Программа элективного курса «Решение текстовых задач»

Пояснительная записка

Большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания. В школьном курсе математики этот раздел не рассматривается единой темой, и у учащихся нет целостного представления о методах и способах их решения. Решение задач способствует развитию логического и образного мышления, повышает эффективность обучения математике и смежным дисциплинам.
Актуальность темы: «Решение текстовых задач» в настоящее время объясняется в необходимости систематизации материала по этому разделу. Потому что с помощью текстовой задачи формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата и, наконец, развитием речи учащегося. В ходе решения текстовой задачи формируется умение переводить ее условие на математический язык уравнений, неравенств, их систем, графических образов, т.е. составлять математическую модель.
Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике и качественно подготовиться к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в вузы. Он поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и открыть для себя новые методы их решения, которые не рассматриваются в рамках школьной программы.
Представленный элективный курс содержит 8 тем. Первая тема «Текстовые задачи и техника их решения» является обзорной. При ее раскрытии акцент должен быть сделан на выделение основных этапов решения текстовых задач и их назначение. Следует также обратить внимание учащихся на важность умелого письменного оформления. Следующие темы - «Задачи на движение», «Задачи на проценты», «Задачи на смеси, сплавы, растворы», «Задачи на работу», «Задачи на прогрессии», - закрепляют и дополняют знания учащихся, полученные на уроках. Последние две темы - «Нестандартные способы решения текстовых задач», «Решение текстовых задач, предлагаемых в ходе ЕГЭ».
Всего на проведение занятий отводится 34 часа. Провести занятия можно в форме обзорных лекций с разбором ключевых задач или в форме семинаров, нацелив учащихся на предварительную подготовку и самостоятельный поиск материалов с их последующим обсуждением.

Цели и задачи курса:
Цели :
способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе;
способствовать пониманию необходимости умения решать текстовые задачи не только алгебраическим, арифметическим, но и другими способами;
воспитание творческой личности, умеющей самореализовываться и интегрироваться в системе мировой математической культуры.
систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач;
познакомить учащихся с разными типами задач, особенностями методики и различными способами их решения;
реализовать межпредметные связи.

Задачи :
воспитывать логическую и эстетическую культуру, создавая благоприятный эмоциональный фон обучения, вызывая интерес к процессу поиска решения задач и к самому учебному предмету-математике.
обогащать опыт мыслительной, культурно-исторической деятельности ученика, используя разнообразные исторические и современные задачи.
раскрытие внутренних ресурсов личности ученика, выявление заложенных способностей;
снятие психологических барьеров и ограничений;
помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Место элективного курса в учебном плане
Для освоения курса в 10 классе отведен 1 час в неделю (34 часа в год) из учебного плана МБОУ СОШ.
Планируемые результаты обучения
Личностные результаты обучения:
1) сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики, основанного на диалоге культур, а также различных форм общественного сознания, осознание своего места в поликультурном мире;
2) нравственное сознание и поведение на основе усвоения общечеловеческих ценностей;
3) сформированность основ саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества; готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;
4) навыки сотрудничества со сверстниками и взрослыми в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;
5) готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
6) эстетическое отношение к миру, включая эстетику быта, научного и технического творчества;
7) осознанный выбор будущей профессии и возможностей реализации собственных жизненных планов, а также отношение к профессиональной деятельности как к возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем.
Метапредметные результаты обучения:
1) умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;
2) умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
3) владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
4) готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
5) умение использовать средства информационных и коммуникационных технологий (далее – ИКТ) в решении когнитивных, коммуникативных и организационных задач с соблюдением техники безопасности, правовых и этических норм, норм информационной безопасности;
6) владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения.
Предметные результаты:
1) владение способами решения задач на составление уравнений, моделирования реальных ситуаций при решении задач различных типов.
2) умение работать с текстами задачи, определять её тип, использовать при решении различные способы, составлять план решения задачи.

3) знание особенности методики решения задач.
4) умение моделировать реальные ситуации, описываемые в задачах на составление уравнений, использовать дополнительную математическую литературу.

Программа элективного курса «Решение текстовых задач» адресована учащимся 10-х классов и может быть использована при подготовке к ЕГЭ. В ходе обучения периодически проводятся опросы теоретического материала и самостоятельные работы (представлены в приложении) для определения глубины знаний и скорости выполнения заданий.
Кроме того для контроля знаний может быть использована рейтинговая система:
Каждое практическое занятие и опрос теоретической части курса оценивается определенным количеством баллов. Итоговая оценка выставляется по сумме баллов за знание теоретического материала, выполнение практических заданий и защита проекта.
Критерии при выставлении оценок могу быть следующие.
«5»-учащийся освоил теоретический материал и сознательно применяет при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными заданиями продемонстрировал умение работать самостоятельно, творчески.
«4»- учащийся освоил идеи и методы данного курса так, что может справиться со стандартными заданиями, индивидуальные задания выполняет прилежно (без проявления творческих способностей)
«3» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы данного курса так, что он может выполнить простые задания.


























Содержание курса

Текстовые задачи и техника их решения (2 ч)
Текстовая задача.
Виды текстовых задач и их примеры.
Решение текстовой задачи.
Этапы решения текстовой задачи.
Решение текстовых задач арифметическими приемами.
Решение текстовых задач методом составления уравнения, неравенства или их систем.
Значение правильного письменного оформления решения текстовых задач. Решение текстовой задачи с помощью графика.
Чертеж к текстовой задаче и его значение для построения математической модели.

Задачи на движение (5 ч)
Движение тел по течению и против течения.
Равномерное и равноускоренное движение тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу.
Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу.
Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения.
Графики движения в прямоугольной системе координат.
Чтение графиков движения и применение их для решения текстовых задач.
Решение текстовых задач с использованием элементов геометрии.
Особенности выбора переменных и методика решения задач на движение.
Составление таблицы данных задачи и ее значение для составления математической модели.


Задачи на проценты (5 ч)
Понятие процента.
Нахождение процента от числа, числа по его проценту, составление процентного отношения.
Решение типовых задач на проценты.
Алгоритм решения задач методом составления уравнений.
Формула начисления «сложных процентов», формула простого процентного роста.
Решение задач на применение этих формул.
Процентные расчеты в различных сферах деятельности.
Проценты в окружающем мире (распродажи, тарифы, штрафы, банковские операции и голосование).

Задачи на сплавы, смеси, растворы (5 ч)
Формула зависимости массы или объема вещества от концентрации и массы или объема.
Особенности выбора переменных и методика решения задач на сплавы, смеси, растворы.
Составление таблицы данных задачи и ее значение для составления математической модели.

Задачи на работу (6 ч)
Формула зависимости объема выполненной работы от производительности и времени ее выполнения.
Особенности выбора переменных и методика решения задач на работу.
Составление таблицы данных задачи и ее значение для составления математической модели.

Задачи на прогрессии (4ч)
Формула общего члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.
Особенности выбора переменных и методика решения задач на прогрессии.

Нестандартные способы решения текстовых задач (3 ч)
Нестандартные способы решения обычных «стандартных» задач и задач олимпиадной и конкурсной тематики, специальные приемы их решения:
использование «лишних» неизвестных;
решение задач в общем виде (когда все или некоторые значения величин в условии обозначены буквой);
метод подобия.

Решение текстовых задач, предлагаемых в ходе ЕГЭ (4 часа) .
Формы занятий: объяснение, групповая практическая работа, дифференцированная самостоятельная работа

Методы обучения: решение задач с комментариями практических заданий, проверка усвоенного материала, решение тренировочных задач в группах, самостоятельное решение задач по карточкам.













Учебно-тематический план

№ уро-ка
Наименование раздела, темы
Всего часов
В том числе





Лекции
Практикумы
Семинары
Форма контроля

I.
Текстовые задачи и техника их применения
2





1
Понятие текстовой задачи и ее виды. Этапы решения текстовой задачи. Арифметический и алгебраический способы решения текстовой задачи.
1
1




2
Оформление решения текстовых задач; рисунки, схемы, таблицы, чертежи при решении задач.
1

1

Фронтальный опрос

II.
Задачи на движение
5





3.
Решение задач на движения навстречу друг другу.
1

1

Фронтальный опрос

4.
Решение задач на движение в противоположных направлениях из одной точки.
Решение задач на движение в одном направлении.
1


1
Фронтальный опрос

5.
Решение задач на движение по реке (движение по течению и против течения).
1

1

Фронтальный опрос

6.
Решение задач на движение по кольцевым дорогам. Относительность движения.
1

1

Фронтальный опрос

7
Чтение графиков движения. Графический способ решения задач на движение
1

1

С.р. №1

III.
Задачи на проценты
5





8-9.
Решение типовых задач на проценты.
2
1
1

Фронтальный опрос

10.
Процентные вычисления в жизненных ситуациях (распродажа, тарифы, штрафы )
1

1

Фронтальный опрос

11.
Процентные вычисления в жизненных ситуациях (банковские операции, голосования)
1


1
Фронтальный опрос

12.
Процентные вычисления в жизненных ситуациях (банковский процент, ипотека)
1

1

С.р. №2

IV
Задачи на сплавы, смеси, растворы
5





13.
Основные допущения при решении задач на смеси и сплавы
1
1




14.
Решение задач, связанные с понятием «концентрация», «процентное содержание» (формулы) смеси и сплава.
1

1

Фронтальный опрос

15.
Способы решения задач на смеси и сплавы (арифметический, алгебраический, с помощью линейных уравнений и систем линейных уравнений);
1

1

Фронтальный опрос

16.
Решение задач на объёмную концентрацию смеси(сплава), на процентное содержание смеси (сплава)
1

1

С.р. №3

17.
Решение задач на переливание
1

1



V.
Задачи на работу
6





18.
Алгоритм решения задач на работу.
Вычисление неизвестного времени работ.
1
1


Фронтальный опрос

19.
Решение задач на путь, пройденный движущимися телами, рассматривается как совместная работа
1

1

Фронтальный опрос

20.
Решение задач на бассейн, заполняемый одновременно разными трубами.
1


1
Фронтальный опрос

21.
Решение задач, в которых требуется найти производительность труда
1

1

Фронтальный опрос

22.
Решение задач, в которых требуется определить объём выполняемой работы.
Решение задач, в которых требуется определить время, затраченное на выполнение предусмотренного объёма работы
1

1

С.р. №4

23.
Решение систем задач, подводящих к составной задаче
1

1

Фронтальный опрос

VI.
Задачи на прогрессии
4





24-25.
Особенности выбора переменных и методика решения задач на прогрессии.
2
1

1
Фронтальный опрос

26-27.
Решение задач на формулы общего члена и суммы первых п членов арифметической и геометрической прогрессии.
2

2

С.р. №5

VII.
Нестандартные способы решения текстовых задач
3





28.
Использование «лишних» неизвестных
1
1




29.
Решение задач в общем виде (когда все или некоторые значения величин в условии обозначены буквой).
1

1

Фронтальный опрос

30.
Метод подобия.
1

1



VIII.
Решение текстовых задач, предлагаемых в ЕГЭ
4





31-33.
Решение текстовых задач из второй части модуля «Алгебра»
3

3



34.
Итоговое занятие. Обобщение решения текстовых задач
1

1

Итоговая с.р.


ИТОГО
34
































Дидактические материалы к элективному курсу

Задачи на движение

При решении задач на движение используются формулы: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
При этом надо иметь в виду, что указанные величины должны быть в одной системе единиц. В задачах на движение по реке необходимо помнить формулы:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Кроме того, что если два тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивают одинаковое время. Точно также обстоит дело в случае, если одно тело догоняет другое. Если же тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.

ЗАДАЧА 1. Пешеход, идущий из совхоза на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к отходу поезда на 40 мин, если будет идти с той же скоростью. Поэтому остальной путь он прошел со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 15 мин до отхода поезда. Чему равно расстояние от совхоза до станции и с какой постоянной скоростью на всем пути пешеход пришел бы на станцию точно к отходу поезда?
РЕШЕНИЕ. Составим таблицу:

Расстояние, км.
Скорость, км/ч.
Время, ч.

Точно
X
v
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

С опозданием
X -3
3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

С опережением
X-3
4
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Заметим, что 15 мин = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ч, а 40 мин = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ч.
Тогда, уравнивая промежутки времени, записанные в таблице, получим систему уравнений:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Сравнивая правые части уравнений системы, имеем
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
или
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (км/ч)
Ответ: 14 км, 3,5 км/ч.

ЗАДАЧА 2. Велосипедист и пешеход вышли из пунктов А и В, расстояние между которыми 12 км, и встретились через 20 мин. Пешеход прибыл в пункт А на 1ч 36 мин позже, чем велосипедист в пункт В. Найти скорость пешехода.
РЕШЕНИЕ. Обозначим через x км/ч скорость пешехода. Тогда 12 км из В в А пешеход пройдет за 12/x ч, а велосипедист это же расстояние из А в В на 1ч 36 мин=1,6ч быстрее, т. е. за HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ч со скоростью HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 км/ч. Велосипедист и пешеход, двигаясь навстречу друг другу, расстояние 12 км прошли за 20мин =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ч.
Составим уравнение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Значение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 невозможно, так как х – скорость пешехода.
Ответ: 6 км/ч.

ЗАДАЧА 3. Найти длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.
РЕШЕНИЕ. Пусть х – длина поезда, тогда скорость поезда мимо неподвижного пассажира будет HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м/с, а скорость поезда мимо платформы будет HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 м/с. Согласно условию задачи эти скорости равны, т. е. имеем уравнение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, длина поезда 147 м.
Ответ: 147 м.

ЗАДАЧА 4. Моторная лодка прошла 5 км по течению и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 1ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти скорость лодки по течению.
РЕШЕНИЕ. Пусть собственная скорость движения лодки х км/ч, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Составим таблицу.

Скорость, км/ч.
Расстояние, км.
Время, ч.

По течению
х+3
5
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Против течения
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Так как на весь путь моторная лодка затратила 1 ч, то получим уравнение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (не подходит, так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
Если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Итак, скорость лодки по течению реки 15 км/ч.
Ответ: 15 км/ч.

ЗАДАЧА 5. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч 20 мин. Сколько времени понадобится каждому из них, чтобы пройти все расстояние, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 5 ч позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?
РЕШЕНИЕ. Так как в задаче нет никаких данных о пройденном расстоянии, то все расстояние примем за 1. Тогда скорость первого пешехода будетHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а второго – HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где х часов – время в пути первого пешехода, а у часов – время второго пешехода.
Согласно условию задачи имеем систему уравнений:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решая полученную систему способом подстановки, получим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ: 10 ч, 5 ч.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от А до В пароход покрывает в полтора раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если они плывут против течения, то пароход идет от В до А в два раза быстрее (по времени, а не по скорости), чем катер. Найти скорости парохода и катера в стоячей воде.
Задача 2. Два туриста вышли из А в В одновременно, причем первый турист каждый километр пути проходит на 5 мин. быстрее второго. Первый, пройдя 1/5 часть пути, вернулся в А и, пробыв там 10 мин., снова пошел в В. При этом в В оба туриста пришли одновременно. Каково расстояние от А до В, если второй турист прошел его за 2,5 часа.
Задача 3. Пассажир, едущий из А в В, одну половину затраченного на путь времени ехал на автобусе, а вторую – на автомашине. Если бы он не ехал от А до В только на автобусе, то это заняло бы в полтора раза больше времени. Во сколько раз быстрее проходит путь от А до В машина, чем автобус?
Задача 4. Из А в В против течения выехала моторная лодка. В пути сломался мотор и пока его чинили 20 минут, лодку снесло вниз по реке. Насколько позднее прибыла лодка в В, если обычно из А в В она идет в полтора раза больше, чем из В в А?
Задача 5. Из А в В навстречу друг другу выехали одновременно два автобуса. Первый, имея вдвое большую скорость, проехал весь путь на 1 час быстрее 2-го. На сколько минут раньше произошла бы их встреча, если бы скорость 2-го увеличилась до скорости 1-го?
Задача 6. Два туриста вышли из А в В одновременно навстречу друг другу. Они встретились в 4 км от В. Достигнув А и В, туристы сразу повернули обратно и встретились в 2 км от А. Вторая встреча произошла через час после первой. Найти скорость туристов и расстояние от А до В.
Задача 7. Из А в С в 9 часов утра отправляется скорый поезд. В то же время из В, расположенного между А и С, выходят два пассажирских поезда, первый из которых идет в А, а второй – в С. Скорости пассажирских поездов равны. Скорый встречает первый пассажирский не позже, чем через три часа после отправления, потом приходит в пункт В не ранее 14 часов того же дня и, наконец, прибывает в С одновременно со 2-м пассажирским через 12 часов после встречи с 1-м пассажирским. Найти время прибытия в А первого пассажирского поезда.
Задача 8. Два тела движутся по окружности равномерно и в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 2 секунды быстрее второго и догоняет второе тело каждые 12 секунд. За какое время каждое тело проходит окружность?
Задача 9 Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?
Задача10 Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Задача 11 Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?
Задача 12 Часы с о стрелками показывают 9 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в третий раз поравняется с часовой?
Задача 13 Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг?
Задача 14 Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит круг на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?
Задача 15 Две точки равномерно вращаются по окружности. Первая совершает оборот на 5 секунд быстрее второй и делает за минуту на 2 оборота больше, чем вторая. Сколько оборотов в минуту совершает вторая точка?
Задача 16. Расстояние между городами А и В по шоссе равно 50 км. Из города А в город В отправился велосипедист, а через 1ч 3 мин вслед за ним отправился мотоциклист, который обогнал велосипедиста и прибыл в город В на 1ч раньше его. Найти скорость каждого, зная, что мотоциклист двигался со скоростью в 2,5 раза большей, чем велосипедист.
Задача 17. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 1 ч 30 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то это же расстояние электропоезд пройдет за 1ч 20мин. Определить расстояние между станциями.
Задача 18. Пассажир, ехавший в поезде со скоростью 40 км/ч, заметил, что встречный поезд проехал мимо за 3с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 км.
Задача 19. Переднее колесо повозки на некотором расстоянии сделало на 15 оборотов больше заднего. Окружность переднего колеса равна 2,5м, а заднего – 4м. Сколько оборотов сделало каждое колесо и какое расстояние проехала повозка?
Задача 20. Из двух городов, расстояние между которыми 650 км, отправляются одновременно навстречу друг другу два поезда. Через 10 ч после отправления поезда встретятся. Если же первый поезд отправится на 4ч 20мин раньше второго, то встреча произойдет через 8ч после отправления второго поезда. Найти скорость каждого поезда.
Задача 21. По окружности, длина которой 999м, движутся два тела по одному и тому же направлению и встречаются через каждые 37 мин. Определить скорость каждого тела, если известно, что скорость первого в 4 раза больше скорости второго.
Задача 22. Лодка против течения прошла 22,5 км и по течению 28,5 км, затратив на весь путь 8ч. Определить скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,5 км/ч.
Задача 23. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5ч 20 мин вслед за плотом из того же пункта вышла моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Найти скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки на 12 км/ч больше скорости плота.
Задача 24. Поезд должен был пройти 840 км. В середине пути он был задержан на 30 мин, а потому, чтобы прибыть вовремя, должен был увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд затратил на весь путь?
Задача 25. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, и встретились через час. С какой скоростью двигался каждый велосипедист, если один прибыл в пункт В на 35 мин позже, чем другой в пункт А?
Задача 26. Два поезда выходят одновременно из пунктов М и N, расстояние между которыми 45 км, и встречаются через 20 мин. Поезд вышедший из М, прибывает на станцию N на 9 мин раньше, чем другой поезд в М. Какова скорость каждого поезда?























Задачи «на сплавы и смеси»

Задачи этого раздела вызывают наибольшие, затруднения. Речь в этих задачах идет о составлении смесей, сплавов, растворов и т. д. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «влажность» и т. д.

ЗАДАЧА 1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
РЕШЕНИЕ.
Пусть было взято х граммов 30% -ного раствора, а 10%-ного - у граммов, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Так как первый раствор 30% -ный, то в х граммах этого раствора содержится 0,3 х грамма кислоты. Аналогично в у граммах 10%-ного раствора содержится 0,1 у грамма кислоты. В полученной смеси по условию задачи содержится HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 г кислоты, следовательно, получим уравнение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Таким образом, имеем систему уравнений
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вычитая из II уравнения I, получим 2х = 900 – 600; откуда х = 150, тогда у = 600 – 150 = 450.
Ответ: 150 г, 450г.

ЗАДАЧА 2. Вычислить массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3кг чистого серебра, получим сплав 900-й пробы (т. е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг сплава 900-й пробы, получили сплав 840-й пробы.
РЕШЕНИЕ.
Пусть масса данного сплава х кг, в нем содержится у % серебра: 0,01 ху кг серебра находится в данном сплаве, (х + 3) кг – масса нового сплава, в нем содержится (0,01 ху + 3) кг серебра.
Так как новый сплав 900-й пробы, значит, в нем содержится серебра
0,9(х + 3) кг. Следовательно, имеем уравнение 0,01ху + 3 = 0,9(х + 3).
(х + 2) кг – масса III сплава 840-й пробы. В нем содержится 0,84 (х + 2) кг серебра. Но этот сплав состоит из х кг данного (0,01 ху серебра) и 2 кг 900-й пробы (1,8 кг серебра). Получим второе уравнение: 0,01 ху + 1,8 = 0,84 (х + 2).
Таким образом, имеем систему уравнений
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вычитая из I уравнения системы II, получим
3 – 1,8 = 0,9 (х + 3) – 0,84 (х + 2) или, упрощая, находимHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Подставив значение х = 3 в I уравнение системы, находим у = 80.
Значит, данный сплав массой 3 кг содержит 80% серебра.
Ответ: масса сплава 3 кг 800-й пробы.

ЗАДАЧА 3. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
РЕШЕНИЕ.
Пусть х кг – масса олова, которую надо добавить к сплаву. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кг меди. Исходный сплав массой 12кг содержал 45% меди, т. е. меди и нем было HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 кг. Так как масса меди и в первоначальном, и в новом сплаве одна и та же, то получим уравнение
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда находим х = 1,5. Следовательно, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Ответ: 1,5 кг.
Задачи «на разбавление»

ЗАДАЧА 1. Из бака, наполненного спиртом, вылили часть спирта и долили водой; потом из бака вылили столько же литров смеси; после этого в баке осталось 49 л чистого спирта. Сколько литров спирта вылили в первый раз и сколько во второй, если вместимость бака 64л?
РЕШЕНИЕ.
Если в первый раз вылили х л спирта, то осталось (64 – х) л спирта. Когда долили бак водой, получили 64 л смеси спирта и воды, в которой содержится (64 – х) л спирта. Затем х л спирта смеси вылили, значит, вылили и спирт.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15л спирта вылили во второй раз, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 л осталось в баке.
Так как в баке осталось 49 л спирта, то можно составить уравнение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
64(64 – х) – х (64 – х) = 64
· 49,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, или 64 – х = ± 56, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (не удовлетворяет условию задачи).
Итак, в первый раз вылили 8 л спирта, а во второй HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (л) спирта.
Ответ: 8 л; 7 л.

ЗАДАЧА 2. Сосуд емкостью 8 л наполнен воздухом, содержащим 16% кислорода. Из этого сосуда выпускают некоторое количество воздуха и впускают такое же количество азота, после чего опять выпускают такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять дополняют таким же количеством азота. В новой смеси оказалось кислорода 9%. Определить, по сколько литров выпускалось каждый раз из сосуда.
РЕШЕНИЕ.
Пусть из сосуда выпущено х л воздуха и введено такое же количество азота. В оставшемся количестве (8 – х) л воздуха содержится (8 – х)
· 0,16 л кислорода. Это количество приходится на 8 л смеси, так что на 1 л приходится HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 л кислорода. Следовательно, когда вторично х л смеси заменяется х л азота, остающееся количество (8 – х) л смеси содержит
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 л кислорода. Значит, по отношению к общему количеству смеси (8 л) содержание кислорода составляет
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Согласно условию, получим уравнение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, откуда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то есть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Очевидно, что 14 л выпустить из сосуда, в котором было 8 л, невозможно.
Значит, каждый раз из сосуда выпускали по 2 л смеси.
Ответ: 2 л.


Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Два одинаковых сосуда наполнены спиртом. Из первого со суда отлили р литров спирта и налили в него столько же воды. Затем из полученной смеси воды со спиртом отлили р литров и налили столько же литров воды. Из второго сосуда отлили 2р литров спирта и налили столько же воды. Затем из полученной смеси отлили 2р литров и налили столько же воды. Определить, какую часть объема сосуда составляют р литров, если крепость окончательной смеси в первом сосуде в 25/16 раза больше крепости окончательной смеси во втором.
Задача 2. Из двух жидкостей, удельный вес которых 2 г/см3 и 3 г/см3 соответственно, составлена смесь. При этом 4 см3 смеси весят в 10 раз меньше, чем вся первая жидкость, а 50 см3 смеси весят столько же, сколько вся вторая жидкость, входящая в эту смесь. Сколько граммов взято каждой и каков удельный вес смеси?
Задача 3*. Имеются три смеси, составленные из трех элементов А, В,С. В первую смесь входят только А и В в весовом отношении 3:5, во вторую только В и С в весовом отношении 1:2, а в третью только А и С в отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А,В,С были в отношении 3:5:2?
Задача 4. Имеются два сплава из цинка, меди и олова. Первый содержит 25% цинка, второй 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в два раза больше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг второго, получили сплав, где 28% олова. Сколько кг меди в этом новом сплаве?
Задача 5*. В лаборатории есть раствор соли четырех различных концентраций. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. Второй, третий и четвертый растворы в равной пропорции дают при смешении 24%-ный раствор, и, наконец, раствор, составленный из равных частей первого и третьего, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении второго и четвертого растворов в пропорции 2:1?
Задача 6. Даны два сплава. Первый весит 4 кг и содержит 70% серебра. Второй весит 3 кг и содержит 90% серебра. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить r%-ный сплав серебра? При каких r задача имеет решение?
Задача 7. От двух однородных кусков сплава с различным процентным содержа-нием меди, весящих соответственно т и п кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в получившихся сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
Задача 8. В сосуд с чистой водой налили 6 литров 64%-ного (по объему) раствора спирта, а затем после полного перемешивания вылили равное количество (т.е. 6 литров) получившегося раствора. Сколько воды было первоначально в сосуде, если после троекратного повторения эти операции в сосуде получился 37%-ный раствор спирта?
Задача 9. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих фруктов?
Задача 10. Из трех кусков сплавов меди и никеля с соотношением по массе этих металлов 2 : 1, 3 : 1, 5 : 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 12 кг, а соотношение меди и никеля в нем составило 4:1. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Задача 11. Из трех кусков сплавов серебра и меди с соотношением масс этих металлов 3:2, 2:3, 1:4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 22 кг, а соотношение серебра и меди в нем составило 1:1. Найти массу каждого исходного куска, если второй весил вдвое больше третьего.
Задача 12. Из трех кусков сплавов олова и свинца с соотношением масс этих металлов 4 : 1, 1 : 1, 1 : 4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение олова и свинца в нем составило 2 : 3. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Задача 13. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?
Задача 14. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 40%, а во втором 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра?
Задача 15 . Имеется два куска металла массой 1 кг и 2 кг. Из этих кусков сделали два других: первый массой 0,5 кг, содержащий 40% меди, а второй массой 2,5 кг, содержащий 88% меди. Каково процентное содержание меди в исходных кусках?
Задача 16. Имеется два сосуда. В одном содержится три литра 100%-ной серной кислоты, а в другом два литра воды. Из первого сосуда во второй перелили один стакан кислоты, а затем из второго в первый – один стакан смеси. Эту операцию повторили еще два раза. В результате во втором сосуде образовалась 42%-ная кислота. Сколько серной кислоты в процентах содержится теперь в первом сосуде?
Задача 17. Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие 8%. Сколько сухих грибов получится из 24 кг свежих?
Задача 18. Какое максимальное количество 12%-го раствора кислоты можно получить, имея по 1 литру 5%-го, 10%-го и 15%-го раствора.

























Задачи на «работу»

Основными компонентами этого типа задач являются:
работа;
время;
производительность труда.

ЗАДАЧА 1. Две бригады должны были закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы I бригада получила другое задание, поэтому II бригада закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. На сколько дней II бригада убрала бы весь урожай быстрее I, если бы каждая бригада работа отдельно?
РЕШЕНИЕ.
Обозначим весь урожай через 1. Пусть I бригада может убрать весь урожай за х дней, а II - за у дней.
Тогда производительность труда I бригады будет – HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15, а II – HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 это часть урожая, которую убирает каждая бригада ежедневно.
Согласно условию задачи имеем систему уравнений
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
Итак, I бригада уберет весь урожай за 28 дней, а II – за 21 день, т. е. II бригада весь урожай уберет на 7 дней быстрее I.
Ответ: 7 дней.

ЗАДАЧА 2. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 ч. За сколько часом может наполнить бассейн I труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3ч быстрее, чем II?
РЕШЕНИЕ.
Обозначим через х время наполнения бассейна I трубой. Заметим, что, в каких единицах измеряется объем бассейна, в задаче не сказано. Следовательно, для решения задачи это неважно, и мы вместо условных единиц и обозначения V можем принять в принципе любое число, из которого самое удобное – 1. Составим таблицу.

Величины
Процессы заполнения бассейна


I трубой
II трубой
I и II вместе

V

1

1

1


N, 1/ч
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15

t, ч
x ?
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
2

N – работа в единицу времени;
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15;
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Составим уравнение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решая уравнение, находим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (не удовлетворяет условию задачи). Значит, I труба наполняет бассейн за 3 ч.
Ответ: 3 ч.

ЗАДАЧА 3. Первому трактору на вспашку всего поля требуется на 2 ч меньше, чем третьему, и на 1 ч больше, чем второму. При совместной работе первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1 ч 12 мин. Какое время на вспашку поля будет затрачено при совместной работе всех трех тракторов?
РЕШЕНИЕ.
Пусть х ч – время, необходимое для вспашки поля I трактору, у ч – II трактору и z ч – III трактору.
Примем площадь всего поля за 1, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – производительность I, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – II, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – III трактора. Согласно условию задачи имеем
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Так как 1 ч 12 мин = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ч, то за это время I трактор выполнит HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 часть работы, а II – HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – часть работы. Следовательно, имеем уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Таким образом, задача сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решив третье уравнение системы, находим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (не удовлетворяет условию задачи, так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
Если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, при совместной работе трех тракторов производительность труда составит HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда время на вспашку поля тремя тракторами составит HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ч.
Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ч.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В бассейн проведены три трубы. Первая и вторая вместе наполняют его на 5 ч. 20 минут быстрее, чем первая и третья вместе. Если бы вторая наливала, а третья выливала воду из бассейна, то он наполнился бы на 21/16 часа быстрее, чем бассейн вдвое большего объема первой и второй трубами вместе. За сколько времени первая и вторая труба наполнят бассейн, если первая и третья наполняют его более, чем за 8 часов?
Задача 2. Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Первая наполняет его за 40 минут, вторая, третья и четвертая вместе – за 10 минут, вторая, третья и пятая – за 20 минут, пятая и четвертая – за 30 минут. За какое время его наполнят все пять труб вместе?
Задача 3. Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час дольше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый бы работал еще на 1 час больше, то эта работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали?
Задача 4. Три бригады, работая вместе, должны выполнить некоторую работу. Первая и вторая бригады вместе могут выполнить ее на 36 минут быстрее, чем одна третья. За то время, за которое могут выполнить эту работу первая и третья бригады, вторая может выполнить половину работы. За то время, что работу выполнят вторая и третья бригады, первая выполнит 2/7 работы. За какое время все три бригады выполнит эту работу?
Задача 5. На фабрике несколько одинаковых поточных линий вместе выпускали в день 15000 банок консервов. После реконструкции все поточные линии заменили на более производительные, а их количество увеличилось на 5. Фабрика стала выпускать 33792 банки в день. Сколько вначале было линий?
Задача 6. Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Это же поле первая и вторая бригады вместе вспахивают за 6 дней, а первая и третья вместе – за 8 дней. Во сколько раз больше площадь, вспахиваемая за день второй бригадой по сравнению с площадью, вспахиваемой за день третьей бригадой?
Задача 7. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.
Задача 8. За время t первый рабочий сделал на 3 детали больше второго. Затем второй рабочий увеличил производительность труда на 0,2 детали в минуту и через некоторое целое число минут догнал и обогнал первого, работавшего с постоянной производительностью на 2 детали больше первого. Найти наибольшее возможное время t.
Задача 9. Двое рабочих вместе выполняют за час ѕ всей работы. Если первый рабочий выполнит ј всей работы, а второй, сменив его, выполнит Ѕ всей работы, то вместе они проработают 2,5 часа. За сколько часов каждый рабочий может выполнить всю работу, если за 1 час работы первого рабочего и за 0,5 часа работы второго рабочего будет выполнено больше половины работы?
Задача 10. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объема земляных работ?
Задача 11. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая е, открыли вторую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?
Задача 12. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч быстрее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только 0,6 всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания? Однотипные детали обрабатываются на двух станках. Производительность первого станка на 40% больше производительности второго. Сколько деталей было обработано за смену каждым станком, если первый работал в эту смену 6 ч, а второй – 7 ч, причем вместе они обработали 616 деталей?
Задача 13. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После семи дней совместной работы один из них был переведен на другой участок, а второй закончил работу, проработав еще 9 дней. За сколько дней каждый рабочий мог выполнить всю работу?
Задача 14. Две бригады колхозников должны закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За сколько дней могла бы убрать урожай каждая бригада, работая отдельно?





















Задачи «на проценты»

ЗАДАЧА 1. Если из 225 кг руды получается 34,2 кг меди, то каково процентное содержание меди в руде?
РЕШЕНИЕ.
Если 225 кг руды - 100 %, то
34, 2 кг – х %, откуда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или х = 15,2 %.
Ответ: 15,2%.

ЗАДАЧА 2. Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ее на 10%. Па сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
РЕШЕНИЕ.
Пусть х руб. – первоначальная цена товара, что соответствует 100%. Тогда после I снижения цена товара будет х – 0,2х = 0,8x (руб.).
После II снижения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (руб.), а после III снижения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (руб.).
Всего цена товара снизилась на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (руб.).
Итак, х – 100%,
0,388х – у, откуда имеем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Таким образом, первоначальную цену товара снизили всего на 38,8 %.
Ответ: на 38,8 %.

ЗАДАЧА 3. Антикварный магазин, купив два предмета за 225000 руб., продал их, получив 40% прибыли. Что стоит магазину каждый предмет, если на первом прибыли получено 25%, а на втором 50%?
РЕШЕНИЕ.
Пусть I предмет куплен за х руб., тогда II куплен за (225000 – х) руб. При продаже I предмета получено 25% прибыли. Значит, он продан за 1,25x руб.
Второй предмет, на котором получено 50% прибыли, продан за
1,5
· (225000 – х) руб. По условию общий % прибыли (по отношению к покупной цене 225000 руб.) составлял 40%. Значит, общая сумма выручки была HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 руб.
Имеем уравнение 1,25x + 1,5 (225000 – х) = 315000. Умножая обе части уравнения на 4, получим 5х + 6 (225000 – х) = 315000
· 4,
или 6х – 5х = 6
· 225000 – 4
· 315000, откуда
х = = 90 000, тогда 225000 – х = 135000.
Итак, I предмет куплен за 90000 руб., II – за 135000 руб.
Ответ: 90000 руб., 135000 руб.

ЗАДАЧА 4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15м. Определить катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15%, а другой на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15%, сумма их длин сделается равной 14 м.

РЕШЕНИЕ.
Пусть длины катетов (в метрах) – х и у. Так как гипотенуза равна HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15м, то по теореме Пифагора получим уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
После увеличения на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15%, т.е. на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 своей длины, I катет станет равным HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а II катет после увеличения на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15% будет равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Получим уравнение:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В итоге имеем систему уравнений:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
откуда находим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ: 3 м, 6м.

ЗАДАЧА 5. При выполнении работы по математике 12% учеников класса вовсе не решили задачи, 32% решили с ошибками, остальные 14 человек решили верно. Сколько учеников было в классе?
РЕШЕНИЕ.
Верно решившие 14 человек составляют 100% – (12% + 32%) = 56% всех учеников класса. Тогда общее число учеников класса будет равно 14
· 100 : 56 = = 25 (учеников).
Ответ: 25 учеников.

В справочник школьника.

Задачи на сложные %
Задача: В сбербанк положили 1000 рублей. % банка составлял 3 % годовых. Сколько денег будет на счету вкладчика через 2 года
Дата
Было
% банка
Начисл. на %, руб
Стало

1 год
1000 руб
3 % - 0,03
1000 0,03=30
1000+30=1030 руб

2 год
1030 руб
3 % - 0,03
1030
·0,03=30,9
1060,9 руб


Стало 1060 руб 90 коп.

- начальный вклад, A
p, m – проценты банка,
n, k – число лет.

Задача: цену товара сначала снизили на 20 %, а затем новую еще на 15 %, наконец, после пересчета произвели снижение еще на 10 %. На сколько % всего снизили первоначальную цену товара?
х – первоначальная цена,


Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Сберкасса выплачивает 3 % годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?
Задача 2. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на тоже же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?
Задача 3. Акционерное общество «МММ-лимитед» объявило котировку своих акций на ближайшие 3 месяца с приростом в процентах последовательно по месяцам на 243 %, 412 % и 629 % по отношению к каждому предыдущему месяцу. Каков ожидаемый средний ежемесячный рост котировок акций за указанный период?
Задача 4. Цена товара за последние три квартала возрастала соответственно на 25 %, 116 % и 629 % по отношению к каждому предыдущему кварталу. Каков средний ежеквартальный процент роста цены за это время?
Задача 5. Производительность труда на заводе трижды увеличивалась на одно и то же число процентов. В результате число производимых за сутки станков увеличилось с 64 до 125 штук. На сколько процентов каждый раз увеличивалась производительность труда?
Задача 6. Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежеквартально на одно и то же число %. На сколько % ежеквартально увеличился объем продукции, если за 2 квартала он увеличился на 156 %?
Задача 7. Себестоимость изделия понизилась за 1 полугодие на 10 %, а за второе – на 20 %. Определить первоначальную себестоимость изделия, если новая себестоимость стала 576 руб.
Задача 8. Вклад, положенный в сбербанк 2 года назад, достиг суммы, равной 1312,5 тыс. руб. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?
Задача 9. Цена товара была понижена на 20 %. На сколько % ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену?
Задача10. Петя вскапывает грядку один на минут дольше, чем он делает это вместе с Васей. Вася вскапывает ту же грядку на минут дольше, чем он это сделал бы вместе с Петей. За сколько минут вскапывают ту же грядку Вася и Петя вместе?
Задача 11. Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11.















Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

Задача 1. Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.
Решение: Обозначим через ai - члены арифметической прогрессии c разностью d, через bi - геометрической, с знаменателем q. Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S3 = (2a1 + 2d) · 3 / 2 = 21 или a1 + d = 7. По условию a1 - 1, a1 + d - 1, a1 + 2d + 2 - три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии: (a1 + d - 1)2 = (a1 + 2d + 2)(a1 - 1). После замены переменной a1 = 7 - d и открытия скобок получаем квадратное уравнение d2 + 3d - 18 = 0, т.е. d1 = 3, d2 = -6. Условию удовлетворяет лишь d1 = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a1 = 4. Находим b1 = a1 - 1 = 3. b2 = a1 + d - 1 = 6, откуда q = 2. Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем: S8 = [b1(q8 - 1)] / (q - 1) = 765.
Ответ: S8 = 765.
Задача 2. Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти эти числа.
Решение: Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их как a, a + d, a + 2d. Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = 2/3 - d. Согласно второму условию a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 = 14/9. После раскрытия скобок получаем 27a2 + 45d2 + 54ad = 14. Делаем замену переменной a = 2/3 - d, раскрываем скобки и получаем:
d2 = 1/9. d = ±1/3. Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±1/3 числа будут равны 1/3, 2/3, 1.
Ответ: 1/3, 2/3, 1.
Задача 3. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.
Решение: Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их как b, bq, bq2, bq3. По условию: 1) bq2 = b + 9.
bq = bq3 + 18. Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым: 9q + 18 = 0. Откуда q = -2. Из первого уравнения находим b. b = 3. Теперь легко найдем все числа: 3, - 6, 12, -24.
Ответ: 3, -6, 12, -24.
Задача 4. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.
Решение: Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соответственно. Запишем a1 = 105, am = 994. Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем: 994 = 105 + 7(m - 1). Откуда m = 128. А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S128 = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.
Ответ: 70336.
Задача 5. Сумма третьего и девятого члена члена арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.
Решение: Согласно свойствам арифметической прогрессии a3 + a9 = a1 + a11 = 8.
По формуле суммы S11 = (a1 + a11) · 11 / 2 = (a3 + a9) · 11 / 2 = 44.
Ответ: S11 = 44.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Найдите четырехзначное натуральное число, в котором цифра тысяч, цифра сотен и двузначное число, составленное из его двух последних цифр, образуют геометр. прогрессию, а его три последние цифры арифметическую
Задача 2. Найдите сумму всех трехзначных чисел от 100 до 450, дающих при делении на 8 в остатке 5.
Задача 3. В арифметической прогрессии а8=-22 и а15=-11 Найдите количество неотрицательных членов прогрессии, каждый из которых меньше 40.
Задача 4. Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если разность между седьмым и третьим членами равна 8, произведение второго и седьмого члена равно 75, причем известно, что все члены прогрессии положительны.
   Задача 5. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если сумма ее 3-го и 18-го членов равна 8. (Указание. Для решения задачи необходимо выпистаь по формуле общего члена выражения для указанных членов прогрессии и после этого заметить, что в распоряжении уже имеются все данные, необходимые для решения задачи.)
   Задача 6. Некоторое количество чисел составляют арифметическую прогрессию. Сумма первых пяти равна 20, сумма последних пяти равна 100. Найти количество этих чисел, если известно, что сумма всех их равна 480.
   Задача 7. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4.
   Задача 8. В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных - 220. Найти 9-й член прогрессии.
Задача 9. Периметр треугольника равен 21 см., длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Один из углов треугольника равен 60. Найдите все стороны треугольника. Рассмотреть все возможные случаи.
   Задача 10. Длины сторон [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]треугольника [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]образуют в указанном виде арифметическую прогрессию. Найти отношение высоты треугольника [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], опущенной из вершины [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на сторону [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], к радиусу вписанной окружности.
   Задача 11. Три числа. сумма которых равна 78, образуют возрастающую геометрическую прогрессии. Их же можно рассматривать как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найти большее число.
   Задача 12. Три числа являются первым, вторым и третьим членов арифметической прогрессии и, соответственно, первым, третьим и вторым членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа, если известно, что сумма квадрата первого из них, удвоенного второго и утроенного третьего равна [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
   Задача 13. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3, 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найти указанные числа.
   Задача 14. В геометрической прогрессии второй член равен 8, а пятый - 512. Составить арифметическую прогрессию, у которой разность в два раза меньше знаменателя геометрической прогрессии, а суммы трех первых членов в одной и другой прогрессиях были бы равны.
   Задача 15. 5 различных чисел являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если удалить ее 2-й и 3-й члены, то оставшиеся числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найти ее знаменатель.















Задачи, часто встречающиеся на ЕГЭ.

Задача 1. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Задача 2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Задача 3. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
Задача 4. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?
Задача 5. Моторная лодка прошла против течения реки 143 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задача 6. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?
Задача 7. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?
Задача 8. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Задача 9. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Задача 10. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?
Задача 11. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задача 12.Виноград содержит 90% влаги, а изюм 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?
Задача 13.Первый сплав содержит 10% меди, второй 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Задача14. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
Задача 15. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?


Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение образовательного процесса
Для учителя.

Багишова О. Читаем условие задачи. «Математика» (приложение к газете «Первое сентября»). №18,2006,№17,2009,№9,2002.
Дворянинов С. Об одном забытом способе решения задач на совместную работу. Самара, 2008 г.
Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. Изучение процентов в основной школе. // Математика в школе. - 2002. – № 1. - С. 19
Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. и др. Процентные вычисления в жизненных ситуациях. // Математика в школе. - 2003. – № 10. - С. 6
Захарова А.Е.. Учимся решать задачи на смеси и сплавы. Научно-практический журнал «Математика для школьников». №3,2006
Канин Е.С.. Текстовые (или сюжетные) задачи алгебры и их решение. Научно-практический журнал «Математика для школьников». №2, 2008.
Огороднова О. Учимся решать задачи на « смеси и сплавы». «Математика» (приложение к газете «Первое сентября»). №36,2004
Садовничий Ю. Решаем конкурсные задачи ( решение задач на прогрессии, решение задач на работу). «Математика» (приложение к газете «Первое сентября», №8 2008 г.
Учебно-методическая газета «Математика», приложение к «1 сентября»,2004г. №17,№23,№36, 2005 г. №2,№15,2001г. №17,1998г. №28.
Шекунова Т.. Задачи на движение. «Математика» (приложение к газете «Первое сентября»). №15,2000.

Для учителя и учащихся.
1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]





























Приложение

Самостоятельная работа №1 «Задачи на движение».

Задача 1.
На кольцевой дороге тренируются два велосипедиста. На дороге есть два контрольных пункта, расстояние между которыми – 400 м (по меньшей дуге) и 800 м (по большей дуге).
Из этих пунктов одновременно выехали на велосипедах Миша и Коля: Миша из первого - со скоростью 6 м в секунду, Коля из второго – со скоростью 4 м в секунду. Через какое время они окажутся рядом первый раз? (Рассмотреть все возможные случаи)

Ответ.
1. через 200 секунд (400(2).
2. через 40 секунд (400(10).
3. через 80 секунд (800(10).
4. через 400 секунд (800(2).

Задача 2.
Из аэропорта вылетели одновременно 2 самолета: один – на запад, другой – на восток. Через два часа расстояние между ними было 2800 км. Найдите скорость самолетов, если скорость одного составляла HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 скорости другого.

Ответ. 800 км/ч, 600 км/ч.





Самостоятельная работа №2 «Задачи на проценты»

Задача 1.
Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33000р.

Ответ: 25000р.

Задача 2.
Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 рублей и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

Ответ : 10%.

Задача 3.
Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.

Ответ. Получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.

Задача 4.
Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10000 рублей дошли до30000 рублей, за срок вклада 5 лет?
Ответ. 24,573%


Самостоятельная работа №3 «Задачи на смеси, сплавы и растворы»

Задача 1.
При смешивании первого раствора сахара, концентрация которого 25%, и второго раствора сахара, концентрация которого 35% , получили раствор, содержащий 32,5 % сахара. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Ответ: 1/3.

Задача 2.
К 20кг. 12%-раствора соли добавили 3кг. соли. Сколько надо долить воды, чтобы концентрация соли в растворе не изменилась.

Ответ: 25 кг.

Задача 3.
Если смешать 8 кг и 2кг растворов серной кислоты разное концентрации, то получим 12% раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15% раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.

Ответ: 10%-й и 20%-й растворы.








Самостоятельная работа №4 «Задачи на работу»
Задача 1.
Два экскаватора разной мощности, работая совместно, выполняют работу за 6 часов. Если первый проработает 4 часа, а затем второй 6 часов, то они выполнят 80% всей работы. За какое время каждый экскаватор отдельно может выполнить всю работу?

Ответ: 10ч, 15ч.

Задача 2.
Два каменщика, второй из которых начинает работать позже первого на 3 дня, могут выстроить стену за 14 дней. Первому каменщику потребовалось бы на выполнение этой работы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней может выстроить эту стену каждый каменщик в отдельности?

Задача 3.
Для разгрузки баржи имеется три крана. Первому крану для разгрузки всей баржи требуется времени в четыре раза меньше, чем второму, и на 9 часов больше, чем третьему. Три крана, работая вместе, разгрузили бы баржу за 18 часов, но по условиям эксплуатации одновременно могут работать только два крана. Определите наименьшее время (в часах) необходимое для разгрузки баржи.(Производительность каждого крана постоянна в течении всей работы)

Ответ: 20ч.





Самостоятельная работа №5 «Задачи на прогрессии»

Задача 1.
Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Ответ.8 дней.

Задача 2.
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Ответ. 320000 рублей.

Задача 3.

Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответ. на 35 000 долларов 


Итоговая самостоятельная работа

Задача 1.
В бассейн проведена труба. Вследствие её засорения приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие увеличится время, необходимое для заполнения бассейна?

Ответ: 150%

Задача 2.

Имеются 2 слитка, содержащие медь. Масса 2 слитка на 3кг. больше, чем масса 1 слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%; во втором – 40%. После сплавления этих двух слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором – 30%. Определить массу полученного слитка.

Ответ: 9кг.

Задача 3.
Из турбазы в одном направлении выходят три туриста с интервалом в 30 мин. Первый идёт со скоростью 5 км/ч, второй – 4 км/ч. Третий турист догоняет первого. Найдите скорость третьего туриста.

Ответ: 6 км/ч.

Задача 4.
За определённое время на автозаводе должны были собрать 160 автомобилей. Первые 2 ч выполнялась установленная почасовая норма, а затем стали забирать на 3 автомобиля больше. В результате за 1 ч до срока было собрано 155 автомобилей. Сколько автомобилей в час планировали собирать первоначально?

Ответ: 20 автомобилей.

Задача 5.
Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.
Ответ. 35 дней.






























Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы