Научно-исследовательская работа по математике «Математика и шахматы»


Научно-исследовательская работа по математике
«Математика и шахматы»
Данилов В.,6класс
Научный руководитель: Мухаметзянова Г.Р. учитель математики МАОУ «СОШ№12 с УИОП» Г.Стерлитамак, Республика Башкортостан,2016 год.
Введение
«Игра в шахматы существовала еще до появления на Земле человека и, может быть, даже до сотворения мира. Если мир впадет в хаос, игра в шахматы останется вне пространства и времени свидетельством вечного существования идей» – так высоко оценил искусство игры в шахматы Бонтемпелли итальянский писатель и журналист.
Я тоже люблю играть в шахматы. Но вот я решил взглянуть на шахматы несколько с другой стороны – математической. Конечно, между математикой и шахматами много родственного. Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, и не случайно математики часто бывают способными шахматистами.
Шахматная доска, фигуры и сама игра часто используются для иллюстрации разнообразных математических понятий и задач. Шахматные примеры и термины можно встретить в литературе по кибернетике, теории игр, вычислительной математике, теории графов, теории чисел и комбинаторике. Важное место занимают шахматы в развитии современных методов программирования. Итак, я решил исследовать, как математика проявляется на шахматной доске,какие математические понятия можно с её помощью проиллюстрировать.
Цель работы: изучить математику на шахматной доске.
Объектом исследования является шахматная доска и фигуры на ней.
Для этого я поставил следующие задачи:
исследовать связь математики и шахмат;
рассмотреть задачи, связанные с шахматной доской и фигурами на ней;
рассмотреть математические понятия, иллюстрируемые с помощью шахмат.
При работе над докладом я пользовался следующимиметодами:
поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
практический метод решения задач, сюжетом которых являются шахматы;
анализ полученных в ходе исследования данных.
Актуальностьданной темы заключается в повышении интереса к шахматной игре, привлечении учащихся к решению логических математических задач, повышении их интереса к математике.
Основные направления изучения «математики шахмат».
Профессиональный интерес математиков к шахматам проявился довольно давно и был связан с двумя направлениями: математической логикой и комбинаторикой.
Первое — рассмотрение игры с точки зрения построения ее формальной модели, удобной для логического анализа на основе действующих соревновательных правил.
Второе — исследование конкретных позиций или их классов в игре для достижения определенных результатов, например матовой позиции за определенное число ходов. Последнее направление породило множество изящных логико-вычислительных проблем. Некоторые из них и по сей день предлагаются на различных математических и программистских олимпиадах, а также для развлечения на досуге. Этим вопросам посвящены книги Л.Я. Окунева «Комбинаторные задачи на шахматной доске» и Е.Я. Гика «Математика на шахматной доске». Нужно упомянуть еще работы Мартина Гарднера, вышедшие под общим названием «Математические развлечения». В них содержатся материалы, посвященные шахматным задачам.
Задачи о шахматной доске, на которой не все поля принимаются во внимание, представляют собой алгоритмический интерес в игре, т. к. строятся алгоритмы для следующих ходов с выбором наиболее результативных.
Исследование геометрии шахматной доски приводит к разработке алгоритмов для известных и широко применяемых на практике правил «квадрата», «треугольника» или «линии Троицкого», позволяющих оценить качество позиции не только на много ходов вперед.
Значительная часть комбинаторных задач связана с определением числа возможных расстановок фигур на доске. В результате появились даже специальные термины, например, «ладейные многочлены» .
II. Математические понятия на шахматной доске.
1. Симметрия на доске.
Симметрия, как общий принцип гармонии в живой природе имеет глубокий смысл. Изучение ее проявлений, закономерностей играет важную роль в математике, физике, химии, биологии.
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Рассмотрим примеры преобразования фигур.
Разнообразные мотивы симметрии встречаются и на шахматной доске. С одной стороны, речь может идти о симметрии естественной, т. е. возникающей в процессе шахматной партии, а с другой стороны, — используемой в шахматных задачах и этюдах.
Симметрия бывает различных типов; наиболее распространенные – осевая и центральная. На шахматной доске при осевой симметрии осью служит прямая, разделяющая левый и правый фланги доски (граница между вертикалями «d» и «e») или нижнюю и верхнюю части (граница между четвертой и пятой горизонталями). Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7 , то мы говорим, что эти кони расположены симметрично.

Симметричное расположение коней на шахматной доске
Симметрией обладает исходное расположение шахматных фигур.Осями являются и большие диагонали.
Известна такая забавная история. Некто явился в шахматный клуб и объявил, что нашел верный способ не проигрывать черными. «Каким образом?» — спросили его. «Очень просто, — ответил гость, — повторяя ходы противника!» Сыграть с наивным изобретателем вызвался С.Ллойд, который и объявил ему мат в 4 хода. Я не нашел способ, как Ллойд это сделал. Я могу поставить мат за 6 ходов при полной симметрии фигур.
1) с2-с3 с7-с6
2) е2-е3 е7-е6
3) Кg1-е2 Кg8-е7
4) Кb1-с3 Кb8с6
5) Кс3-е4 Кс6-е5
6) Ке4-d6х
2. Координаты на доске.
Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.
В ХIVв. Французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.
Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.
Декартовая система координат на плоскости задается взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом в точкеО и одинаковым масштабом. ТочкаОназывается началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью х, вертикальная – осью ординат или осью у. Координатную плоскость обозначают хОу. Координаты точки обычно указывают в скобках рядом с обозначением точки: Р(х;у)

Декартова система координат
На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур).
На рисунке мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля.

Определение координат шахматных фигур
3. Четность и нечетность.
Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их цифрами (условные знаки для обозначения чисел).
Цифры 2, 4, 6, 8 называются четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 нечетными. Из признака делимости на 2 следует, что натуральные числа, которые делятся на 2, называются четными, остальные – нечетными.
На шахматной доске так же есть чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода.
При каждом ходе король меняет четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д.

Четность и нечетность на шахматной доске
Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение шахмат к математике.
4. Прогрессии.
Лучше всего прогрессию иллюстрирует старинная легенда о шахматах.
Когда индийский царь Шерам впервые познакомился с шахматами, он был восхищён их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрёл игру, является его поданным, царь позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку.
Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски - одно зерно, на второе - два, на каждое последующее вдвое больше зёрен, чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Мудрец скромно потребовал 1 + 22 + 23 + 24 + … + 263 = 264 – 1 зерен.
Счетоводы магараджи работали всю ночь и только утром сообщили своему господину, что его повеление невыполнимо: такого количества зерна просто не было не только во всей Индии, но и на всей земле. Всего грозному владыке нужно было достать 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 073 миллиарда 709 миллионов 551 тысячу 615 зерен. Для выполнения этой скромной просьбы мудреца потребовалось бы 280 000 лет подряд собирать весь выращенный урожай в Индии или же в течение 8 лет засеивать и собирать зерно со всей поверхности Земли. А если построить амбар дня него высотой четыре и шириной десять метров, то он был бы длиной в 300 000 000 километров, или от Земли до Солнца и обратно.
III.Задачи на шахматной доске.
На шахматной доске рассматривается несколько типов задач. Это задачи на раскрашивание доски, на разрезание доски, задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске,числа путей передвижения фигур и т. д.
Приведу некоторые примеры.
1186815167005030060901671955Задача 1. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 8х8, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток. Побейте его рекорд!
,
36 клеток 42 клетки
47771051254125
Задача 2. Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза — на те поля, на которых был заматован его король (см. рис., где вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни. Эта задача о разрезании доски часто встречается в занимательной литературе.
Задачи на раскрашивание и разрезание доски, по-моему, самые легкие математические шахматные задачи. Для решения таких задач единого алгоритма нет, нужны небольшие математические расчеты, хорошее внимание и, конечно, строгие логические рассуждения.
Задача 3. Какое максимальное число королей можно расставить на доске так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. не стояли рядом?
-41910558165Решение: Разобьем доску на 16 квадратов. Если мы хотим, чтобы короли не касались друг друга, то, очевидно, в каждом из этих квадратов надо поместить не более одного из них. Это означает, что больше шестнадцати королей, удовлетворяющих условию задачи, расставить невозможно. Итак, максимальное число мирных королей на доске 8х8 равно 16.
Задача 4.Конь вышел на поле А8 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.
-323215171450
Решение:Делая каждый ход, конь меняет цвет клетки, на которой он стоит. Следовательно, каждый нечетный ход конь будет вставать на чёрную клетку. Исходя из этого и зная то, что конь должен вернуться на клетку А8, белого цвета, мы можем сказать, что он вернется через четное число ходов.
Заключение
Шахматная математика - один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений.
Проведя свое исследование, я выяснил, что почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю, привлекали к себе внимание известных ученых. Например, задачей о ходе коня занимался великий математик Леонард Эйлер, а задачей о восьми ферзях — другой великий математик Карл Гаусс. Интересно, что «шахматные» увлечения Эйлера относятся к 18-му столетию, а Гаусса — к середине 19-го. С тех пор в течение целого века крупные математики не занимались шахматами. Ситуация резко изменилась в середине нынешнего столетия в связи с бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.
Древняя мудрая игра – шахматы развивает память, логическое мышление, творческие способности человека.
По результатам исследования я сделал следующие выводы:
шахматы тесно связаны с математикой, их можно использовать как модель для изучения многих математических понятий: площадей геометрических фигур (шахматная доска), горизонталей, вертикалей, диагоналей, координат, латинского алфавита, навыков счета, арифметической и геометрической прогрессии и т. д.;
на шахматной доске можно рассматривать несколько типов задач, причем для каждого типа выбираются свои методы решения;
шахматы — одна из наиболее удобных моделей, используемых математиками при разработке современных методов программирования.
В работу я поместил лишь некоторые задачи. Но, по моему мнению, их достаточно для того, чтобы показать, что шахматная математика привлекательна. Многие шахматные задачи до сих пор не решены и заслуживают пристального внимания и приложения интеллектуальных сил.
Литература
Береславский Л.Я., Береславский М.Л. Шахматы. – М.: Астрель: АСТ, 2001. – 240с.
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. – 511 с.
Гарднер М. Математические новеллы. – М.: Мир, 1974. – 456 с.
Гик Е.Я. Шахматы и математика. – М.: Наука, 1983. – 176 с.
Математический клуб «Кенгуру», выпуск №17 (8-10 классы). – Санкт-Петербург: Левша. Санкт-Петербург, 2007. – 28 с.
http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2015&Itemid=40http://www.gambiter.ru/chess/item/1-pravila-shahmat.htmlhttp://battlechess.ru/index/library/types/



Приложенные файлы

  • docx rabota3
    Размер файла: 244 kB Загрузок: 64