Софизмы на уроках математики (реферат)







Математические софизмы
на уроках математики
Реферат по математике


Автор:
Лебедева Наталья Леонидовна,
учитель математики











Оглавление

Стр.
Введение

3




§1 История возникновения софизмов......................................
4




§2 Классификация ошибок при решении задач......................................

6

§3 Алгебраические софизмы.
9




§4 Геометрические софизмы..
11




§5 Арифметические софизмы...
12







§6 Применение математических софизмов на уроках математики..
15




Заключение.
23




Список литературы........................................
24















Введение

Актуальность темы. При изучении школьного курса математики недостаточно внимания уделяется математическим софизмам. Так как софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях, то они развивают внимание, смекалку, логику у детей, заставляют их вдумываться в текст задач.
Цель работы: изучить возможные типы математических софизмов, выявить причин ошибок при решении задач, рассмотреть применение математических софизмов на уроках математики.
Задачи:
1. Найти, изучить и проанализировать информацию, полученную при изучении софизмов;
2. Разделить на классы все математические софизмы;
3. Выявить ошибки в математических софизмах;
4.Привлечь интерес учащихся к урокам занимательной математики.


















§1 История возникновения софизмов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Мартин ГАРДНЕР

Софизм - слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о "доказательстве", направленном на формально - логическое установление абсурдного положения. В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях. Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: "неправильности речи" и ошибки "вне речи", т.е. в мышлении. Софизм, в отличие от паралогизма, основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Экскурс в историю
Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Основным направление деятельности софистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.
Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста - представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. Тем не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов.
Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным. Кроме того, Сократа и по сей день считают самым мудрым философом.
Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида : «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это - двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . .», то вывод стал бы логически безупречным.
А вот современный софизм, обосновывающий, что с возрастом «годы жизни» не только кажутся, но и на самом деле короче: «Каждый год вашей жизни это её 1/n часть, где n число прожитых вами лет. Но n + 1>n. Следовательно, 1/(n + 1)< 1/n».
По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического анализа софизмов, были сами софисты. Учение о речи, о правильном употреблении имён Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах Платона. Аристотель написал специальную книгу «О софистических опровержениях», а математик Евклид «Псевдарий» своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательствах.
Подобных софизмов действительно очень много, но хотелось бы больше всего разобрать некоторые математические софизмы и ошибки при их решении.









§2 Классификация ошибок при решении задач

Логические
Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:
Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;
Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы против наказания её, значит, вы находите её невинной»;
Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;
Особенно распространённая ошибка quaternio terminorum, то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы простые тела, бронза металл: бронза простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

Терминологические
Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются
в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы (всякое quaternio terminorum предполагает такое словоупотребление); наиболее характерные:
Ошибка гомонимия (aequivocatio). например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.
Ошибка сложения когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника < 2
· в том смысле, что сумма < 2
·.
Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину даётся значение разделительного: "все углы треугольника = 2
·" в смысле "каждый угол = сумме 2 прямых углов".
Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.
Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (= (2*2)+5)) или 14 (= 2 * (2+5)).
В устную речь математиками введены такие слова как "сумма", "произведение", "разность". Так 2*2+5 сумма произведения два на два и пятерки, а 2*(2+5) удвоенная сумма двух и пяти.
Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Сюда относятся:
Petitio principii: введение заключения, которое требуется доказать, в скрытом виде в доказательство в качестве одной из посылок. Если мы, например, желая доказать безнравственность материализма, будем красноречиво настаивать на его деморализующем влиянии, не заботясь дать отчёт, почему именно он безнравственная теория, то наши рассуждения будут заключать в себе petitio principii.
Ignoratio elenchi заключается в том, что мы, возражая на чье-нибудь мнение, направляем нашу критику не на те аргументы, которые ему принадлежат, а на мнения, которые мы ошибочно приписываем нашим противникам.
A dicto secundum ad dictum simpliciter подменяет утверждение, сказанное с оговоркой, на утверждение, не сопровождаемое этой оговоркой.
Non sequitur представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.

Психологические
Психологические причины софизма бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма, поэтому предполагает два фактора:
· психические свойства одной и
· другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

Интеллектуальные причины
Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизмов, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio) и т.п. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм. Обозначим первые отрицательные качества через (b), вторые соответствующие им положительные через (а).

Аффективные причины
Сюда относятся трусость в мышлении боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т.д. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через (с), а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через (d). Argumentum ad hominem, вводящий в спор личные счёты, и argumentum ad populum, влияющий на аффекты толпы, представляют типичные софизмы, с преобладанием аффективного элемента.

Волевые причины
При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой императивный элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика и т. п. (е) действуют неотразимым образом на лиц, легко поддающихся внушению, особенно на массы. С другой стороны, пассивность (f) слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Таким образом, всякий софизм предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: a + b + c + d + e + f. Успешность софизма определяется величиной этой суммы, в которой (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы.


Математические софизмы
Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе рассмотрим три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

§3 Алгебраические софизмы
Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Рассмотрим на примерах.

1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»
решим систему двух уравнений: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
подстановкой у из 2-го уравнения в 1 получаем х+8-х=6, откуда 8=6

Где ошибка???
Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.
Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

2. «Сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места»
Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередно равных плюс единице и минус единице, т.е.
S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+ ,(1)
И попробуем найти значение этой суммы.
Сначала поступим следующим образом. Будем объединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждой парой «минус», т.е.
S=1-(1-1)-(1-1)-...=1-0-0-=1.
Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда
S=-1+1-1+1-1+1-=-1+(1-1)+(1-1)+=-1+0+0+=-1.

Где ошибка???
Итак, по-разному переставляя слагаемые суммы(1), мы пришли к различным значениям этой суммы: 1 и –1, в итоге сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых, а сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места.

3. «Дважды два равно пяти»
Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

Где ошибка???
Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

4. «Отрицательное число больше положительного»

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

Где ошибка???
Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

§4 Геометрические софизмы
Геометрические софизмы построены на ошибках, связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними. Также рассмотрим на примерах.

1. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра».
Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС (рис. 1). На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки  Е и d прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВDС также прямой. Следовательно, ВЕ  перпендикулярна АС и ВD перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка???
Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

2. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть  а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и  a  обозначим через c . Имеем  b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.    

Где ошибка???
В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

3. «Катет равен гипотенузе»
Угол С равен 90о, BD- биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.
Где ошибка???
Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного  перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

§5 Арифметические софизмы

1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»
Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А)(1). После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), а прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В.
Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

Где ошибка???
Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А

2. «Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
10 р.=100000 коп. (3)
и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что
1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 р. =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15к., которое после деления на 10 дает HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 р. = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15коп., (*) а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп.

3.«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его»
Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:
А>-В и В>-В. (1)
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство
А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что А>В. (2) Записав же два других столь же бесспорных неравенства В>-А и А>-А, (3) аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству А>В. (4)
Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.

Где ошибка???
Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств. Проделаем правильные преобразования неравенств. Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0. Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства (А+В)(В+В)>0, или А>-В, что представляет собой просто верное неравенство. Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде (В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А.

4. «Ахиллес никогда не догонит черепаху»
Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.
Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.
Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка???
Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому обозначим только некоторые его аспекты.
Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111 сек.
Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!
Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равны сумме геометрической прогрессии.
Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.


§6 Применение математических софизмов на уроках математики

Трудно, изучая математику, не заинтересоваться математическими софизмами.
Для развития познавательной деятельности математические софизмы можно применять при изучении математики в школе:
на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;
в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибки в математических софизмах, придумать свои математические софизмы);
при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;
на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;
при написании реферативных и исследовательских работ.
Математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем.
При разборе математических софизмов выделяются основные ошибки:
деление на 0;
неправильные выводы из равенства дробей;
неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
нарушения правил действия с именованными величинами;
путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
неравносильный переход от одного неравенства к другому;
выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.
Самыми популярными являются 1-3.
Цели применения математических софизмов на уроках математики могут быть самыми разнообразными:
изучение исторического аспекта темы;
создание проблемной ситуации при объяснении нового материала;
проверка уровня усвоения изученного материала;
для занимательного повторения и закрепления изученного материала.
Различного рода софизмы применялись мной в двух классах: в 5 классах на занятиях логикой и в 8 классе на уроках алгебры. В связи с небольшим количества уроков алгебры в 8 классе софизмы применялись чаще всего как небольшой фрагмент урока, например, для создания проблемной ситуации.
Ниже приведена таблица применения софизмов на занятиях.

Софизм
Класс, тема урока.

1
“Единица равна двум”
Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства 1-3 = 4-6. Добавив к обеим частям этого равенства число HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, получим новое равенство HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 откуда следует, что 1=2.
Разбор софизма: по определению HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 представляет собой некоторое неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, даст HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Ясно, что этому определению удовлетворяют два числа, а именно х и -х. Итак, если число х неотрицательно (х>0), то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=х; если же число х отрицательно, т. е. число -х положительно, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= - x. Отсюда заключаем, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (свойство арифметического квадратного корня), что не учитывается в содержании этих софизмов и приводит к ложным выводам.
«Свойства арифметического квадратного корня» в 8 классе.

2
“Два умножить на два будет пять”
4/4=5/5,
вынесем за скобки слева 4, справа 5
4(1/1)=5(1/1),
разделим левую и правую часть на (1/1), получим
4=5, откуда следует
2*2=5.
Разбор софизма.
Ошибка в вынесении общего множителя. Надо было: 4(1/4) = 5(1/5).
На уроках итогового повторения в 5 классе.

3
«Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»
Решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1)
у=4- х/2 (2)
подстановкой у из 2-го уравнения в 1 получаем х+8-х=6, откуда 8=6
Разбор софизма.
Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:
х+2у=6,
х+2у=8
В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения.
«Системы уравнений» в 9 классе.

4
“В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру”
В произвольной окружности проводим диаметр АВ (рис. 2)и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению.
Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ=СЕ т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.
Разбор софизма: в софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Однако такого признака нет. Правильно сформулированный признак равенства треугольников гласит: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассматривая математические софизмы на уроках геометрии можно в ненавязчивой форме подчеркнуть важность соответствия условия задачи и правильно построенного к ней чертежа или схемы.

Тема «Окружность» в 8 классе. (При этом повторяется тема «Равенство треугольников»)

5
«2=3»
10-10=0
15-15=0
10-10=15-15
2(5-5)=3(5-5)
сокращаем группу (5-5)
2=3
Разбор софизма: сократить на ноль (5-5) нельзя.
Занятия «Логика» в 5 классе.

6
«Вор»
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.


7
«Лекарства»
Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.


8
«Рогатый»
То, что ты не потерял, ты имеешь; ты не потерял рога, следовательно, ты их имеешь".


9
«4=5»
Докажем, что 4 = 5.
28 + 8 - 36 = 35 + 10 - 45
4 (7 + 2 - 9) = 5 (7 + 2 - 9)
Сократим общие множители, получим 4 = 5.
Разбор софизма: 7+2-9=0, а на ноль делить нельзя.



10
«Один рубль не равен 100 копеек».
1 р=100 коп
10 р=1000 коп
Умножим обе части этих верных равенств, получим:
10 р=100000 коп, откуда следует:
1 р=10000 коп.
Разбор софизма.
В квадрат можно возводить числа, а не величины.


Кроме того, на занятиях логикой в 5 классах рассматривался исторический аспект данного вопроса. И учащимся была предоставлена возможность подготовить доклады про софистов.


Часть рассмотренных софизмов были понятны учащимся с первого раза, а некоторые пришлось рассматривать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться. Например, благодаря софизму “В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру”, который разбирался подробно, повторили признаки равенства треугольников и акцентировали внимание на том, что при применении второго признака равенства треугольников нужно рассматривать углы, прилежащие к равным сторонам.
Тема «Свойства арифметического квадратного корня» является одной из основных в курсе алгебры 8 класса. Поэтому на примере софизма «1=2» было показано к чему может привести невнимательное использование свойств квадратного корня.
Одним из видов математических софизмов является логический софизм. Поэтому наряду с алгебраическими, арифметическими и геометрическими софизмами рассматривались и логические (на факультативных занятиях «Логика» в 5 классе), так как важнейшей из задач, стоящих перед учителем, является развитие самостоятельной логики мышления. Логика позволяет учащимся строить умозаключения, приводить доказательства, высказывания, логически связанные между собой, делать выводы, обосновывая свои рассуждения, и, конечно же, самостоятельно приобретать знания.
Одним из важнейших учебных действий является умение проводить самопроверку. Очень важно учить детей не просто находить ошибки, а анализировать,  выявлять проблему. Как показали занятия, софизмы во многом способствуют этому.
С арифметическими и алгебраическими софизмами учащиеся справляются намного быстрее, чем с логическими. Для разбора геометрических софизмов необходимо большое количество времени. В будущем на геометрические софизмы необходимо уделить больше внимания, так как они способствуют более осмысленному использованию теоретического материала геометрии при решении задач.
Не смотря на то, что учащимся не всегда удается разгадать тот или иной софизм, они с увлечением пытаются разгадать загадку и после занятия с удовольствием рассказывают о софизмах своим друзья, родителям.
Ниже приведены диаграммы, отражающие примерное процентное соотношение учащихся, справившихся и не справившихся с софизмами четырех типов.































Заключение

В результате исследования, проведенного в процессе выполнения работы, можно сформулировать следующие выводы:
Ошибки при решении математических софизмов делятся на два класса: «неправильности речи» и ошибки «вне речи».
Существует 6 видов причин возникновения ошибок: аффективные, волевые, интеллектуальные, логические, психологические и терминологические.
Самыми популярными являются ошибки:
деление на 0
неправильные выводы из равенства дробей;
неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
Математические софизмы делятся: алгебраические, арифметические и геометрические
Поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение.
По результатам проведенного мною исследования можно сделать вывод, что с арифметическими и алгебраическими софизмами учащиеся справляются легче, чем с логическими. Большие затруднения вызывают геометрические софизмы.
Исследования по данной теме можно продолжить, рассмотрев более сложные математические софизмы. Данная работа будет полезна как учителям математики, так и самим учащимся при подготовке к урокам.













Список литературы

А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математические софизмы» Москва, «Просвещение», 2003г.
«Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004г.»
Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Москва, «Просвещение», 1988г.
Энциклопедический словарь юного математика М. “Педагогика”, 1989 г
К.В. Губина «Математические софизмы и парадоксы» [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Л.В. Сергеева «Применение математических софизмов на уроках математики» http://festival.1september.ru/articles/313456/
М. Портнова «Математические софизмы, http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2013/Portnova.pdf
«Софизм», https://ru.wikipedia.org/wiki








HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER14- 2 -HYPER15



Рис. 1

Рис. 2







Приложенные файлы

  • doc rabota9
    Размер файла: 298 kB Загрузок: 3