Решение задач гиперболической геометрии в модели Кэли-Клейна


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В МОДЕЛИ КЭЛИ-КЛЕЙНА
Изучающий геометрию Лобачевского встречает определенные трудности из-за ее необычности. Не случайно «воображаемая» геометрия не сразу была воспринята всерьез учеными-современниками Н.И. Лобачевского. Построение моделей гиперболической геометрии не только доказывает ее непротиворечивость, но и повышает наглядность изучения геометрии Лобачевского, что существенно облегчает ее понимание.
Напомним, что евклидова модель Кэли-Клейна строится с помощью окружности ω, которую называют абсолютом. Точками являются внутренние точки круга с границей ω, прямыми – хорды окружности ω без концов. Отсюда становится ясно, что параллельные прямые – это хорды с общим концом, а расходящиеся – хорды окружности ω, не имеющие общих точек.
Отношения принадлежности и порядка определяются так же, как на евклидовой плоскости. Чтобы определить отношение равенства на множестве отрезков и углов, дается определение движения как биективного отображения круга с границей ω на себя, которое внутренние точки круга переводит во внутренние, граничные – в граничные, любую хорду окружности ω – в хорду этой же окружности и при этом сохраняет сложное отношение четырех точек прямой. Два отрезка (угла) называются равными, если существует движение, переводящее один из них в другой.
Прямая UV называется перпендикулярной прямой PQ, если евклидова прямая UV проходит через полюс евклидовой прямой PQ относительно окружности ω.
В этой модели легко доказываются утверждения о том, что отношение параллельности прямых симметрично и транзитивно; для любого неразвернутого угла существует единственная прямая, параллельная в одном своем направлении одной стороне угла, а в другом – другой; параллельные прямые не имеют общего перпендикуляра и др.
Так как при построении евклидовой модели Кэли-Клейна используется ряд проективных понятий, то задачи на построение решаются в этой модели с помощью одной линейки. Например, при решении задач на построение угла параллельности, соответствующего данному отрезку, общего перпендикуляра расходящихся прямых и т.д. используется опорная задача на построение прямой, перпендикулярной данной прямой АВ, которая сводится к построению одной линейкой полюса евклидовой прямой АВ относительно абсолюта ω.
Продемонстрируем решение двух задач на построение в модели Кэли-Клейна.
-342900-781050
Рис. 1
Задача 1. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Для построения биссектрисы угла АСВ будем использовать угол параллельности в точке С относительно прямой АВ. Для этого нужно построить прямую UV, проходящую через точку С и перпендикулярную АВ (рис. 1) (евклидова прямая UV определяется полюсом евклидовой прямой АВ и точкой С). Тогда углы ACU и BCU равны как углы параллельности в точке С относительно прямой АВ, следовательно, луч CU – биссектриса угла АСВ.
Задача 2. Построить шестипрямоугольник, соответствующий данному треугольнику с тремя идеальными вершинами.
Решение. Так как вершины треугольника идеальны, то его стороны являются попарно расходящимися прямыми, поэтому каждая пара сторон имеет единственный общий перпендикуляр. Следовательно, три из шести сторон искомого шестипрямоугольника являются общими перпендикулярами пар расходящихся сторон данного треугольника, а три принадлежат этим сторонам.
Решение задач в модели Кэли-Клейна пробуждает интерес к геометрии Лобачевского, а также демонстрирует связь евклидовой и проективной геометрий с гиперболической.

Приложенные файлы

  • docx rabota6
    Размер файла: 17 kB Загрузок: 6