Факультативный курс «Задачи с параметрами» для учащихся 7-8 классов







Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы «Школа №2098 «Многопрофильный образовательный центр»
имени Героя Советского Союза Л.М. Доватора»




Факультативный курс по алгебре для учащихся 7 – 8 классов

«Задачи с параметрами»




Автор: учитель математики Зайцева Ольга Алексеевна










Москва
2016 год


Содержание

Введение3
Решение линейных уравнений с параметрами......6
Занятие 1..6
Занятие 212
Занятие 315
Занятие 421
Линейная функция. Расположение графика функции в зависимости от параметров.25
Занятие 125
Занятие 230
Занятие 3 (обобщающее)..37
Проверочная работа по теме «Решение линейных уравнений, содержащих параметры»...40
Уравнения с модулями и параметрами42
Занятие 1. Решение уравнений с параметрами, содержащих переменную под знаком модуля..42
Занятие 2. Графический метод решения уравнений.45
Занятие 3. Графический метод решения уравнений.50
Проверочная работа по теме «Уравнения с модулями и параметрами»..55
Заключение..58
Список литературы.59
Приложение.



Введение

Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем они включены в итоговую аттестацию как в 9, так и в 11 классе. Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.
Впервые знакомиться с параметрами полезно в 7-м классе при изучении линейных уравнений, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при изучении этой темы в старших классах. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, тренируют внимание и память.
Цель работы – разработать факультативный курс «Задачи с параметрами» в 7 классе. Работа включает следующие разделы: «Линейные уравнения с параметрами», «Линейная функция. Расположение графика функции в зависимости от параметров» и «Уравнения с модулями и параметрами». Параметр, присутствующий в условии задач, не создаёт слишком больших трудностей, но, в то же время, позволяет сформировать у учащихся отчетливое представление о параметрических задачах и основных принципах их решения.
В работе представлены: необходимый теоретический материал, примеры с решениями, упражнения для самостоятельной работы с ответами.
Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в алгебре. Обратить внимание учащихся на то, что за буквой скрывается число и предложить задания, в которых надо выразить одну переменную через другую.
К этим задачам надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовые значения.
Выразите:
1) из формулы  S=Vt :
а) V  через  S и  t;  б)  t через  S  и  V.
2) из формулы  P=2(a+b):
а)  a через  P  и b;  б)  b через  P  и  a.
3) из формулы  S=ab:
а)  a через  S  и  b;  б)  b  через  S  и  a. 4) из формулы  V=abc:
а) a  через  V, b и c;  б) b через  V, a и c; в) c  через  V, a и b.
При каких значениях переменных имеют смысл эти выражения?
Если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет значения, так как на нуль делить нельзя. О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла (по учебнику под редакцией С.А.Теляковского).
2. При каких значениях х выражение не имеет смысла:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415?
Ответ: а) при х = – 4; б) при х = 4; в) при х = 0.
3. Выразите х через другие переменные:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
в) х = 4у + 12к – 60с – 1,5; г) х = – 2,5b + 36.
3. Самостоятельная работа (обучающая)
Тест.
Выразите х через другие переменные и выберите верный ответ, если:
1. y = 2x + 3
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) х = 2(y – 3); в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. y = 5 + 3x – b
x =13 EMBED Equation.DSMT4 141513 QUOTE 1415; б) x = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) x = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. y = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
x = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) x = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в) x = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Ответ. 1.а; 2.в; 3.б.


Решение линейных уравнений с параметрами

Занятие 1

Цель урока: введение понятия «параметр»; формирование умения решать линейные уравнения с параметром.
Подготовительные задания.
Вспомним, что называется линейным уравнением с одной переменной (по учебнику под редакцией С.А.Теляковского).
Определение. Уравнение вида ax = b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Линейное уравнение ax = b при а ( 0 имеет один корень 13 EMBED Equation.3 1415;
при а = 0, b ( 0 не имеет корней; при а = 0 и b = 0 имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).
Решить уравнение:
1). 2х = 1. Разделив обе части уравнения на 2 , получим х = 13 EMBED Equation.3 1415 – единственный корень уравнения.
2). 8х = 0. Разделим обе части уравнения на8: х = 0 – единственный корень уравнения.
3). 0х = 1. Делить на нуль нельзя. Равенство 0х = 1 не является верным ни при каком х, то есть данное уравнение корней не имеет.
4). 0х = 0. Делить на нуль нельзя. Равенство 0х = 0 является верным при любом х. Уравнение имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).
Обратить внимание учащихся на то, что сам факт существования решения зависит от значения коэффициента перед х.
Изучение нового материала.
В уравнении помимо переменной х могут быть введены другие буквы. Например: ax = a +2; (b – 1)x = (b – 5) + х.
В этих уравнениях буквы а и b могут принимать любые числовые значения. Например, задавая произвольно значения а для уравнения
ax = a + 2, получим следующие уравнения:
2x = 4 при а = 2; 0x = 2 при а = 0;
3x = 5 при а = 3; – 4x = – 2 при а = – 4.
Таким образом одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметра).
Пример 1. Решите уравнение ах = 1 относительно х.
Переменную х, которую надо найти, будем называть неизвестной переменной, а переменную а, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.
Решить уравнение с параметром – значит для каждого допустимого значения параметра найти все значения неизвестной переменной, удовлетворяющие этому уравнению или доказать, что таких значений нет.
Решение. Коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая: 1) коэффициент при х равен нулю, и уравнение примет вид 0х = 1 – это уравнение не имеет корней;
2) коэффициент при х не равен нулю, и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент:
а ( 0, 13 EMBED Equation.3 1415 – единственный корень .
Обратить внимание учащихся на конструкцию записи ответа:
1) при а . х .
2) если а . , то х .
В нашем примере можно записать следующим образом
Ответ: если а = 0, то корней нет;
если а ( 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Решите уравнение ах = а относительно х.
Решение. 1) коэффициент при х равен нулю, и уравнение примет вид 0х = 0 – это уравнение имеет бесконечное множество корней;
2) коэффициент при х не равен нулю, разделим обе части уравнения на этот коэффициент:
а ( 0, х = 1 – единственный корень
Ответ: если а = 0, то х – любое число;
если а ( 0, то х = 1.
Пример 3. Исследуйте и решите уравнение ах + 8 = а (а – параметр).
ах = а – 8 – вид уравнения, наиболее удобный для исследования.
1) коэффициент при х равен нулю, и уравнение примет вид 0х = – 8. Полученное уравнение не имеет корней;
2) коэффициент при х не равен нулю, и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент:
а ( 0, 13 EMBED Equation.3 1415 – единственный корень.
Ответ: при а = 0 нет корней; при а ( 0 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4. Решите уравнение (а – 4)х = 5.
Решение: 1) Если а – 4= 0 (то есть а = 4), то 0х = 5 – уравнение корней не имеет.
Если а – 4
· 0 (то есть а
· 4), то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– единственный корень.
Ответ: если а = 4, то корней нет, если а ( 4, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 5. Решить уравнение ах – 6 = 2а –3х.
Решение. Перенесём слагаемые с переменной х в левую часть уравнения, а свободные слагаемые в правую, изменив знаки слагаемых на противоположные. Вынесем х за скобку: (а + 3)х = 2а + 6 . Уравнение записано в виде, наиболее удобном для исследования;
Если а + 3 = 0 (при а = – 3), то уравнение примет вид 0х = 0.
Это равенство верно при любых значениях х .
Если а + 3
· 0 (при а
· – 3), то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то есть
х = 2 – единственный корень.
Ответ: если а = – 3, то х – любое число; если а
· – 3, то х = 2.
Пример 6. Решите уравнение х(а + 2) – а(1 – х) = 3
Решение: Приведем уравнение к виду, удобному для исследования:
х(а + 2) – а(1 – х) = 3 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ах + 2х – а – ах = 3;
2ах + 2х – 3 = а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2 (а + 1) х = а + 3;
Если а = – 1, то 0х = 2, уравнение корней не имеет.
Если а
· – 1, то 13 EMBED Equation.3 1415 – единственное решение.
Ответ: если а = – 1, то корней нет, если а ( – 1, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 7. Решите уравнение х + 2 = а – 1 относительно х.
Решение. х + 2 = а – 1; х = а – 3 – единственное решение. Заметим, что задавая значения параметра а произвольно, можно найти значения переменной х.
В нашем примере: при а = 5 х = 2;
при а = 0 х = –3;
при а = – 2 х = – 5.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а х = а – 3.
Пример 8. При каком значении параметра а число 1 является корнем уравнения а х = 5?
Если а = 0, то 0х = 5, уравнение корней не имеет.
Если а
· 0, то данное уравнение имеет решение.
При х = 1 уравнение обращается в верное равенство, найдем значение а: а = 5.
Ответ: при а = 5.
Пример 9. При каком значении параметра а число 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7?
Решение. Приведем уравнение к виду х = а + 5.
При подстановке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство:
2,5 = а + 5. Откуда находим а = – 2,5.
Ответ: при а = – 2,5.
Пример 10. Имеет ли уравнение  3х+5 = 3х+а  решение при  а = 1?  Подберите значение  а, при котором уравнение будет иметь корни.
Решение. Приведем уравнение к виду 0х = а – 5 .
При  а = 1 уравнение не обращается в верное равенство ни при каких значениях х, решений нет.
При а = 5 уравнение примет вид 0х = 0, любое х является решением.
Ответ: при  а = 1 нет решений; при а = 5 х – любое число.
Пример 11. Исследуйте уравнение 2х – а = 2х – 7 и найдите значения параметра а, при котором: а) число 3 – корень данного уравнения;
б) число 1 не является корнем.
Решение. Приведем уравнение к виду 0х = а – 7.
При а = 7 уравнение примет вид 0х = 0, любое х является решением, значит число 3 является корнем.
Если а
· 7, то уравнение не обращается в верное равенство ни при каких значениях х, и число 1 не является корнем данного уравнения.
Ответ: а) при  а = 7; б) при а
· 7.
Пример 12.  Найдите решение уравнения  ах = 4х+5 при: а)   а = 4;  б)   а
· 4.
Ответ: а) при  а = 4 нет корней; б) при  а
· 4 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – единственное решение.
Домашнее задание.
1. Выразить х через другие переменные, если: а) у = 3х +b; б) у = (к – 1)х – 1.
2. Решить уравнения:
а) (а – 2) х = 3; б) (к + 4)х = 2к + 1; в) х +1 + (2 – 3а)х = а;
3. При каких значениях к, уравнение (к + 4)х = 2к + 1 имеет корень, равный – 5; 0,2.
Ответы: 1. а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. а) при а = 2 решений нет; при а
· 2 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
б) при к = – 4 решений нет; при к
· – 4 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
в) при а = 1 х – любое число; при а
· 1 х = – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. к = – 3; – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;.


Занятие 2

Цель урока: расширение представления учащихся об уравнениях с параметрами; формирование умений решать линейные уравнения с параметром.
Тренировочные задания.
Пример 1. Найти все натуральные значения а, при которых корень уравнения  (а – 1)х = 12  является:
a) натуральным числом; б) неправильной дробью.
Решение: а
· 1, так как иначе уравнение не имеет решений; а) если  а
· 1, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 – целое число, если знаменатель равен делителю числа 12.
Делители числа 12: 1; 2; 3; 4; 6 и 12. Перебором находим: при  а = 13,  х = 1; при а = 7,  х = 2; при  а = 5,   х = 3;
при  а = 4,  х = 4; при  а = 3,  х = 6; при  а = 2,  х = 12. Ответ:  а є {13, 7, 5, 4, 3, 2}. б) если  а
· 1, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Дробь13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 неправильная, если (а – 1) – натуральное число, не больше 12.
Перебором находим, что а є {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.
Пример 2.  При каких значениях  а  уравнение  (а2 – 1)х = а + 1
а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений;
в) имеет единственный корень. Решение: а) данное уравнение не имеет решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю, а выражение, стоящее в правой части уравнения не обращается в нуль, то есть  13 EMBED Equation.DSMT4 1415 откуда а = 1. Таким образом, при а = 1 уравнение не имеет решений. б) данное уравнение имеет бесконечное множество решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю и выражение, стоящее в правой части уравнения, обращается в нуль, то есть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 откуда а = – 1. Таким образом,  при а = – 1 уравнение имеет бесконечное множество решений.
в) уравнение имеет единственное решение, при  а2 – 1
· 0, то есть если (а – 1)(а + 1)
· 0,  т.е. а
· ±1. Ответ: а) уравнение не имеет решений, при  а =1;
б) уравнение имеет бесконечное множество решений, при  а = – 1;
в) уравнение имеет единственный корень, при  а
· ± 1.
Пример 3. Для всех значений параметров а и b решить уравнение
(а – 2)х = 4а + 3b.
Решение. 1) Если а – 2 = 0 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а = 2, то уравнение имеет вид 0
·х = 8 + 3b.
Если 8 + 3b
· 0 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 b
· 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то уравнение корней не имеет.
Если 8 + 3b = 0 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 b = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то уравнение примет вид 0
·х = 0.
Уравнение обращается в верное равенство при любых значениях х.
2) Если а – 2
· 0 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а
· 2, то при любом b 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – единственное решение.
Ответ: если а = 2, b
· 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то корней нет;
если а = 2, b = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то х – любое число;
если а
· 2, b – любое, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Найдите значение а, при котором число 2 является корнем уравнения х(а – 2) – а(1 – х) = 3.
2. Решите уравнения:
а) 2х – 3(х – а) = 3 + а; б) ах – 3(1 + х) = 5.
Ответы: 1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. а) х = 2а – 3;
б) если а = 3, то корней нет; если а ( 3, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
1. Найдите значение а, при котором число 3 является корнем уравнения а(1 + х) – х(1 – а) = 4.
2. Решите уравнения:
а) а + 6(х – 1) = 2а + х; б) 7 – ах = 2(3 + х).
Ответы: 1. а = 1.
2. а)13 EMBED Equation.3 1415;
б) если а = – 2, то корней нет; если а ( – 2, то 13 EMBED Equation.3 1415.

Задания на дом:
Подберите число а так, чтобы уравнение 4х – 3 = 2х + а имело корень: а) х = 1; б) х = – 1; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) х = 0,3.
2) Выясните, имеет ли уравнение корни при заданном значении а:
а) 7х + а = 7х + 5 при а = 1; б) 13 EMBED Equation.3 1415х + 3 = 2х + а при а = 4?
3) Решите уравнения:
а) 10х +15(х +а) = 12 –3а; б) 9ах +5(4 +8х) = –13.
Ответы: 1) а) а = – 1; б) а = – 5; в) а = – 2; г) а = – 2,4.
2) а) корней нет; б) корни есть.
3) а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) если 13 EMBED Equation.3 1415, то корней нет, если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Занятие 3

Цель урока: введение алгоритма решения линейных уравнений с параметром; продолжение работы по формированию умения решать линейные уравнения с параметром.
Пример 1: Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Введем обозначения выражений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,
Тогда уравнение примет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
k(a) не имеет смысла при а = 2, и уравнение смысла не имеет.
b(a) не имеет смысла при а = – 3, и уравнение смысла не имеет.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то уравнение примет вид 0
·х=13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Полученное уравнение корней не имеет.
Решим систему: 13 EMBED Equation.3 1415, система решений не имеет.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то уравнение примет вид 0
·х = 0. Любые значения
х обращают его в верное равенство. Найдем соответствующие значения параметра а, решив систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415.
Система имеет единственное решение при а = – 2. 5) Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и при этом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет смысл, то уравнение имеет единственный корень 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найдем решение уравнения при указанных условиях: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если а ( – 2, а ( – 3, а ( 2, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: если а = 2, а = – 3, то уравнение смысла не имеет;
если а = – 2, то х – любое число,
если а ( – 2, а ( – 3, а ( 2, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Обобщение с алгоритма решения уравнений вида k(a)x = b(a) с помощью таблицы 1.1 (на плакате).

Таблица 1.1
Алгоритм решения уравнений вида k(a)x = b(a)
Условия для поиска значения параметра а
Характеристика множества корней

Поиск недопустимых
1. k(a) не имеет смысла
(само уравнение не

значений параметра а
2. b(a) не имеет смысла
имеет смысла)




3. 13 EMBED Equation.3 1415
корней нет

4. 13 EMBED Equation.3 1415
х – любое число

5. 13 EMBED Equation.3 1415
один корень 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 2. Решите уравнение (k2 – 1)x = k + 1.
Решение: 1) k + 1 имеет смысл при любом k.
2) k2 – 1 имеет смысл при любом k.
3) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , k = 1.
При k = 1 исходное уравнение решений не имеет.
4) 13 EMBED Equation.3 1415, если k = – 1, то х – любое число.
5) (k2 – 1) ( 0, (k – 1) (k + 1) ( 0 , k
· 1 и k
· – 1 .
если k ( 1 и k ( – 1, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: если k = 1, то решений нет;
если k = – 1, то х – любое число;
если k ( 1, k ( – 1, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. При каких значениях параметров m и n уравнение 2m – nx = 1 не имеет решений? Решите это уравнение.
Решение: 2m – nx = 1 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 nx = 2m – 1.
1) n имеет смысл при любом n.
2) 2m – 1 имеет смысл при любом m.
3) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, при этом условии исходное уравнение корней не имеет.
4) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, х принимает любое значение.
5) n ( 0, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: если n = 0 и 13 EMBED Equation.3 1415, то корней нет;
если n = 0 и 13 EMBED Equation.3 1415, то х любое число.
если n ( 0 и m любое число, то 13 EMBED Equation.3 1415;
Примеры 4 и 5 решить самостоятельно с последующей проверкой.
Пример 4. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Решение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415х = 2 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При а = 0 выражение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и исходное уравнение не имеют смысла.
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 0, если а = – 1 , то исходное уравнение не имеет корней.
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
· 013 QUOTE 1415, если а 13 QUOTE 1415 – 1 , а 13 QUOTE 1415 0, то х = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет смысла;
если а = – 1 , то корней нет;
если а 13 QUOTE 1415 0, а 13 QUOTE 1415 – 1 , то х =13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 5. Решите уравнение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не имеет смысла, если а = – 2. То есть а = – 2 не является допустимым значением;
а2 – 1 имеет смысл при любых значениях а;
Исходное уравнение не имеет корней, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Полученная система уравнений решений не имеет.
х – любое число, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. То есть при а = – 1;
при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 исходное уравнение имеет единственное решение
х = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; х = а2 + а – 2.
Ответ: если а = – 2, то уравнение не имеет смысла;
если а = – 1, то х – любое число;
если а
· – 2 и а
· – 1, то х = а2 + а – 2.

Самостоятельная работа:
Вариант 1
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) х = а.
Если а = 0 и b ( – 3, то корней нет;
если а = 0 и b = – 3, то х любое число;
если а = 0 и b – любое число, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2
Решите уравнения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) х = 6c.
2) Если y = 0 и g ( – 3, то корней нет;
если y ( 0 и g – любое число, то 13 EMBED Equation.3 1415;
если y = 0 и g = – 3, то х – любое число.
Задание на дом.
Решите уравнения:
1) (2b – 3x) + (x – 5b) = 4x + 6b;
2) 6(x – a) = 7(х + b);
3) а2 ( х – 5) = 25( х – а );
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответы: 1) х = 13 EMBED Equation.3 1415; 2) х = – (7b + 6a);
3) При а = – 5 корней нет; при а = 5 х – любое число;
при а
· – 5 и а
· 5 х = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4) При n = 1 уравнение не имеет смысла; при n = 0 корней нет;
при n
· 0 и n
· 1 х = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Занятие 4

Цель урока: решение линейных уравнений с параметром.
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнения ах = 12 и
3х = а имеют общие корни?
Решение. Уравнение ах = 12 имеет корни, если а
· 0, тогда х = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – единственное решение. Уравнение 3х = а имеет единственное решение х = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, значит 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а2 = 36 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а1 = 6, а2 = – 6.
Ответ: при а1 = 6, а2 = – 6.
Пример 2. Графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются в точке с абсциссой, равной – 2. Найдите ординату точки пересечения.
Решение. При х = – 2 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; а = 2. При а = 2 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: –2.
Пример 3. При каком значении а прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, при условии 13 EMBED Equation.3 1415 система принимает вид: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если х = 3, то а = 4.
Рис. 1.1 Ответ: при а = 4.
Пример 5. При каких значениях а уравнение (х + 1)(х – 2)(х – а) = 0 имеет ровно два корня?
Решение. Произведение равно нулю, если х = – 1 или х = 2, или х = а.
а – подвижная точка на числовой прямой. Данное уравнение имеет ровно два корня, если
Рис. 1.2 а совпадает с – 1 или а совпадает с 2.
Ответ: при а = – 1 или а = 2.
Пример 6. При каких значениях а уравнение
(х + 2а + 1)(х + 1)(х – 2)(х – а) = 0 имеет ровно три корня?
Решение. Произведение равно нулю, если х = – 2а – 1 или х = – 1, или х = 2, или х = а, то есть числа – 2а – 1; а ; –1 и 2 – корни исходного уравнения.
На числовой прямой – две подвижные точки: х = – 2а – 1 и х = а.
Положение точек на числовой прямой при больших значениях а ( при а >> 2 ) отображено Рис. 1.3 на рисунке 1.3.
Если а движется к 2, то точка – 2а – 1 движется к – 1. Выясним, какая точка «добежит» быстрее.
Пусть а = 2, тогда точка – 2а – 1 совпадет с – 5 (рис.1.4), и уравнение будет иметь ровно три корня: – 5; – 1; 2.

Рис.1.4 Рис.1.5 Рис.1.6
Пусть а движется к – 1. При а = – 1 –2а – 1= 1. Значит точка –2а – 1 «добежит» до –1 быстрее точки а (рис.1.6), исходное уравнение будет иметь ровно три корня .
Если точка –2а – 1 совпадет с –1 (рис.1.5), то –2а – 1 = –1 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а = 0. То есть, при а = 0 уравнение будет иметь ровно три корня.
При дальнейшем движении подвижные точки «встретятся» между –1 и 0 (рис.1.7). Найдем соответствующее значение а, решив уравнение
–2а – 1 = а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, при этом уравнение будет иметь ровно три корня.

Рис.1.7 Рис.1.8 Рис.1.9
Продолжим движение точек (рис.1.8): если точка –2а – 1 « добежит» до 2 (рис.1.9), то –2а – 1 = 2 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и уравнение будет иметь ровно три корня.
Ответ: при а = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; а = –1; а =13 EMBED Equation.DSMT4 1415; а = 0; а = 2.
Примеры 7 и 8 решить самостоятельно с последующей проверкой.
Пример 7. При каком значении а прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат? (Ответ: а = –3.)
Пример 8. При каком значении k прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс? (Ответ: k = 6,5.)
Задание на дом.
1.Решите уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) mx(m – 2) + 9 = mx + m2.
Ответ: а) если а ( 2, то 13 EMBED Equation.3 1415; если а = 2, то решений нет.
б) если а = 2, то уравнение не имеет смысла; если а ( 2, то х = 2;
в) если m = 3, то x – любое число из R; если m = – 3, m = 0, то корней нет; если m ( – 3, m ( 0, m ( 3, то 13 EMBED Equation.3 1415.
2. При каком значении a прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?
3. При каком значении k прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?
Ответ: 2. а = 613 EMBED Equation.3 1415. 3. k = 13 EMBED Equation.3 1415.
Линейная функция. Расположение графика функции в зависимости от параметров
Занятие 1

Цель урока: расширение представления учащихся о задачах с параметрами; изучение расположения графика линейной функции в зависимости от коэффициентов.
Повторение изученного материала(по учебнику под редакцией С.А.Теляковского).
Графиком линейной функции у = kx +b (где k и b – числа) является прямая, расположенная под углом
· [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] к положительному направлению оси OX и пересекающая ось ОУ в точке (0; b). Величина угла зависит от коэффициента k. Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой.
Если угловые коэффициенты прямых различны, прямые пересекаются.
Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, то прямые либо параллельны (при различных значениях слагаемых b), либо совпадают (при равенстве слагаемых b).


 





Рис. 2.1 Угловой коэффициент k > 0 Рис. 2.2 Угловой коэффициент k < 0






Рис. 2.3 Угловые коэффициенты Рис. 2.4 Угловые коэффициенты
прямых различны прямых равны

Тренировочные задания.
1. При каких значениях k и b прямые, заданные следующими уравнениями, параллельны:
а) у = 2х+3, у = kх –5; б) у = – х –5, у = kх; в) у = 5, у = kх +6; г) у =1 – х+2, у= kх +2;
д) у = 3х +1, у =3х +b; е) у = 2х +b, у = kх +b;
ж) у = 2х +b, у = kх +b+1; з) у = (k –1)х –1, у = kх;
и) у = 13 EMBED Equation.3 1415х +5, у = kх; к) у = kх +b, у = kх +13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а) k =2; б) k = –1; в) k = 0; г) k = –1; д) b
· 1;
е) таких значений нет; ж) k = 2 , b –любое число; з) таких значений нет; и) k
· 0; к) k – любое число, b <0.
2. При каких значениях k и b прямые, заданные следующими уравнениями, пересекаются (имеют одну общую точку):
а) у = 4х+1, у = kх –5; г) у =2х+b, у = kх – 2;
б) у = –3, у = kх +10; д) у =(k+1)х +b, у =2kх;
в) у =2х+b, у =2х – 1; е) у =13 EMBED Equation.3 1415х +7, у = kх.
Ответ: а) k
· 4; б) k
· 0; в) таких значений нет;
г) k
· 2, b –любое число; д) k
· 1, b –любое число; е) k < 0.
3. При каких значениях k и b прямые, заданные следующими уравнениями, совпадают:
а) у = 3+х, у = kх+b; г) у =(k +1)х +b, у =2kх –3;
б) у =10 – 3х, у = kх+10; д) у =(k – 1)х +b, у =2kх +b.
в) у =1 – х +2, у = kх+2;
Ответ: а) k = 1, b = 3; б) k = –3; в) таких значений нет;
г) k = 1, b = –3; д) k = –1, b –любое число.
4. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и через точку:
а) (1;1); б) (1;3); в) (1; –5); г) (2;4); д) (–1; –1); е) (2;1); ж) (3; –1).
Ответ: а) у = х; б) у =3х; в) у = –5х; г) у =2х; д) у = х; е) у = 0,5х; ж) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5. Известно, что коэффициент k линейной функции у = kх+b равен 2. График ее проходит через точку (3,8;1). Найдите ординаты точек графика, имеющие абсциссу: а) х = 4,8; б) х = 5,8; в) х = 2,8; г) х = 13,8.
Ответ: а) у = 3; б) у = 5; в) у = –1; г) у = 21;
Известно, что коэффициент k линейной функции у = kх+b равен –1. График ее проходит через точку ( –2,7; 2,5). Найдите абсциссу точки графика, ордината которой: а) у = –1,7; б) у = –3,7; в) у = –12,7; г) у = 0,3.
Ответ: а) х = 1,5; б) х = 3,5; в) х = 12,5; г) х = –0,5.
Линейная функция задана уравнением у =2х+b.
Найдите слагаемое b, если:
а) графику функции принадлежит точка (0; –3);
б) график функции пересекает ось OY в точке с ординатой –4;
в) график функции проходит через начало координат;
г) график функции проходит через точку (1; 3);
д) график функции проходит через точку (2;10);
е) график функции пересекает ось абсцисс в точке (–4; 0).
Ответ: а) b = 3; б) b = –4; в) b = 0; г) b = 1; д) b = 6; е) b = 8.
8. Задайте формулой линейную функцию, график которой пересекает координатные оси в точках:
а) (0; 1), (1; 0); б) (0; –2), (1; 0); в) (0; –2), (–4; 0);
г) ось ОХ в точке с абсциссой –2, а ось ОY в точке с ординатой 1.
Ответ: а) у = 1 – х; б) у = 2х – 2; в) у = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415х – 2; г) у = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415х + 1.
9. Взаимное расположение прямых.
а) Известно, что график функции у = kх +b параллелен графику функции у = – х +5 и расположен ниже его. Что можно сказать о параметрах k и b?
б) Известно, что график функции у = kх +b проходит через ту же точку на оси ординат, что и график функции у = 2х – 3. Кроме того, точки графика функции у = kх +b с отрицательными абсциссами расположены ниже точек графика функции у = 2х – 3 с отрицательными абсциссами. Что можно сказать о параметрах k и b?
Ответ: а) k = – 1, b < 5; б) k > 2, b = – 3.
10. Повторение. Решить уравнение 2bх – 3x – a + 2 = 0.
Ответ: если а – любое, b
· 1,5, то х = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; если а = 2, b = 1,5, то х – любое число; если а
· 2, b = 1,5, то корней нет.


Задание на дом.
При каких значениях k и b прямые, заданные следующими уравнениями, параллельны: е) у =1 –2х –5 , у = kх +b; к) у = kх +4, у =2kх +2;
При каких значениях k и b прямые, заданные следующими уравнениями, пересекаются (имеют одну общую точку): а) у =2 – х, у = kх +2; б) у =(k+1)х +b, у = kх+b+1;
При каких значениях k и b прямые, заданные следующими уравнениями, совпадают: а) у = ( k – 4)x + 7, y = 2x + b; б) у =2( k + 3)x – b, y = 8x + b.
Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и через точку: а) (4; –3);
·б) ( –1;0,4).
Линейная функция задана уравнением у = kх+b. Найдите k и b, если график функции проходит через точки (2; –1) и ( –2;7).
Задайте формулой линейную функцию, график которой пересекает ось ОХ в точке с абсциссой –4, а ось ОY в точке с ординатой 8.
Известно, что график функции у = kх +b параллелен графику функции у = –2х – 3 и расположен выше его. Что можно сказать о параметрах k и b?
График функции у = kх +5 параллелен графику функции у = (2k – 1)x +b и расположен ниже его. Что можно сказать о параметрах k и b?
При каких значениях а и b уравнение (a – 1)x + b + 2 = 0 имеет корнем любое число?
Ответы. 1. а) k = –2 , b
· –4; б) k = 0; 2. а) k
· –1; б) при любых значениях k и b; 3.а) k = 6 , b = 7; б) при k = 1 и любых значениях b; 4. а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 5. k = –2 , b = 3; 6.13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 7. k = –2 , b > –3; 8. k = 1 , b > 5; 9. При а = 1 и b = – 2.
Занятие 2

Цель урока: формирование умения решать задачи с параметрами на расположение графика линейной функции в зависимости от коэффициентов.
Тренировочные задания.
1. Взаимное расположение прямых.
На координатной плоскости (рис.2.5) нарисованы шесть прямых – графиков функций: 1) у = k1 х +b1 ; 2) у = k2 х +b2 ; ; 6) у = k6 х +b6 .
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2.5
Известно, что прямые 2 и 3 параллельны.
а) Определите знаки коэффициентов: k1 и b1 ,, k6 и b6 .
б) Выпишите коэффициенты k1 , k2 k6 в порядке возрастания.
в) Выпишите слагаемые b1 , b2 b6 в порядке возрастания.
Ответ: а) k1 < 0 и b1< 0; k2 > 0, b2 = 0; k3 > 0, b3 < 0; k4 = 0, b4 > 0; k5 < 0, b5> 0; k6 < 0 и b6< 0;
б) k5, k6, k1, k4, k2 = k3;
в) b1 = b3, b6, b2, b4, b5.
2. Среди десяти данных ниже функций Рис. 2.6
есть пять, графики которых изображены на рисунке 2.6
(прямые c и f параллельны). Для каждого графика найдите соответствующую ему функцию. Ответ поясните.
у = 2х +3; 2) у = 3;
3) у = –2х +3; 4) у = 1,5х;
5) у = –3,5; 6) у = 1,5х +3;
7) у = 2х –2; 8) у = – х–1; 9) у = –1,5х –2,5;
10) у = –4х.
Ответ: a – 9; b – 2; c – 7; d – 4;
f – 1.
На координатной плоскости Рис. 2.7
нарисованы пять прямых графиков функций, координаты некоторых точек даны (см. рис. 2.7). Известно, что прямые b и c параллельны. Задайте функции формулами.
Решение. Линейная функция задается формулой у = kx + b.
Прямая а проходит через точки (–1; 0) и (1,5; –1). Поэтому 0 = – k + b 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 k = b и –1= 1,5 k + b 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 2,5 k = –1 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 k = – 0,4.
Уравнение прямой а: у = –0,4х –0,4.
Ответ: а: у = –0,4х –0,4; b: у = 2х; c: у = 2х – 4; d: у = –2; f: у = –х + 2.
Расположение точек графика линейной функции по координатным четвертям.
Напомнить учащимся, что точки координатных осей не принадлежат ни одной из координатных четвертей.
а) Рассматриваются все функции вида у = kх+3. При каких значениях коэффициента k точки, лежащие в III четверти, не будут принадлежать графику функции?
Решение. Уравнение у = kх+3 задаёт прямую, пересекающую ось ОУ в точке (0; 3).
Положение прямой на координатной плоскости зависит от значения k (см. рисунок 2.8) .
При k < 0 и k = 0 прямая не проходит через III Рис. 2.8 координатную четверть.
Ответ: при k
· 0 точки, лежащие в III четверти, не будут принадлежать графику функции.
б) Рассматриваются все функции вида у = kх+5. При каких значениях коэффициента k точки, лежащие в III и IV четвертях, не будут принадлежать графику функции? (Ответ: при k = 0.)
в) Рассматриваются все функции вида у = kх –2. При каких значениях коэффициента k точки, лежащие в III четверти, не будут принадлежать графику функции? (Ответ: таких значений k нет.)
г) Рассматриваются все функции вида у =2х+b. При каких значениях b точки, лежащие во II четверти, не будут принадлежать графику функции?
Решение. Уравнение у =2х+b задаёт прямую, параллельную прямой у =2х.
При b < 0 и b = 0 прямая не проходит через II координатную четверть.
Ответ: при b
· 0 точки, лежащие в II четверти, не будут принадлежать графику
Рис. 2.9 функции.
д) Рассматриваются все функции вида у = kх+b. При каких значениях k и b точки, лежащие в III четверти, не будут принадлежать графику функции?
Решение. Графическая иллюстрация расположения прямой в зависимости от k и b представлена на рисунках 2.8, 2.9 и 2.10 .

Рис. 2.8 b>0 Рис. 2.9 b=0 Рис. 2.10 b<0
Точки, лежащие в III четверти, не будут принадлежать графику функции при b> 0 , k
· 0 и при b= 0 , k
· 0; при b<0 некоторые точки III четверти принадлежат графику функции, что не удовлетворяет условию задачи.
Ответ. b
· 0 и k
· 0.
е) Рассматриваются все функции вида у = kх+b. При каких значениях k и b некоторые точки, лежащие во II четверти, будут принадлежать графику функции?
Решение. Графическая иллюстрация расположения прямой в зависимости от k и b представлена на рисунках 2.11, 2.12 и 2.13.

Рис. 2.11 b>0 Рис. 2.12 b=0 Рис. 2.13 b<0
Некоторые точки, лежащие во II четверти, будут принадлежать графику функции у = kх+b, если b >0 и k – любое число; если b=0 и k
·0; если b <0 и k <0.
6. Точки пересечения графиков функции
а) При каком k точка пересечения графиков функций у = х+1 и у = kх расположена:
в I четверти;
во II четверти;
в III четверти?
Решение. При k =1 прямые параллельны, то есть не пересекаются. Если k >1, то прямая у = kх расположена в выделенной области на рисунке 2.14, и точка пересечения графиков данных функций принадлежит I четверти.
Если 0< k <1, то прямая у = kх расположена в выделенной области на рисунке 2.15, и точка пересечения графиков данных функций принадлежит III четверти.
При k <0 точка пересечения графиков данных функций расположена во II четверти (см. рисунок 2.16).


Рис. 2.14 Рис. 2.15 Рис. 2.16
Ответ. При k >1 в I четверти; при 0< k <1 во II четверти;
при k <0 в III четверти.
б) При каких k точка пересечения графиков функций у = –х –2 и у = kх –4 расположена в четвертой координатной четверти? (Ответ: при –1
· k <0.)
в) При каких k точка пересечения графиков функций у = –2х –3 и у = kх+2 расположена в I четверти? (Ответ: таких значений k нет.)
г) Исследуйте в каких четвертях в зависимости от k может располагаться точка пересечения графиков функций у = –0,5х+1 и у = kх+2.
(Ответ: если k
· 0, то во II четверти; если k <0, то в I или IV четвертях.)
Задание на дом.
Рассматриваются все функции вида у = – х+b. При каких значениях b точки, лежащие в I четверти, не будут принадлежать графику функции?
Рассматриваются все функции вида у = kх –1. При каких значениях коэффициента k точки, лежащие во II четверти, не будут принадлежать графику функции?
Исследуйте в каких четвертях в зависимости от k может располагаться точка пересечения графиков функций у = –2х+4 и у = kх.
Ответ должен иметь такую структуру: при таких-то k точка пересечения расположена в I четверти, при таких-то во II и т.д.
Решить уравнение а2х + 3 = а(х + 3) для всех значений параметра а.
При каких значениях а уравнение (х – а)(х + 3)( х –4) = 0 имеет ровно два решения?
Ответы. 1. При b
· 0. 2. При k
· 0. 3. При k > 0 точка пересечения расположена в I четверти; при k < –2 точка пересечения расположена в III четверти; при –2< k <0 точка пересечения расположена в IV четверти. 4. Если а = 0, то решений нет; если а = 1, то х – любое число; если а
· 0 и а
· 1, то13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 5. При а = –3 и а = 4.





Занятие 3(обобщающее)
Цели урока: обобщение и систематизация полученных знаний; подготовка к проверочной работе.
Тренировочные задания.
1. Решите уравнения относительно х:
а) mх = 8; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) (а2 – 49)х =2а + 14;
д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415; ж) 13 EMBED Equation.3 1415;
з) 13 EMBED Equation.3 1415; и) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. При каких значениях параметра b уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет корней?
3. При каких значениях а уравнение (х – а + 4)(х +2а)(х – 3)(х +6) = 0 имеет ровно три корня?
Иллюстрировать решение на числовой прямой.
4. Исследуйте где в зависимости от b может располагаться точка пересечения графиков функций у = х+b и у = 0,5х.
5. При каком k точка пересечения графиков функций у = х+1 и у = kх расположена: а) в в I четверти; б)во II четверти?
Ответы:
1. а) если m = 0, то корней нет; если m ( 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.
б) если а = 0, то х – любое число; если а ( 0, то х = 1.
в) если а = – 3, то корней нет; если а ( – 3, то 13 EMBED Equation.3 1415.
г) если а = 7, то корней нет; если а = – 7, то х – любое число;
если а ( – 7 и а ( 7, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
д) если с = – 2, с = 2, то корней нет; если с ( – 2 и с ( 2, то 13 EMBED Equation.3 1415.
е) если а = 0 или а = – 1, то корней нет;
если а ( –1, а
· 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.
ж) если с = 0 или с = 4, то корней нет; если с ( 4 и с ( 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.
з) если m = 0, то корней нет; если m = 4, то х – любое число;
если m ( 0 и m ( 4, то 13 EMBED Equation.3 1415.
и) если а = 4, то корней нет; если а = 0, то х
· 4;
если а ( 0 и а ( 4, то х = а.
2. При b = –2 и b = 5.
3. При а = –2; а = –1,5; а = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; а = 3; а = 7.
4. При b >0 в I четверти; при b < 0 в III четверти; при b = 0 в начале координат.
5. При k < – 1 в I четверти; при k > 0 во II четверти.
Задание на дом.
1.Решите уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415; ж) (а2 – 9)х = а + 3.
2. При каких значениях а уравнение х (х – 2)(х +5а) = 0 имеет ровно два корня?
3. Рассматриваются все функции вида у = kх – 4 . При каких значениях коэффициента k точки, лежащие во II четверти, не будут принадлежать графику функции?
Исследуйте, в каких четвертях в зависимости от b может располагаться точка пересечения графиков функций у=2х – 6 и у = х+b.
Ответы:
1.а) если n = 2, то корней нет; если n ( 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.
б) если b = 0 или b = 1, то корней нет; если b ( 0, b ( 1, то 13 EMBED Equation.3 1415.
в) если b = 0, то х – любое число; если b ( 0, то 13 EMBED Equation.3 1415.
г) если b = – 1, то корней нет; если b ( – 1 и b ( 0, то 13 EMBED Equation.3 1415
если b = 0, то корень уравнения – любое число.
д) если n = 0, то корней нет; если n ( 5 и n ( 0, то 13 EMBED Equation.3 1415;
если n = 5, то корень уравнения – любое число.
е) если p = 0 или p = 5, то корней нет;
если p ( 0 и p ( 5, то 13 EMBED Equation.3 1415.
ж) если а = 3, то корней нет; если а = – 3, то х – любое число;
если а ( – 3 и а ( 3, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При а = 0 и а = –0,4.
При k
· 0.
При b
· –6 в I четверти; при b < –6 в III четверти.

Проверочная работа по теме «Решение линейных уравнений, содержащих параметры»

Вариант 1
1. Подберите число а так, чтобы уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имело корень: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Выясните имеет ли корни уравнение при заданном значении а:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. При каком значении а прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?
4. Решите уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5. Графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 симметричны относительно оси абсцисс. а) найдите k и b;
б) найдите точку пересечения графиков.

Вариант 2
1. Подберите число а так, чтобы уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имело корень:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Выясните имеет ли корни уравнение при заданном значении а:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. При каком значении k прямые 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?
4. Решите уравнения: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5. Графики функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 симметричны относительно оси ординат. а) найдите k и b;
б) найдите точку пересечения графиков.
Ответы
Вариант 1
1. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) корней нет. 3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. а) если 13 EMBED Equation.3 1415, то корней нет; если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
б) если 13 EMBED Equation.3 1415, то корней нет; если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
в) если а = – 2, то корней нет; если а
· – 2, то х = а.
5. а) k = – 3, b = 6; б) (– 2; 0)
Вариант 2
1. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) корней нет. 3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. а) если 13 EMBED Equation.3 1415, то корней нет; если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
б) если 13 EMBED Equation.3 1415, то корней нет; если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
в) если а = 5, то корней нет; если а
· 5, то х = а.
5. а) k = – 13 EMBED Equation.3 1415, b = 2; б) (0; 2).

Уравнения с модулями и параметрами
Занятие 1. Решение уравнений с параметрами, содержащих переменную под знаком модуля

Цель урока: расширение представления учащихся об уравнениях с параметрами, знакомство с уравнениями, содержащими переменную под знаком модуля.
Подготовительные задания.
Вспомним определение модуля числа а: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отметим, что: 1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при любых значениях а;
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, только при а =0;
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 решений не имеет;
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5)13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решить уравнения:
|2х – 3|=2
Решение. По определению модуля 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ. 0,5; 2,5.
|х – 2|=3. Ответ. –1; 5.
|х – 4|= 2х.
Решение. По свойству 13 EMBED Equation.DSMT4 1415получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


4.||х +3| –1|=2.
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ. –6; 0.
Решение уравнений.
Пример 1. Для всех значений параметра а решить уравнение |х – 3| = а.
Решение. Так как |х – 3|
· 0, то при а < 0 уравнение решений не имеет.
Если а = 0, то х = 3 является единственным решением.
Если а > 0, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
х – 3 = а и х – 3 = – а и имеет два решения х1 = а + 3, х2 = 3 – а.
Ответ. Если а < 0, то уравнение решений не имеет; если а = 0, то х = 3;
если а > 0, то х1 = а + 3, х2 = 3 – а.
Пример 2. Для всех значений параметра а решить уравнение |х – а| = х – 2.
Решение. Уравнение равносильно системе 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решим первую систему 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если а = 2, то решением будет множество х
· 2. Если а
· 2,то система не имеет решения.
2) Решим вторую систему 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найдём значения параметра а, при которых выполняется условие х
· 2. То есть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а
· 2.
Таким образом, если а
· 2, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, причем при а = 2 решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 входит в решение первой системы.
Ответ. Если а > 2, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; если а = 2, то х
· 2; если а < 2, то
решений нет.
Решите уравнения 3, 4, 7 и 8 самостоятельно (с последующей проверкой).
Пример 3. | х | = а. Ответ. При а < 0 решений нет; при а = 0 х = 0;
при а > 0 х1 = а, х2 = –а.
Пример 4. | а | = х. Ответ. При любых значениях а х = | а |.
Пример 5. | х | + | а | = 0.
Решение. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ. При а = 0 х = 0; при а
· 0 решений нет.
Пример 6. | х2 – х | + | х – а | = 0.
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, значит 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ. При а = 0 х = 0; при а = 1 х = 1; при а
· 0 и а
· 1 решений нет.
Пример 7. |х – 5| – 2b + 8 = 0.
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; причем если b = 4, то х = 5.
Ответ. При b = 4 х = 5; при b > 4 х1 = 2b – 3, х2 = – 2b + 3;
при b < 4 решений нет.
Пример 8. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415; если 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет.

Задание на дом.
Решите уравнения:
а) | х | = – а; б) | х – 2| = b; в) | х – а | = 3 – х;
г) | а |х + 2| = х + 3а;
Каково множество всех возможных значений выражения ?
Ответы
1. а)При а > 0 решений нет; при а = 0 х = 0; при а < 0 х1 = –а, х2 = а.
б) При b < 0 решений нет; при b = 0 х = 0; при b > 0 х1 = b + 2, х2 = 2 – b.
в) При а > 3 решений нет; при а = 3 х
· 3; при а < 3 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
г) Если а = –1 или а = 1, то решений нет; если а
· –1 и а
· 1, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. 0 и 4.


Занятие 2. Графический метод решения уравнений

Цель урока: расширение представления учащихся о способах решения уравнений с параметрами, знакомство с графическим методом решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.
Подготовительные задания.
Повторить построение графиков функций, подобных следующим:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415; д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415;
ж) 13 EMBED Equation.3 1415; з) 13 EMBED Equation.3 1415; и) 13 EMBED Equation.3 1415; к) 13 EMBED Equation.3 1415;
л) 13 EMBED Equation.3 1415.
Объяснение нового материала.
Для линейной функции у = kх+b k и b – параметры, которые определяют положение графика функции на координатной плоскости.
«Задачи на параметр b».
а) Сколько корней в зависимости от параметра  b имеет уравнение  2| х| – 1 – х = b? Решение. Преобразуем уравнение к виду  2|x| – 1 = х + b. Построим графики функции
у =2|x| – 1  и  у = х + b
в одной системе координат.
Графиком функции
у =2|x| – 1  является
ломаная (рис.4.1), график
функции у = х + b – это
прямая, параллельная прямой  у = х. Прямая у = х + b пересекает осью ординат в точке с координатами (0;b).
Рис. 4.1 Если b < – 1, то прямая у = х + b не пересекает ломаную у =2|x| – 1. Значит исходное уравнение решений не имеет.
Прямая у = х + b при   b = –1 пройдет через вершину ломаной у =2|x| – 1,   т.е. через точку (0; –1).  В этом случае уравнение имеет единственное решение.
Если увеличивать параметр b, то точек пересечения будет ровно две – прямая у = х + b пересечется с каждой из ветвей ломаной. В результате этого анализа получаем ответ. Ответ. При  b < –1  уравнение не имеет корней; при  b = –1  уравнение имеет единственный корень; при  b > –1  уравнение имеет два корня.
б) При каком b уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет бесконечно много решений?

в) При каком b уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение?

Рис. 4.2 Рис. 4.3
Ответы: б) при b = –1 (см. рис. 4.2); в) при b = 1 (см. рис. 4.3).
г – е) Сколько решений имеет уравнение:
г) | х | – х = b; д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415.
в зависимости от b?
Ответ должен иметь такую структуру: при таком-то b уравнение не имеет решений, при таком-то b имеет одно решение, при таком-то b имеет два решения и т.д.
г) | х | – х = b .
Решение. Построим график функции у =|x| – х и у = b в одной системе координат. При х
· 0 у = 0; при х < 0 у = –2х.
График функции у =|x| – х – ломаная; у = b – уравнение прямой, параллельной оси абсцисс (см. рисунок 4.4).
Если b < 0, то прямая у = b не имеет общих точек с ломаной, исходное уравнение решений не имеет.
Ветвь ломаной (для х
· 0) совпадает с прямой у = b при b = 0, значит любое неотрицательное значение х является решением
Рис. 4.4 уравнения.
Если b < 0, то прямая у = b пересекает другую ветвь ломаной в одной точке, то есть исходное уравнение имеет единственное решение.
Ответ. При b < 0 уравнение не имеет решений, при b < 0 имеет одно решение, при b = 0 имеет бесконечное множество решений .
д) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Построим график функции у = |x – 2| +| х + 2|.
Для этого найдем значения х, при которых выражения в модульных скобках обращаются в нуль. Это х = 2 и х = –2.
Определим знак подмодульных выражений Рис. 4.5 на каждом промежутке, на которые разбивается числовая ось числами 2 и –2 (см. рис. 4.5).
Раскроем модульные скобки, преобразуем формулу функции и построим график функции.
Если х < –2, то |x – 2| +| х + 2|= – х + 2 – х – 2 = – 2х, у = – 2х.
Если –2
· x
· 2, то |x – 2| +| х + 2|= – х + 2 + х + 2 = 4 и у = 4.
Если х > 2, то |x – 2| +| х + 2| = = х – 2 + х + 2 = 2х, у = 2х.
График функции у = |x – 2| +| х + 2| и иллюстрация исследования исходного
уравнения на рисунке 4.6.
Ответ. При b < 4 уравнение не
Рис. 4.6 имеет решений; при b = 4 имеет бесконечное множество решений; при b > 4 имеет одно решение.
е) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Построим график функции у = |x + 1| –| х – 1|.
Преобразуем формулу функции, определив знаки подмодульных выражений (см. рисунок 4.7).
При х < –1 у = –2;
Рис. 4.7 при –2
· x
· 2 у = 2х; при х >1 у = 2.
Построим ломаную у = |x + 1| –| х – 1|.
Уравнение у =2х+b задаёт прямую, параллельную прямой у =2х.
Графическая иллюстрация исследования исходного уравнения представлена на рисунке 4.8.
Ответ. При b < 0 или b > 0 уравнение имеет одно решение; Рис. 4.8 при b = 0 уравнение имеет бесконечное множество решений.

Домашнее задание.
1. При каком b уравнение: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415имеет единственное решение?
2. Сколько решений имеет уравнение: а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 в зависимости от b.
Ответ должен иметь такую структуру: при таком-то b уравнение не имеет решений, при таком-то b имеет одно решение, при таком-то b имеет два решения и т.д
Решите уравнение |х + 4| = 7 – b аналитически (повторение).
Ответы.
а) Нет таких значений b; б) при любых значениях b.
а) При b < 4 решений нет; при b = 4 одно решение;
при b > 4 два решения;
б) при b < –1 или b > 1 одно решение; при b = –1 или b = 1
два решения; при –1 < b < 1 три решения.
3. При b > 7 решений нет; при b = 7 х = – 4;
при b < 7 х1 = 3 – b, х2 = b – 11.

Занятие 3. Графический метод решения уравнений

Цель урока: продолжение изучения графического метода решения уравнений с параметром, содержащих переменную под знаком модуля.
«Задачи на параметр k».
а) При каком k уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет бесконечно много решений?
Решение. Построим графики функции у =|x|  и  у = kх в одной системе координат.
Если графики имеют бесконечно много общих точек, то исходное уравнение имеет бесконечно много решений.
Графиком функции у =|x|   является ломаная с вершиной в точке (0;0) (рис. 4.9).
График функции у =k х – это прямая, пересекающая ось ординат в точке (0;0).
Прямая у = х (при k = 1) содержит ветвь
Рис. 4.9 ломаной с абсциссами х
· 0, а прямая у = – х
(при k = –1) содержит ветвь ломаной с абсциссами х
· 0, значит исходное уравнение имеет бесконечно много решений при k = 1 и k = – 1.
Ответ. При k = 1 и k = – 1.
б-г) При каком k уравнение: б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение?
Графическая иллюстрация решений приведена на рисунках;
для уравнения: б) рисунок 4.10; в) рисунок 4.11; г) рисунок 4.12.






Рис. 4.10 Рис. 4.11 Рис. 4.12 Исходное уравнение имеет единственное решение, если прямая и ломаная имеют только одну общую точку.
В этом случае прямая проходит через закрашенные области координатной плоскости.
Учтем, что параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.
Ответ. б) при k < –1 или k = 0, или k
· 1; в) при k < –1 или k > 1; г) при k
· –1 или k
· 1.
д-е) При каком k уравнение: д) 13 EMBED Equation.3 1415; е) 13 EMBED Equation.3 1415 имеет два решения?
Графическая иллюстрация решений приведена на рисунках; для уравнения: д) рисунок 4.13; е) рисунок 4.14.
Исходное уравнение имеет два решения, если прямая пересекает ломаную в двух точках. То есть прямая должна проходить через закрашенные области координатной плоскости.
Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Уравнение оси ОХ у = 0 (см. рис.4.13); уравнение прямой у = – 0,5х + 1 (см. рис. 4.14) получим из условия, что прямая у = kх + 1 проходит через точку (2; 0).

Рис. 4.13 Рис. 4.14 Ответ: д) при –1 < k < 0; е) при –0,5 < k < 1.
ж) Сколько решений имеет уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 в зависимости от k?
Ответ должен иметь такую структуру: при таком-то k уравнение не имеет решений, при таком-то k имеет одно решение, при таком-то k имеет два решения и т.д.
Этапы решения проиллюстрированы на рисунках 4.9 и 4.10.
Преобразуем уравнение ломаной.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Рис. 4.9
Построим ломаную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и прямую у = kх + 2 в одной системе координат и проанализируем рисунок.
Ответ: при k < – 2 и k
· 2 имеет одно решение;
при 0 при – 2
· k <0 уравнение не имеет решений.


Рис.4.10

Задание на дом.
1.Решите уравнения:
а) |х + 2| = а; б) х2 + |2х – а + 5| = 0; в) |а|х – 2 = 2х + а.
2. Решить графически:
а) При каком b уравнение – 3|х + 2| = –х + b имеет единственное решение?
б) При каком b уравнение 0,5|х – 1 | = –13 EMBED Equation.DSMT4 1415х + b имеет бесконечное множество решений?
в) Сколько решений имеет уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в зависимости от k?
Ответы.
а) При а < 0 решений нет; при а = 0 х = –2;
при а >0 х1 = а – 2, х2 = а – 2
б) При а = 5 х = 0; при а
· 5 решений нет.
в) При а = 2 решений нет; при а = –2 корень уравнения – любое число; при а
· –2 и а
· 2 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. а) При b = –2.
б) При b = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
в) При k < –2 одно решение; при – 2 < k < 2 решений нет;
при k = 2 бесконечное множество решений; при k > 2 два решения.

Проверочная работа по теме «Уравнения с модулями и параметрами»

Вариант 1 Вариант 2

Решите уравнения:
а) | х | + | х – а | = 0; а) | х + 3 | = 2с;
б) | х – 7 | = b – 8. б) а2 | х – 5 | + |х – а | = 0.
Сколько корней в зависимости от b имеет уравнение:
3| х | – 2 = 2х + b? – 2| х | + 1 = – х + b?
При каких значениях b данное уравнение имеет бесконечное множество решений?
– 0,5| х + 2 | = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415х + b | х – 4 | – | х + 1| = b
Сколько решений имеет данное уравнение в зависимости от b?
| х + 2 | – | х – 2 | = х + b | х + 1| + | х – 1| = 2х + b
При каких значениях k данное уравнение имеет единственное решение?
| х – 1| = kx | x | = kx – 3
Сколько решений имеет данное уравнение в зависимости от k.
| x + 1| + | x + 3| = kx + 2 | x – 3| – | x + 3| = kx – 6



Ответы

Вариант 1
а) при а = 0 х = 0;
при а
· 0 решений нет.
б) при b < 8 решений нет;
при b = 8 х = 7;
при b > 8 x1 = b – 1, x2 = 15 – b.
При b < – 2 корней нет;
при b = – 2 один корень;
при b > – 2 два корня.
При b = 1.
При – 2 < b < 2 три решения;
при b = – 2 или при b = 2 два решения;
при b < – 2 или b > 2 одно решение.
При k < – 1 или k = 0, или k
· 1.
При k = 0 бесконечное множество решений;
при 0 < k
· 2 решений нет;
при k > 2 или k
· – 2 одно решение;
при – 2 < k < 0 два решения.


Вариант 2
а) при с < 0 решений нет;
при с = 0 х = – 3;
при с > 0 х1 = 2с – 3, х2 = – 2с – 3 .
б) при а = 0 х = 0;
при а = 5 х = 5;
при а
· 0 и а
· 5 решений нет.
При b > 1 корней нет;
при b = 1 один корень;
при b < 1 два корня.
При b = – 5 или b = 3.
При b = 0 бесконечное множество решений;
при b > 0 одно решение;
при b < 0 решений нет.
При k < – 1 или k > 1.
При k = 0 бесконечное множество решений;
при k > 0 или k < 0 одно решение;




Заключение
Известно, что в программе по математике для неспециализированных школ задачам с параметрами отводится незначительное место.
Естественно, что небольшой объём выполняемых на уроках заданий не позволяет учащимся овладеть методами решения задач с параметрами.
Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются сложными и непривычными. У учащихся возникает психологический барьер уже при первом знакомстве с параметрами. Одной из причин этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.
Выход из сложившейся ситуации – включать задачи с параметрами
в каждую изучаемую тему, предлагать задания на обобщающих уроках, на уроках повторения и на факультативных занятиях. И начинать следует с простых задач, с которыми можно знакомиться уже в 7 классе, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при изучении этой темы в старших классах.
В связи с этим возникла необходимость в разработке факультативного курса для семиклассников по теме: «Задачи с параметрами», что было выполнено в данной работе.
Работа над темой «Задачи с параметрами» может быть продолжена, чтобы учащиеся восьмых и девятых классов, проявляющие интерес к математике, овладевали методами решения уравнений, содержащих параметр (и во время учебных, и во время факультативных занятий, направленных на предпрофильную подготовку учащихся).





Список литературы
Козко А.И. [ и др.]; ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.:МЦНМО, 2011.
Макарычев Ю.Н. [и др.]; Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений/ Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2010.
Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами. – Чебоксары: Изд-во Чувашского университета,  2004.
Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами/ Под ред. Б.Г.Зива. – СПб.: «Петроглиф», 2006.
Юрченко Е.В. Методика преподавания математики. Материалы лекций на факультете переподготовки МИОО. 2010-2011
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]






















13 PAGE \* MERGEFORMAT 145915



х

y

b

f

c

a

d

x

y

4

2

3

6

5

1

–2

–1

2

2

1

а

f


c

b

d

у

х



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc parametr7
    "Задачи с параметром"
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 4