О ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ СПЕКТРОВ В ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С ТРЕМЯ РЕБРАМИ

О ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ СПЕКТРОВ В ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С ТРЕМЯ РЕБРАМИ

Горячева А.О., Прядиев В.Л.

Постановка задачи.
В настоящей заметке мы рассматриваем следующую спектральную задачу:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, (1)
13 EMBED Equation.3 1415, (2)
13 EMBED Equation.3 1415. (3)
В этой задаче (здесь и далее мы следуем терминам монографии [1]) Г – геометрический граф-звезда из 13 EMBED Equation.3 1415, изображенный на рисунке 1. Он имеет три ребра – интервалы (а;b1), (a;b2), (a;b3) – каждое длиной
·, а также од ну внутреннюю вершину: точку а. Точки b1, b2, b3 – граничные









Рис.1
вершины Г. Символ R(Г) в (1) обозначает объединение всех ребер Г;
· – спектральный параметр, вообще говоря, комплексный, что, в частности, подразумевает комплекснозначность решения u(x) задачи (1)–(3).
Суммирование в условиях трансмиссии (2) ведется по
13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и (a+
·h)13 EMBED Equation.3 1415Г для достаточно малых
·>0};
13 EMBED Equation.3 1415.
В (3) 13 EMBED Equation.3 1415означает множество всех граничных вершин Г.
Помимо задачи (1)-(3) мы рассматриваем следующие три задачи:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
13 EMBED Equation.3 1415.
Цель настоящей заметки – показать перемежаемость спектра задачи (1)–(3) с объединением спектров задач (4).

Основной результат: формулировка и доказательство.
Для описания основного результата нам понадобятся некоторые последовательности, составленные из собственных значений задачи (1)–(3) и задач (4).
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 есть строго возрастающая последовательность, составленная из всех собственных значений задачи (1)–(3) (ниже будет показано, что все собственные значения задачи (1)–(3) вещественны). И пусть 13 EMBED Equation.3 1415 есть неубывающая последовательность, составленная из всех собственных значений задачи (1)–(3) так, что каждое собственное значение
· задачи (1)–(3) встречается в последовательности, 13 EMBED Equation.3 1415 (как член этой последовательности) ровно столько раз, какова геометрическая кратность
·.
Далее, пусть 13 EMBED Equation.3 1415 есть строго возрастающая последовательность, составленная из всех собственных значений задач (4). И пусть 13 EMBED Equation.3 1415 есть неубывающая последовательность, составленная из всех членов последовательностей 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 так, что каждое число
· в последовательности 13 EMBED Equation.3 1415 встречается ровно 13 EMBED Equation.3 1415раз, где 13 EMBED Equation.3 1415- геометрическая кратность
·, как собственного значения задачи (4).
Утверждение. Для любого 13 EMBED Equation.3 1415выполнена цепочка соотношений:
13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство основано на прямом вычислении.
Если
·
·0, то решение уравнения (1), с учетом его непрерывности в точке а, имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, (5)
где
·
·
· обозначает евклидову норму в 13 EMBED Equation.3 1415. Подставив (5) в (2) и (3), получим:
13 EMBED Equation.3 1415 . (6)
Определитель этой системы, относительно переменных С, С1, С2, С3, равен 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому система (6) имеет нетривиальное решение (С, С1, С2, С3) тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (здесь и далее N- множество всех натуральных чисел), или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. При этом если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то дефект матрицы системы (6) равен 1 (что влечет равенство единице геометрической кратности собственного значения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, как собственного значения задачи (1)–(3)), а если13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то дефект матрицы системы (6) равен 2 (и значит, геометрическая кратность13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, как собственного значения задачи (1)–(3), равна 2).
Осталось рассмотреть случай
·=0. В этом случае решение уравнения (1), с учетом его непрерывности в точке а, имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (7)
Подставив (7) в (2) и (3), получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
Дефект матрицы данной системы равен 1, что влечет простоту (т.е. равенство единице геометрической кратности)
·=0 как собственного значения задачи (1)–(3).
Т.о., последовательность 13 EMBED Equation.3 1415 может быть определена так: для любого 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (8)
Что касается спектра задачи (4j), то он хорошо известен:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В результате получаем следующее описание последовательности 13 EMBED Equation.3 1415:
для любого 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (9)
Из (8) и (9) следует доказываемое утверждение.
Замечание: Если в задаче (1)–(3) Г – произвольный геометрический граф-дерево, а условие (3) заменить на условие
13 EMBED Equation.3 1415, (10)
то мы получим краевую задачу, для которой перемежаемость спектров была установлена в [1] (см. там гл. 5 §). Следует также отметить, что рассмотренная нами задача (1)–(3) не сводится к задаче (1), (2), (10).

Литература
1. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 272с.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc peremejaemost
    Одна из задач, рассматривающая дифференциальные уравнения на сети
    Размер файла: 123 kB Загрузок: 2