Научно- исследовательская работа по теме «Круги Эйлера» Данилов В. ученик 5 класса


Научно- исследовательская работа по теме «Круги Эйлера»
Данилов В. ученик 5 класса
Научный руководитель: Мухаметзянова Г.Р. учитель математики МАОУ «СОШ№12 с УИОП» Г.Стерлитамак, Республика Башкортостан,2015 год.
В жизни часто приходится решать задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. Поэтому очень важно уметь рассуждать логически.
Решение логических задач – одно из важнейших средств развития мыслительных способностей.
Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Поэтому в своей работе я решил изучить способы решения логических задач с помощью «кругов Эйлера», а так же определить области их применения. Актуальность состоит в том, что данный способ часто имеет практический характер, что немаловажно в современной жизни.
Для решения этих проблем были поставлены следующие задачи:
Изучить общие сведения о множествах.
Познакомиться с кругами Эйлера.
Научиться решать задачи, применяя круги Эйлера.
Развить умения наблюдать и анализировать, выделять существенные признаки и на их основе делать выводы.
Предметом исследования являлись области применения кругов Эйлера.
Мной использовались следующие методы исследования:
теоретические;
поисковые;
сравнение;
анализ.
Понятие «множество» - одно из основных понятий математики. Поэтому обычно термин «множество» лишь поясняется на примерах, а затем указываются правила его употребления в математических рассуждениях. Современный человек воспринимает их очень легко, так как он привык к ним с детства. Уже на страницах школьного учебника по математике для первого класса мы видели изображение различных множеств: зверей, мячей, книг и других объектов. Мы их считали, сравнивали: в одном множестве больше объектов, в другом меньше, и что такое множество, нам стало ясно без всякого определения.
Множества бывают конечные, бесконечные, универсальные.
Конечные множества такие, в которых можно перечислить все элементы:
фамилии учеников 5А класса;
цифры и так далее.
Бесконечные множества такие, в которых нельзя перечислить все элементы:
натуральные числа;
дробные числа;
звёзды на небе и так далее
Универсальные множества (универсум) такие обширные множества, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами (частями). Такое множество выбирается для определённого раздела науки и явно не определяется. А просто подразумевается:
числа;
точки плоскости и так далее.
Среди конечных множеств выделяется одно особое множество, а именно – множество, не содержащее никаких элементов, такое множество называется пустым.
Откуда взялись круги
Автор метода - ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. Кругами он предложил обозначать множества. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.
Пока не очень понятно, верно? Посмотрите на этот рисунок:

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.
Поэтому круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
Рассмотрим как решать задачи с помощью кругов Эйлера. Дана задача
Пятиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым - «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».
Решение:
Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу:

Выходит, что:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны». От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:
мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.
Зачем еще нужны круги Эйлера?
Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.
Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера:

Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам.
Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться
В результате работы над данной темой я пришел к следующим выводам:
1. Все множества чисел связаны между собой так, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество частично или полностью;
2. Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы уравнений.
4) Круги Эйлера — наглядная геометрическая иллюстрация объемов понятий и отношений между элементами множествами.
Мной был составлен алгоритм решения задач с помощью данного метода:
Записать краткое условие задачи.
Построить пересечение множеств
Расставить исходные данные в круги (или в диаграмму Эйлера).
Выбрать условие, которое содержит больше свойств.
Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части круга (диаграммы).
Записать ответ.
В ходе выполнения работы я установил, что круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьный уроках, но и вполне житейских проблем.

Приложенные файлы

  • docx pabota
    Размер файла: 114 kB Загрузок: 16