Конспект урока по математике для студентов СПО 1 курса по теме «Первообразная. Основное свойство первообразной»


Конспект урока по математике для студентов СПО 1 курса по теме "Первообразная. Основное свойство первообразной"
Горячева А.О.
преподаватель
ГБПОУ ВО «БТПИТ»
Цели:
Образовательные:
-активизировать процесс обучения посредством применения технологии проблемного обучения;
- сформировать понятие "первообразная функции", установить связь с производной функции, изучить основное свойство, общий вид первообразной;
- познакомиться с таблицей первообразных, научиться применять таблицу при нахождении простейших первообразных;
- уяснить геометрический смысл первообразной.
Развивающие:
--развивать навыки мыслительной деятельности при анализе и структурировании учебного материала;
- формировать умение применять полученные знания в новой ситуации.
Воспитательные:
-способствовать привитию культуры умственного труда;
- формировать мировоззренческие взгляды учащихся;
- воспитывать чувство ответственности за полученный результат, чувство успеха, организованность и сосредоточенность.
Формируемые компетенции: знать понятие первообразной, основное свойство первообразной, первообразные элементарных функций, геометрический смысл первообразной; уметь проверять, является ли заданная функция F(x) первообразной функции f(x).
Литература:
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2013. – 400с.
- Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2013. – 271с.
Методы: репродуктивный, продуктивный, групповой.
Вид работы: урок изучения нового материала.
Технические средства обучения: мультимедийный проектор, ПК, презентация.
План:
Организационный момент (2 мин).
Самоопределение к деятельности, актуализация знаний. (3 мин)
Изучение нового материала. (25 мин)
Первичное осмысление и применение изученного. (10 мин)
Домашнее задание. (2 мин)
Рефлексия. (3 мин)
Ход урока:
Организационный момент. Учитель приветствует класс, отмечает отсутствующих, выясняет, справились ли учащиеся с домашним заданием, объявляет тему урока, цели и задачи урока.
Самоопределение к деятельности, актуализация знаний.
Учитель: Сегодня мы начинаем изучение очень важного раздела математического анализа – «Первообразная и интеграл». Я попрошу очень внимательно отнестись к всему что мы будем изучать сегодня и на последующих уроках, потому что задания по этой теме обязательно включаются в ЕГЭ, а для тех, кто продолжит обучение в технических ВУЗах без навыков интегрирования придется очень и очень непросто.
Ребята, давайте вспомним, с чего мы начинали изучать производную. Мы рассматривали задачу о прямолинейном равномерном движении тела. Нам был известен закон движения, а требовалось найти скорость. И позднее мы научились решать задачи о нахождения скорости и ускорения по заданному закону движения. Как мы это делали?
Ученик 1: Мы искали производную от закона движения, от S(t) – так находили скорость. А ускорение – производная от v(t).
Учитель: Совершенно верно. Но в физике бывают и другие задачи. Например:
По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения(Слайд 2 Приложения 1).
Подумайте, как мы станем решать?
Ученик 2: Должна быть какая-то обратная операция.
Учитель: совершенно верно. А какие обратные математические операции мы уже знаем? Например, какая операция является обратной к сложению?
Ученик 3: Вычитание. К умножению – деление.
Учитель: Какие еще математические операции и обратные к ним мы можем вспомнить?
Ученик 1: Можно возводить в степень и, как обратная обратное действие, извлекать корень.Учитель: Да. Оказывается, для операции дифференцирования (нахождения производной) существует обратная операция – интегрирование(Слайд 3). Вернемся к нашей задаче.
Запишем:
S=s(t) – искомый закон движения.

Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию S=s(t), производная которой равна gt. Попробуйте догадаться, какая же сама функция s(t) в нашем случае?
Ученик 4: .
Учитель: Совершенно верно. Проверим нашу догадку (Слайд 3):

Ответ: .
Изучение нового материала.
Учитель: Ребята, найденная в нашей задаче функция S=s(t) имеет специальное название – первообразная. Запишем определение: «Функцию y=F(x) называют первообразной для функции y=f(x) на промежутке Х, если для хвыполняется равенство ». (Слайд 4)
На практике промежуток Х не указывается, но подразумевается как область определения функции.
Ребята, как мы называем процесс нахождения производной по заданной функции?
Ученики: дифференцированием.
Учитель: давайте запишем, что процесс нахождения функции по заданной производной называется интегрированием.
Заметим, что нашу задачу о нахождении закона движения мы решили верно, но не полно. Мы получи , но на самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида , где С – произвольное число, может служить законом движения. Давайте в этом убедимся: запишите каждый свой вариант функции, подставив вместо С любое число. Найдите производную от полученной функции. Что получили?
Ученики: выражение gt.
Учитель: Все верно то есть в общем виде можно записать так:
.
Давайте немножко уточним исходные данные задачи: будем считать, что в исходный момент времени (t=0) нам известна координата материальной точки – s(0)=s0. Запишите закон движения при таких условиях.
Ученик: . Из этого уравнения .
.
Учитель: вот теперь закон движения однозначно определен (Слайд 5).
Если к данному вопросу подойти более научно, необходимо сформулировать теорему, которая называется основным свойством первообразных. Записываем в тетрадях:
Пусть функции F1 и F2 являются первообразными функции f(x) на некотором промежутке. Тогда для всех значений из этого промежутка справедливо следующее равенство: F2=F1+C, где C – некоторая константа (Слайд 6).
Оказывается, факт наличия бесконечного множества первообразных можно представить геометрически. С помощью параллельного переноса вдоль оси Oy можно получить друг из друга графики двух любых первообразных для f(x). В этом заключается геометрический смысл первообразной (рис. 3) (Слайд 7).
Ребята очень часто путаются в заданиях, не до конца понимая, где необходимо дифференцировать, а где – интегрировать.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция y=f(x) «производит на свет» новую функцию .Функция y=f(x) выступает как бы в качестве «родителя». А функция F(x) – первичный образ по отношению к y=f(x) – первообразная (Слайд 8).

Рис. 3. График первообразных функции
Так, а теперь давайте откроем задачники. Номер 48.1. Читаем задание, что требуется?
Ученик 4: Докажите, что функция у=F(x) является первообразной для функции y=f(x).
Учитель: То есть нам заданы и исходная функция, и ее первообразная, надо лишь убедиться, что F(x) действительно..
Как нам это сделать?
Замечание: учащиеся, обычно, теряются, они еще не знают алгоритм выполнения таких заданий, поэтому учитель приводит их к мысли о том, что кроме определения первообразной у нас еще нет необходимых инструментов работы – определением и надо пользоваться.
Учащийся 5: (пишет на доске)


первообразная функции f(x).
Учитель: Используя ту же идею, выполните сами задания под буквами б) –г).
Через три минуты учитель предлагает ученикам проверить свои записи, показывая правильное решение на Слайде 9.
б) ,
- первообразная функции f(x);
в)
- первообразная функции f(x);
г) ,
, первообразная функции f(x).
Учитель: Молодцы. А теперь попробуйте подобрать первообразную к функции .
Ученик 6: , т.к. .
Учитель: Правильно. А теперь попробуйте найти, каким функциям соответствуют следующие первообразные: а) F(z)=tg z; б) У(x)=sinx.
Ученик 1: Если найти производные от заданных F(z) иY(x), то получим исходные функции f(z) и y(x).
а) ;
б) .
Учитель: Совершенно верно. Но, как вы понимаете, каждый раз подбирать первообразную к каждой функции – очень долго и не всегда настолько очевидно, поэтому при нахождении первообразных пользуются таблицей первообразных. Давайте начертим таблицу из двух столбцов и десяти строк (Слайд 10):
f(x) F(x)
0 C
1 X
x
,

sin x -cos x
cos x sin x
- ctg c
tg x


Первичное осмысление и применение изученного.
Учитель: А сейчас мы устно выполним задания (Слайд 11). Найдите первообразную функций:
1) f(x) = 0;
2) f(x) = -1;
3) f(x) = x3;
4) f(x) = sin x;
5) f(x) =.
Решение:
1) f(x) =0, ;
2) f(x) = -1, ;
3) f(x) = x3, ;
4) f(x) = sin x, ;
5) f(x) =, .
Замечание: Ученики отвечают по цепочке, после каждого ответа на слайде выезжает формула в верным значением первообразной.
Учитель: Теперь усложним задачу. Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку (). Можете обсуждать варианты решения с соседями.Замечание: если ученики не предлагают никаких идей, необходимо задавать наводящие вопросы. Ученик, который понял общий алгоритм решения, выходит к доске и записывает само решение:
Ученик 6: Найдём все первообразные для функции: .
.
Т.к. график первообразной проходит через точку (), подставим в данное уравнение вместо х и у указанные координаты и найдем С. ;
;
С=1.
Ответ: .
Домашнее задание.
Ребята, дома решите номера 48.2, 48.3 из задачника плюс задание на доске (Слайд 12):
Определить, первообразными каких функций являются функции а) ; б) ; в) .
И, как обычно, набираем баллы на нашем сайте.
Рефлексия.
Учитель: Давайте подведем итог, что нового мы сегодня узнали за урок.
….
Замечание: В своей работе современному учителю математики мало использовать только презентации. Имеются некоторые интернет- ресурсы, которые позволяют ученикам не только выполнять домашнее задание, которое автоматически проверятеся на правильность выполнения, но и соревноваться друг с другом за наибольшее количество баллов. Хочу предложить для работы сайт www.yaklass.ru. В Приложении 2 показано, как выглядит выполнение заданий на данном сайте по теме «Первообразная».
Приложение 1
Презентация к уроку: "Первообразная. Основное свойство первообразной".
Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Приложение 2
Выполнение домашнего задание на сайте www.yaklass.ru.





Приложенные файлы

  • docx pervoobr
    Конспект урока по теме Конспект урока по математике для студентов СПО 1 курса по теме "Первообразная. Основное свойство первообразной"
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 36