Методическая разработка по математике «Метод замены множителей»


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Метод Замены МножителейУчитель математики Ускова Н.Н. МБОУ «Лицей №60» Математический диктант Ответы: Решите неравенство 5𝑙𝑜𝑔6𝑥2+𝑥−12≤12+𝑙𝑜𝑔6𝑥−35𝑥+4  ОДЗ Решение [-40;-4) U (3; 32] Теоретическая часть Основная идея методаЛюбое неравенство приводимо к видугде символ «» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства: , , , .(1) Монотонность – ключ к заменеУтверждение 1. Функция есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то естьУтверждение 2. Функция есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то естьКомментарий. Практически, только замена знакопостоянных множителей не вытекает из этих утверждений. Поэтому, если нет желания трогать знак неравенства, всюду положительные множители просто убираем, а всюду отрицательные заменяем на (-1). Популярный знакопостоянный множитель – квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом – заменяем на старший коэффициент (или на свободный член), то есть(2)
ppt_xppt_y







Функция и вызываемые ею заменыПоскольку функция при является строго возрастающей на множестве неотрицательных чисел (а при нечетном натуральном n – на всей числовой оси), то в силу утверждения 1 справедливы замены:Функции и , рассматриваемые на множестве неотрицательных чисел, являются взаимнообратными и строго возрастающими, то есть ПоэтомуТак как и для любого m, то получаем, что(3)(4)(7)(6)(5)










Две любопытные замены:(9)(10)Замена (9) очень удобна там, где приходится отслеживать область допустимых значений.Замена (10) суммы при возможном одновременном равенстве нулю подкоренных выражений на сумму позволяет учитывать эту возможность.


Показательная и логарифмическая функция и вызываемые ею заменыПоказательная функция , как известно, строго убывает при и строго возрастает при . Поэтому, в частности для получаем Для произвольного основания a, пользуясь основным логарифмическим тождеством, можно увидеть, чтоОткуда(11)





Функция - строго возрастающая. Поэтому Если x1=a и x2=1, то получаем, что(12)Откуда соотношение (11) принимает вид(13)Таким образом, мы установили, что разность степеней с одним и тем же основанием всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на разность основания и единицы.





Для логарифмической функции аналогично устанавливаем Отсюда следует, чтоТо есть разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с отношением разности подлогарифмических выражений к разности основания и единицы:(14)



Замечание. Утверждения (14) и (13) равносильны, поскольку показательная и логарифмическая функции взаимнообратны.Эти утверждения также позволяют исключительно эффективно решать очень многие неравенства, которые принято относить к разряду задач повышенной сложности. В частности из (13) и (14) следуют полезные схемы решения основных показательных логарифмических неравенств:1)2)


3)4)

6)5)

7)8)

Практическая частьРешение неравенств Пример. Решить неравенство Решение.Ответ:Пример. Решить неравенство


Пример 1. Решение. Пример 1. (№13)


Пример 2. Пример 2. Решение. (№27)

Пример 3. Решение. Пример 3. (№25)

Пример 4. Пример 4. Решение. (№13)(№25)


Пример 5. Пример 5. Решение.


Пример 6. Пример 6. Решение. (№25)



Пример 7. Пример 7. Решение.

Пример 8. Пример 8. Решение.

Ответ:

Пример 9. Пример 9. Решение. (№30)



Пример 10. Пример 10. Решение. (№30)(№30)



Пример 12. Пример 12. Решение. (№30)


(№26)

Пример 13. Пример 13. Решение. (№12)


Пример 14. Пример 14. Решение.

(№25)



Пример 15. Пример 15. Решение. (№15)(№15)



Пример 16. Пример 16. Решение.





Пример 17. Пример 17. Решение.



Пример. (№17) Пример. (№12) Теорема 1. ПРИМЕР: Пример. Решение. (№25)


Теорема 2. ПРИМЕР: Пример. Решение. (№12)

Теорема 3. При нечетной степени корня, без условий. При четной добавляется условие: ПРИМЕР: Пример. Решение.
Пример. Решение. (№17)

Теорема 4. ПРИМЕР: Пример. Решение.


Пример. Решение.

Итоги I. Стандартный вид неравенств, когда применяется метод замены множителейгде символ «» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства: , , , . II. Основная идея метода замены множителей состоит в замене любого множителя в числителе или знаменателе на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни. Замечание. Преобразованное таким образом неравенство всегда равносильно исходному в области существования последнего. Предупреждение. Указанная замена возможна только тогда, когда неравенство приведено к стандартному виду III. Две основные замены:если f(t) – строго возрастающая функция;если f(t) – строго убывающая функция. IV. Наиболее часто встречающиеся замены (без учета ОДЗ):







Использованная литература Сканави. Сборник задач для ВТУЗов. Голубев В. И. Метод замены множителей, М: Архимед. Лекции и задачи. Вып. 4., 2006 г. Голубев В. И., Шарыгин И.Ф. Эффективный путь решения неравенств М. Квантор 1993 г. Примеры решения заданий С3 №1 Решите систему неравенств Решим первое неравенство системы (1 способ!)Рассмотрим два случая. Первый случай:откуда Второй случай:откудаРешение первого неравенства исходной системы: Решим первое неравенство системы (2 способ) МЗМ&4−𝑥>0&4−𝑥≠0&16−𝑥2>0 &𝑥<4&𝑥≠3&𝑥−4𝑥+4<0, −4<𝑥<4 ОДЗ:0 3−𝑥)(−𝑥2+𝑥+12)≤0 𝑥−3)(𝑥2−𝑥−12)≤0 𝑥−3)(𝑥+3)(𝑥−4)≤0 Ответ: (-4;-3] U (3;4) №2 Решите систему неравенств 1. Решим первое неравенство системыI. Найдем ОДЗ:, II.Применим свойства логарифма Итак, решение первого неравенства: 2. Решим второе неравенство системы Сначала выделим целую часть в первой и второй дроби.Разделим числитель первой дроби на ее знаменатель столбиком: Таким образом получим: Разделим числитель второй дроби на ее знаменатель:Получим: Это преобразование значительно упрощает решение.  ,  3. Нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:Итак, решение второго неравенства:  Найдем пересечение решений первого и второго неравенств:Ответ:  (3;4) №3 Решите систему неравенств: Начнем с первого неравенства исходной системы: Так как Первый множитель следовательно,Отсюда: Итак, решение первого неравенства Решим второе неравенство исходной системы: Неравенство вида равносильно системе: Запишем систему, равносильную нашему неравенству: Решим каждое неравенство системы: Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства меньше нуля, следовательно неравенство верно при любом  Рассмотрим второе неравенство: Корни квадратного трёхчлена Итак, решение второго неравенства исходной системы: Очевидно, что Сравним числа и Итак, совмещаем решения обоих неравенств системы на одной координатной прямой: Ответ: №4 Решите систему неравенств ОДЗМЗМ На ОДЗ имеем: Заметим, что Поэтому Окончательно имеем: Ответ: №5 Решите систему неравенств Решение:ОДЗ неравенства задается соотношением На области допустимых значений справедливы равносильности: Поэтому на ОДЗ имеем: Заметим, что Поэтому Окончательно имеем:Ответ: №6 Решите систему неравенств: Решение:Решим первое неравенство. Осталось найти положительные решения второго неравенства. Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, не меньше 1: При положительных значениях переменной справедливы неравенства иа значит, и Тем самым, неравенство выполнено в том и только В том случае, когда оба выражения равны нулю.Отрицательное решение неравенства не является решением системы.Ответ: x=6 №7 Решите систему неравенств Рассмотрим второе неравенство. Оно имеет смысл при , то есть при Пусть Тогда не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид откуда t=1 или t<0. При всех допустимых x основание степени положительно и, следовательно t> 0. Значит, неравенство выполняется только при t=1  Выясним, при каких x это происходит Подставим в первое неравенство найденные значения1)При2)При3)ПриНеравенству удовлетворяет только значение x=1 , 2Ответ: x=1 , 2 Решим второе неравенство системыРе­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы: Пересекая промежутки, получаем решение системы неравенствОтвет: Задача с параметром – 3. Задание С5Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенствоимеет единственное решение на отрезке [1;3]. 1.  Упростим выражение под знаком модуля: 2. Неравенство равносильно системе: Запишем наше неравенство в виде равносильной системы: 3. Изобразим на параметрической плоскости    решение системы.Начнем с первого неравенства. Смена знаков происходит в  точках, в которых числитель и знаменатель дроби равны нулю. Приравняем числитель и знаменатель дроби к нулю: Нас интересуют области, где левая часть неравенства меньше или равна нулю: Числитель обращается в ноль в точка параболы , а знаменатель в точках прямой a=x: Определим знак дроби в левой части неравенства в точке с  координатами  Нас интересуют области, в которых выполняется неравенство Совместим закрашенные области: множество точек координатной плоскости  , удовлетворяющих системе неравенств представляют из себя такую фигуру: По условию задачи, нам нужно узнать, при каком значении параметра неравенство имеет единственное решение  на отрезке [1;3] , то есть этой выделенной области: Если мы будем двигать прямую x , параллельную оси  a вдоль оси (ординаты всех точек этой прямой равны определенному значению параметра), то увидим, что эта прямая имеет с нужной нам областью одну точку пересечения при  a=3 :Ответ:{3}. C3. Решите систему. Необходимо увидеть и выполнить замену переменнойРазложим на множители числитель дроби: Итак, ответ первого неравенства системы (1) C учетом пересечения с ОДЗ:

Приложенные файлы

Методическая разработка по математике «Метод замены множителей»: 1 комментарий

  1. uskova_n_n Автор записи

    Данная работа размещена на сайте учителя математики Усковой Нины Николаевны- http://uskova.moy.su/

Комментарии запрещены.