КОС по дисциплине «теория вероятностей и математическая статистика» для специальности 090204


Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени С.М.КИРОВА»
____________________________________________________________________

КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
Теория вероятностей и математическая статистика
основной профессиональной образовательной программы (ОПОП)
по специальностям СПО
09.02.04 Информационные системы (по отраслям)

Санкт-Петербург
2016
РАССМОТРЕН и ОДОБРЕН
на заседании цикловой комиссии общеобразовательных, естественнонаучных и общетехнических дисциплин
Протокол №от «»2016 г.
Председатель ЦК/В.П. Казакова/
СОГЛАСОВАНО:
Председатель Методического совета/_____________/
«____» ____________2016 г.

Разработчики:_________/ К.В. Слюсаренко/
«____»____________2016 г.
1. Общие положения
Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика.
КОС включают контрольные материалы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета.
КОС разработаны на основании положений:
основной профессиональной образовательной программы по специальности СПО
09.02.04 Информационные системы (по отраслям)
рабочей программы учебной дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика.

2. Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания) Основные показатели оценки результатов
У1. Умение вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики. - Вычисление вероятности события с помощью формул комбинаторики: числа сочетаний, размещений, перестановок
У2. Умение использовать методы математической статистики. - Построению функций распределения дискретной (ДСВ) и непрерывной (НСВ) случайных величин;
- Построение графиков функций распределения ДСВ и НСВ;
- Построение графиков функций плотности НСВ;
- Расчет математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения для НСВ и ДСВ;
- Построение полигонов и гистограмм по имеющимся статистическим данным;
- Расчет моды, медианы;
- Вычисление доверительных интервалов
- Вычисление характеристик НСВ с использованием функции Лапласа;
- Вычисление характеристик НСВ с использованием функции Пуассона;
- Вычисление интервальных оценок с применением таблиц интегральной функции Лапласа;
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. - Формулирование определения перестановок, сочетаний, размещений;
- Формулирование определений классического и статистического понятия вероятности;
- Формулирование определения простых и сложных событий;
-Запись формул вероятности суммы и произведения независимых или совместных событий;
-Формулирование определения условных событий и условной вероятности
- Запись формулы Байеса, определения полной вероятности;
- Запись формул Бернулли, Пуассона;
- Перечисление видов распределений для ДСВ и НСВ и запись формул их характеристик;
- Запись формул для числовых характеристик ДСВ
- Запись формул для числовых характеристик НСВ;
-Формулирование центральной предельной теоремы
- Формулирование определений основных понятий математической статистики (выборка, совокупность, объем выборки, мода, медиана, доверительный интервал);
- Запись формул числовых характеристик вариационного ряда
З2 Знание основных понятий теории графов. - Формулирование основных понятий теории графов (вершина, ребро, граф, инцидентность, маршрут, путь, цикл, минимальный путь, дерево, остовное дерево)
- Перечисление видов графов;
- Перечисление действий при поиске минимальных путей в графе;
- Перечисление действий при построении минимального остовного дерева графа;
- Формулирование основных понятий эйлеровых и гамильтоновых графов и орграфов;
- Формулировка теоремы Эйлера

3. Распределение основных показателей оценки результатов по видам контроля
Наименование элемента умений или знаний Виды аттестации
Текущий контроль Промежуточная аттестация
У1. Умение вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики. Оценка выполнения расчетного задания
Теоретические и практические вопросы
У2. Умение использовать методы математической статистики. Оценка выполнения расчетного задания
Теоретические и практические вопросы
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. Оценка по результатам устного опроса, расчетного задания Теоретические и практические вопросы
З2 Знание основных понятий теории графов. Оценка по результатам устного опроса, расчетного задания Теоретические и практические вопросы
4. Распределение типов контрольных заданий по элементам знаний и умений.
Содержание
учебного материала
по программе УД Тип контрольного задания
У1 У2 З1 З2
Раздел 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
Тема 1.1. Элементы комбинаторики Расчетное задание 6.2 Устный опрос 6.1 Тема 1.2. Теоремы теории вероятностей Устный опрос 6.3
Расчетное задание 6.4 Тема 1.3. Независимые повторные испытания Устный опрос 6.5
Расчетное задание 6.6 Раздел 2. Случайные величины
Тема 2.1. Дискретные случайные величины Расчетное задание 6.8 Устный опрос 6.7 Тема 2.2. Непрерывные случайные величины Расчетное задание 6.10 Устный опрос 6.9 Раздел 3. Элементы математической статистики
Тема 3.1. Основные понятия математической статистики Расчетное задание 6.12 Устный опрос 6.11 Раздел 4. Основы теории графов
Тема 4.1. Основные понятия теории графов Устный опрос 6.13
Расчетное задание 6.14
5. Распределение типов и количества контрольных заданий по элементам знаний и умений, контролируемых на промежуточной аттестации.
Форма промежуточной аттестации – дифференцированный зачет. Зачетные вопросы имеют теоретическую (Т) - содержит вопросы - и практическую (П) – содержит расчетные задания - части (см. Перечень вопросов к зачету).
Содержание
учебного материала
по программе УД Тип контрольного задания
У1 У2 З1 З2
Раздел 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
Тема 1.1. Элементы комбинаторики П-1-2 Т-1-3 Тема 1.2. Теоремы теории вероятностей Т-4-5, П-3,6 Тема 1.3. Независимые повторные испытания Т-6-7, П-4-5 Раздел 2. Случайные величины
Тема 2.1. Дискретные случайные величины П-7 Т-8-11 Тема 2.2. Непрерывные случайные величины П-8-11 Т-12-15 Раздел 3. Элементы математической статистики
Тема 3.1. Основные понятия математической статистики П-12 Т-16-18 Раздел 4. Основы теории графов
Тема 4.1. Основные понятия теории графов П-13 Т-19-20
6. Структура контрольного задания
6.1 Устный ответ
6.1.1 Текст задания
Что называется n – факториалом?
Перечислите основные задачи комбинаторики.
Что называется перестановками?
Запишите формулу для числа перестановок из n элементов.
Что называется размещениями?
Запишите формулу для числа размещений из n элементов по m.
Что называется сочетаниями?
Запишите формулу числа сочетаний из n элементов по m.
Дать классическое определение вероятности.
Дать статистическое определение вероятности.
6.1.2 Время на выполнение: 15 мин.
6.1.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. - Формулирование определения перестановок, сочетаний, размещений;
- Формулирование определений классического и статистического понятия вероятности;
10 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.2 Расчетное задание.
6.2.1 Текст задания.
В урне находится 10 шаров, из них 6 белых и 4 черных шара. Вынули из урны 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые?
В секретном замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.
Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
В почтовом отделении имеются открытки 6 видов. Какова вероятность того, что среди 4 проданных открыток все открытки различны?
6.2.2 Время на выполнение: 45 мин.
6.2.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
У1. Умение вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики. - Вычисление вероятности события с помощью формул комбинаторики: числа сочетаний, размещений, перестановок 4 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.3 Устный ответ
6.3.1 Текст задания
Какие события называются достоверными? Какие события называются невозможными?
Какие события называются несовместимыми?
Какие события называются противоположными?
Дать определение простых и сложных событий.
Как формулируется теорема сложения вероятностей?
Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?
Как формулируется теорема умножения вероятностей?
Дать определение суммы двух событий. Записать формулу вероятности суммы двух событий.
Дать определение условной вероятности.
Дать определение независимых событий. Записать формулу вероятности произведения независимых событий и привести пример ее применения.
Дать определение полной вероятности.
Записать формулу полной вероятности и привести пример ее применения.
Записать формулу Байеса и привести пример ее применения.
6.3.2 Время на выполнение: 30 мин.
6.3.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. -Запись формул вероятности суммы и произведения независимых или совместных событий;
- Формулирование определения простых и сложных событий;
-Формулирование определения условных событий и условной вероятности
- Запись формулы Байеса, определения полной вероятности; 13 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.4 Расчетное задание.
6.4.1 Текст задания.
Вариант 1.
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, ровна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии работает только один сигнализатор.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того. Что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равно 0,95; для полуавтомата вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчетов машина не выйдет из строя.
В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведёт один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Вариант 2.
Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая задорную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей – на заводе №2 и 18 деталей – на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, отличного качества, равна 0.9; для деталей, изготовленных на заводе №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0.6 и 0.9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров взяли один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Вариант 3.
Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равно 0,8. Найти вероятность того, что из трёх проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
Устройство состоит из трёх элементов, работающих независимо. Вероятности безоткатной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что за время t безоткатно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; ) все три элемента.
В каждой из трёх урн содержится 6 чёрных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй наудачу извлечён один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третей урны, окажется белым.
Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относится как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах соответственно равны 0,8;0,9;0,9. Найти вероятность того. Что возникший в машине сбой будет обнаружен.
Вариант 4.
Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвёртом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что детали содержатся: а) на более чем в трёх ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.
Брошены три игральные кости. Найти Вероятности следующих событий: а) на каждом из впавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число оков.
В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стреляет из винтовки с оптическим прицелом или без него?
Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина. Равна 0.1; для легковой машины эта вероятность 0,2. К бензоколонке подъехал для заправки машина. Найти вероятность того, что эта грузовая машина.
6.4.2 Время на выполнение: 60 мин.
6.4.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. -Запись формул вероятности суммы и произведения независимых или совместных событий;
-Формулирование определения условных событий и условной вероятности
- Запись формулы Байеса, определения полной вероятности; 4 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.5 Устный ответ
6.5.1 Текст задания
Записать формулу Бернулли.
Записать формулу Пуассона.
В каких случаях используют формулу Бернулли, а в каких – формулу Пуассона?
6.5.2 Время на выполнение: 15 мин.
6.5.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. - Запись формул Бернулли, Пуассона; 3 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.6 Расчетное задание
6.6.1 Текст задания
Вариант 1.
Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.
Вариант 2.
Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятность отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3.
На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три и ровно пять битых бутылок.
Вариант 3.
Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывается, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемента; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов.
Известно, что на 10000 выпущенных деталей приходится 10 бракованных. Какова вероятность того, что четыре случайно выбранные детали окажутся бракованными?
Вариант 4.
В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0.51.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
6.6.2 Время на выполнение: 45 мин.
6.6.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. - Запись формул Бернулли, Пуассона; 2 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.7 Устный ответ
6.7.1 Текст задания
Какие величины называются случайными?
Дайте определение дискретной случайной величины.
Приведите примеры дискретных случайных величин.
Что понимается под распределением дискретной случайной величины?
Графическое изображение распределения дискретной случайной величины.
Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины.
Перечислите свойства математического ожидания.
Дайте определение дисперсии дискретной случайной величины.
Какими свойствами обладает дисперсия?
Среднее квадратичное отклонение, его назначение и формула для вычисления.
Записать формулы числовых характеристик для биномиального распределения.
Записать формулы числовых характеристик для распределения Пуассона.
Записать формулы числовых характеристик для геометрического распределения.
6.7.2 Время на выполнение: 30 мин.
6.7.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. - Перечисление видов распределений для ДСВ и запись формул их характеристик;
- Запись формул для числовых характеристик ДСВ 13 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.8 Расчетное задание.
6.8.1 Текст задания
Вариант 1.
Случайная величина Х задана рядом распределения
-2 -1 0 2 3
0.1 0.15 0.25 0.15 ?
Найти недостающее значение вероятности, найти Р {Х<-1}, P{-1x2}.
Построить функцию распределения и ее график
Определить числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду и медиану.
Вариант 2.
Случайная величина Х задана рядом распределения.
1 3 5 7 9 11
0.1 0.15 0.25 0.25 0.15 ?
Найти недостающее значение вероятности, найти Р{X<2}, P{X>10}, P{3X9}.
Построить функцию распределения и ее график
Определить числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду и медиану.
Вариант 3.
Случайная величина Х задана рядом распределения.
1 2 3 4 5 6
0.1 0.15 0.25 0.15 0.15 ?
Найти недостающее значение вероятности, найти P{X<2}, P{X>5}, P{2X5}.
Построить функцию распределения и ее график
Определить числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду и медиану.
Вариант 4.
Случайная величина Х задана рядом распределения.
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.4 0.2 ?
Найти недостающее значение вероятности, найти P{X<2}, P{X>4}, P{2X4}.
Построить функцию распределения и ее график
Определить числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду и медиану.
6.8.2 Время на выполнение: 60 мин.
6.8.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
У2. Умение использовать методы математической статистики. - Построению функций распределения дискретных (ДСВ) случайных величин;
- Построение графиков функций распределения ДСВ;
- Расчет математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения для ДСВ;
- Расчет моды, медианы; 3 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.9 Устный ответ
6.9.1 Текст задания
Какая случайная величина называется непрерывной?
Дайте понятие равномерно распределенной НСВ.
Формула вычисления вероятностей для равномерно распределенной НСВ (геометрическое определение вероятности)
Определение и свойства функции плотности
Формула функции плотности для равномерно распределенной НСВ
Определение и свойства интегральной функции распределения НСВ
Как производится расчет вероятностей для НСВ по ее функции плотности и интегральной функции распределения?
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины и формула для его вычисления
Дисперсия непрерывной случайной величины и формула вычисления
Среднее квадратичное отклонение НСВ и формула его вычисления
Какое распределение НСВ называется нормальным?
Какими параметрами определяется нормальное распределение и каков вероятностный смысл этих параметров?
Математическое ожидание нормального распределения
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение нормального распределения
График плотности нормального распределения кривая (Гаусса)
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Определение и функция плотности показательно распределенной НСВ
Интегральная функция распределения показательно распределенной НСВ
Характеристики показательно распределенной НСВ
Сформулировать теорему Муавра-Лапласа.
Сформулировать центральную предельную теорему.
6.9.2 Время на выполнение: 40 мин.
6.9.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. - Перечисление видов распределений для НСВ и запись формул их характеристик;
- Запись формул для числовых характеристик НСВ
-Формулирование центральной предельной теоремы 22 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.10 Расчетное задание.
6.10.1 Текст задания
Вариант №1
Для случайной величины X с заданной функцией распределения F(x) требуется найти:
а) плотность вероятности;
б) математическое ожидание и дисперсию;
в) построить графики функции распределения и плотности вероятности случайной величины X.
Fx=0, при x<1;x+12 при 1<x<2;1, при x>2.Математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности при ; при . Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0.13, 0.7).
Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания меньше чем на 0,15, если Dх=0,0045.
Вариант №2
Для случайной величины X с заданной функцией распределения F(x) требуется найти:
а) плотность вероятности;
б) математическое ожидание и дисперсию;
в) построить графики функции распределения и плотности вероятности случайной величины X.
Fx=0, при x<0;sinx при 0<x<π2;1, при x>π2.Математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15, 25).
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при плотностью распределения ; при функцией . Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (1, 2).
Исходя из неравенства Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания меньше чем на 2 средних квадратических отклонения.
6.10.2 Время на выполнение: 80 мин.
6.10.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
У2. Умение использовать методы математической статистики. - Построению функций распределения дискретных (НСВ) случайных величин;
- Построение графиков функций распределения НСВ;
- Расчет математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения для НСВ;
- Вычисление характеристик НСВ с использованием функции Лапласа, Пуассона; 4 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.11 Устный ответ
6.11.1 Текст задания
Задачи математической статистики
Генеральная и выборочная совокупности, объем выборки
Статистическое распределение выборки
Графическое представление выборки
Статистические оценки параметров распределения
Что такое генеральная совокупность и выборка из нее? Что такое объем выборки?
Что такое вариационный ряд? Что такое относительная (эмпирическая) частота значения хi из вариационного ряда?
Как по таблице статистического распределения выборки строится полигон для дискретных вариационных рядов?
Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае одинаковых интервалов?
Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае неодинаковых интервалов?
Как строится полигон по гистограмме интервального вариационного ряда?
Что такое мода для дискретного вариационного ряда? Что такое медиана?
Понятие интервальной оценки. Надежность доверительного интервала.
Записать формулы числовых характеристик вариационного ряда.
6.11.2 Время на выполнение: 45 мин.
6.11.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З1 Знание основ теории вероятностей и математической статистики. - Формулирование определений основных понятий математической статистики (выборка, совокупность, объем выборки, мода, медиана, доверительный интервал);
- Запись формул числовых характеристик вариационного ряда 14 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.12 Расчетное задание.
6.12.1 Текст задания
Вариант №1
Проводилось выборочное обследование продуктивности коров на молочных фермах Северо-Западного экономического региона РФ. Получены следующие результаты:
Надой за год, л 3000 - 3400 3400 - 3800 3800 - 4200 4200 - 4600 4600 – 5000
Количество коров 43 71 102 64 27
Построить гистограмму и полигон частот, график эмпирической функции распределения, найти числовые характеристики ряда.
Строительная компания хочет оценить среднюю стоимость ремонтных работ, выполняемых для клиентов. Каким должен быть объем выборки среди 1200 клиентов строительной фирмы, если среднее квадратическое отклонение по результатам пробного обследования составило 850 у.е., а предельная ошибка выборки не должна превышать 200 у.е. с вероятностью 0,95? 
При анализе точности фасовочного автомата было проведено 12 независимых контрольных взвешиваний пачек кофе. Известно, что фасовочный аппарат отрегулирован без смещения, так что его ошибка подчиняется нормальному закону распределения , но значение параметра неизвестно. По результатам контрольных взвешиваний была рассчитана выборочная дисперсия S2=0.7 (г). Получить интервальную оценку для среднего квадратического отклонения ошибки взвешивания с уровнем доверия 0.95.
Вариант №2
Изучалось распределение населения одного из городов РФ по среднедушевому совокупному доходу в 1992 г. Получены следующие результаты:
Месячный доход, р 0-1000 1000 - 2000 2000-3000 3000 – 4000 4000 – 5000 5000 - 6000 6000 - 7000
Количество человек 70 326 342 250 120 80 26
Построить гистограмму и полигон частот, график эмпирической функции распределения, найти числовые характеристики ряда.
Аналитик рынка ценных бумаг оценивает среднюю доходность определенного вида акций. Случайная выборка из 16 дней показала, что средняя доходность по акциям данного типа составляет 8% с выборочным средним квадратическим отклонением в 4%. Предполагая, что доходность акции подчиняется нормальному закону распределения, определите 99% -ый доверительный интервал для средней доходности интересующего аналитика вида акций.
Из партии объемом 500 однородных товаров для проверки по схеме случайной бесповторной выборки отобрано 70 товаров, среди которых оказалось 56 небракованных. Найдите вероятность того, что доля бракованных товаров во всей партии отличается от полученной доли в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине), а также границы, в которых с надежностью 0,96 заключена доля бракованных товаров во всей партии. 
6.12.2 Время на выполнение: 60 мин.
6.12.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
У2. Умение использовать методы математической статистики. - Построение полигонов и гистограмм по имеющимся статистическим данным;
- Расчет моды, медианы;
- Вычисление доверительных интервалов
- Вычисление интервальных оценок с применением таблиц интегральной функции Лапласа; 3 балла
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.13 Устный ответ
6.13.1 Текст задания
Дать определение неориентированного графа.
Дать определение вершины графа, ребра.
Дать определение инцидентности, маршрута, пути, цикла, минимального пути
Дать определение дерева, остовного дерева
Перечислите виды графов
Дать определение основных метрических характеристик графа
Перечислите действия при поиске минимальных путей в графе
Перечислите действия при построении минимального остовного дерева графа
Сформулируйте основные понятия эйлеровых и гамильтоновых графов и орграфов.
Сформулируйте теорему Эйлера.
6.13.2 Время на выполнение: 45 мин.
6.13.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З2 Знание основных понятий теории графов. - Формулирование основных понятий теории графов (вершина, ребро, граф, инцидентность, маршрут, путь, цикл, минимальный путь, дерево, остовное дерево)
- Перечисление видов графов;
- Перечисление действий при поиске минимальных путей в графе;
- Перечисление действий при построении минимального остовного дерева графа;
- Формулирование основных понятий эйлеровых и гамильтоновых графов и орграфов;
- Формулировка теоремы Эйлера 10 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
6.14 Расчетное задание.
6.14.1 Текст задания
Построить матрицу смежности и инцидентности для графа:

Найти минимальный путь методом Форда-Беллмана из 1 в 8 вершину:

Построить МОД (минимальное остовное дерево) для графа:

Определить степень каждой вершины, построить матрицы смежности и расстояний, найти радиус, диаметр и центры для графа:

6.14.2 Время на выполнение: 45 мин.
6.14.3 Перечень объектов контроля и оценки
Наименование объектов контроля и оценки Основные показатели оценки результата Оценка
З2 Знание основных понятий теории графов. - Формулирование основных понятий теории графов (вершина, ребро, граф, инцидентность, маршрут, путь, цикл, минимальный путь, дерево, остовное дерево)
- Перечисление видов графов;
- Перечисление действий при поиске минимальных путей в графе;
- Перечисление действий при построении минимального остовного дерева графа;
- Формулирование основных понятий эйлеровых и гамильтоновых графов и орграфов;
- Формулировка теоремы Эйлера 4 баллов
За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.
За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.
Перечень вопросов к дифференцированному зачетупо дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Теоретическая часть.
Определение вероятности.
Виды случайных событий.
Перестановки, размещения, сочетания.
Теорема сложения и умножения.
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Формула Бернулли.
Формула Пуассона.
Дискретные случайные величины. Функция распределения и ее свойства.
Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона, геометрическое распределение.
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения, свойства.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Равномерное, нормальное, показательное распределения.
Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Задачи и методы математической статистики.
Полигон частот и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Числовые характеристики вариационного ряда.
Основные понятия теории графов. Метрические характеристики.
Эйлеровы и гамильтоновы графы. Деревья.
Практическая часть.
В налоговом отделе банка работают 6 ведущих экономистов и 4 старших экономистов. Наугад выбирают 4 человек. Найти вероятность того, что среди них 2 ведущих экономиста и 2 старших.
В колоде 36 карт. Наугад вынимают три карты. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся два туза и одна дама.
В автопробеге участвуют три автомобиля, причем первый придет к финишу с вероятностью 0,84, второй – с вероятностью 0,88, третий – с вероятностью 0,8. Определить вероятность того, что к финишу прибудут все автомобили.
Для данного баскетболиста вероятность попадания мяча в кольцо равна 0,6. Баскетболист выполнил серию из четырех бросков. Какова вероятность того, что при этом было ровно три попадания?
Вероятность быть зарегистрированной счетчиков у частицы, вылетевшей из радиоактивного источника, равна 0,0001. Предположим, что за время наблюдения из источника вылетело 30000 частиц. Какова вероятность того, что счетчик зарегистрировал более 4 частиц?
Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии, остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей – 6%. Наудачу выбирается одна лампа и оказывается бракованной. Определить вероятность того, лампа извлечена из 2 партии.
Случайная величина X задана рядом распределения:
xi-2 3 5 8 11
pi0,21 0,15 0,18 0,25 ?
Найти недостающее значение вероятности, построить график функции распределения, определить числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду и медиану.
Случайная величина X задана функцией распределения F(X):
FX=0 при x≤1;x-12 при x∈1;3;1 при x>3.Построить график функции распределения, найти плотность вероятности, найти числовые характеристики НСВ, найти вероятность попадания в интервал (2; 2,5).
Случайная величина X распределена по показательному закону с плотностью вероятности f(x). Найти: вероятность попадания НСВ X на интервал (α; β), функцию распределения НСВ X, числовые характеристики MX, DX, σ(X):
fx=0 при x<0;8e-8x при x≥0,α=1,2, β=2,3.Непрерывная случайная величина X распределена нормально с плотностью вероятности f(x). Найти: функцию распределения НСВ X, числовые характеристики MX, DX, σ(X), вероятность попадания НСВ X на интервал (α; β), если:
fx=152πe-(x+2)250, где α=2, β=5.Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке a;b. Найти: функцию распределения НСВ X, плотность вероятности НСВ X, числовые характеристики MX, DX, σ(X), вероятность попадания НСВ X на интервал (α; β), если:
a=3, b=8;интервал 4;7.Проводилось выборочное обследование продуктивности коров на молочных фермах Северо-Западного экономического региона РФ. Получены следующие результаты:
Надой за год, л 3000 - 3400 3400 - 3800 3800 - 4200 4200 - 4600 4600 – 5000
Количество коров 43 71 102 64 27
Построить гистограмму и полигон частот, график эмпирической функции распределения, найти числовые характеристики ряда
Определить степень каждой вершины, построить матрицы смежности и расстояний, найти радиус, диаметр и центры для графа:

Зачет формируется из одного теоретического вопроса и двух практических заданий. Время выполнения - 90 минут.
7. Шкала оценки образовательных достижений
Процент результативности (правильных ответов) Оценка уровня подготовки
балл (отметка) вербальный аналог
90 ÷ 100 5 отлично
80 ÷ 89 4 хорошо
70 ÷ 79 3 удовлетворительно
менее 70 2 неудовлетворительно
8. Перечень материалов, оборудования и информационных источников, используемых в аттестации
Основные источники:
Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Академия, 2011.
Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1991.
Дополнительные источники:
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М., Наука, 1974.
Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов. Минск., НТОО «ТетраСистемс», 2001.

Приложенные файлы

  • docx file5
    Размер файла: 127 kB Загрузок: 69