Построение перпендикулярных прямой и плоскости


18.12.2014
Учитель: Сакрюкина С.С. МБОУ СОШ № 17 г. Белгорода

Геометрия, 10 класс
Тема урока «Построение перпендикулярных прямой и плоскости»
Цели урока:
Образовательные
закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;
формировать умения: читать чертеж; применять определение прямой, перпендикулярной к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости к задачам на доказательство;
вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению задач на перпендикулярность прямой и плоскости
Развивающие
развивать пространственное воображение , логическое мышление;
самостоятельность и творческое отношение к выполнению заданий.
Воспитательные
воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении задач,
воспитывать культуру общения.
Оборудование: комплект чертежных инструментов, тетрадь, карточки с заданиями и чертежами.
Ход урока:
1. Организационный момент (1 мин)
2. Устная работа (5 мин)
а) Закончить предложение:
а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой)д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)
б) Дан параллелепипед
centertop








Назовите:1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC1) (ответ: AD; A1D1; B1C1; BC) 2) плоскости, перпендикулярные ребру BB1 (ответ: (АВС); (A1B1C1))
Определите взаимное расположение:1) прямой CC1 и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)2) прямой D1C1 и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)
3. Решение задач по готовым чертежам (устно) (6 мин)
№ 1.
11366555880Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC)Доказать: AC ⊥ (AMB)Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.Ч.т.д.




№ 2.
488950Дано: ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ ABДоказать: CD ⊥ (ABC)Доказательство: MB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВ лежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВ по свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости). Ч.т.д.
4. Решение задач у доски (7 мин)
№ 1. Через данную точку (С) в пространстве провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой (АВ, рис. 4).
1172210-47625







Решение. 1-й случай. Данная точка С лежит на прямой АВ (рис. 4).
Проведём через прямую АВ какие-нибудь две плоскости Р и Q. Искомая плоскость должна пересекать эти плоскости по прямым, перпендикулярным к прямой АВ (§ 24). Отсюда построение: через АВ проводим две произвольные плоскости Р и Q. В каждой из этих плоскостей восстанавливаем перпендикуляр к прямой АВ в точке С (в плоскости Р —перпендикуляр СD, в плоскости Q—перпендикуляр СЕ). Плоскость, проходящая через прямые CD и СЕ, есть искомая.
2-й случай. Данная точка не лежит на прямой АВ.
Через точку D и прямую АВ проводим плоскость Р и в этой плоскости строим прямую DC, перпендикулярную к АВ. Через прямую АВ проводим произвольно вторую плоскость Q и в этой плоскости строим прямую СЕ, перпендикулярную к АВ. Искомая плоскость должна пересечь плоскости Р и Q по прямым, перпендикулярным к АВ. Отсюда построение: через точку D проводим в плоскости P прямую DС, перпендикулярную к АВ. Прямая DС пересечёт прямую АВ в некоторой точке С. Через точку С проводим в плоскости Q прямую СЕ перпендикулярную к АВ. Плоскость, проходящая через прямые СD и СE — искомая.
Так как в каждой из плоскостей Р и Q через данную точку провести лишь, одну прямую, перпендикулярную к данной, то задача в обоих случаях имеет одно решение, т. е. через каждую точку в пространстве можно провести лишь одну плоскость , перпендикулярную к данной прямой.
5. Физкультминутка. Гимнастика для глаз (2 мин)
Предлагаю детям встать, потянуться вверх, наклониться влево, вправо, выполнить вращательные движения головой. Гимнастика для глаз.

Решение задач у доски (продолжение) (7 мин)
№ 2. Через данную точку (О) пространства провести прямую, перпендикулярную к данной плоскости (Р).
centertop








1-й случай. Точка О лежит на плоскости Р (рис.5). Проведём на плоскости Р через точку О две какие-либо взаимно перпендикулярные прямые ОА и ОВ. Проведём, далее, через прямую ОА какую-либо новую плоскость Q и на этой плоскости Q построим прямую ОС, перпендикулярную к ОА. Через прямые ОВ и ОС проведём новую плоскость R и построим в ней прямую ОМ, перпендикулярную к ОВ. Прямая ОМ и будет искомым перпендикуляром к плоскости Р.
Действительно, так как ОА _|_ОВ и ОА _|_ОС, то прямая АО перпендикулярна к плоскости R и, следовательно, ОА _|_ОМ. Таким образом, мы видим, что ОМ _|_ ОА и ОМ _|_ ОВ; следовательно, ОМ перпендикулярна к плоскости Р.
2-й случай. Точка О не лежит на плоскости Р (рис. 6).
centertop







Возьмём на плоскости Р какую-нибудь точку А и выполним для неё предыдущее построение. Мы получим тогда прямую АВ, перпендикулярную к плоскости Р. После этого через точку О проводим прямую, параллельную АВ. Эта прямая и будет искомой.
Задача в обоих случаях имеет одно решение. Так как два перпендикуляра к одной и той же плоскости параллельны, то через одну и ту же точку О нельзя провести двух перпендикуляров к плоскости Р. Следовательно, через каждую точку в пространстве можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную к данной плоскости.
6. Самостоятельная работа (10 мин)
№ 1. Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AD. Найдите B1B, если B1 D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.
Решение:
5080552451) AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA1 ∥ BB1, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD;2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора:
BD = 20 см
3) ∆ B1BD – прямоугольный. По теореме Пифагора: B1B = 15 см.
Ответ: 15 см


№ 2.
438150Дано: АВСD – параллелограмм, M ∉ (ABC), МВ = МD, МА = МСДоказать: MO ⊥ (ABC)Доказательство:1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD - равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО - медиана и высота, т.е. MO ⊥ BD.2) Аналогично доказывается в ∆ AMC: MO ⊥ AC.3) Итак, MO ⊥ BD и MO ⊥ AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒ MO ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.

7. Подведение итогов урока. Рефлексия (2 мин)
1. На уроке я работал активно / пассивно2. Своей работой на уроке я доволен / не доволен3. Урок для меня показался коротким / длинным4. За урок я не устал / устал5. Мое настроение стало лучше / стало хуже6. Материал урока мне был понятен / не понятен
полезен / бесполезен
интересен / скучен

Приложенные файлы

  • docx file18
    Размер файла: 50 kB Загрузок: 8