Методическое пособие по выполнению практических работ по теории вероятностей

Министерство образования Тверской области

ГБПОУ «Осташковский колледж»








Методическое пособие по выполнению практических работ
по дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика»



для специальности №09.02.03
«Программирование в компьютерных системах»
















Осташков 2015 г.

Рассмотрена на заседании предметной комиссии общепрофессиональных и специальных дисциплин по специальности 09.02.03

« 31» августа 2015 г.

Председатель комиссии:

____________ Белова М.В.

«У Т В Е Р Ж Д А Ю»

Заместитель директора
по учебной работе


« 31» августа 2015 г.

_____________ Потоцкая Е.А.



Составлена в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника для специальности №09.02.03 «Программирование в компьютерных системах»










Автор:_____________ Белова М.В.,
преподаватель ГБПОУ «Осташковский колледж»


Рецензенты:


Содержание.
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466273" HYPER14HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466274" HYPER14Пояснительная записка. HYPER13 PAGEREF _Toc151466274 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466275" HYPER14Практическая работа №1: «Решение задач по алгебре событий». HYPER13 PAGEREF _Toc151466275 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466276" HYPER14Практическая работа №2: «Решение задач по комбинаторике». HYPER13 PAGEREF _Toc151466276 \h HYPER148HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466277" HYPER14Практическая работа №3 «Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей». HYPER13 PAGEREF _Toc151466277 \h HYPER149HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466278" HYPER14Практическая работа №4 «Решение задач на сложение и умножение вероятностей». HYPER13 PAGEREF _Toc151466278 \h HYPER1410HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466279" HYPER14Практическая работа №5 «Решение задач по формуле полной вероятности событий и по формуле Байеса». HYPER13 PAGEREF _Toc151466279 \h HYPER1412HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466280" HYPER14Практическая работа №6 «Решение задач на законы распределения вероятностей дискретных случайных величин». HYPER13 PAGEREF _Toc151466280 \h HYPER1414HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466281" HYPER14Практическая работа №7 «Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин». HYPER13 PAGEREF _Toc151466281 \h HYPER1415HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466282" HYPER14Практическая работа №8 «Вычисление функции и плотности распределения непрерывных случайных величин». HYPER13 PAGEREF _Toc151466282 \h HYPER1417HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466283" HYPER14Практическая работа №9 «Вычисление числовых характеристик важнейших непрерывных распределений». HYPER13 PAGEREF _Toc151466283 \h HYPER1420HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466284" HYPER14Практическая работа №10 «Вычисление плотности распределения одного случайного аргумента». HYPER13 PAGEREF _Toc151466284 \h HYPER1421HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466285" HYPER14Практическая работа №11 «Построение графических изображений выборок и эмпирических функций распределения». HYPER13 PAGEREF _Toc151466285 \h HYPER1423HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466286" HYPER14Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии». HYPER13 PAGEREF _Toc151466286 \h HYPER1425HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466287" HYPER14Практическая работа №13 «Решение задач на доверительный интервал». HYPER13 PAGEREF _Toc151466287 \h HYPER1429HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466288" HYPER14Практическая работа №14 «Расчёт сводных характеристик выборки методом произведений». HYPER13 PAGEREF _Toc151466288 \h HYPER1430HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466289" HYPER14Практическая работа №15 «Расчёт сводных характеристик выборки методом сумм». HYPER13 PAGEREF _Toc151466289 \h HYPER1431HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466290" HYPER14Самостоятельная работа. HYPER13 PAGEREF _Toc151466290 \h HYPER1434HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc151466291" HYPER14Литература. HYPER13 PAGEREF _Toc151466291 \h HYPER1438HYPER15HYPER15
HYPER15
Пояснительная записка.

Учебная дисциплина "Теория вероятностей и математическая статистика" – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, их цель состоит в том, чтобы, минуя слишком сложное изучение отдельного явления, обусловленного очень большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явлений. Изучение этих законов позволяет не только осуществить научный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действий случайности.
Вероятностный метод в науке не противопоставляет себя классическому методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учётом присущих ему элементов случайности.
Характерным для современного этапа развития любой науки является широкое и плодотворное применение вероятностных и статистических методов. Это вполне естественно, так как при углублённом изучении любого круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только выявление основных закономерностей, но и анализ возможных отклонений от них. В одних науках, в силу специфики предмета и исторических условий, внедрение вероятностных и статистических методов наблюдается раньше, в других – позже. В настоящее время нет почти ни одной науки, в которой так или иначе не применялись бы вероятностные и статистические методы.
Математические законы теории вероятностей – отражение реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический метод и по своему методу является одним из разделов математики, столь же логически точным и строгим, как и другие математические науки.
В соответствии с учебным планом техникума на дисциплину "Теория вероятностей и математическая статистика" отводится 76 часов, в том числе 30 часов практических работ.
Решение задач по теории вероятностей и математической статистике у студентов техникума часто сопряжено со многими трудностями. Помочь студенту преодолевать эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач по всем разделам курса теории вероятностей и математической статистики – основное назначение данного пособия.
Известно, что при самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в постоянных консультациях по приёмам и методам их решения, так как найти путь к решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия студенту не под силу. Такие консультации студент может получить в данном пособии.
По теме каждой практической работы приводятся основные определения и формулы и задачи с решением.
В пособии также приведены задания для выполнения семестровой самостоятельной внеаудиторной работы студентов.

Практическая работа №1: «Решение задач по алгебре событий».

Основные понятия и определения.
Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление А. Эти элементарные события благоприятствуют появлению А. Множество этих элементарных событий обозначим тем же символом А, что и соответствующее событие.
Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество А. Мы отождествляем событие А и соответствующее ему множество А элементарных событий.
Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Обозначение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Невозможным назовём событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Обозначение: (.
Пример. В опыте с кубиком достоверным является событие, что выпадет число, меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное число.

Суммой (или объединением) двух событий А и В назовём событие А+В (или А(В), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В. Очевидные соотношения: А+(=А, А+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, А+А=А.
Пример. Событие «выпало чётное» является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6.

Произведением (или пересечением) двух событий А и В назовём событие АВ (или А(В), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств А и В.
Очевидные соотношения: А(=(, АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=А, АА=А.
Пример. «Выпало 5» является пересечением событий: выпало нечётное и выпало больше 3-х.

Два события назовём несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно, т.е. АВ=(.
Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события несовместные.

Событие HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 назовём противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидные соотношения: А+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=(, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=А.
Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события противоположные.

Разностью событий А и В назовём событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Очевидные соотношения: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15\А, А\В=АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А, АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.
Пример. Производится два выстрела по цели. Пусть событие А – попадание в цель при первом выстреле и В – при втором, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- промах соответственно при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить С через А и В.
Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Перечисленные варианты можно соответственно записать: АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В и АВ. Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть
С= АHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В+АВ.
С другой стороны, событие HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, отсюда искомое событие С можно записать в виде С=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.



Практическая работа №2: «Решение задач по комбинаторике».

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.
Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где n!=1*2*3**n
Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?
Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Получаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?
Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Свойства сочетаний:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Практическая работа №3 «Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей».
Классическое определение вероятности: вероятность Р(А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта (М), благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов опыта (N):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пример 1. Подбрасывание игральной кости один раз. Событие А состоит в том, что выпавшее число очков – чётно. В этом случае N=6 – число граней куба; М=3 – число граней с чётными номерами; тогда Р(А)=3/6=1/2.
Пример 2. Подбрасывание симметричной монеты 2 раза. Событие А состоит в том, что выпало ровно 2 герба. В этом случае N=4, т.к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15={ГГ, ГР, РГ, РР}; М=1, т.к. А={ГГ}. Тогда Р(А)= ј.
Пример 3. Вытягивание шара из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара. Событие А состоит в том, что вытянули чёрный шар. В этом случае N=2+3=5 (общее число шаров в урне), М=3 (число чёрных шаров), тогда Р(А)=3/5.
Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберёт эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?
Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что абонент, набрав произвольно две цифры, угадал их правильно. М – число правильных вариантов, очевидно, что М=1; N – число различных цифр, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Таким образом, Р(А)=M/N=1/90.
Пример 5. Шесть шариков случайным образом располагаются в шести ящиках так, что для каждого шарика равновероятно попадание в любой ящик и в одном ящике может находиться несколько шариков. Какова вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику?
Решение. Событие А – в каждом ящике по одному шарику. М – число вариантов распределения шариков, при которых в каждый ящик попадает по одному шарику, М=6! (число способов переставить между собой 6 элементов). N – общее число вариантов N=66 (так как каждый шарик может попасть в каждый из ящиков). В результате получаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пример 6. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в появлении белых шаров; N – число способов вытащить 2 шара из 7; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; M – число способов вытащить 2 белых шара из имеющихся 3 белых шаров; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Практическая работа №4 «Решение задач на сложение и умножение вероятностей».

Вероятность противоположного события HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 определяется по формуле: р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)=1- р(А).
Для несовместных событий вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле:
р(А+В)=р(А)+р(В).
Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?
Решение. Р=1-(0,85+0,1)=0,05.
Вероятность суммы двух любых случайных событий равна р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ).
Пример. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?
Решение. Р = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%)
Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. В урне лежит N шаров, из них n белых. Из неё достают шар и, не кладя его обратно, достают ещё один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?
Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, через В событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а через С событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.
Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента «плохим», а В – второй – «хорошим». Поскольку после наступления события А один из «плохих» уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность равна Р(В/А)=25/29.

Вероятность произведения:
p(AB)=p(A)*p(B|A)=p(B)*p(A|B).
Пример. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.
Решение. Пусть события А и В заключаются в том, что соответственно первый и второй билеты «хорошие». Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - появление «плохого» билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие А, или одновременно HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и В. То есть искомое событие С – успешная сдача экзамена выражается следующим образом: С=А+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В. Отсюда
р(С)=р(А+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В)=р(А)+р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15В)=р(А)+р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)р(В/HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)=25/30+5/30*25/29=0,977
или
р(С)=1 - р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)=1 - р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15*HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)=1 - р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)* р(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15/HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)=1 -5/30*4/29=0,977

Случайные события А и В назовём независимыми, если
р(АВ)=р(А)*р(В).
Пример. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладём его обратно и только затем вынимаем следующий. А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, В – событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а С – событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
т.е. в этом случае события А и С независимы.

Практическая работа №5 «Решение задач по формуле полной вероятности событий и по формуле Байеса».

Пусть события HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 удовлетворяют условиям
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Такую совокупность называют полной группой событий.
Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности p(Hi), p(A|Hi). В этом случае справедлива формула полной вероятности
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Пример 1. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.
Решение. p(H1)=0,7; p(H2)=0,3; p(A|H1)=0,1; p(A|H2)=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны).

Пример 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?
Решение. H1 – первый шар белый; р (H1)=n/N;
H2 – первый шар чёрный; p(H2)=(N-n)/N;
A – второй шар чёрный; p(A|H1)=(n-1)/(N-1); p(A|H2)=n/(N-1)
Р(A)=p(H1)*p(A|H1)+p(H2)*p(A|H2)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Формула Байеса.
Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза Hk. По определению условной вероятности
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Полученное соотношение - это формула Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) p(Hi) и условным вероятностям p(A|Hi) определить условную вероятность p(Hi/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).

Пример 3. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Решение. Пусть H1, H2, H3 – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p(H1)=0,3; p(H2)=0,2; p(H3)=0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H1)=0,02; p(А/H2)=0,03; и p(А/H3)=0,01. Апостериорную вероятность p(H3/А) вычисляем по формуле Байеса:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Практическая работа №6 «Решение задач на законы распределения вероятностей дискретных случайных величин».

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество.
Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по которому каждому возможному значению xi ставится в соответствие вероятность pi, с которой случайная величина может принять это значение, причём HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пример. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины х, числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике – 0,6.
Решение. Обозначим А1 и А2 – события, заключающиеся в том, что и математика, и физика сданы на 5. Очевидно, возможные значения х есть 0, 1, 2, причём
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Полученные результаты сведём в таблицу:

xi
0
1
2

pi
0.08
0.44
0.48


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Практическая работа №7 «Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин».

К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины х называется произведение всех её возможных значений на их вероятности:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Свойства математического ожидания:
- математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
М(С)=С
- постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(Сх)=С*М(х)
- математическое ожидание суммы случайных величины равно сумме математических ожиданий слагаемых:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
- математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(х1*х2**хn)=М(х1)*М(х2)*М(хn)

Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(x)=M((x-M(x))2) или D(x)=M(x2) – (M(x))2
Среднеквадратическое отклонение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Свойства дисперсии:
- дисперсия постоянной равно нулю:
D(С)=0
- постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(Сх)=С2*D(х)
- дисперсия суммы (разности) случайных величины равно сумме дисперсий слагаемых:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Свойства среднеквадратического отклонения:
- HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
- HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Пример 1. Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти р(х<2), р(х>4), р(2
·х
·4), математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

xi
1
2
3
4
5

pi
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1


Решение. р(х<2)=0,1;
р(х>4)=0,1;
р(2
·х
·4)=0,2+0,4+0,2=0,8;
М(х)=1*0,1+2*0,2+3*0,4+4*0,2+5*0,1=3;
D(x)=12*0,1+22*0,2+32*0,4+42*0,2+52*0,1-32=1,2

·(x)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=1,095

Пример 2. Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20-ти центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:

цена за 10 яиц
0,6
0,4
0,2
0
-0,2

Р
0,2
0,5
0,2
0,06
0,04


Как оценить ожидаемую прибыль от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?
Решение. х – случайная, прибыль от продажи 10 яиц.
М(х)=0,6*0,2+0,4*0,5+0,2*0,2+0*0,06-0,2*0,04=0,352
М(10000х)=10000*0,352=3520 $
D(x)=0.62*0.2+0.42*0.5+0.22*0.2+02*0.06+(-0.2)2*0.04-0.3522=0.037696

·(x)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=0.194154578
D(10000x)=100002* D(x)=19415457.76

·(x)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=0.441

Практическая работа №8 «Вычисление функции и плотности распределения непрерывных случайных величин».

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого промежутка.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х можно задавать либо функцией распределения F(x)=p(
·Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
f(x)=F'(x),
а зная f(x), найдём функцию распределения:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Для непрерывной случайной величины х вероятность попадания её в промежуток с концами a и b равна:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Причём HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пример. Задана следующая функция распределения:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Найти плотность распределения.
Решение.
Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
f(x)=F'(x)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Равномерное распределение. Случайная величина х называется равномерно распределённой на [a, b], если её плотность распределения f(x) на [a, b] постоянна, а вне [a, b] равна 0:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

Пример 1. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить, что ждать придётся не более 10 минут.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Пример 2. Задана плотность распределения: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Найти h.
Решение. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
h-2=1 ( h=3
Нормальное распределение. Случайная величина х называется нормально распределённой, если её плотность распределения f(x) имеет вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ,
где а и
· – параметры нормального распределения,
· >0.
В этом случае говорят, что х распределено нормально согласно закону N(a,
·).
Если а=0 и
·=1, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и эта функция обозначается через
·(х) и называется плотностью нормированного и центрированного нормального распределения. Функция распределения в этом случае обозначается через HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Значения Ф(х) затабулированы, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Пример. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см,
·=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 160-190 см?
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Правило трёх сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a,
·).
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см,
·=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 145-205 см?
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Правило двух сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a,
·).
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Правило одной сигмы. Случайная величина х распределена нормально N(a,
·).
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Практическая работа №9 «Вычисление числовых характеристик важнейших непрерывных распределений».

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить среднее время ожидания автобуса и дисперсию.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Практическая работа №10 «Вычисление плотности распределения одного случайного аргумента».

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют вероятность совместного выполнения двух неравенств:
F(x, y) = P{XПлотность распределения двумерной случайной величины вычисляется как вторая смешанная частная производная функции распределения:
f(x,y) = Fxy(((x,y).

Выражение функции распределения через плотность:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Свойства плотности распределения.
Плотность распределения двумерного случайного вектора есть функция неотрицательная: f(x,y)( 0.
Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения двумерного случайного вектора равен единице:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Плотности распределения компонент случайного вектора могут быть получены по формулам:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Закон распределения дискретного случайного вектора (X, Y) – это совокупность всех возможных значений случайного вектора (X, Y) и их вероятностей:
pij=P{X=xi, Y=yj}, где i=1, 2, , n, j=1, 2, , m.
n, m – число возможных значений случайных величин X и Y.
Так же, как и в непрерывном случае:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пример 1. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами: X и Y. Закон распределения случайного вектора (X,Y) представлен в таблице:
yj
xi
0
0,1
0,2
0,3
pi

5
0,2
0,1
0,05
0,05
0,4

6
0
0,15
0,15
0,1
0,4

7
0
0
0,1
0,1
0,2

pj
0,2
0,25
0,3
0,25
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

На пересечении i-той строки и j-того столбца таблицы находятся вероятности pij=P{X=xi, Y=yj}.
Найти закон распределения координат X и Y случайного вектора.
Решение. Вероятность события {X=xi}=pi, есть сумма вероятностей, находящихся в i-той строке. Вероятности pi находятся в последнем столбце таблицы.
Ряд распределения случайной величины X имеет вид:
xi
5
6
7

pi
0,4
0,4
0,2

Ряд распределения Y находим, вычисляя суммы элементов столбцов таблицы. Эти вероятности pj находятся в последней строке таблицы.
Ряд распределения случайной величины Y имеет вид:
yj
0
0,1
0,2
0,3

pj
0,2
0,25
0,3
0,25


Условное распределение компонент дискретного случайного вектора (X, Y) – это ряд распределения одной случайной величины, вычисленной при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение, а именно:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Пример 2. В условиях закон распределения дискретного случайного вектора (X,Y) из примера 1, найти условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y2=0,1.
Решение. Выбрав значения pi2 из столбца таблицы, соответствующего значению y2=0,1, и разделив их на 0,25, получаем следующее условное распределение X при условии, что Y=0,1:

xi
5
6

pX(xi|y2)
0,4
0,6

Практическая работа №11 «Построение графических изображений выборок и эмпирических функций распределения».
Для наглядного представления статистического распределения пользуются графическим изображением вариационных рядов (полигоном, гистограммой и куммулятой).
В случае дискретного распределения на оси абсцисс откладывают отдельные значения признака. Из принимаемых значений xi проводят перпендикуляры, длины которых пропорциональны частотам mi, затем концы соседних перпендикуляров соединяют отрезками прямых. Это полигон для дискретных вариационных рядов.
Пример. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:
Число в мин (xi)
0
1
2
3
4
5
7


Частоты (mi)
8
17
16
10
6
2
1
(=60




Гистограмма строится только для интервального вариационного ряда (группированной выборки). На каждом из интервалов значений как на основании, строят прямоугольник с высотой, пропорциональной mi. Если середины верхних сторон прямоугольников соединить отрезками прямых, а концы этой ломаной ещё соединить с серединами соседних интервалов, частоты которых равны 0, а длина равна длине соседнего интервала, то получим полигон интервального ряда.
Пример.
Выработка продавцов
Число продавцов
В процентах к итогу
Кумулятивная (накопленная) численность
Накопленная относительная частота

80-100
5
10
5
0,1

100-120
10
20
15 (5+10)
0,3

120-140
20
40
35 (15+20)
0,7

140-160
10
20
45 (35+10)
0,9

160-180
5
10
50 (45+5)
1

итого
50
100






Кумулята – график накопленных частот, сглаженное графическое изображение эмпирической функции распределения. При построении кумуляты в точке, соответствующей принимаемому значению, для дискретного ряда и в правом конце интервала для интервального ряда строится перпендикуляр, высота которого пропорциональна накопленной частоте, затем верхние концы перпендикуляров соединяются между собой с помощью прямолинейных отрезков.
«Накопленные частоты» - это и есть значения эмпирической функции распределения, а кумулята – её сглаженное графическое изображение.





Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии».
Пусть x1, x2, , xn – данные наблюдений над случайной величиной X. Средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины X называется частное от деления суммы всех этих значений на их число:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (1).
Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, , xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, , mn – соответствующие им частоты, причём HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то, по определению,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (2).
Вычисленное по данной формуле среднее арифметическое называется взвешенным, так как частоты mi называются весами, а операция умножения xi на mi – взвешиванием.
Для интервального вариационного ряда за xi принимают середину i-го интервала, а за mi - соответствующую интервальную частоту:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (3).
Основные свойства среднего арифметического:
Среднее арифметическое алгебраической суммы соответствующих друг другу значений равна алгебраической сумме средних арифметических:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если ряд наблюдений состоит из двух непересекающихся групп наблюдений, то среднее арифметическое всего ряда наблюдений равно взвешенному среднему арифметическому групповых средних, причём весами являются объёмы соответствующих групп:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Среднее арифметическое постоянной равно самой постоянной:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Постоянную можно выносить за знак среднего арифметического:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Сумма отклонений результатов наблюдений от их среднего арифметического равна нулю:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то среднее арифметическое увеличится (уменьшится) на то же число:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится.

Выборочной дисперсией значений случайной величины X называется средне арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (4).
Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x1, x2, , xn – наблюдаемые варианты, а m1, m2, , mn – соответствующие им частоты, причём HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то выборочная дисперсия определяется формулой:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (5).
Используя равенство HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, последнюю формулу можно представить в виде:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (6).
Дисперсия, вычисленная по формулам 5 и 6, называется взвешенной выборочной дисперсией.

Основные свойства выборочной дисперсии:
Дисперсия постоянной равна нулю:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия не изменится: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число С, то имеет место равенство:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то выборочная дисперсия не изменится.
Выборочная дисперсия равна разности между средним арифметическим квадратов наблюдений над случайной величиной X и квадратом её среднего арифметического:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Пример 1. По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию числа неправильных соединений в минуту.

Индекс
i
1
2
3
4
5
6
7

Число неправильных соединений в минуту
xi
0
1
2
3
4
5
7

Частота
mi
8
17
16
10
6
2
1

частость
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8/60
17/60
16/60
10/60
6/60
2/60
1/60


Решение. Среднее арифметическое вычислим по формуле 2:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Дисперсию вычисляем по формуле 5:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример 2. По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию диаметра валика.


Решение. Среднее арифметическое вычислим по формуле 3:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Дисперсию вычисляем по формуле 6:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



Практическая работа №13 «Решение задач на доверительный интервал».

Если в процессе эксперимента для статистики получено некоторое значение, то значит оно принадлежит области I(, вероятность которой близка к 1. Эту вероятность называют доверительной вероятностью. Её обозначают (. По ней строят интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью (. Его и называют доверительным интервалом с уровнем доверия (. Область I( и доверительный интервал по ней строятся в соответствии с распределением вероятностей используемой статистики.
Величина уровня доверия влияет на величину интервала: чем больше уровень доверия, тем шире интервал. Уровень доверия выбирается из соображений допустимого риска.
Формула для доверительного интервала для математического ожидания ( нормального распределения с уровнем доверия ( для случая, когда известно среднеквадратическое отклонение распределения (:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (1)
Формула для доверительного интервала для математического ожидания ( нормального распределения с уровнем доверия ( для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения ( неизвестно:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (2)
Пример. Для проверки фасовочной установки были отобраны и взвешены 20 упаковок. Получены следующие результаты (в граммах):
246
247
247,3
247,4
251,7
252,5
252,6
252,8
252,8
252,9

253
253,6
254,6
254,7
254,8
256,1
256,3
256,8
257,4
259,2

Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,95, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально.
Решение. Находим точечные оценки a и (:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Определяем по таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности (=0,95 и числу степеней свободы (n-1)=19 соответствующее значение t(=2,093 и по формуле находим искомый интервал:

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
или 251,27( а( 254,69.
Практическая работа №14 «Расчёт сводных характеристик выборки методом произведений».

Признак – это основная отличительная черта, особенность изучаемого явления или процесса. Количественное представление признака называется показателем.
Результативный признак – исследуемый показатель процесса, характеризующий эффективность процесса.
Факторный признак – показатель, влияющий на значение результативного показателя.
Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (Y) от факторных (x1, x2, , xn), выражаемой в виде уравнения регрессии:
Y = f(x1, x2, , xn).
Для характеристики связей между признаками используют следующие типы функций:
- линейную HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
- гиперболическую HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
- показательную HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
- параболическую HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
- степенную HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Линейная функция используется в случае, если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, гиперболическая – если связь между Y и x, наоборот, обратная. Параболическая или степенная функция применяются, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее.
Линейная однофакторная регрессия: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Для нахождения параметров a0 и а1 используют метод наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахождении параметров a0 и а1, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии. Величину параметров a0 и а1 находим как решение системы нормальных уравнений:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где n – объём исследуемой совокупности.
В уравнении регрессии свободный член регрессии коэффициент a0 показывает совокупное влияние на результативный признак неучтённых (не выделенных для исследования) факторов; его вклад в значение результирующего показателя не зависит от изменения факторов; параметр а1 – коэффициент регрессии – показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.
Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y линейная, определить значения коэффициентов a0 и а1:
х
1
4
7
11
15
17
22

Y
3
6
10
14
18
24
30


Решение. Для определения величин a0 и а1 необходимо вычислить следующие значения: (х, (Y, (xY, (х2. Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:
№ п/п
х
Y
х2
xY
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

1
1
3
1
3
2,07

2
4
6
16
24
5,92

3
7
10
49
70
9,77

4
11
14
121
154
14,91

5
15
18
225
270
20,05

6
17
24
289
408
22,61

7
22
30
484
660
29,03

Итого
77
105
1185
1589
104,36

Система нормальных уравнений имеет вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=0,876, а1=1,284. Следовательно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=0,876+1,284х. Т.к. а1>0, связь между признаками прямая (в случае обратной связи коэффициент регрессии отрицательный). При увеличении х на единицу, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - увеличивается на 1,284. Линейную модель удобно представлять графически:



Практическая работа №15 «Расчёт сводных характеристик выборки методом сумм».

Однофакторная параболическая модель второй степени - параболическая регрессия применяется, если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный значительно быстрее. В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
В данном случае задача сводится к определению неизвестных параметров: а0, а1,. Величину параметров a0, а1 и а2 находим как решение системы нормальных уравнений:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y параболическая, определить значения коэффициентов a0, а1 и а2:
х
1
2
3
4
5
7
10
14
17
23

Y
1
3
6
7
8
11
16
21
27
39


Решение. Для определения величин a0, а1 и а2 необходимо вычислить следующие значения: (х, (Y, (xY, (х2, (х3, (x4, (х2Y. Расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:

№ п/п
х
Y
xY
х2
х2Y
х3
x4
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(= Y - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

1
1
1
1
1
1
1
1
2,098
-1,098

2
2
3
6
4
12
8
16
3,488
-0,488

3
3
6
18
9
54
27
81
4,903
1,097

4
4
7
28
16
102
64
256
6,344
0,656

5
5
8
40
25
200
125
725
7,809
0,191

6
7
11
77
49
539
343
2401
10,815
0,185

7
10
16
160
100
1600
1000
10000
15,51
0,49

8
14
21
294
196
4116
2744
38416
22,13
-1,13

9
17
27
459
289
7803
4913
83521
27,36
-0,36

10
23
39
897
529
20631
12167
279841
38,5
0,5

Итого
86
139
1980
1218
35058
21392
415258




Система нормальных уравнений имеет вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=0,734, а1=1,352, а2=0,0126. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=0,734+1,352х+0,0126х2. Из таблицы видно, что вычисленные по уравнению регрессии значения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 незначительно отличаются от эмпирических данных.
Оценка обратной зависимости между Y и x, может быть дана на основе уравнения гиперболы: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Величину параметров a0 и а1 находим как решение системы нормальных уравнений:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
Пример. По следующим данным, полагая, что зависимость между x и Y выражается уравнением гиперболы, определить значения коэффициентов a0 и а1:
х
1
3
4
6
7
9
10

Y
14
11
11
9
8
7
5


Решение. Для определения величин a0 и а1 расчёты рекомендуется проводить в Excel и оформлять в виде таблицы:
№ п/п
х
Y
1/х
Y/х
1/х2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(i

1
1
14
1
14
1
9,73
4,27

2
3
11
0,33
3,67
0,11
9,26
1,74

3
4
11
0,25
2,75
0,062
9,20
1,80

4
6
9
0,67
1,5
0,028
9,13
-0,13

5
7
8
0,14
1,14
0,02
9,12
-1,12

6
9
7
0,11
0,78
0,012
9,10
-2,1

7
10
5
0,10
0,5
0,01
9,09
-4,09

Итого
40
65
2,6
24,34
1,242
64,63



Система нормальных уравнений имеет вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решив данную систему методом Гаусса, получаем значения: a0=9,02, а1=0,71. Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=9,02+0,71/х.
Самостоятельная работа.
Выполняется в виде семестрового задания. Выдаётся после изучения первых двух разделов и в оформленном виде сдаётся в конце семестра. В задание включены 12 задач по изученным темам и основным формулам теории вероятности.
Система оценки работы:
№ задачи
Набираемый балл
Шкала перевода баллов в оценки

1
1
менее 9
2 (неуд)

2
2



3
2



4
2
9-12
3 (удовл.)

5
1



6
2



7
2
13-16
4 (хорошо)

8
2



9
1



10
1
17-20
5 (отлично)

11
2



12
2



всего
20




Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в группе.

ЗАДАЧИ для самостоятельной работы:
В книжной лотерее разыгрывается n книг. Всего в урне имеется N билетов. Первый подошедший к урне вынимает билет. Определить вероятность того, что билет окажется выигрышным.

В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что её любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной а.

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны р1 и р2. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятность того, что при пожаре сработает ровно один датчик.

В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5, 0.55, 0.7, 0.75 и Р. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка?

Вероятность того, что баскетболист при броске попадёт в корзину, равна р. Определить вероятность того, что, сделав n бросков, он m раз попадёт.

Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна 0р. Определить вероятность того, что в партии из N деталей будет: ровно 3 бракованных; не более 3-х.

В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. найти вероятность того, что число одновременно включённых ламп будет заключено между m1 и m2.

Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова; более двух.

Случайная величина X задана рядом распределения:
xi
-1
0
1

pi
p
1-2p
p

Найти Р{X<0}, P{X>-1}, P{-1
Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+3 (X задана в предыдущей задаче).

Ошибка взвешивания – случайная величина, распределённая по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.

Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0,01?

Данные к задачам 1-5.


n
N
r
a
p1
p2
P
n
m
p

1
9
50
9
4
0.7
0.9
0.9
8
3
0.2

2
8
50
10
4
0.6
0.7
0.7
6
4
0.1

3
7
50
10
6
0.7
0.9
0.75
7
3
0.1

4
6
50
8
6
0.6
0.8
0.6
9
4
0.1

5
5
50
10
8
0.7
0.8
0.65
8
4
0.2

6
4
50
7
5
0.4
0.5
0.55
7
4
0.2

7
3
50
9
5
0.5
0.7
0.5
6
3
0.2

8
2
50
8
5
0.6
0.9
0.45
9
3
0.2

9
1
50
7
6
0.6
0.5
0.4
5
2
0.1

10
11
50
6
4
0.4
0.6
0.35
5
3
0.2

11
9
100
90
4
0.7
0.9
0.9
7
3
0.2

12
8
100
100
4
0.6
0.7
0.7
8
4
0.1

13
7
100
100
6
0.7
0.9
0.75
5
3
0.1

14
6
100
80
6
0.6
0.8
0.6
8
4
0.1

15
5
100
100
8
0.7
0.8
0.65
6
4
0.2

16
4
100
70
5
0.4
0.5
0.55
9
4
0.2

17
3
100
90
5
0.5
0.7
0.5
8
3
0.2

18
2
100
80
5
0.6
0.9
0.45
7
3
0.2

19
1
100
70
6
0.6
0.5
0.4
6
2
0.1

20
11
100
60
4
0.4
0.6
0.35
6
3
0.2

21
9
1000
9
4
0.7
0.9
0.9
7
3
0.2

22
8
1000
10
4
0.6
0.7
0.7
8
4
0.1

23
7
1000
10
6
0.7
0.9
0.75
6
3
0.1

24
6
1000
8
6
0.6
0.8
0.6
7
4
0.1

25
5
1000
10
8
0.7
0.8
0.65
6
4
0.2

26
4
1000
7
5
0.4
0.5
0.55
5
4
0.2

27
3
1000
9
5
0.5
0.7
0.5
8
3
0.2

28
2
1000
8
5
0.6
0.9
0.45
7
3
0.2

29
1
1000
7
6
0.6
0.5
0.4
6
2
0.1

30
11
1000
6
4
0.4
0.6
0.35
7
3
0.2


Данные к задачам 6-12.


p
N
n
m1
m2
N
p
n
N
n
m

1
0.001
5000
6400
3200
3280
60
0.1
1 г
2 г
1600
100

2
0.001
4000
6400
3120
3200
120
0.15
2 г
4 г
1600
200

3
0.001
3000
6400
3160
3240
180
0.45
3 г
6 г
1600
300

4
0.001
2000
6400
3200
3240
240
0.25
4 г
8 г
1600
400

5
0.001
1000
6400
3120
3280
360
0.3
5 г
10 г
1600
500

6
0.001
900
2500
1225
1250
420
0.35
6 г
12 г
1000
600

7
0.001
800
2500
1250
1275
6
0.4
7 г
14 г
1000
100

8
0.001
700
2500
1200
1250
12
0.45
8 г
16 г
1000
200

9
0.001
600
2500
1250
1300
18
0.1
9 г
18 г
1000
300

10
0.001
500
2500
1225
1275
24
0.15
10 г
20 г
1000
400

11
0.001
400
2500
1200
1300
36
0.45
11 г
11 г
2500
500

12
0.001
300
1600
80
820
42
0.25
12 г
12 г
2500
600

13
0.001
200
1600
800
840
48
0.3
13 г
13 г
2500
100

14
0.001
100
1600
780
800
54
0.35
14 г
14 г
2500
200

15
0.001
7000
1600
760
800
30
0.4
15 г
15 г
2500
300

16
0.001
5000
6400
3200
3280
60
0.1
1 г
2 г
1600
100

17
0.001
4000
6400
3120
3200
120
0.15
2 г
4 г
1600
200

18
0.001
3000
6400
3160
3240
180
0.45
3 г
6 г
1600
300

19
0.001
2000
6400
3200
3240
240
0.25
4 г
8 г
1600
400

20
0.001
1000
6400
3120
3280
360
0.3
5 г
10 г
1600
500

21
0.001
900
2500
1225
1250
420
0.35
6 г
12 г
1000
600

22
0.001
800
2500
1250
1275
6
0.4
7 г
14 г
1000
100

23
0.001
700
2500
1200
1250
12
0.45
8 г
16 г
1000
200

24
0.001
600
2500
1250
1300
18
0.1
9 г
18 г
1000
300

25
0.001
500
2500
1225
1275
24
0.15
10 г
20 г
1000
400

26
0.001
400
2500
1200
1300
36
0.45
11 г
11 г
2500
500

27
0.001
300
1600
800
820
42
0.25
12 г
12 г
2500
600

28
0.001
200
1600
800
840
48
0.3
13 г
13 г
2500
100

29
0.001
100
1600
780
800
54
0.35
14 г
14 г
2500
200

30
0.001
7000
1600
760
800
30
0.4
15 г
15 г
2500
300

Литература.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.- М., Высшая школа, 1979.
Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. – М.: Гардарики, 1998.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.
М.Р.Ефимова, Е.В.Петрова, В.Н.Румянцев. Общая теория статистики, учебник. – М., ИНФРА-М, 1999
В.Н.Калинина, В.Ф.Панкин. Математическая статистика. Учебник.- М., ACADEMA, 2001
Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, часть 2. Учебник под ред. Г.Н.Яковлева. – М., Наука, 1981 г.
Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Наука, 1982.
Солодовников А.С. Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1983.












HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER1431HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc KIM TERVER
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1