О ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ СПЕКТРОВ В ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С ТРЕМЯ РЕБРАМИ

О ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ СПЕКТРОВ В ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С ТРЕМЯ РЕБРАМИ

Горячева А.О., Прядиев В.Л.

Постановка задачи.
В настоящей заметке мы рассматриваем следующую спектральную задачу:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (1)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (2)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. (3)
В этой задаче (здесь и далее мы следуем терминам монографии [1]) Г – геометрический граф-звезда из HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, изображенный на рисунке 1. Он имеет три ребра – интервалы (а;b1), (a;b2), (a;b3) – каждое длиной
·, а также од ну внутреннюю вершину: точку а. Точки b1, b2, b3 – граничные









Рис.1
вершины Г. Символ R(Г) в (1) обозначает объединение всех ребер Г;
· – спектральный параметр, вообще говоря, комплексный, что, в частности, подразумевает комплекснозначность решения u(x) задачи (1)–(3).
Суммирование в условиях трансмиссии (2) ведется по
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 { HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и (a+
·h)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15Г для достаточно малых
·>0};
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В (3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15означает множество всех граничных вершин Г.
Помимо задачи (1)-(3) мы рассматриваем следующие три задачи:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (4)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Цель настоящей заметки – показать перемежаемость спектра задачи (1)–(3) с объединением спектров задач (4).

Основной результат: формулировка и доказательство.
Для описания основного результата нам понадобятся некоторые последовательности, составленные из собственных значений задачи (1)–(3) и задач (4).
Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 есть строго возрастающая последовательность, составленная из всех собственных значений задачи (1)–(3) (ниже будет показано, что все собственные значения задачи (1)–(3) вещественны). И пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 есть неубывающая последовательность, составленная из всех собственных значений задачи (1)–(3) так, что каждое собственное значение
· задачи (1)–(3) встречается в последовательности, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (как член этой последовательности) ровно столько раз, какова геометрическая кратность
·.
Далее, пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 есть строго возрастающая последовательность, составленная из всех собственных значений задач (4). И пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 есть неубывающая последовательность, составленная из всех членов последовательностей HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 так, что каждое число
· в последовательности HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 встречается ровно HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15раз, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- геометрическая кратность
·, как собственного значения задачи (4).
Утверждение. Для любого HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15выполнена цепочка соотношений:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Доказательство основано на прямом вычислении.
Если
·
·0, то решение уравнения (1), с учетом его непрерывности в точке а, имеет вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (5)
где
·
·
· обозначает евклидову норму в HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Подставив (5) в (2) и (3), получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 . (6)
Определитель этой системы, относительно переменных С, С1, С2, С3, равен HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, поэтому система (6) имеет нетривиальное решение (С, С1, С2, С3) тогда и только тогда, когда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (здесь и далее N- множество всех натуральных чисел), или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. При этом если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то дефект матрицы системы (6) равен 1 (что влечет равенство единице геометрической кратности собственного значения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, как собственного значения задачи (1)–(3)), а еслиHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то дефект матрицы системы (6) равен 2 (и значит, геометрическая кратностьHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, как собственного значения задачи (1)–(3), равна 2).
Осталось рассмотреть случай
·=0. В этом случае решение уравнения (1), с учетом его непрерывности в точке а, имеет вид:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. (7)
Подставив (7) в (2) и (3), получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Дефект матрицы данной системы равен 1, что влечет простоту (т.е. равенство единице геометрической кратности)
·=0 как собственного значения задачи (1)–(3).
Т.о., последовательность HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 может быть определена так: для любого HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. (8)
Что касается спектра задачи (4j), то он хорошо известен:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В результате получаем следующее описание последовательности HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
для любого HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. (9)
Из (8) и (9) следует доказываемое утверждение.
Замечание: Если в задаче (1)–(3) Г – произвольный геометрический граф-дерево, а условие (3) заменить на условие
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, (10)
то мы получим краевую задачу, для которой перемежаемость спектров была установлена в [1] (см. там гл. 5 §). Следует также отметить, что рассмотренная нами задача (1)–(3) не сводится к задаче (1), (2), (10).

Литература
1. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 272с.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc peremejaemost
    Одна из задач, рассматривающая дифференциальные уравнения на сети
    Размер файла: 123 kB Загрузок: 2