярной литературой, интернет-источниками, программами для построения геометрических фигур.
Работа над темой «Геометрия масс» мною не закончена, впереди поиск многих интересных задач, быстро решаемых с помощью этого метода.
Цель следующего этапа работы-создание методички по решению геометрических и физических задач, используя геометрию масс.













Список литературы

ЕГЭ: шаг за шагом, А.А. Черняк, Ж.А. Черняк, Москва, Дрофа, 2011.
Геометрия масс, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987 (Библиотечка «Квант», Выпуск 61).
Интернет ресурс : http://www.youtube.com/watch?v=F7xKbuXAlEE









HYPER13PAGE \* MERGEFORMATHYPER1411HYPER15




Рисунок 1Описание: http://www.metalinfo.ru/ru/news/53999.jpgђ Заголовок 1HYPER15Основной шрифт абзаца

Приложенные файлы

  • doc geometria
    Размер файла: 239 kB Загрузок: 3