Научно-исследовательская работа обучающихся «Применение метода координат при решении задач»


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Применение метода координат в решении задач.Авторы: Новожилов Арсений, Банникова Анастасия, 11АРуководитель: учитель математики Ускова Н. Н., МБОУ «Лицей №60» Актуальность нашей работы обусловлена тем, что изучение методики преподавания отдельных разделов математики, вызывающих затруднение у учеников выпускных классов, является, несомненно, важным направлением исследования в настоящее время.Цель работы заключается в попытке внесения некоторых интерактивных дополнений, которые значительно упростили бы методические приемы объяснения решений геометрических задач, сделали бы их более наглядными и, как следствие, более понятными. Поставленные задачиПутем сравнения показать, возможность применения метода координат в решение геометрических задач; показать эффективность данного метода при решение некоторых геометрических задач и в некоторых случаях более понятный, чем аналитический;На примере некоторых заданий попытаться создать методическую альтернативу аналитическому методу решений геометрических задач по некоторым разделам геометрии.Опробовать полученную методику на уроках математики в 11 классах нашего лицея. В перспективе научной работы предполагается:Собрать найденный материал и наши исследования в одно целое и на основе этого попытаться создать методическое пособие , для учителей математики, и учащихся старших классов: «Метод координат в решении задач»Разместить получившийся методическое пособие на сайте лицея №60, для пользования, обсуждения и последующей доработки. Единичный куб.хуzD (0; 0; 0)A (1; 0; 0)C (0; 1; 0)B (1; 1; 0)D1 (0; 0; 1)A1 (1; 0; 1)C1 (0; 1; 1)B1 (1; 1; 1)








Прямоугольный параллелепипед.хуzD (0; 0; 0)A (a; 0; 0)C (0; b; 0)B (a; b; 0)D1 (0; 0; c)A1 (a; 0; c)C1 (0; b; c)B1 (a; b; c)abc









Правильная шестиугольная призма.хуCFDEBAaaC (a; 0;0)F (- a; 0;0)хуzC1 (a; 0;c)F1 (- a; 0;c)ac
















Правильная треугольная призма.С1АВСА1В1caхуzO









Правильная треугольная пирамида.хyOzHh










Правильная четырехугольная пирамида.ahхyzh








Расстояние от точки до плоскости. Правильная шестиугольная пирамида.хyzahC (a; 0;0)F (- a; 0;0)









Расстояние от точки М(x0;y0;z0)до плоскости ax + by + cz + d = 0.Например:


Уравнение плоскости, проходящей через три точки.Уравнение плоскости имеет вид Числа a, b, c находим из системы уравнений



Например: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки - уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.






№ 1 В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости (BDC1) .хуzA1 (1; 0; 1)D (0; 0; 0)B (1; 1; 0)C1 (0; 1; 1)Запишем уравнение плоскости DBC1.






A1 (1; 0; 1)Найдем искомое расстояние по формулеОтвет:





хуz№ 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF1) F1 (- 1; 0;1)Запишем уравнение плоскости DC1F1.C1 (1; 0;1)11











Найдем искомое расстояние по формулеОтвет:



Расстояние между скрещивающимися прямыми. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой. bcABb||β




№ 1. В единичном кубе найдите расстояние между прямыми АD1 и ВD.хуzAD1||BC1AD1||(DBC1)



A (1; 0; 0)D (0; 0; 0)B (1; 1; 0)C1 (0; 1; 1)Запишем уравнение плоскости BDC1.Найдем искомое расстояние по формуле





A (1; 0; 0)Ответ:


№ 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми АS и ВС.хyz11hOBC||ADBC||(ADS)







Запишем уравнение плоскости ADS.




Найдем искомое расстояние по формулеОтвет:





I. Угол между прямымиУгол между прямыми в пространстве удобно находить следующими способами.Ввести векторы и , коллинеарные данным прямым (направляющие векторы). Используя формулу скалярного произведения векторов, найдём косинус угла между ними.Внимание! Если то ответом исходной задачи будет т. к. углом между двумя прямыми (в отличие от угла между векторами) считается меньший из двух смежных гулов (см. рисунок).Поэтому правильный ответ будет иметь вид 2. Сделать параллельный перенос одного из данных отрезков к концу второго отрезка. Тогда угол между исходными прямыми будет совпадать с углом между пересекающимися прямыми, лежащими в одной плоскости. Для того, чтобы найти косинус угла между ними, достраиваем подходящий треугольник и применяем теорему косинусов. ЗадачаВсе ребра правильной призмы равный по 1. Найдите косинус угла между прямыми и .

Решение.1.Угол между скрещивающимися прямыми и равен углу между пересекающимися прямыми и ,так как (cм. Рис.).2. Найдём косинус угла :а) ( прямоугольный );б) (равнобедренный );в) (прямоугольный ); г) ( -центр описанной окружностиоколо правильного шестиугольника , поэтому );д) (равнобедренный ). Ответ: ЗадачаВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла междупрямыми SB и AD. Решение.Прямая AD параллельна прямой BC. Следовательно, искомыйугол SBC.В равнобедренном треугольнике SBC проведем медиану и высоту SМ.Из прямоугольного треугольника SBМ получаем:Ответ: II. Угол между прямой и плоскостьюУглом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на плоскость, см. рисунок.Угол между прямой и плоскостью удобно находить следующими способами.Рассмотрим прямоугольный треугольник , здесь точка - проекция точки S на плоскость, угол прямой. Тогда nSOϕ






2. Векторный способ. Пусть - вектор, перпендикулярныйплоскости. Тогда он коллинеарен вектору Косинус угла между и равен синусу искомого угла. Внимание! Так как вектор может быть направлен как «вверх», так и «вниз», то возможен случай, что Поэтому правильным ответом будет ЗадачаВ правильной треугольной пирамиде SABC с снованием ABC известны ребра Точка N-середина ребра BC. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AT, где T-середина отрезка SN.ONTT1






Решение.Прямая NC проектируется на плоскость основания в прямуюAN. Поэтому проекция точки T – точка - лежит на отрезкеAN. Угол –искомый. (где O - центр основания), значит, треугольники SNO и подобны с коэффициентом 2.Тогда Кроме того,Из прямоугольного треугольника находим: Значит, искомый угол равен Ответ: Задача В правильной пирамиде SABC соснованием ABC известныребра . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M - точка пересечения медиан грани SBC.HNMK178√3 






Решение.Пусть SN - медиана треугольника SBC, а H и K - проекции точек Sи M на основание ABC. Тогда1) поэтому2) (теорема Пифагора, )3) 1:3 (по свойству медианы и из подобия ) Ответ: ЗадачаВ прямоугольном параллелепипеде найдите угол между плоскостью и прямой , если =8, AB=6, BC=15. H8156



Решение. Сечение плоскостью есть прямоугольник .Из точки проведём перпендикуляр к . BH – проекция на плоскость . Значит, нужно найти угол .В прямоугольном треугольнике находим: В прямоугольном треугольнике находим:В прямоугольном треугольнике находим: Ответ: ЗадачаВ прямоугольном параллелепипеде ,у которого =4, =6, =6, найдите тангенс угла между плоскостью и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и .EF466


Решение.Найдём угол между прямой EF и плоскостью грани Точка B - проекция точки E на эту плоскость.Искомый угол естьОтвет: III. Угол между плоскостямиПусть и - две данные плоскости. Если они параллельны (или совпадают), то угол между ними равен 0. Если они пересекаются, то их пересечением является прямая l. Выберем на ней некоторую точку O. В плоскости проведем перпендикуляр кпрямой l, проходящий через точку O. Пусть P – некоторая точка на этом перпендикуляре. Аналогично в плоскости проведем перпендикуляр к прямой l, проходящий через точки O и Q. Тогда углом между плоскостями и будет см рисунок. n1n2RφαβlOQP Угол между прямой и плоскостью удобно находить следующимиспособами.Рассмотрим треугольники POR, QOR, POQ здесь точка R лежит на прямой l. Треугольники POR, QOR прямоугольные с прямым углом O, в треугольнике POQ угол - искомый.Векторный способ. Пусть - вектор, перпендикулярный плоскости , а - вектор, перпендикулярный плоскости . Тогда угол между ними равен PRORQOPOQφ Внимание! Аналогично углу между прямыми, между прямой и плоскостью, возможен случай Поэтому правильным ответом будет ЗадачаВ прямоугольном параллелепипеде известны ребра: AB=8, AD=6, =5. Найдите угол между плоскостями и .HMADBMC







Решение.Плоскости и имеют общую прямую . Проведём перпендикуляр AH к и перпендикуляр AM к BD.Прямая HM – проекция прямой AH на плоскость . По теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах,Значит, угол AHM – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и . Из прямоугольноготреугольника BAD находим:Из прямоугольного треугольника AMH находим: Значит, искомый угол равенОтвет: IV. Расстояние между скрещивающимися прямымиТеорема. Общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым существует и единственен. (рис. 1). l P Рис.1 m Следствие 1. Длина общего перпендикуляра равна длине любого перпендикуляра, проведённого из произвольной точки одной прямой на плоскость ей параллельную и содержащую вторую из скрещивающихся прямых (рис. 2). PP1QmlQ1l1Рис.2 Следствие 3. Если скрещивающиеся прямые перпендикулярны, то длина общего перпендикуляра есть расстояние от точки пересечения одной из скрещивающихся прямых с плоскостью ейперпендикулярной и содержащей вторую скрещивающуюся прямую (рис. 3).lPQmРис.3 Построение общего перпендикуляраЗадача 1. В единичном кубе точка M – середина ребра Найдите расстояние между прямыми и . Решение. Построим плоскость, содержащую прямую и параллельную прямой . Для этого в плоскости правой грани куба проведём прямую Так как M – середина ребра и то N – середина ребра Следовательно, - средняя линия треугольника и плоскость равнобедренного треугольника (CMN) – искомая плоскость.Пусть P – середина , т. е. точка пересечения диагоналей правой грани куба. Так как диагонали квадрата перпендикулярны,а то где R – середина (рис. 6). Отрезок CR – медиана равнобедренного треугольника CMN, поэтому Отсюда следует, что Плоскости и перпендикулярны и пересекаются по прямой CR. Проведём в плоскости отрезок (рис. 7). MNRQP...D1A1CBPQRРис.7Рис.6












Получим, что и его длина равна длине общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым и Так как то Ответ: Использование формулы объёма тетраэдраОбъём тетраэдра может быть вычислен по формуле: где a и b – длины скрещивающихся рёбер треугольной пирамиды, - угол между содержащими их прямыми, d – расстояние между этими прямыми. Эту формулу целесообразно использовать для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми, если при решении задачи возможно определить все величины, кроме расстояния. Задача 2. Дан куб с ребром, равным a. Найдите расстояние между прямыми и (рис. 9).Рис.9 Решение. Длины отрезков и равны угол между ними равен (угол между скрещивающимися диагоналями боковых граней куба, он равен углу при вершине C правильного треугольника ). Наконец, объём пирамидыРавен (основание – треугольник высота CD). Следовательно, расстояниеОтвет: Векторный методНаиболее общим способом определения расстояния между скрещивающимися прямыми является применение векторного метода. Отыскивается вектор, равный по длине общему перпендикуляру к скрещивающимся прямым иперпендикулярный любому ненулевому вектору, расположенному на каждой из этих прямых. Исходя из равенстванулю скалярного произведения двух перпендикулярных векторов, мы получаем систему уравнений, позволяющую определить координаты отыскиваемого вектора. Задача 3. Дан единичный куб Точка M – середина ребра . Найдите угол и расстояние междупрямыми и . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок ?Решение. Так как рёбра куба имеют длину, равную единице, то введём декартов базис: В декартовом базисе вектор имеет координаты (1;1;1), авектор - Найдём угол между векторами иПо определению скалярного произведения где - угол между векторами. В декартовом базисе скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат векторов, амодуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратовего координат. Получим, что Следовательно, Дадим ответы на два оставшихся вопроса задачи. Пусть точки Pи Q таковы, что отрезок PQ – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым и . Тогда - вектор, который перпендикулярен векторам и(рис. 11). QPjikРис.11





Запишем верное равенствоИз него получим, что Вектор коллинеарен вектору , т. е. существует такоечисло чтоСледовательно, вектор имеет координаты Векторы и имеют координаты соответственно Вектор коллинеарен вектору , т. е. существует такое число что и следовательно,вектор имеет координаты Складывая четыревектора, получим, что координатами вектора будут числа Величины и определимиз системы: В результате получим векторЕго длина, т. е. длина общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым и , равна И последнее: ОткудаОтвет: Расстояние от точки до прямойРасстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой. Задача1В правильной шестиугольной призме ABCDEFAA1B1C1D1E1 F1, ребра которой равны 1, найти расстояние отточки A до прямой 1 BC .H




Метод Параллельных прямыхРешим Задачу 1 методом параллельных прямыхO1OH







ПримерыЗадачаВ правильной четырехугольной призме сторона основания равна 1, а высота равна 2. М - середина ребра . Найдите расстояние от точки М до плоскости .HM



Решение.Рассмотрим треугольную пирамиду . Её объём можно выразить двумя способами:1)2) где искомое расстояние. Приравняем выражения для объемов и выразим расстояние:Найдем площадь равнобедренного треугольника .Проведем в нем высоту DH. Она равна ТогдаСледовательно,Ответ: ЗадачаВ правильной шестиугольной призме , всеребра которой равны 4,найдите расстояние от точкиA до прямойDAHB1C1H

Решение.Так как ABCDEF - правильный шестиугольник, то прямые ADи BC параллельны, параллельны также прямые BC и следовательно, прямые AD и параллельны. Расстояние от точки A до прямой равно расстоянию между прямыми AD и . В трапеции .тогда Ответ: ЗадачаВ правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 3,найдите расстояние от точки С до прямой

Решение.Так как - правильный шестиугольник, то прямые и перпендикулярны, следовательно, прямые иперпендикулярны. Расстояние от точки С до прямой равнодлине отрезка .Из треугольника . находим: Из прямоугольного треугольника находим:Ответ: 6. ЗадачаДан правильный тетраэдрMABC с ребром 1. Найдите расстояние между прямымиAL и MO, где L – серединаребра MС, О - центр грани ABC.NPOLNPHABCαBA.O












Решение.Пусть N - середина ребра AB, а P - середина отрезка ОС. Прямая AL лежит в плоскости APL, параллельной прямой MO. Поэтому искомое расстояние равно расстоянию от прямой MOдо плоскости APL. Опустим из точки О перпендикуляр ОН на прямую AP. Тогда и нам остается найти длину отрезка ОН. поэтому точки P и О делят отрезок СN на три равные части длиной каждая. Обозначим угол APN буквойВ треугольнике APN следовательно, Теперь из треугольника ОPН находим, чтоОтвет: ЗадачаВ правильной четырёхугольнойпризме стороныоснования равны 3, а боковыерёбра равны 2. Точка Е – середина ребра . Найдите расстояние от вершины А до плоскости EKHHEAMM
Решение.Прямая пересекает прямую АD в точке K. Плоскости ABC и пересекаются по прямой KB.Из точки E опустим перпендикуляр ЕН на прямую КВ, тогда отрезок АН (проекция ЕН) перпендикулярен прямой КВ. Прямая КВ перпендикулярна плоскости АЕН, следовательно, плоскостиВЕК и АЕН перпендикулярны. Высота АМ треугольника АЕН перпендикулярна плоскости ВЕК, следовательно, АМ – расстояниеот точки А до плоскости . Точка Е – середина ребра , поэтому АЕ= =1. Из равенства треугольников и АКЕ получаем:В прямоугольном треугольнике АКВ с прямым углом А: откуда высота В прямоугольном треугольнике АНЕ с прямым углом А:откуда высота Ответ: Задачи ЕГЭ прошлых годовЗадача 1В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороныоснования равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сеченияпирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MDпараллельно прямой AC .MOEPFG





Задача 2EFРис.1



Задача 3 O H K




Задача 4СAHOFGLK






Задача 5Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.OMH




В нашей работе мы сравнили способы решения геометрических задач, которые удобно применять, решая геометрические задачи.{616DA210-FB5B-4158-B5E0-FEB733F419BA}Эффективно применятьНеэффективно применятьОпытная проверка Опрос до изучения темы: «Метод координат в решении задач» Опрос после изучения темы: «Метод координат в решении задач» Тема нашей работы продиктована возросшим интересом к изучению математики и решение геометрических задач повышенной сложности, а также необходимостью подготовки к экзамену. Данное методическое пособие требует от каждого учащегося не формального усвоения программного материала, а его глубоко осознанного понимания. ЗаключениеДостаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях. В данной дипломной работе:- проанализировано несколько действующих школьных учебников относительно темы «Метод координат»; - описан сам метод координат, виды и этапы решения задач методом координат; - выделены основные умения, необходимые для овладения данным методом и приведен ряд задач, формирующих их. Также было проведено опытное преподавание, которое подтвердило гипотезу о том, что изучение метода координат в школьном курсе геометрии необходимо. Оно будет более эффективно, если в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков, в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой данного метода, и используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода. Библиографический список1.Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина – М. Просвещение, 1992г.- 335с. 2.Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. [Текст]/ А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд.- М. Просвещение, 1989г. – 304с.3.Изучение координат в III – IV кл. / Л. Г. Петерсон // Математика в школе - 1983г.- №44.Итоги работы в 7 кл. по учебнику Шарыгина И. Ф. 7-9 / О.В. Бощенко // Математика в школе - 2002г. №5 5.К изучению перемещений на координатной плоскости / Г.Б. Лудина // Математика в школе – 1991г.- №26.Никольская, И. Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. ср. шк. [Текст] – М. Просвещение, 2008г. – 383с.7.И.Ф Шарыгин, В.И Голубев Факультативный курс по математике: Просвещение, 1991г. Спасибо за внимание

Приложенные файлы

  • pptx koord3.pptx
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 24