Конспект открытого урока по теме: «Эффективный метод решения логарифмических неравенств»


Конспект открытого урока по теме: «Эффективный метод решения логарифмических неравенств»
Цель:
Создать условия, при которых ученики:
образовательная приводят знания по теме в целостную систему,
открывают и осваивают новые способы решения логарифмических неравенств,
развивающая знакомятся с новым общелогическим методом рассуждений,
становятся субъектами деятельности,
учатся критически оценивать свои знания,
воспитательная формируют эмоционально – ценностное отношение к своей учебной деятельности, что ведёт к развитию качеств личности: нравственным, эстетическим, познавательным, трудовым.
(две последние цели решаются не одним уроком, а системой уроков)
Оборудование : графопректор, фолии к графопректору ,интерактивный комплекс,презентация, карточки с диктантом, карточки для сомооценки.
Форма проведения: семинар.
Методы обучения: проблемный.
-На последних уроках мы рассмотрели методы решения логарифмических неравенств, которые предложены в учебниках Колмогорова и Никольского КИМЫ ЕГЭ содержат логарифмические неравенства, но для решения предлагаемых неравенств не хватает методов, которые предложены в учебниках или они не эффективны.( слайд 1) .
Данное противоречие порождает проблему:
Как в сложившейся ситуации успешно подготовиться к сдаче ЕГЭ по математике? В частности к решению логарифмических неравенств.
Ответы учеников: необходимо рассматривать методы, которых нет в учебниках, методы, которые являются более эффективными.
Решением данной проблемы мы и займемся сегодня на уроке (слайд 2).
Эффективный метод решения логарифмических неравенств.
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это-что следуя этому методу, мы достигнем цели»
Г.В.Лейбниц.
- Какие основные приёмы вы уже изучили и применяли в домашней работе?
Демонстрируются домашние неравенства и проговариваются методы (слайды к графопроектору, подготовленные учениками) (проводится самооценка домашней работы каждое неравенство 1 балл)( слайд 3)
1)Потенцирование
2)Применение свойств логарифмов
3) Введение новой переменной
4)Переход к другому основанию
5) метод интервалов
-Какой этап необходим при решении логарифмических неравенств.
-Нахождение ОДЗ или переход к равносильной системе.
- Какие свойства логарифмической функции применяются при решении неравенств?
-Монотонность логарифмической функции
Фолии с логарифмическими функциями
-Логарифмическая функция определена только при положительных значениях аргумента.
1) Учащимся предлагается проанализировать готовые решения логарифмических неравенств, в которых присутствуют скрытые ошибки, нерациональные способы действий (презентация) (приложение 1). ( Софизм 2больше трёх) (Слайд 4).
2) учащимся предлагается определить знаки а и в если ав>0ав<0 (карточки с неравенствами и буквами на магнитной доске)
3) Одному из учеников предлагается собрать свойства логарифмов, половина свойств на доске прикреплена, вторая половина на карточках, один из учеников находит необходимые продолжения, остальные работают на месте в индивидуальных карточках (приложение 2). По окончании выполняется фронтальная проверка с помощью презентации и магнитной доски, где демонстрируются правильные ответы. Эта информация в форме ключевых задач сопровождает учащихся далее весь урок, необходимо обращение к её содержанию по мере решения дальнейших заданий.
4) Повторить, какие свойства логарифмической функции используются при решении неравенств. ( Слайд 5).
5) logх-2(2х-3)>logх-2(24-6х)- Основания одинаковые, однако, будет ли смена знака?!
Учащиеся приходят к необходимости рассмотрения двух случаев: 0<x-2<1 ; x-2>1
Записать на математическом языке предложения: “Числа a и b находятся по одну сторону от единицы”, “Числа a и b находятся по разные стороны от единицы” и доказать получившиеся неравенства. (На доске одним из учеников заранее подготовлено решение).
-Анализируя варианты вступительных экзаменов по математике, можно заметить, что из теории логарифмов на экзаменах часто встречаются логарифмические неравенства, содержащие переменную под логарифмом и в основании логарифма.
Наш урок – это урок одного неравенства, содержащего переменную под логарифмом и в основании логарифма, решенного разными способами. Говорят, что лучше решить одно неравенство, но разными способами, чем несколько неравенств одним и тем же способом. Действительно, вы должны уметь проверять свои решения. Лучше проверки нет, чем решение задания другим способом и получение того же ответа (можно разными способами придти к одним и тем же системам, к одним и тем же неравенствам, уравнениям). Но не только эта цель преследуется при решении заданий разными способами. Поиски разных способов решения, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения наиболее рационального, красивого, является важным фактором развития математического мышления, уводят от шаблона. Поэтому сегодня мы решим только одно неравенство, но постараемся найти несколько способов для его решения. Посмотрим какое решение этого неравенства предложил один из выпускников logх(x2-2х-3)<logх1 ( Слайд 6)

a) x2-2х-3>0 0; б) x2-2х-3<1x2-2х-3=0; x2-2х-4=0х1=-1 , х2=3; x2-2х-4<0
Возможные объяснения учеников:
Это не уравнение, а неравенство, поэтому при переходе от логарифмического неравенства к рациональному знак неравенства будет зависеть от основания логарифма и монотонности логарифмической функции.
При таком решении возможно приобретение посторонних решений, или потеря решений, а возможно, что при неверном решении будет получен верный ответ.
I способ.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств.(Слайд 7)
В 1990 году в журнале КВАНТ было опублековано, очень полезное следствие из одного из логарифмических неравенств, которое очень упрощает решение неравенств содержащих переменную в основании логарифма. Рассмотрим это следствие.
Если log а b > 0, то (а-1)(b-1) > 0, т.е. (а-1) и(b-1) одного знака.
Действительно, если log а b > 0, то log а b > log а 1
При а>1 имеем b>1, и утверждение верно , так как а-1 > 0, b-1 > 0
При 0<а<1, получаем, что b < 1 и наше утверждение опять верно так как а-1<0, b-1<0Значит (а-1)(b-1)>0.
Аналогично можно доказать, что если log а b < 0 , то (а-1)(b-1)<0.
log g(x) f(x) > 0, если

log g(x) f(x) < 0, если

Пример.ЕГЭ 2012 года
Решение неравенства logх(x2-2х-3) < 0 выглядит так:

a) x2 – 2x – 3 > 0; б) (x – 1)(x2 – 2x – 4) < 0;

Рассмотрим решение неравенств вида log g(x) f(x)- log g(x) с(x)<0Можно перейти к равносильной системе
g(x)>0,gx≠1f(x>0(fx-gx)(gx-1)<0log g(x) f(x)- log g(x) с(x)>0gx>0,gx≠1f(x>0(fx-gx)(gx-1)>0Пример
Перейдём к практической части, работаем парами, за помощью. Можно обращаться к соседу или за консультацией к учителю ( пары разноуровневые)( за каждое неравенство получают по три балла как в задаче С3).
Проверка ответов….. (Графопректор).
(Слайд 8).

(Слайд 9)
-Вернёмся к проблеме поставленной в начале урока, что же необходимо нам с вами сделать, чтобы убрать противоречие между заданиями учебника и задачами ЕГЭ
-Я понял
-Я должен
-Я постараюсь
Домашнее задание: 1.подобрать неравенства из сборников ЕГЭ которые решаются методом эффективных преобразований
2.Решить следующие неравенства:
Задание 15 № 508496. Решите неравенство: 
Задание 15 № 508498. Решите неравенство: 
Задание 15 № 508523. Решите неравенство: 
Задания предлагаются на сайте https://ege.sdamgia.ru/test?print=true&theme=239&svg=0
3. Доказать, что если log g(x) f(x)- log g(x) с(x)>0, тоgx>0,gx≠1f(x>0(fx-gx)(gx-1)>0


Приложенные файлы

  • docx fail9
    Кривоногова
    Размер файла: 760 kB Загрузок: 32